第3章 离散傅立叶变换

第3章 离散傅立叶变换3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT 的定义设()x n 是一个长度为M 的有限长序列， 则定义()x n 的N 点离散傅里叶变换为10()[()](), k=0, 1, , N-1 N knN n X k DFT x n x n W -===∑()X k 的离散傅里叶逆变换为101()[()](), k=0, 1, , N-1 N kn N n X k DFT x n X n W N --===∑2jk k NNW eπ=，称为旋转因子，N 称为DFT 变换区间的长度，N ≥M例 4()()x n R n =，求()x n 的8点和16点DFT设变换区间N=8， 则2738838()()sin()2,0,1,,7sin()8jkn kn n N j k X k x n Wek ek k ππππ-==-====⋅⋅⋅∑∑ 设变换区间N=16， 则273880038()()sin()4,0,1,,15sin()16jkn kn n N j k X k x n Wek ek k ππππ-==-====⋅⋅⋅∑∑ 3.1.2 DFT 和Z 变换的关系设序列()x n 的长度为N ， 其Z 变换和DFT 分别为：110()[()]()()[()]()0k N-1N nn N knNn X z ZT x n x n z X k DFT x n x n W --=-=====≤≤∑∑比较上面二式可得关系式22()(),0k N-1()(),0k N-1jk Nz ej k NX k X z X k X e πωπω===≤≤=≤≤物理含义：可以将()X k 看成是对()j X e ω的采样。

3.1.3DFT 的隐含周期性1()010()()()()()()N k mN nNn N knN n X k mN x n W x n W X k x n mN x n -+=-=+===+=∑∑ 对于非周期序列，可以通过周期延拓得到，过程为~()()m x n x n mN ∞=-∞=+∑~()()()N x n x n R n =⋅常取主值区间为研究对象：~()(())N x n x n = 例：有限长序列及其周期延拓3.2 离散傅里叶变换的基本性质 线性卷积与循环卷积关系 线性卷积：12112111211111111111111[0][0][1][0][1][1][2][0][1][1][0][0]0[2][1][0]0[1][2][3][0]0[1][2][1][0]0x x x x x x M x M x x L x M x x x x x x M x M x M x x M x M x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎢---⎢⎥⎢⎢⎥⎢--⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ 1111111111111111111111111[0]000[2][1][1][1][0]000[1][2][1][2][0]0000[1][0][0]0[2][1][0]0[1][2][3][4]0[1][2][3][0]x x M x M x x x x M x x M x M x x M x x x x x x M x M x M x M x M x M x M x --⎡⎢-⎢⎢⎢--⎢⎢-⎢⎢⎢-------⎣222[0][1]0000[1]x x x L ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎦⎣⎦１、线性性质121212()()()()max[,]DFTax n bx n aX k bX k N N N +−−−→+=1N 和2N 分别为序列的延拓周期。

2、循环移位性质序列的循环移位：设()x n 为有限长序列，长度为N ， 则()x n 的循环移位定义为()(())()N N y n x n m R n =+11112111121111211112[0][3][2][1][0][0][1][0][3][2][1][1][2][1][0][3][2][2][3][2][1][0][3][3]101112110111110001111x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦322⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 时域循环移位定理设()x n 是长度为N 的有限长序列 (())()()DFTnkN N N x n m R n W X k -+−−−→110()[()](())()(())N knN N N n N knN N n Y k DFT y n x n m R n W x n m W -=-===+=+∑∑ 令'n m n +=，则有1()1()(())(())N mk n m N Nn m N m kn kn NN Nn mY k x n W W x n W -+'-'=-+'-'='='=∑∑3. 频域循环移位定理如果(())()()IDFT nlN N N X k l R k W x n +−−−→ 3.2.3 循环卷积定理1212()()()()IDFT x n x n X k X k ⊗−−−→1211201221()()()()(())()()[()]()()()()N N N m x n x n x n x m x n m R n X k DFT x n X k X k X k X k -==⊗=-==⋅=⋅∑12121()()()()x n x n X k X k N−−→⊗ 对称性：()()()()()()()()DFTDFTr e e r DFTDFTi o o i x n X k x n X k x n X k x n X k −−−→−−−→−−−→−−−→用途：1212()()()()()()()()()()DFT e o DFT DFTe o x n x n jx n X k X k X k x n X k x n X k =+−−−→=+−−−→−−−→3.3 频率域采样如果序列()x n 的长度为M ，只有当频域采样点数N M ≥时， 才有()[()]()N x n IDFT X k x n ==即可由频域采样()X k 恢复原序列()x n ，否则产生时域混叠现象。

这就是所谓的频域采样定理。

频域采样()X k 表示X(z)的内插公式和内插函数。

设序列()x n 的长度为M ， 在频域0~2π之间等间隔采样N 点，N M ≥，则有211()()()(),0,1,2,,11()()[()]()jk NN nn z eN kn Nk X z x n z X k X z k N x n X z X k X k WNπ--==--====⋅⋅⋅-==∑∑110011001101()[()]1()11()1N N kn nN n k N N kn n N k n kN NN N k k N X z X k W z N X k W z N W z X k NW z ---==----==-----===-=-∑∑∑∑∑ 111()1Nk k N z z N W zϕ----=-为内插函数。

10()()()N k k X z X k z ϕ-==∑()X k 表示()X z 的内插公式。

当j z e ω=，(2/)11()1j N k j k N e N e ωωπϕω----=- 1()()()N j k k X e X k ωϕω-==∑ 11()2021sin(/2)()()()()sin(/2)N N j j k N X e X k k eN N ωωπωϕωϕωω--==-=∑ 3.4 DFT 的应用举例3.4.1 用DFT 计算线性卷积将两个序列都补零延拓为121L N N ≥+-并进行循环卷积时，线性卷积和循环卷积相等121212()*()(())(())(())(())1L L x n x n x n x n L length x n length x n =⊗≥+-1212()*()[((()))((()))]N N x n x n IDFT DFT x n DFT x n =⋅长序列计算卷积设序列()h n 长度为N ，()x n 为无限长序列。

将()x n 均匀分段，每段长度取M ， 则()()()()()k i k M x n x n x n x n R n kM ∞===⋅-∑于是，()h n 与()x n 的线性卷积可表示为000()()()()()()()()k k k k k k k y n h n x n h n x n h n x n y n ∞=∞=∞==*=*=*=∑∑∑图示为：例 已知序列x [k ]=k +2,0≤k ≤12, h [k ]={1,2,1}试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L =5 。

重叠相加法x 1[k ]={2, 3, 4, 5, 6}，x 2[k ]={7, 8, 9, 10, 11}，x 3[k ]={12,13, 14} y 1[k ]={2, 7, 12, 16, 20, 17, 6}y 2[k ]={7,22, 32, 36, 40, 32, 11}y3[k ]={12, 37, 52, 41, 14}y [k ]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14} 重叠保留法x 1[k ]={0, 0, 2, 3, 4}，x 2[k ]={3, 4, 5, 6 ,7}，x 3[k ]={6 ,7 , 8, 9, 10}，x 4[k ]={9, 10 , 11, 12,13} x 5[k ]={12,13, 14, 0, 0}y 1[k ]= x 1[k ]⊗h [k ]= {11, 4, 2, 7, 12}，y 2[k ]= x 2[k ]⊗h [k ]= {23, 17, 16, 20, 24} y 3[k ]= x 3[k ]⊗h [k ]= {35, 29, 28, 32, 36}， y 4[k ]= x 4[k ]⊗h [k ]= {47, 41, 40, 44, 48} y 5[k ]= x 5[k ]⊗h [k ]= {12, 37, 52, 41, 14}y [k ]={2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14}3.4.2 用DFT 对信号进行谱分析设连续信号()a x t 的持续时间为p T ，最高频率为c f2()[()]()j ft a a a X FT x t x t e dt π∞--∞Ω==⎰对信号采样并保持，假设为零阶保持，有120()()N j fnTa a n X jf Tx nT eπ--==∑()a X jf 仍是f 的连续周期函数，对()X jf 在区间[0 s f ]上等间隔采样N 点， 采样间隔为F2Nπ，参数s f 、p T 、N 和F 满足如下关系式： 11s p pf F F T NT N NT T ====，， 210()()N j kn Na n X jkF T x nT eπ--==∑()(),()()a a X k X jkf x n x nT ==在用DFT 分析信号频谱特性时，在已知信号的最高频率c f (即谱分析范围时)， 为了避免在DFT 运算中发生频率混叠现象，要求采样速率s f 满足下式 2s c f f ≥ 谱分辨率ss f F N=，信号的观察时间p T 和N 可以按照下式进行选择 21c p f N T F F>≥，因此，s F N例：对实信号进行谱分析， 要求谱分辨率F ≤10 Hz ，信号最高频率 2.5c f kHz =，试确定最小记录时间min p T ，最大的采样间隔max T ，最少的采样点数min N 。