有限元重要
近现代科学家在有限元领域的贡献
近现代科学家在有限元领域的贡献有限元方法是一种常用的工程分析方法，通过将复杂的结构划分为有限个简单的元素，将连续的问题转化为离散的问题，从而进行数值计算。
近现代科学家在有限元领域做出了许多重要贡献，推动了这一方法的发展与应用。
一、理论研究方面的贡献1. 理查德·兰格(Richard Courant)：兰格是有限元方法的奠基人之一。
他在20世纪40年代提出了有限元方法的基本思想，并在其经典著作《变分法与偏微分方程》中系统地阐述了有限元方法的数学基础。
2. 亚历山大·鲍恩(Alexander Hrennikoff)：鲍恩是有限元方法的先驱之一。
他在20世纪40年代提出了离散元素法，这被认为是有限元方法的雏形，为后来的发展奠定了基础。
3. 托马斯·休斯(Thomas Hughes)：休斯是有限元方法的重要贡献者之一。
他在20世纪60年代提出了有限元法的变形理论，使有限元方法能够处理更加复杂的结构和物理问题。
二、应用研究方面的贡献1. 理查德·莫里斯(Richard B. Morritz)：莫里斯是有限元方法在电磁场计算中的应用先驱之一。
他在20世纪60年代提出了矢量势有限元法，为电磁场计算提供了一种有效的数值方法。
2. 雅克·克特伦(Jacques Cattin)：克特伦是有限元方法在地震工程中的应用先驱之一。
他在20世纪70年代提出了地震动有限元法，为地震工程的地震响应分析提供了一种重要的工具。
3. 詹姆斯·I·卡佛(James I. Kapp)：卡佛是有限元方法在多相流动中的应用先驱之一。
他在20世纪80年代提出了多相流有限元法，为多相流动的数值模拟提供了一种有效的方法。
三、软件开发方面的贡献1. 托马斯·J·休斯(Thomas J. R. Hughes)：休斯是有限元方法软件开发领域的重要人物。
他在20世纪70年代开发了有限元软件ABAQUS，为有限元方法的广泛应用提供了一种强大的工具。
对有限元的认识
对有限元的认识
有限元是一种用于数值计算和模拟的数学方法，它在工程、科学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
有限元的核心思想是将一个复杂的连续体或系统划分为许多小的单元，这些单元通过节点相互连接。
通过对每个单元进行简单的数学分析，可以得到整个系统的近似解。
这种离散化的方法使得对复杂问题的求解变得更加容易和高效。
有限元方法的优点之一是能够处理复杂的几何形状和边界条件。
无论是二维平面问题还是三维空间问题，有限元都可以灵活地适应各种几何结构，并考虑不同的边界条件和载荷情况。
有限元还提供了强大的数值求解能力，可以计算结构的应力、应变、变形和温度分布等物理量。
通过有限元分析，可以预测物体的行为和响应，帮助工程师和科学家进行设计优化、故障分析和性能评估。
此外，有限元软件的发展使得有限元的应用变得更加便捷和高效。
这些软件提供了友好的用户界面和可视化工具，使得用户能够轻松地建立模型、施加边界条件和进行后处理分析。
然而，有限元方法也存在一些局限性，例如对复杂问题的计算成本较高、对模型的准确性和可靠性要求较高等。
因此，在应用有限元方法时，需要合理选择单元类型、网格密度和求解算法，以确保计算结果的准确性和有效性。
总的来说，有限元是一种非常重要的数值分析方法，它为工程师、科学家和研究人员提供了强大的工具来解决复杂的实际问题。
随着计算技术的不断发展，有限元方法将在各个领域继续发挥重要的作用。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题机械设计中的有限元分析是一种重要的分析方法，能够对结构在不同工况下的性能进行评估和优化。
在进行有限元分析时，需要解决以下几个关键问题：1. 确定边界条件：边界条件是指结构与外界的相互作用，包括约束、载荷以及热边界条件等。
在进行有限元分析时，需要准确地确定结构的边界条件，以保证分析结果的准确性。
在进行强度分析时，需要明确结构受到的载荷大小、方向和作用点，同时也要确定结构的约束情况，以保证分析结果的准确性。
2. 确定材料参数：材料参数是有限元分析的重要输入，包括材料的弹性模量、屈服强度、断裂韧性等。
确定材料参数的准确性对于有限元分析结果的可靠性至关重要。
在进行有限元分析前，需要对所采用的材料进行充分的测试和实验，获得其材料参数，或者采用已有的标准材料参数。
3. 网格划分：有限元分析是将结构划分为有限个小单元，通过求解单元间的关系得到整体结构的应力、位移等结果。
网格划分的质量直接影响有限元分析结果的准确性和计算效率。
在进行网格划分时，需要根据结构的复杂程度、地区应力和应变的分布情况，选择合适的网格划分方法和单元类型，并保证单元尺寸和形状的合理性。
4. 理想化假设：有限元分析是建立在一系列理想化假设的基础上，例如结构是线弹性、小变形、大位移等。
这些假设在一定程度上简化了分析过程，但在具体分析时需要注意合理性。
不合理的理想化假设可能导致分析结果的不准确，因此需要对理想化假设进行合理性评估。
5. 各向异性问题：很多材料在不同方向上具有不同的性能，即各向异性。
纤维增强复合材料在纤维方向上具有较高的强度和刚度，而在横向则较低。
在进行有限元分析时，需要考虑材料的各向异性，并通过恰当的材料模型和参数来描述材料在不同方向上的性能差异。
机械设计中有限元分析的关键问题包括确定边界条件、确定材料参数、网格划分、理想化假设和各向异性问题。
通过合理解决这些问题，可以得到准确可靠的有限元分析结果，为机械设计提供有力的支持和指导。
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
机械设计中有限元分析的几个关键问题
机械设计中有限元分析的几个关键问题在机械设计中，有限元分析是一种非常重要的技术手段，它可以帮助工程师们对机械结构的性能进行彻底的分析和评估。
通过有限元分析，工程师们可以对结构的强度、刚度、稳定性等重要性能指标进行定量分析，为机械结构的设计和优化提供有力的支持。
有限元分析在实际应用中也存在着一些关键的问题，这些问题如果不加以认真思考和处理，就会影响到分析结果的准确性和可靠性。
下面我们就来探讨一下机械设计中有限元分析的几个关键问题。
1. 材料模型的选择在进行有限元分析时，材料模型的选择是一个非常重要的问题。
材料的力学性能直接影响到结构的受力情况，因此选用合适的材料模型对于分析结果的准确性至关重要。
目前常用的材料模型有线弹性模型、非线性弹性模型、本构模型等，每种模型都有其适用的范围和条件。
工程师在进行有限元分析时，需要根据结构的材料特性和受力情况选择合适的材料模型，这样才能得到准确的分析结果。
2. 网格剖分的精度在有限元分析中，网格剖分是非常重要的一步，它直接影响到分析结果的精度和可靠性。
合理的网格剖分可以有效地减小计算误差，得到更加精确的分析结果。
在实际应用中，网格剖分的精度往往受到计算资源和时间的限制，工程师们需要在计算资源和分析精度之间进行权衡。
在进行有限元分析时，工程师们需要认真考虑网格剖分的精度，并根据实际情况进行合理的选择，以确保分析结果的可靠性。
3. 边界条件的设定边界条件的设定直接影响到结构的受力情况，是有限元分析中的另一个关键问题。
在实际应用中，结构的边界条件常常是比较复杂的，不恰当的边界条件设定会导致分析结果的偏差。
在进行有限元分析时，工程师们需要准确地理解结构的边界条件，并根据实际情况进行合理的设定，这样才能得到可靠的分析结果。
4. 高效求解算法的选择有限元分析需要进行大量的数值计算，因此求解算法的选择对于分析效率和准确性都有着重要的影响。
目前常用的求解算法有直接法和迭代法两种，每种算法都有其适用的范围和条件。
有限元的发展历史和趋势
有限元的发展历史和趋势
有限元法（Finite-Element Method，以下简称FEM）是现代工程和
科学研究中一种常用的方法，它可以大大提高计算的效率，减轻计算工作，帮助计算者迅速解决复杂的数学问题。
1960年，Timoshenko和Gere在《力学原理》一书中首次提出了有限
元分析的概念，这成为有限元技术的开端。
他们认为，由许多有限尺寸的
单元组成的实体可以被视为由有限多边形尺寸的单元组成，这就被称为有
限元分析，成为20世纪70年代结构力学计算的基础。
随着计算资源的发展，解决复杂结构和场问题的能力也发生了巨大变化。
尤其是在80年代，由于计算的速度和计算量的大幅度增加，有限元
法被广泛应用于航空航天、电力、原子能、汽车等领域，扮演着越来越重
要的角色。
此外，它还用于求解许多复杂的场问题，从而获得了巨大进展。
随着信息技术的发展，芯片技术和并行计算的应用使有限元法取得了
新的发展，目前已经应用于许多领域，比如：土木工程、流体力学、医学
工程、声学、生物工程、材料科学等领域。
有限元分析在机床结构优化设计中的应用
有限元分析在机床结构优化设计中的应用有限元分析(Finite Element Analysis)是一种利用计算机模拟物理系统的工程分析方法，能够预测结构在各种外载荷下的响应情况。
在机床结构优化设计中，有限元分析是非常重要的工具。
一、机床结构优化设计的意义机床是制造业的重要设备之一，但是机床的制造成本、维护成本、能耗成本都比较高。
为了提高机床的性能和降低成本，需要进行结构设计的优化。
优化设计既可以提高机床的工作精度，优化结构，还能够减少机床重量，降低能耗成本。
二、有限元分析的基本原理有限元分析是一种模拟物理系统的方法，它可以通过将大的结构划分成小的单元，并建立数学模型来计算结构在各种外载荷下的响应情况。
基本原理如下：1、建立模型：将结构划分成小的单元，并建立数学模型。
2、施加载荷：将结构施加各种外载荷，例如重力、压力、加速度等。
3、求解模型：利用计算机数值方法求解结构在各种外载荷下的响应情况。
4、分析结果：通过分析求解结果，评估结构的性能、强度、刚度等方面。
5、优化设计：根据分析结果，对结构进行优化设计。
三、有限元分析在机床结构优化设计中的应用有限元分析可以应用于机床结构的优化设计，主要包括以下几个方面。
1、材料的选择在机床结构中，材料的选择非常重要，因为不同材料的性质不同，会影响机床的工作精度和性能。
利用有限元分析可以预测机床在各种外载荷下的响应情况，并确定材料的合适选择。
2、优化结构设计机床结构非常复杂，因此在设计过程中可能存在缺陷或者弱点。
有限元分析可以帮助设计者预测和评估机床结构在各种载荷下的响应情况，并帮助设计者确定如何优化结构设计。
3、优化布局方案机床的各种部件需要进行合理的布局，以确保机床的工作精度和性能。
有限元分析可以模拟机床在各种外载荷下的响应情况，帮助设计者确定合适的布局方案。
4、降低材料成本机床的材料成本非常高。
有限元分析可以帮助设计者确定机床结构所需的材料数量，从而降低机床的材料成本。
有限元的发展历史现状及应用前景
有限元的发展历史现状及应用前景有限元方法是一种数值计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它通过将连续介质离散成有限数量的元素，并基于一定的数学方法和力学理论，将问题转化为求解代数方程组的问题。
有限元方法在解决复杂工程问题、优化设计和预测结构性能等方面具有广泛的应用。
有限元方法的历史可以追溯到19世纪末的工程力学中。
当时，许多工程问题的解决都要依赖于解析方法，但对于复杂的几何形状和边界条件来说，解析方法无法有效地求解。
1956年，美国工程师D.R. Courtney提出了有限元方法的一般形式。
此后，有限元方法得到了快速发展，成为计算力学领域的重要工具。
有限元方法的原理是将连续介质离散成有限数量的元素，如三角形单元或四边形单元，并将元素之间的关系用数学公式表达出来。
通过构建系统方程组，根据边界条件，可以求解出未知变量的数值解。
有限元方法通过近似处理和插值方法，能够在不同的几何形状和边界条件下求解力学问题。
有限元方法的应用非常广泛。
在工程领域中，有限元方法在结构力学、热传导、流体力学等方面得到了广泛应用。
在建筑工程中，有限元方法可以用于分析建筑结构的强度和刚度，评估结构的安全性。
在航空航天领域，有限元方法可以用于分析飞机部件的应力分布和疲劳寿命，优化结构设计。
在汽车工业中，有限元方法可用于分析汽车部件的刚度和强度，提高车辆的安全性和性能。
此外，在地震工程、电力工程、化工工程等领域，有限元方法也发挥着重要的作用。
未来，有限元方法的应用前景非常广阔。
随着计算机技术和数值算法的不断发展，有限元方法的计算效率将进一步提高，可以求解更加复杂和大规模的问题。
有限元方法在模拟和解决多物理场耦合问题方面也将得到更多的应用。
例如，结构-流体耦合问题、热-结构耦合问题等。
此外，随着材料科学和生物医学工程的发展，有限元方法还将应用于材料力学、生物力学等领域。
总之，有限元方法作为一种求解力学问题的数值计算方法，在工程领域具有重要的地位和广泛的应用。
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1.1有限单元法中“离散”的含义是什么？结构离散化，即用假想的线或面，将连续体分成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点，用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。
有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？给每个单元选择适合的位移函数或称位移模式来近似的表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。
因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度的问题。
1.2单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各具有哪些性质？单元刚度矩阵：1）的物理意义：即单元节点位移向量中第j个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第i个自由度方向引起的节点力。
2）对称性。
3）奇异性：单元刚度矩阵的行列式为零整体刚度矩阵：1）整体刚度矩阵K 中每一列元素的物理意义：要迫使结构的某点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有各节点上需要施加的节点荷载。
2）对称性3）奇异性 4）稀疏性单元刚度矩阵和整体刚度系数的物理意义是什么？两者有何区别？2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？只要位移函数满足两个基本要求，即：完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。
完备性要求：包括两个条件，及刚体位移条件和常应变条件，首先，位移函数必须包含单元的刚体位移，其次，位移函数必须反映单元的常应变。
协调性要求：意味着位移的某种连续性，并有假定，单元交界面处不贡献功或能。
3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？ 1）通常单元位移函数采用多项式，其中的待定常数由节点位移参数确定，因此其个数应与单元节点自由度相等，根据实体结构的几何方程，单元的应变是位移的一次导数。
2）为满足完备性要求，位移函数中必须包含常数项和一次项，即一次完全多项式。
3）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度，若由于项数限制，而不能选取完全多项式时，也应使所选多项式具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式次数。
有时为了使位移函数保持一定阶次的完全多项式，可在单元内部配置节点，这种节点的存在将增加有限元格式和计算上的复杂性，除非不得已才加以采用。
3.3 何为面积坐标？其特点是什么？在三角形单元中，任一点p(x,y)与其3个角点相连形成3个子三角形，其位置可以用下述称为面积坐标的三个比值来确定L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A 其中A1,A2,A3分别为P23,P31,P12的面积。
特点：1）T3单元的形函数Ni 就是面积坐标Li 。
2）面积坐标与三角形在整体坐标系中的位置无关，故称为局部坐标或自然坐标。
3）三个节点的面积坐标分别分为节点1（1,0,0）节点2（0,1,0）节点3（0,0,1）形心的面积坐标为（1/3,1/3,1/3）4)单元边界方程为Li=0 （i=1,2,3） 5)在平行于23边的一条直线上，所有点都有相同的面积坐标L1（L1对应的三角形具有相同的高和底边）而且L1就等于比直线至23边的距离与节点1至23边的距离之比值。
6）面积坐标与直角坐标互为线性关系。
4.1 什么是体积坐标？四面体内任一点P(x,y,z)可用体积坐标，体积坐标定义为P点与四面体四个面围成的四个子四面体的体积与原四面体体积的比值。
即L1=V1/V L2=V2/V L3=V3/V L4=V4/V其中V1 V2 V3 V4分别是四面体P234,P341,P412的体积。
5.1 何谓等参单元？等参单元有哪些优越性？在等参单元的计算中，数值分析的阶次是否越高越好？为什么？等参单元：就是坐标变换和单元内的等变量（通常是位移函数）采用相同的节点参数的相同的差值函数进行变换而设计出的一种单元。
优越性：1）有些工程结构的形状比较复杂，如果用直边单元离散这些结构将需要大量的单元，才能得到较好的近似，而曲边的等参单元可非常方便的离散复杂结构。
2）如果在单元内多取些节点，单元便具有较多的位移自由度，从而就能够插值表示较复杂的单元内部位移场，这样也就提高了单元本身的精度。
3）等参单元刚度矩阵，荷载矩阵的计算是在规则单元域内进行的，因此，不管被积函数多么复杂都可方便的采用标准化数值分析。
在等参单元计算中，因为阶此提高，单元自由度相应增加，计算更加复杂，积分更困难数值积分的阶次并不是越高越好。
（对于N点积分，当被积函数为m次多项式且m ≤2N-1时，可得精确积分值，即对于m次多项式的被积函数，精确积分要求的积分点数N≥（m+1）/2由于单元内部的应力和应变不是常量，故N会少于精确积分所需数目。
5.6 何谓位移的零能模式？在什么条件下会发生零能模式？对于某种非刚体位移模式，减缩积分时高斯点上的应变正好等于零，此时的应变能当然也为零，这种非刚体位移模式称为零能模式。
在采用减缩积分时会发生零能模式。
6.2 有哪几种梁的弯曲理论？答：4种工程梁理论剪切梁理论通用梁理论空间梁理论6.5 工程梁、剪切梁的基本假设？答：（1）工程梁的基本假定: 1平截面假设:认为梁的横截面变形后仍为平面，且垂直于变形后的中性轴，该假设意味着横向剪切应变xy0γ=,2 横向纤维无挤压假设：认为梁的横向纤维无挤压y0ε= (2) 剪切梁的基本假设1 假设横向纤维无挤压 2 认为法平面变形后仍为平面，但不在垂直于变形后的中性轴6.6 在结构有限元分析中，考虑剪切影响的两种情况？答：可在工程梁单元的基础上考虑剪切变形的影响；也可以通过挠度和转角各自独立插值直接构造剪切梁单元。
6.7 何谓剪切闭锁现象？如何避免剪切闭锁?答：当梁的高度与梁的长度之比 t/l 趋于零时避免方法：减缩积分方案假设剪应变法7.1在薄板弯曲理论中做了哪些假定？1板厚度方向的挤压变形可忽略不计，即εz=0。
2 在板弯曲变形中，中面法线保持为直线且仍为弹性曲面（挠度曲面）的法线 3 薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移：(u)z=0 =(v)z=0 =07.2 薄板单元和厚板单元的基本假定有什么不同？各自是怎样选择节点位移参数的？答：不同点：薄板单元假设横向纤维无挤压，板的中面法线变形后仍保持为直线，该直线垂直于变形后的中面，但是厚板单元的假设考虑横向变形的影响，板的中面法线变形后仍基本保持为直线，但该直线不再垂直于变形后的中面，法线绕坐标的转角不再是挠度的导数，而是独立的变量。
7.3 厚板的基本假定？答：中厚板理论认为板的中面法线变形后仍基本保持为直线，但是因横向变形的缘故，该直线不再垂直与变形后的中面，因此，法线绕坐标轴的转角θx,θy 不再是挠度的导数，而是独立的变量，此外，对于中厚板弯曲问题，中面内的线位移和板厚度方向的挤压变形可以忽略7.4 什么是DKT单元？离散Kirchhoff理论的基本思想是在若干离散点上满足Kirchhoff直法线假设。
基于这种理论构造薄板单元时，ωθxθy也各自独立插值，然后在若干离散点上引入直法线假设。
7.4通用板单元的剪切闭锁现象和零能模式Cº型两单元相似，当板逐渐变薄时，Gauss点处的横向剪切应变太大，而板的弯曲变形则远小于实际变形；当板的厚趋于零时，挠度趋于零，即出现剪切闭锁现象。
(问题的根源与等参梁单元相似，即当板较厚时，挠度和转角是相互独立的变量，故可分别独立插值；而当板很薄时，转角为挠度的导数而不再是独立的，分别独立插值自然会出问题。
为了避免剪切闭锁现象，可采用减缩积分方案。
但是有时减缩积分可能造成零能模式，即采用非刚体位移模式时系统的变形能为零。
8.1 薄壳理论有哪些假设？与薄壳理论的假设有何异同？厚壳分析中引入了何种假定？与厚板理论的假定有何异同？答：三种假设：1理论假设:薄壳发生微小变形时，也可以忽略沿壳体厚度方向的挤压变形,且认为直线法假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线。
壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将发生面内伸缩变形。
2 折板假设 , 将壳体划分为有限个单元，他们都是曲面单元。
但是，当网格足够小时，壳块将足够扁平，可近似的视为平板单元，它们拼成的拆板体系可近似代替原来的光滑壳体结构；。
3 非耦合假设, 壳体承受弯矩和面内力，而且它们将引起互相关联的变形，即耦合作用。
但在小变形情况下，就单元而言，可以认为横向弯曲与面内位移互不相关。
与薄板理论假设的相同点：直法线假设和法向（板厚度方向）的纤维无挤压假设均成立。
不同点：薄板中面只发生弯曲变形，没有面内的伸缩变形，即中面水平位移为零，而壳体变形时中面不但发生弯曲，而且也将产生面内伸缩变形。
厚壳分析的假设：厚壳结构变形前的中曲面法线变形后仍基本保持为直线，但因为横向剪切变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中曲面，此外，壳体厚度方向的挤压变形也可以忽略。
与厚板理论假定的相同点：中面法线变形后仍基本保持为直线，但因横向剪切变形的缘故，该直线不再垂直于变形后的中曲线，厚度方向的挤压变形忽略不计。
不同点：厚板理论假设中，中面内的线位移可以忽略不计，而厚壳理论的假设中，中面内的位移不可忽略。
并且厚壳的位移场可用中面位移表示。
8.2 何谓平板型壳单元？在分析这种单元时都做了哪些假设？应用平板型壳单元可能会出现什么问题，如何解决？答：（1）将壳体划分为有限个单元，它们都是曲面单元。
但是当网格足够小时，壳块将足够扁平，可近似地视为平板单元，它们拼成的折板体系可近似代替原来的光滑壳体结构，每个足够小的网格就称为平板型壳单元。
（2）假设: 1 理论假设：薄壳发生微小的变形时，也可以忽略沿壳体厚度方向的挤压变形，且认为直法线假设成立，即变形后中面法线保持为直线且仍为中面的法线 2 折板假设 3 非耦合假设。
（3）可能出现的问题及解决办法：1 单元共面问题：整体刚度矩阵的行列式|K|=0 2 虚拟旋转刚度：为排除|K|=0而无法求解的困难，可以再局部坐标系内建立上述特别节点的平衡方程，并删去θz 方向的平衡方程 0=0 ，另采用在这些特殊节点上给以任意的虚拟刚度系数kθzθz 这样局部坐标系中θz 方向的平衡方程为: kθzθzθzi=0经坐标变换后整体坐标系中的该节点平衡方程将满足有唯一解得条件 3 新型平面膜元：采用虚拟旋转刚度，需要判断是否有单元共面，故增加了偏程的复杂性，在平面膜元角点上增加旋转自由度θz 使其有对应的刚度。
8.3 面内变形与弯曲变形之间非耦合的假定是针对什么提出的？试说明单元组装时，面内效应与弯曲效应两者的耦合将会出现答：面内变形与弯曲变形之间非耦合的假设是针对局部坐标系下的单元提出的。
9.1 减少问题自由度的措施有哪些？各自的基本概念如何？答：恰当地利用结构的对称性，采用子结构技术,并行算法等，可以使求解方程组的自由度数大为降低。