2.4 等比数列(一)(优秀经典公开课比赛教案)

澜沧拉祜族自治县第一中学教案

2.4 等比数列（一）

学科：数学年级：高二

主备教师：刘德清、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏

一、教材分析：

等比数列是来源于现实生活中的一种特殊数列，是数列的重要组成部分。

本节内容在教材中起着承上启下的作用：一方面，学法的承上，本节课之前学习了等差数列，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想；另一方面，为后续进一步研究等比数列的性质、等比数列前n项和公式，求一般数列的通项公式做好准备，为学生自主探究教材中——《购房中的数学》这一联系生活的问题打下基础。

二、教学目标：

1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导。

2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

3、充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

三、教学重点：等比数列的定义及通项公式。

四、教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

五、教学准备

1、课时安排：1课时

2、学情分析：既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。给学生以较多的感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性。进而达到更好的理解和巩固课堂所学知识的目的。学生在数学学习过程中，对于数学知识之间的有机联

系，感受数学的整体性方面，能力较为欠缺，需要老师在教学过程中抓住时机，加强培养，帮助学生体会类比在数学发现中的作用。

3、教具选择：多媒体

六、教学方法：指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，小组讨

论，引导学生理解掌握，讲练结合等。

七、教学过程

1、自主导学：

1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．

2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1.

3．等比中项的定义

如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .

一、选择题

1．一个数分别加上20, 50, 100后得到的三个数成等比数列，其公比为

( )

A.53

B.43

C.32

D.12

答案 A

解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，

∴这三个数45, 75, 125，公比q 为7545＝53.

2. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )

A ．b ＝3，ac ＝9

B ．b ＝－3，ac ＝9

C ．b ＝3，ac ＝－9

D ．b ＝－3，ac ＝－9

答案 B

解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，

∴b ＝－3，且a ，c 必同号．

∴ac ＝b 2＝9.

3．若正项等比数列{a n }的公比q ≠ 1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6

等于( ) A.5－12 B.5＋12 C.12 D ．不确定

答案 A

解析 a 3＋a 6＝2a 5， ∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，

∴q 3－2q 2＋1＝0， ∴ (q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠ 1)，

∴q 2－q －1＝0， ∴ q ＝5＋12 ( q ＝1－52 < 0舍)

∴ a 3＋a 5a 4＋a 6

＝ 1q ＝ 5－12. 二、填空题

4. 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.

答案 4·(32)n －1

解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)， 得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，

∴a n ＝4·(32)n －1.

5. 首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.

答案 5

解析 设公比为q ，

则????? 3q n －1＝483q 2n －4＝192??????

q n －1＝16q

2n －4＝64?q 2＝4， 得q ＝ ± 2. 由( ± 2)n －1＝16，得n ＝5.

6. 设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18

解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32， ∴q ＝a 5a 4

＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5) q 2 ＝(12＋32)×32 ＝18.

三、解答题

7. 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．

解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠ 0.

a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，

∴ 2q ＋2q ＝ 203. 解得q 1＝13，q 2＝3.

当q ＝ 13 时，a 1＝18，∴a n ＝18 × ? ??

??13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.

综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；

当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.

8. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q | > 1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1, 2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23, 19, 37, 82}中，则6q ＝_____ . 答案 －9

解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18, 36, 81}

中，由等比数列的定义知，

四项是两个正数、两个负数，故－24, 36，－54, 81，符合题意，

则q ＝－32

， ∴ 6q ＝－9. 2、合作探究

（1）分组探究： 1、现实生活中，有许多成倍增长的实例. 如，将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层. 你能举出类似的例子吗？

一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子，…

现实生活中，我们会遇到许多这类的事例.

再看某种细胞分裂的模型：

细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例. 细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？课本P48四个数列有什么共同特征？

2、类比等差数列，得出等比数列的概念，并说明有何条件限制？公比q ≠0？

3、q =1时，{a n }是什么数列？

4、与等差数列一样，等比数列也具有一定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n-k + a n+k = 2a n .对于等比数列来说，有什么类似的性质呢？

5、类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.

6、(1)一个数列a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等比数列呢？

(2)写出两个首项为1的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5项，比较这两个数列是否相同？

(3)任一项a n 及公比q 相同，则这两个数列相同吗？

(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？

(5)若两个等比数列相同，需要什么条件？

7、有没有既是等差又是等比数列的数列？

8、推导等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n

等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n

9、课本P50页的探究活动——等比数列与指数函数的关系

10、请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个角度类比等差数列与等 等差数列 等比数列

定义

首项、公差(公比)取值有无限制

通项公式

相应图象的特点

（2）教师点拨： （对应思考）

1、1,2,4,8，…。

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

2、在数列{}n a 中，若对任意n N *∈，有1

n n a q a -=(0,1)q n ≠>，则称数列{}n a 为等比数列，常数q 为等比数列的公比. 假设q = 0，数列的第二项就应该是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比时就出现分母为0了. 所以，公比q ≠0，并且等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.

3、q =1时，{a n }为常数列。

4、等比数列有类似的性质：a n-k · a n+k = a n 2.

5、G 为a 与b 的等比中项?,,a G b 组成等比数列?2(0,0)G ab ab G =>≠

6、(1)中，既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为1的既是等差数列又是等比数列的数列. 概括学生对(2)(3)(4)的解答.

(2)中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的；公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.

(3)中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同；

(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；

(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.

7、非零常数列既是等差数列又是等比数列。

8、推导公式1

方法1：设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，根据等比数列的定义，我们有：

q a a 12=；

21123)(q a q q a q a a ===；

312134)(q a q q a q a a ===；

… … … … … … …

)0(1111≠??==--q a q a q a a n n n

即a n =a 1 q n -1.

方法2：根据等比数列的定义，q a a a a a a a a n n =====-1342312...,

进而有a n = a n -1 q = a n -2 q 2 = a n -3 q 3 = … = a 1 q n -1.

亦得a n = a 1 q n -1.

方法3：根据等比数列的定义写出的式子q a a q a a q a a q a a n n ====-1

342312,...,,,. 将这n -1个等式两边分别乘到一起(叠乘)，得到的结果是11

-=n n q a a , 于是，得a n =a 1 q n -1。

说明：在上述方法中，前两种方法采用的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明。第三种方法没有涉及不完全归纳法，是一个完美的推导过程，不再需要证明。

观察一下方法2中的式子a n = a n -1 q = a n -2 q 2 = a n -3 q 3 = … = a 1 q n -1，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？把a n 看成a n q 0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n 。因

此，可得等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 。

9、等比数列｛n a ｝的通项公式)0(11

1≠??=-q a q a a n n , 它的图象是分布在

曲线1x a y q q

=（q > 0）上的一些孤立的点。 当10a >，q >1时，等比数列｛n a ｝是递增数列；

当10a <，01q <<，等比数列｛n a ｝是递增数列；

当10a >，01q <<时，等比数列｛n a ｝是递减数列； 当10a <，q >1时，等比数列｛n a ｝是递减数列；

当0q <时，等比数列｛n a ｝是摆动数列；当1q =时，等比数列｛n a ｝是常数列。

等差数列 等比数列

定义 从第二项起，每一项与它前一项的差都是同一个从第二项起，每一项与它前一项的比都是同

3、巩固训练：

1．P52 练习 1、2；

2.（1） 一个等比数列的第9项是9

4，公比是－31，求它的第1项。 （答案：1a =2916）

（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4

项。（答案：1a =q

a 2=5, 4a =3a q =40） 4、拓展延伸：

1．在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有

211n n n n a a k a a +++-=-（k 为常数），则称 {}n a 为“等差比数列”。下面对“等差比数列”的判断：

①k 不可能为0；

②等差数列一定是等差比数列；

③等比数列一定是等差比数列；

④通项公式为()0,0,1n n a a b c a b =?+≠≠的数列一定是等差比数列， 其中正确的判断为 （ ）

A ．①② B．②③ C．③④ D．①④

答案 D 提示：②等差数列公差为零时不是等差比数列；③等比数列公比

为1时不是等差比数列。

2．是否存在都大于2的一对实数,a b ()1a b ->

，使得b a b

a a

b ab +-,,,可以按照某一次序排成一个等比数列？若存在，求出所有的实数对()b a ,；若不存在，说明理由．

解析：因为2a b >>，且1a b ->，b a b a b ab a

<-<+<， 若四数,,,b a b a b ab a -+成等比数列，则()()b a b a b ab a

-+=?， 所以a =，

又()()2a b a b ab +=-，解得75a b =+=+

5、师生合作总结：

1.等比数列的定义.

2.等比数列的通项公式.

3.等比中项的定义.

4.等比数列与指数函数的联系.

八、课外作业：

1. P53 习题

2.4 A 组 1、2、6、7；

2. 已知11是2a 与2

b 的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，求22a b a b ++ 的值． 解析：22

111,2a b a b =+=，即1,2a b ab ab +=±=，所以12

ab a b =??+=?或12ab a b =-??+=-?

， ∴ 2221()2a b a b a b a b ab ++==++- 或 13-． 九、板书设计： 一、等比数列

的定义

二、等比数列

的通项公

式1、2

三、等比中项 例题 学生板演练习 小结 作业

十、教学反思：（注：教学实施后写）