三角函数中给值求值专题训练
三角函数精题最值问题及练习题
1三角函数最值问题的几种常见解法一 配方法 例1 函数3sin 3cos 2+--=x x y 的最小值为及y=4cos 5sin 2-+x 的最小值和最大值例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 二 引入辅助角法 例3已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
三 利用三角函数的有界性 例4求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域 函数 y=3cos 4cos 2++x x例5 （2003年高考题）已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值。
四 引入参数法（换元法）例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。
练习 求函数的最值。
五 利用基本不等式法 和利用均值不等式求解的最值 例7（1）函数的最值；（2） 求函数的最值。
（3）求函数xxy 22cos4sin1+=的最值。
六 利用函数在区间内的单调性 例8 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
七 数形结合 例9 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值。
八 判别式法 例10 求函数xx x x y tan sectan sec 22+-=的最值。
2九 分类讨论法 例 11 设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a).三角函数 最值1设M 和m 分别表示函数1cos 31-=x y 的最大值和最小值，则M+m等于（ ）（A ）32（B ）32-（C ） 34-（D ）-2（2003北京春季）2、函数f(x)=2sin 1sin 3+-x x 的最大值是，最小值是3 求函数f(θ)=2cos 1--θθSin 的最大值与最小值是什么？（两种方法解答）4求函数278cos 2[,]63sin y x x x ππ=--∈-，的值域5、(2000年高考)已知：212cos 12siny x x x x R =+⋅+∈，，求y 的最大值及此时x 的集合． ．6、（90年高考）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值．37：已知[]πθ,0∈,f （θ）=sin(cos θ)的最大值为a,最小值为b ，g(θ)=cos(sin θ)的最大值为c,最小值为d,则a,b,c,d 的大小顺序为 。
九年级数学30°、45°、60°的三角函数值-计算专题练习(含答案)
（2）
2
1
2
sin
45
1 2
1
3
8
．
18．计算：
（1）tan30°sin60°+cos230°﹣sin245°tan45° （2） 4 ﹣（π﹣2016）0+| 3 ﹣2|+2sin60°．
19．计算：
2 cos 300 2sin 450 3 tan 600 |1 2 |
3 解：原式= (1 )2 3
2 2 3 1 2
3 =1 3
4 3 1
=1
3 ( 3 1) 3
4 ( 3 1)( 3 1)
=1 3 3 46
=2 33. 12
【点睛】 本题考查特殊角的三角函数值和二次根式的化简.熟记特殊角的三角函数值是解决此题的关键，其 次一定要对二次根式进行化简.
∵ sin45 2 , cos30 3 ,tan60 3
2
2
∴原式= 2 2 2 3 3 3 4 3 22
故答案为 4 3
【点睛】 本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。
2． 2 2
【解析】 【分析】
根据特殊角度的三角函数值 sin 45 2 ， cos 60 1 ， tan 60 3 ，代入数据计算即可.
20．计算下列各题
（1） 2 sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .
（2）
2
tan
60
－(
－3.14)0+(-
1 2
)-2+
1 2
12 +tan27°tan63° .
专题训练--三角函数给值求值
任意角三角函数定义1.(2019北京海淀)角θ终边经过点P(4,y),且sin θ=-35,则tan θ=( )2.(2019北京西城)已知角α的终边经过点(-3,4),则tan α= ;cos(α+π)= .3.(2020届北京四中)若角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边经过点P(-√2,1),则cos 2α=( )4.[2019四川攀枝花]已知角θ=8π3,且角θ的终边经过点P (x ,2√3),则x 的值为( )5.(2020届北京东直门中学期中,4)以角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角θ的终边过点P(2,4),则tan (θ+π4)=( ) A.-13 B.-3 C.13 D.36.(2018课标全国Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=23,则|a-b|=( )7.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13,则sin β= .8.(2020届北京海淀)如图,角α以Ox 为始边,它的终边与单位圆O相交于点P ,且点P 的横坐标为35,则sin (π2+α)的值为( ) A.-35 B.35 C.-45 D.459.(2019北京东城二模)如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,终边分别是射线OA 和射线OB.射线OA,OC 与单位圆的交点分别为A (35,45),C(-1,0).若∠BOC=π6,则cos(β-α)的值是( )A.3−4√310B.3+4√310C.4−3√310D.4+3√31010.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (-35,-45). (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=513,求cos β的值.同角三角函数关系与诱导公式（给值求值）考向一 直接应用1.(2019北京丰台)已知α∈(π2,3π2),且tan α=√2,那么sin α=( )2.(2020北京牛栏山)已知tan α= -2,且α为第二象限角,则sin α= ; cos α= .3.求下列各三角函数式的值：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)＝ . (2)cos(－120°)sin(－150°)＋tan 855°. 4.(2019课标全国∈)tan 255°=( )A.-2-√3B.-2+√3C.2-√3D.2+√3考向二 先化简再求值1.(2018广东惠州模拟)已知tan α= 12,且α∈(π,3π2),则cos (α-π2)= . 2．已知tanα=3，则cos (π2−2α)=3.[2019河南郑州] 已知cos(2019π2+α)=12,α∈(π2,π),则cos α = .4．已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝ .5．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝ .6.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ .7.向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∈b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ． 8.已知cos α＝15，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αtan (α＋π)cos (－α)tan α的值为 ．考向三 关于sin α与 cos α的齐次分式的求值（构造tanθ）1．设tan α＝3，则sin (α－π)＋cos (π－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝ .2．若sin(π−θ)+cos(θ-2π)sinθ+cos(π+θ)= 12,则tan θ=( )3.[2016全国卷∈] 若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( ) A.6425 B.4825 C.1 D.16254.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.5．已知sin(θ-3π)＝2cos(θ-π)，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________．两角和与差及二倍角公式（给值求值）考向一 公式的正用1.已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin2x ＝( )A ．－154 B ．±158 C ．－158 D.1582．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α＝ .3．已知α是第三象限角求的值． 4.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a的值为( )A.5B.-5C.51D.51-5.(2022·枣庄模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则cos ⎝⎛⎭⎫2α－4π3等于( ) A ．－59 B.59 C ．－13 D.136. 已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝ .tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ . 7. 设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则sin(α－β)＝ . 8. 在锐角∈ABC 中，已知sinA=53,cosB=135，求cosC 的值. 9．(2021·全国甲卷)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan 2α＝cos α2－sin α，则tan α等于( ) A.1515 B.55 C.53 D.15310．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.5911．(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin β，则( ) A ．tan(α－β)＝1 B ．tan(α＋β)＝1 C ．tan(α－β)＝－1 D ．tan(α＋β)＝－112．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1―→|＝|OP 2―→|B ．|AP 1―→|＝|AP 2―→| C.OA →·OP 3―→＝OP 1―→·OP 2―→ D.OA →·OP 1―→＝OP 2―→·OP 3―→考向二 公式的逆用与变用1tan 2,3α=tan α1.计算：（1）sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° （2）cos20°cos10°– sin160°sin10°(3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)1tan151tan15︒︒+-2.化简下列各式：（1）3sinx+cosx; （2）2cosx -6sinx.（3）f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 （4） f (x )＝2sin x ＋2cos(x －π)． (5) （6）f (x )＝－2 3sin 2x ＋sin2x ＋ 3.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba . φ所在象限由点（a ，b ）确定.考向三 凑角1.已知cos α＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tan β的值为 ． 2．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则tan2β＝ _________． 3.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 ． 4.(2019广东惠州模拟)已知sin (α+π3)= 1213,则cos (π6-α)= .. .7.已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋712π＝ . 8.已知π1sin 43α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ . 9.已知cos(α－75°)＝13-，且α为第四象限角，则sin(105°＋α)＝ .10.已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=31245cos()sin(),cos 2=24135ππβααβαββ<<<-=+=-、已知，，则546cos()cos sin =135αββαβα+==、已知，，，均为锐角，则考向四 sinα与cosα的和差式与积式的互化（两边平方，平方再开根号）1．(2022·南京师大附中模拟)已知sin x ＋cos x ＝－15，α为第二象限角，则cos 2x 等于( )A ．－2425 B.725 C ．－725D ．±7252.[2017全国卷∈]已知sin α - cos α=43,则sin 2α=( ) 3.已知12sin cos ,(,0)254πααα⋅=-∈-则sin cos αα+＝ ，sin cos αα- . 4．已知cos(α+π4)=13，则sin2α=__________．5.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .6.已知1sin cos ,(0,)2αααπ+=∈，试求下列各式的值： （1）sin cos αα⋅ （2）sin cos αα- （3）44sin cos αα+ （4）33sin cos αα-。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
三角函数的求值
第36课 三角函数的求值●考试目标 主词填空1.给角求值给角求值的要领是灵活选用有关公式，以便消去非特殊角的三角函数，从而化为特殊角的三角函数.2.给值求值给值求值的要领是找出已知式与欲求式之间的角，运算及函数的差异，一般可以适当变化已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.3.给值求角给值求角的要领是先求出该角的某一三角函数式的值，然后判断该角在对应区间的单调性，最后求角.●题型示例 点津归纳【例1】 求下列各式的值. (1)tan20°+4sin20°; (2)︒∙︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ;(3)4cos 235°－cos170°－tan160°·sin170°. 【解前点津】 (1)化切为弦，通分合并; (2)∵15°－8°=7°,故应“积化和式”; (3)降次，并化切为弦.【规范解答】 (1)tan20°+4sin20°＝︒︒+︒=︒︒∙︒+︒20cos 40sin 220sin 20cos 20cos 20sin 420sin ＝︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒+︒+︒20cos 40sin 80sin 20cos 40sin 10cos 30sin 220cos 40sin )40sin 20(sin ＝320cos 20cos 60sin 2=︒︒︒.(2)原式=3215tan 8cos 15cos 28cos 15sin 27cos 23cos 7sin 23sin )7cos 23(cos 217cos )7sin 23(sin 217sin -=︒=︒︒︒︒=︒+︒︒+︒=︒-︒+︒︒-︒+︒. (3)原式=2(1+cos70°)+cos10°+tan20°·sin10°=2+2cos70°+︒︒︒+︒∙︒20cos 10sin 20sin 20cos 10cos=2+2cos70°+︒︒+︒∙︒+=︒︒-︒20cos 10cos 20cos 70cos 2220cos )1020cos(=2+3220cos 20cos 30cos 2220cos 10cos 15cos +=︒︒︒+=︒︒+︒.【解后归纳】 此类问题属于“给角求值”，先从不同的视角观察对象，一看名称，二看运算结构.两角和与差是否产生“特殊角”，或产生可消除的非特殊角，这是选用公式的“着眼点”.【例2】 (1)已知cos(α+β)=－31,cos2α=－135,α、β都是钝角，求sin(α－β)之值. (2)已知cos 20,2,322sin ,912πβπαπβαβα<<<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-且,求cos(α+β)的值.【解前点津】 所求函数中的角与已知函数中的角，其运算结构不同，所以要作角的变形，使形式统一，在(1)中，作α－β=2α－(α+β),在(2)中,作⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβα222.【规范解答】 (1)∵2π<α<π,2π<β<π,∴π<α+β<2π,π<2α<2π.∵cos(α+β)=－31<0,cos2α=－135-<0,∴α+β,2α都在⎪⎭⎫⎝⎛23,ππ内.于是:sin(α+β)=－3223112-=⎪⎭⎫⎝⎛--,∴sin(α－β)=sin ［2α－(α+β)］=sin2α·cos(α+β)－cos2α·sin(α+β)=3921012322135311312-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. (2)∵2π<α<π,0<β<2π,∴4π<α－2β<π,－224πβαπ<-<,∴9549112sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα.cos 3532122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βα∴cos⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+βαβαβαβαβαβαβα2sin 2sin 2cos 2cos 22cos 2=2757329543591=⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-.∴cos(α+β)=2cos 2729239127572122-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+βα. 【解后归纳】 此类问题属于“给值求值”，从考察条件与结论式子的差异入手，确定变形目标，是变名还是变角，此题就是着眼于角度变形的问题.【例3】 已知:tan(α－β)=21,tan β=－71,且α、β∈(0,π),求2α－β之值. 【解前点津】 此类问题属于“给值求角”，因条件等式是“正切形式”，故应考虑计算tan(2α－β)的值.【规范解答】 tan α=tan ［(α－β)+β］=31tan )tan(1tan )tan(=∙--+-ββαββα.又α∈(0,π),∴α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,而tan β=－71<0,0<β<π,∴2π<β<π,∴－π<α－β<－2π,∴2α－β=α+(α－β)∈(－π,0),从而由tan(2α－β)=tan ［α+(α－β)］=1)tan(tan 1)tan(tan =-∙--+αβαβαα得2α－β=－43π.【解后归纳】 对(2α－β)的取值范围,估算要精确，范围过大，容易产生错误，只有对条件进行深入“挖掘”，才能准确推导角度的取值范围.【例4】 是否存在锐角α和β,使得:(1)α+(2β)=32π; (2)tan2α·tan β=2－3同时成立?若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.【解前点津】 由(1)可作角度形:2α+β=3π,两边取正切，与(2)联立，则可求出tan2α+tan β之值，联系一元二次方程根与系数关系，可看结论是否成立.【规范解答】 由(1)得:2α+β=3π,∴tan 3tan 2tan 1tan 2tan2=∙-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+βαβαβα， 将(2)代入上式得:tan2α+tan β=3－3,∴tan2α,tan β是一元二次方程;x 2－(3－3)x +(2－3)=0的两根，解之:x 1=1,x 2=2－3, 若tan 2α=1,但0<2α<4π,故此时α值不存在.若tan 2α=2－3,则tan β=1,∵0<β<2α,∴β=4π代入(1)得:α=6π.故存在锐角α=6π,β=4π,使(1)(2)同时成立.【解后归纳】 此类问题，常从“假设”存在入手，解后还须检验.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若0<α<π,则αsin 10,lgsin α,sin 10α三个数之间的大小顺序是 ( ) A.sin 10α<αsin 10<lgsin α B.lgsin α<sin 10α<αsin 10C. αsin 10<lgsin α<sin 10αD.lgsin α<αsin 10<sin 10α2.若θ是锐角，且sin θ－cos θ=21,则sin 3θ+cos 3θ的值是 ( ) A.1675 B.167 C.811 D.873.设M =[][]⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥πθθθπθθθ,0,21cos |,,0,21sin |N ,则M ∩N ( )A.MB.NC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ4.函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx －3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 6π的值域是 ( )A.［－5,5］B.[]37,37- C.［－1,37］ D.［－7,1］5.若f (tan x )=sin2x ,则f (－1)的值是 ( ) A.－sin2 B.－1 C.21D.1 6.已知cos α=21-,sin β=－23,α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2⎪⎭⎫⎝⎛∈ππβ2,23,则sin(α+β)的值为 ( ) A.23 B.－1 C.－23 D.－217.已知tan A ·tan B =1,则sin A ·sin B 的最大值是 ( )A.－43B.41C.21D.18.式子(1+tan21°)·(1+tan22°)·(1+tan23°)·(1+tan24°)的值是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.169.在①cos40°+3·sin40°=2cos20°,②1+2cos20°=4cos20°cos40°,③︒+︒40cos 140sin =c o t 70°,④︒+︒-40tan 140tan 1=tan20°这四个式子中，成立的个数是 ( )A.1B.2C.3D.4 10.已知等腰三角形顶角的正弦为2524,则底角的余弦是 ( ) A.54 B.－53 C. 54或53 D.－54或－53 二、思维激活11.已知tan35°=a (a ≠0),则︒-︒20sin 120cos = .12.︒︒-︒70sin )20sin 80sin 2(= .13.︒+︒50cos 350sin 1的值为 .14.x =sin50°+cos50°,y =sin70°+cos70°,则x ,y 间的大小关系是 . 三、能力提高 15.已知tan x =2,tan y =31,求tan ［2(x +y )］的值. 16.设－6π≤x ≤4π,求y =l og 2(1+sin x )+l og 2(1－sin x )的最大值与最小值.17.已知1+cos α－sin β+sin αsin β=0,1－cos α－cos β+sin αcos β=0,求sin α的值.18.已知:tan α=1,sin(2α+β)=3sin β,求tan(α+β)的值.第7课 三角函数的求值习题解答1.B 取α=2π则αsin 10=10,sin 10α=1,lgsin α=0.故选B.2.A 由条件:1－2sin θcos θ=⇒41sin θcos θ=83.故sin 3θ+cos 3θ=(sin θ+cos θ)［sin 2θ－sin θ·cos θ+cos2θ］=(sin θ+cos θ)·85831=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-(sin θ+cos θ)=⎪⎭⎫⎝⎛+θcos 22185.又∵θ为锐角.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-83cos sin 21cos sin θθθθ中消去sinθ167541722185417cos 83cos cos 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=-=⇒=∙⎪⎭⎫⎝⎛+故原式θθθ. 3.D 化简得:M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6.N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,3，故M ∩N =⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,3.4.B f (x )=4⎪⎭⎫ ⎝⎛∙-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin cos 6cos sin 36sin cos 6cos sin ππππx x x x=7sin x ·23－cos x ·21,又∵2221237⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=37)(3737≤≤-x f 故. 5.B 令tan x =－1,则sin2x =1)1(1)1(2tan 1tan 222-=-+-=+x x. 6.A ∵cos α=21,∴sin α=23,∵sin β=－23,β∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ2,23, ∴cos β=21故sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β=2323212123=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯. 7.C ∵tan A ·tan B =1,∴sin A ·sin B =cos A ·cos B ⇒cos(A +B )=0, ∴A +B =2k π+2π(k ∈Z ),于是:sin A ·sin =－21［cos(A +B )－cos(A －B )］=21cos(A －B )≤21. 8.B ∵tan(24°+21°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ,∴tan21°+tan24°+tan21°tan24°=1⇒(tan21°+1)·(1+ tan24°)=2,同理可得(1+tan22°)·(1+tan23°)=2,故原式=4. 9.C 逐一检验知，不成立.10.C 设底角为α,顶角为(π－2α),∵sin(π－2α)=sin2α=2524, ∴2sin αcos α=25242512cos 1cos 2=-∙⇒αα解之.cos α=53或54. 11.a135tan 170cos 170sin 20sin 120cos =︒=︒-︒=︒-︒.12.原式=［(sin80°－sin20°)+sin80°］÷sin10°=︒︒+︒︒70sin 80sin 30sin 50cos 2=320cos 20cos 370sin 20cos 60sin 270sin )40sin 80(sin =︒︒=︒︒∙︒=︒︒+︒. 13.原式=︒︒+∙︒=︒︒+︒100sin )50cos 212350(sin 4100sin 21)50cos 50sin 3( =480sin )3050sin(4100sin )30sin 50cos 30cos 50(sin 4=︒︒+︒=︒︒∙︒+︒︒.14.∵x >0,y >0,且x 2－y 2=(sin50°+cos50°)2－(sin20°+cos20°)2 =2(sin50°cos50°－sin20°cos20°)=sin(50°×2)－sin(20°×2) =sin80°－sin40°>0,∴x >y .15.∵tan2x =4391132)tan 1(tan 22tan ,34414tan 1tan 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-y y y x x , ∴tan[2(x +y )]=24724169121244334334143342tan 2tan 12tan 2tan -=-=+⨯-⨯=⎪⎭⎫⎝⎛∙⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∙-+y x y x .16.y =log 2(1－sin2x )=2log 2|cos x |=2log 2cos x ,∵－6π≤x ≤4π,∴22≤cos x ≤1,∴－1≤y ≤0即最小值是－1,最大值是0. 17.由条件得:sin α－1≠0且sin β=ααsin 1cos 1-+,1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1s i n 1c o s 1c o s 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=ααααααβ故.化简得:3sin 2α－2sin α－3=0,解之:sin α=)101(31-. 18.∵sin ［(α+β)+α］=3sin ［(α+β)－α］,∴sin(α+β)·cos α+cos(α+β)·sin α =3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)·sin α4cos(α+β)·sin α =2sin(α+β)·cos α, ∴tan(α+β)=2tan α=2.。
《高考真题》专题07 三角函数求值-2019年高考文数母题题源系列全国Ⅰ专版(原卷版)
专题07 三角函数求值【母题来源一】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°= A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+ 故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -= A ．15 BC．5D ．1【答案】B【解析】根据条件，可知,,O A B 三点共线，从而得到2b a =，因为222cos22cos 1213⎛⎫=-=⋅-=αα，解得215a =，即5a =，所以25a b a a -=-=， 故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【母题来源三】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知π(0)2∈，α，tan α=2，则πcos ()4α-= .【答案】10【解析】由tan 2α=得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=，因为π(0,)2α∈，所以cos αα==， 因为πππcos()cos cossin sin 444ααα-=+，所以πcos()4525210α-=+⨯=. 【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异． ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．【命题意图】通过考查三角恒等变换公式等相关知识，考查转化思想和运算求解能力. 【命题规律】一般在选择题或填空题中进行考查，分值5分，主要从公式的变用、逆用以及角度的关系等角度，考查方程思想和运算求解能力.【答题模板】已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．【方法总结】1.深层次领悟公式的功能、规律与内涵对三角公式，知其结构特征仅是第一层面要求，重要的是要知晓公式的功能及揭示的规律与内涵.如1±sin2α＝(sinα±cosα)2有并项的功能，cos2α＝cos2α－sin2α有升幂的功能，sin2α＝2sinαcosα有将角由大化小的功能，两角和与差的正切公式，揭示的是同名不同角的正切函数的关系等．2.余弦的差角公式是本节公式之源，掌握其证明过程以及和差倍半公式的推演方法是很必要的．3.三角恒等证明分有条件的恒等证明和无条件的恒等证明．对于有条件的恒等证明，需要注意的问题有二：一是仔细观察等式两边结构上的联系与差异，探寻消除差异(函数的差异、角的差异)的方法；二是充分利用条件，特别是将条件变形整理后使用．4.熟知一些恒等变换的技巧（1）公式的正用、逆用及变形用．（2）熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，3α是23α的半角，2α是4α的倍角等．（3）在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，尤其要重视常数“1”的各种变形，例如：1＝πtan4，1＝sin2α＋cos2α等．（4）在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时，常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法，达到由不统一转化到统一，消除差异的目的．总之，三角恒等变换说到底就是“四变”，即变角、变名、变式、变幂．通过对角的分拆，达到使角相同；通过转换函数，达到同名(最好使式中只含一个函数名)；通过对式子变形，达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化)；通过幂的升降，达到幂的统一．1．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学】A ．2- B ．2C ．12-D ．122．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学】已知π3sin 245x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4x 的值为 A ．1825 B ．1825± C ．725D ．725±3．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】已知ππsin 3cos 36αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2α=A ．-B ．2-C ．D ．24．【山东省潍坊市2019届高三高考模拟（4月二模）考试】若4tan 3α=，则cos 22απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425- B ．725- C ．725D ．24255．【安徽省1号卷A10联盟2019()πcos π2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=A ．7B ．3CD6．【江西省抚州市临川第一中学2019届高三下学期考前模拟考试】已知平面直角坐标系下，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2425 B ．2425- C ．2425或2425-D ．7257．【湖北省2019届高三4cos 2x x +=，则πcos 3x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12BC ．3D ．348．【安徽省皖南八校2019届高三第三次联考数学】若3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则s i n()αβ-=A ．3B ．2C ．13D ．129．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试数学】tan 20sin 20︒=︒A ．1B ．2C ．3D ．410．【湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学】若角α满足sin 51cos αα=-，则1cos sin αα+=A ．15B ．52C ．5或15D ．511．【山西省2019届高三百日冲刺考试数学】已知sin10cos102cos140m +=，则m =__________． 12．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷）】已知 为锐角，且，则 __________.13．【江西省景德镇市2019届高三第二次质检】公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒.若2m n +=4=___________.14．【河南省名校-鹤壁高中2019届高三压轴第二次考试数学】平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 是单位圆在第一象限内的点， xOP α∠=，若π11cos 133α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则00x y +=__________．。
三角函数中给值求值专题训练
三角函数中给值求值专题训练（2009-2011）7.（2009北京文）“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A8.（2009北京理）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当时，，反之，当时，有，或，故应选A.【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.11.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则(A) (B) (C) (D)答案：D解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A和B，再由选D23.（2009辽宁卷文）已知，则（A）（B）（C）（D）【解析】＝＝【答案】D【答案】A26.（2009宁夏海南卷理）有四个关于三角函数的命题：：x R, +=: x、y R, sin(x-y)=sinx-siny: x,=sinx : sinx=cosy x+y=其中假命题的是（A），（B），（3），（4），解析：：x R, +=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；是真命题，x,=sinx；是假命题，。
选A.27.（2009全国卷Ⅰ文）的值为(A) (B) (C) (D)【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
解：，故选择A。
7.（全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45-（B ）35-（C ） 35 （D ）4511.（辽宁理7）设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79-（B ）19-（C ）19（D ）7912.（福建理3）若tan α=3，则2sin 2cos a α的值等于A ．2B ．3C ．4D ．622.（全国大纲理14）已知a ∈（2π，π），，则tan2α=24.（江苏7）已知,24tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________19.（重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________28.（2009全国卷Ⅰ文）已知tan =4,cot =,则tan(a+)=(A) (B) (C) (D)【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。
三角函数“给值求值”的求解策略
Ｓｎ 十ｎ Ｊ十 牟ｔ 口』 口 ａ
一
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２ 亏 （ 一
１ 一百 ＋（ ２）
ｃ ｚ 。ｓ ｎ一
１ ２
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口＋ ， ） ：（＋÷） 一÷ 等． 视题 目要求 ， 有时化
‘ ｆ
Ｓ 十Ｓ＝十ｎ ≤ｎ 异ｔａ Ｉ Ｃａ１ ｎ ａ Ｏ
一
单 角 为 复 角 ， 时化 复 角 为单 角． 有
４ 切 弦 互 化 ， 异 为 同 ． 变
１（号 一一
１ （ ２） ＋ 一
・
５
切 弦 互化 就 是 正 切 、 切 与 正 切 、 弦 之 间 的 余 余 互 相 转化 ， 常用 的是 “ 化 弦 ” 但 有 时候 如 果 所 最 切 ， 求 式 子 的分 子 、 母 都 是 关 于 正 弦 ， 弦 的 一 次 或 分 余 二 次 齐次 式 时 我们 也可 采 用 用 “ 化 切 ”两 种 变 名 弦 ． 的 目的都 是 使 函数 名称 “ 多为 少 ”“ 异为 同” 化 ，化 ．
・ ． ．
ｃ ２ ＝ Ｃ － ｓ ｎ 一 ——ｚ ｓ ｎ ２ 。ｓ ０ ＯＳ ０－ ｉ ａ ｃｓ０ ｏ － ｉ
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＿
Ｉ ￣ 答 题 键 之 ，察到 手 ｉ ｌ解 本 关 点 一 观 （ ｇ ＋ｎ （ ２ 一 然 利 诱 公 进 ２ ＋手一ｎ 号，后 用 导 式 行 ） ）
化简． 如果 没 有 利 用 诱 导 公 式 结 合 ２倍 角 公 式 求 出 ｎ 运 算 过 程 会 变得 复 杂 ． 此 化 简 时 要 特 别 注 ， 因 意 观 察 角 之 间 的特 殊 关 系 ， 能 否 利 用 诱 导 公 式 ． 看
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ｃｓａ ｏＥａ ） （ －ｐ ］ ｏ （ ＋ ｐ ｏＺ —ｃｓ （ ＋ｐ ＋ Ⅱ ） 一ｃｓ ａ ）
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三角函数中给值求值专题训练（2009-2011）
7.（2009北京文）“”是“”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
8.（2009北京理）“”是“”的
（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.
当时，，
反之，当时，有，
或，故应选A.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析
式的基本知识和基本技能,学会公式的变形.
11.（2009全国卷Ⅱ文）已知△ABC中，，则
(A) (B) (C) (D)
答案：D
解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=知A为钝角，cosA<0排除A
和B，再由选D
23.（2009辽宁卷文）已知，则
（A）（B）（C）（D）
【解析】
＝＝
【答案】D
【答案】A
26.（2009宁夏海南卷理）有四个关于三角函数的命题：
：x R, +=: x、y R, sin(x-y)=sinx-siny
: x,=sinx : sinx=cosy x+y=
其中假命题的是
（A），（B），（3），（4），
解析：：x R, +=是假命题；是真命题，如x=y=0时成立；
是真命题，x,=sinx；
是假命题，。
选A.
27.（2009全国卷Ⅰ文）的值为
(A) (B) (C) (D)
【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。
解：，故选择A。
7.（全国新课标理5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线
2y x =上，则cos 2θ=
（A ）
45-
（B ）35-
（C ） 35 （D ）4
5
11.（辽宁理7）设sin 1+=
4
3πθ（），则sin 2θ=（A ）7
9-
（B ）19-
（C ）1
9
（D ）7
9
12.（福建理3）若tan α=3，则2
sin 2cos a α的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
22.（全国大纲理14）已知a ∈（2π
，π），
，则tan2α=
24.（江苏7）已知
,
24tan(=+
π
x 则x x
2tan tan 的值为__________
19.（重庆理14）已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则
cos 2sin 4πα
⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________
28.（2009全国卷Ⅰ文）已知tan
=4,cot
=
,则tan(a+)=
(A)
(B)
(C) (D)
【解析】本小题考查同角三角函数间的关系、正切的和角公式，基础题。
解：由题，
，故选择B 。
29.（2009陕西卷文）若
,则
的值为
（A）0 (B) (C)1 (D)
答案：B.
解析: 利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得,
故选B.
31.（2009湖北卷文）“sin=”是“”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得，故成立的充分不必要条件，故选A.。
36.（2009重庆卷文）下列关系式中正确的是（）
A． B．
C．D．
【答案】C
解析因为，由于正弦
函数在区间上为递增函数，因此，即。
二、填空题
1.（2009北京文）若，则 .
【答案】
【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.
由已知，在第三象限，∴
，∴应填.
2.（2009江苏卷）函数（为常数，
）在闭区间上的图象如图所示，则= .【解析】考查三角函数的周期知识。
，，所以，
8.（2009年上海卷理）在极坐标系中，由三条直线，，
围成图形的面积是________.
【答案】
【解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A（，），B（1,0），三角形AOB的面积为：＝
7.（2009江苏卷）（本小题满分14分）
设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.
【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。
满分14分。
11.（2009广东卷理）(本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）若，求的值．
解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入
得，又，∴
.
（2）∵，，∴，则
，∴
.
19.（2009湖南卷文）（每小题满分12分）
已知向量
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若求的值。
解：（Ⅰ）因为，所以
于是，故
（Ⅱ）由知，
所以
从而，即，于是.又由知，，
所以，或.
因此，或。