必修2——3.1.2两条直线平行与垂直的判定
人教版高中数学必修二课件 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
k2=_______.
解：由斜率定义，直线l的斜率k=tan 30°= 3， 3
因为l1∥l，所以k1=k=
3 3
.
因为l2⊥l,所以k2·k=-1,
所以k 2
=
1 k
=
3.
答案： 3
3
3
16
例3 已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6， -6），试判断直线AB与PQ的位置关系.
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
a=-2.
12
思考3 设两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2 ,
l1 ⊥ l2时，k1与k2满足什么关系？
提示：
如图，α2 =α1 + 90o，
tanα2
=
tan(α1
+ 90o
)=
-
1 tanα1
,
即k1k2 = -1.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
1
平面内两条直线有哪些位置关系？ 平行或相交
2
为了在平面直角坐标系内表示直线的倾斜程度， 我们引入倾斜角的概念，进而又引入了直线的斜率.
y
.
O
x
能否通过斜率来 判断两条直线的
位置关系？
3
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件. （重点）
2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直. （难点）
反之，成立,可得
y l2
l1
α1 α2
O
x
l1 l2 k1k2 = 1.
13
思考4
设两条直线l1的斜率k1 = 0,l2的斜率不存在,
l1 ⊥ l2吗？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
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重难聚焦
典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教案(人教A版必修2)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．【课前自主导学】【问题导思】Array 1．如图，若直线l1∥l2，则其倾斜角α1与α2有什么关系？为什么？反之呢？【提示】α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之不成立，当α1＝α2时，直线l 1与l 2可能平行或重合． 2．若直线l 1∥l 2，则其斜率k 1＝k 2.这种说法对吗？【提示】 不对，只有在直线l 1与l 2都存在斜率时，由l 1∥l 2可以得出 k 1＝k 2，如图当直线l 1与l 2都与x 轴垂直时，虽然l 1∥l 2但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：【问题导思】 1．如图，直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，若l 1⊥l 2， 则α1与α2之间存在什么关系？ 【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l 1的倾斜角为0°时，若直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率应满足什么条件？ 【提示】 直线l 2的斜率不存在，如图，当直线l 1的倾斜角为0°时，若l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系【课堂互动探究】判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可． 【自主解答】 (1)k 1＝1－ －2 2－ －1 ＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－ －1＝－1，k 1＝k 2， 而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1，∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________. 【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2，∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x ＝2. 【答案】 2判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－ －2 1－ －1 ＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－ －1 2－ －2 ＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－ －10＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．已知三角形三个顶点的坐标为A (4,2)，B (1，－2)，C (－2,4)，则BC 边上的高的斜率为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 BC 边上的高所在的直线与BC 边所在的直线垂直而k BC ＝4＋2－2－1＝－2，所以BC 边上的高的斜率k ＝－1k BC＝12.【答案】 C已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB ＝5－32－ －4 ＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－ －4 ＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD . 故四边形ABCD 为直角梯形．1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)【解析】 设D (x ，y )，则k CD ＝y －0x －3＝yx －3，k AD ＝y ＋1x －1， 又k AB ＝2＋12－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2，CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k CD ·k AB ＝y x －3·3＝－1 k CB ＝k AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝3－xy ＋1x －1＝－2，∴{ x ＋3y ＝3， 2x ＋y ＝1.∴{ x ＝0 y ＝1，即D (0,1)． 【答案】 D 【思想方法技巧】分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－ a ＋2 1－ －2＝－a3.2分(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3. 又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6. 4分经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分 ②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4. ∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4.所以，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. 12分 【思维启迪】1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时,应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况． 2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识． 【课堂小结】1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想． 【当堂达标检测】1．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两条直线也平行．【答案】 B2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？ 【解】 (1)∵k MN ＝0－ －6 －3－ －15 ＝12，k RS ＝52－320－ －2 ＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－ －13－ －2 ＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.【课后知能检测】 一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．(2014·昆明高一检测)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)【解析】 ∵k 1＝2，l 1∥l 2，∴k 2＝2，设P (0，y )则k 2＝y －10＋1＝y －1＝2，∴y ＝3，即：P (0,3)．【答案】 D3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α1－α2|＝90° D ．α1＋α2＝180° 【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°. 【答案】 C4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在【解析】 当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2为－1a ；当a ＝0时，直线l 2的斜率不存在． 【答案】 D5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C 二、填空题6．(2014·南京高一检测)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．【答案】 平行或重合7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在，∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.【答案】 1458．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC . ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ， －4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3， y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)． 【答案】 (3，－6)三、解答题9．如图所示，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)． (1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3. (2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ， QR 边所在直线的斜率k QR ＝t ＋2 －21－2t － －2t＝t ，OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t .PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝ 2＋t －t 1－2t －1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形． 又k QR ·k OR ＝t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1，∴QR ⊥OR .∴四边形OPQR 是矩形． 11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边． (1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)， (2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝yx －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝185， y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
6 ＝－1， x＋1x－4
∴x＝1 或 x＝2，故所求点为 C(1,0)或 C(2,0)．
(2)当点 C 在 y 轴上时，设 C(0，y)，由 AC⊥BC，
知 kAC· kBC＝－1，故 y－3 y－2 · ＝－1， 0＋ 1 0－ 4
5＋ 17 5－ 17 ∴y＝ 或 y＝ . 2 2 故 C0，
5－ 17 5＋ 17 或 C0， . 2 2
综 上 所 述 ： C(1,0) 或 C0，
C(2,0)
或
C 0，
5－ 17 或 2
5＋ 17 为所求． 2
小结
结论1：对于两条不重合的直线l1和 l 2 : (1)l1 // l2 1 2 ; (2)l1 // l2 k1 k2 或 k1 , k 2 都不存在 . l1∥l2 k1＝k2. 条件：不重合、都有斜率 结论2： 对于任意两条直线 l1和 l 2 :
或 k 1 , k 2 中一个为 0 , 另一个不存在 .
注意： l1⊥l2
k1k2=-1.
条件： 都有斜率
练习
1、下列哪些说法是正确的（ C）
A 、两直线l1和l2的斜率相等，则 l1 ∥ l2； B、若直线l1 ∥ l2，则两直线的斜率相等；
C、若两直线l1和l2中，一条斜率存在，另一条斜率不 存在，则l1和l2相交； D、若直线l1和l2斜率都不存在，则l1 ∥ l2； E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
A. 3 3 C. 3 B．－ 3 3 D．－ 3
3．直线 l 平行于经过两点 A(－4,1)， B(0,－3)的直线，则 直线的倾斜角为( D ) A．30° B．45° C．120° D．135° 4．原点在直线 l 上的射影是 P(－2,1)， 2 则 l 的斜率为___.
必修2课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 l2 k1 k 2 =-1
例1：已知四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1:13:4,直线l2过点P:(1,0), : 3 Q:(2, )，求这四条直线的斜率？ 3
3 3 , , 不存在, 3 3 3
例2：过点m: 2,)，作直线l，分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点， ( 1 1：当 AOB面积S最小时，求l方程 2：当 MA MB 最小时，求l方程
例4：l：(2m +m-3)x+(m -m)x-4m+1=0,在下列 条件下分别求m的值：
2
2
1：直线l与2x-3y-5=0垂直？ 2：直线l与2x-3y-5=0平行？ 例5：l1: x-2y=1, l2: 2x+ty-3=0, l3:3tx+4y=5, 三线不能构成三角形，求t的值
3 2 6 4, , , 2 2 3
D
y
E F
C
B A 30
0
O
x
斜率存在， 且两直线不重合
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 // l2 k1 =k 2
问题： 1 l1：y k1x b1 , l2 : y k 2 x+b 2 , 则l1//l2 :
k1 =k 2 b b 1 2
2：直线l1，l2平行时，则l1与l2的斜率相等吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1. 倾斜角的定义
2： 一条直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 常用k来表示.
y2 y1 A k tan x2 x1 B （其中l : Ax+By+C=0）
( x1 x2 )
人教版高中数学必修二课件：3.1.2两条直线平行与垂直的判定.pptx
练习、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 :
k AB
1 (1) 15
1 2
y
k BC
3 1 2 1
2
C
B
k AB • kBC 1
O
x
AB BC 即ABC 900
A
因此ABC是直角三角形.
已练知习四边形ABCD的四个顶点分别为
A（0，1），B（1，0），C（3，2），D（2，3）
结论：
对于两条直线l1,l2,其斜率分别 为k1,k2，则有
l1 l2 k1k2 1
这个结论在图中成立的吗？
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时 另一条直线的斜率等于零．
概念巩固
判断下列说法的对与错。
√ （1）若两条直线的斜率之积等于-1,这两条直线
一定垂直.()
（2）若两条直线垂直,则它们的斜率之积一定为-1.
一般地，由于与直线Ax+By+C=0垂直的直线的斜率互为负 倒数，故可得其方程为Bx-Ay+=0，其中待定（直线系）
能力提升
1、已知过点A（-2，m）和B(m，4）的直线
与斜率为-2的直线平行，则m的值是（） A
A.-8 B.0
C.2
D.10
2、经过两点A（m，3）与B（2，2m）的直 线l与倾斜角为45⁰的直线互相垂直，则m的值
因此，与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+=0，
其中待定（直线系）
1若直线和x平 2行ay，则1 =。2x 2ay 1
a
2若直线和x平行ay， 则2a=。2 ax y a 1
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高一数学必修二312两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
答案:D
27
5.l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,那么直线l2的倾斜角为( )
A.45°
B.135°
C.-45°
D.120°
解析:由l1⊥l2及k1=tan45°=1,知l2的斜率k2=-1,∴l2的倾斜角 为135°.
答案:B
28
6.满足以下条件的l1与l2,其中l1⊥l2的是( )
(1)l1的斜率为- 2 ,l2经过点A(1,1),B(0,- 1 ); (2)l1的倾斜角为43 5°,l2经过点P(-2,-1),Q(23,-5);
能力提升 9.A(1,5),B(-1,1),C(3,2),假设四边形ABCD是平行四边形,求D 点的坐标.
33
解
:设 D x,y ,则 k AB
51 1 (1)
2, kCD
y2, x3
由 A B //C D 得 , y 2 2 ,即 y 2 x 4.① x3
又 k AD
y 5 ,kBC x 1
B ( 2 ,2 ),C (0 ,2 22 ),D (4 ,2 ),求 证 四 边 形 A B C D 为 矩 形 .
解: kAB
2 , kBC 2
2, kCD
2 , kAD 2
2.
kAB kCD, kBC kAD,AB//CD, BC//AD.
四边形ABCD为平行四边形.
又kAB kBC
l1l2 k1k21
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：
当另一条直线的斜率为0时， 那么一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 0°， 两直线互相垂直
数学必修二课件3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
12
• 1．已知直线l1过点A(－1,1)和B(－2，－1)， 直线l2过点C(1,0)和D(0，－2)，试判断直线l1 －1－1 与 l 的位置关系． 2 【解析】直线 l 的斜率 k ＝ ＝2，
1 1
－2＋1
－2－0 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝2，k1＝k2， 0－1 所以 l1∥l2.
13
【答案】(1)垂直 5 (2)2
7
• 3．思一思：当k1·k2＝－1时，l1⊥l2成立吗？ 反之是否成立？ • 【解析】由k1k2＝－1，可知直线l1，l2的倾斜 角α1，α2满足α2＝α1＋90°，故直线l1⊥l2.反 之不一定成立．当l1⊥l2时，可能其中一条斜 率为0，另一条斜率不存在，故k1·k2＝－1不 一定成立．
16
• 2．已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°， 则直线l2的斜率为________．
【答案】－ 3
3 【解析】由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 30° ＝ 3 ，设直 线 l2 的斜率为 k2，则 k1· k2＝－1，∴k2＝－ 3.
17
• 平行与垂直的综合应用 • 【例3】 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)， D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判 定图形ABCD的形状． • 【解题探究】先由图形判断四边形各边的关 系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关 系完成证明．
• 1．两条直线平行与斜率的关系 • (1)如图①，设两条不重合的直线l1，l2的斜率 分别为k1，k2＝ ，若l1∥l2，则k1_____k2∥ ；反之， 若k1＝k2，则l1_____l2. • (2)如图②，若两条不重合的直线的斜率不存 在，则这两条直线也平行．
4
• 2．两条直线垂直与斜率的关系 • (1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互 －1 相垂直，那么它们的斜率之积等于_____；反 －1 k_____ 1k2＝－1 之，如果它们的斜率之积等于 ，那么它 k1k2＝－1 们互相垂直．即 __________⇒l1⊥l2， l1⊥l2⇒__________. • (2)如图②，若l1与l2垂直 中的一条斜率不存在，另 一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是 ________．
人教A版数学必修二课件：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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α2tan α1=-1,
1
所以 tan α2=-tan
1
.
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
档消耗一个共享文档下载特权。
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综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率
都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两
直线也垂直,注意讨论的全面性.
-14-
3.1.2
两条直线平行与垂直的判定
探究一
探究二
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结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，
且分别为k1、k2，则有
l1⊥l2
k1k2=-1.
特别地，当两直线中有的斜率不存在时……
例题讲解
综合
(1)a 1或a 3 3 (2)a 2
例题讲解
垂直关系
例3 已知A（-6,0）,B（3,6）,P（0,3）, Q（6,-6）,判断直线AB与PQ的位置关系.
解 : k AB k PQ
63 2 3 (6) 3 63 3 60 2
k AB k PQ -1 BA PQ
例题讲解
垂直关系
例4、已知A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）
两直线的平行与垂直 的判定
1.能根据两直线的斜率判定两直 线是否平行或垂直 2.能根据两直线的平行或垂直关 系确定直线的斜率
设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2.
y
l1 l2
α1
O
α2
x
结论1：对于两条不重合的直线l1、l2，其 斜率分别为k1、k2，有
l1∥l2
k1＝k2.
思考1、两条直线平行，它们的斜率相等吗？
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
k tan 90
经过两点P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 : 1 y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
x
因此四边形ABCD是平行四边形.
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、 α2（ α1、α2≠90°）.
y l2 l1
α1
O
α2
x
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率（两 直线的斜率都不等于0），且分别为k1、k2， 则有 l1⊥l2 k1k2=-1.
思考1、两条直线互相垂直，它们的斜率 之积等于-1吗？ 有可能一条直线斜率为0， 另一条直线斜率不存在 思考2、如果两条直线的斜率之积等于-1， 它们垂直吗？ 一定垂直
y
A
Q P
B
O
x
k BA k PQ BA∥ PQ
例题讲解
平行关系
例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。 1 1 解 : k AB kCD y 2 2 D 3 3 C k BC k DA 2 2 A O k AB kCD , k BC k DA B ∥ AB∥ CD, BC DA
三点，试判断△ABC的形状。 1 (1) 1 解 : k AB 1 5 2 3 1 k BC 2 2 1 k AB k BC 1
y
C B
O
0
x
AB BC 即ABC 90 因此AB不重合的直线l1、l2， 其斜率分别为k1、k2，有
有可能斜率都不存在 思考2、如果两条直线的斜率相等，它们平 行吗？ 有可能重合
例题讲解
平行关系
例1、已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并 证明你的结论。
解 : k BA k PQ
30 1 2 ( 4 ) 2 2 1 1 1 (3) 2