高中数学2-2-1椭圆及其标准方程
标准方程
焦点坐标
a，b，c 的关系
a2－b2 c2＝______
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试一试：已知椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，则椭圆的标
准方程是什么？
x2 y2 提示 当焦点在 x 轴上时，其标准方程为 ＋ ＝1，当焦点 25 16 y2 x2 在 y 轴上时，其标准方程为 ＋ ＝1. 25 16
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6 2 2 （ ） （ 3 ） 3 2 a2 ＋ b2 ＝ 1， a ＝ 9， ∴ ∴ 2 2 2 2 b ＝ 1. 12 （ 3 ） ＝ 1. a2＋ b2 y2 ∴所求椭圆的方程为 ＋ x2＝ 1. 9 法二 设椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝ 1(m>0， n>0， m≠ n)． 6 2 2 ∵点 ( ， 3)和点 ( ， 1)都在椭圆上， 3 3 6 2 2m 2 （ 3） ＝ 1， ＋ 3n＝ 1， m·（ 3 ） ＋ n· 3 ∴ 即 8m 2 2 2 2 m· ＋ n＝ 1. （ ） ＋ n · 1 ＝ 1 ， 9 3
就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用
椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的 联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把 |PF1|· |PF2|看作一个整体来处理．
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x2 y2 【变式2】 已知经过椭圆25＋16＝1 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直 于 x 轴，交椭圆于 A、B 两点，F1 是椭圆的左焦点． 求△AF1B 的周长.
|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨
迹是什么？ 提示 当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段
F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
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2．椭圆的标准方程 焦点在x轴上 _________ (a ＞b＞0) ________ (_______________ －c，0)，(c，0) 焦点在y轴上 __________ (________ a＞b＞0) (0 ，－c)，(0，c) ______________
(3)法一 ①当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的方程为 x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0)． a2 b2 6 2 2 ∵点( ， 3)和点( ，1)在椭圆上， 3 3
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（ 6）2 2 （ 3 ） 3 a2 ＋ b2 ＝ 1， ∴ 2 2 2 （ 3 ） 12 ＋ 2＝ 1. a2 b
12 分
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的
但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得
b2＝a2－c2＝25－16＝9.
x2 y2 所以点 A 的轨迹方程为 ＋ ＝1(y≠0). 25 9
【题后反思】 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找
到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定
2.2
椭圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
【课标要求】
了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过 1． 程，椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 【核心扫描】
1．利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 2．会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．(难点)
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名师点睛
椭圆的定义的应用 1．
(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问
题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边 之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边 之和大于第三边这一结论处理． (2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)，在解题中
解 (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， x2 x2 ∴设它的标准方程为 2＋ 2＝ 1(a>b>0)． a b ∵ 2a＝ 10，∴ a＝ 5， 又∵ c＝ 4，∴ b2＝ a2－ c2＝ 52－ 42＝ 9. x2 x2 ∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 25 9
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(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上， y2 x2 ∴设它的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b ∵椭圆经过点 (0，2)和(1，0)， 4 0 2 a2＋b2＝1 a ＝ 4， ∴ ⇒ 2 b ＝ 1， 02＋ 12＝1 a b y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1. 4
[规范解答] 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直 平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示. 2分
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由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)． 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10， 点与两焦点的距离之和2a＝10； 6分 8分 10分
椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.
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【变式3】 已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B： (x－3)2＋y2＝64.求动圆圆心M的轨迹方程． 解 设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r， ∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6， ∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3， 0)，且2a＝8， ∴a＝4，c＝3，
解
如图所示，由已知：
a＝5，△AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋ |BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝ 4a＝20.
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题型三 与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 (12分)ห้องสมุดไป่ตู้知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的 周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
x2 y2 y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0)或 2＋ 2＝1(a>b>0)； a2 b2 a b
②确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组， 解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可．
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题型一
用待定系数法求椭圆的标准方程
【例1】 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P
2 a ＝ 1， ∴ 2 而 b ＝ 9.
a>b>0.
∴ a2＝ 1， b2＝ 9 不合题意， 即焦点在 x 轴上的椭圆的方程不存在．
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0)． a2 b2 6 2 2 ∵点( ， 3)和点( ，1)在椭圆上， 3 3
∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5
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①
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由余弦定理知：
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4 ①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20
到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点( 6 2 2 ， 3)和点( ，1)． 3 3
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[思路探索] 对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求
解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆 焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨 论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B) 然后代入已知点求出A,B.
经常将|PF1|· |PF2|看成一个整体或者配方等灵活运用．
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2． 椭圆标准方程的特点 (1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且 a>b>0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点
的距离之和，可借助如图所示的几何特征
理解并记忆． (2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是 看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个 分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的
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题型二
椭圆定义的应用
x2 y2 【例2】 如图所示， 点 P 是椭圆 ＋ ＝ 1 上 5 4 的一点， F1 和 F2 是焦点，且∠ F1PF2＝ 30°，求△ F1PF2 的面积．
[思路探索] 可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用
定义及余弦定理求出|PF1|· |PF2|，最后求出S△F1PF2. x2 y2 解 在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4
③－②，得(2＋ 3)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝ |PF1 |·|PF2|·sin 30°＝8－4 3. 2
② ③
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规律方法
在椭圆中由椭圆上的点，两个焦点组成的焦点
三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用 椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这
分母是a2，较小的分母是b2.
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3． 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后
写出其方程．
(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定 a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是： ①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两 种情况都有可能，并设椭圆方程为
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解
①当 A(2，0)为长轴端点时，a＝2，b＝1，椭圆的标准方 x2 2 程为： ＋y ＝1； 4 ②当 A(2，0)为短轴端点时，b＝2，a＝4， x2 y2 椭圆的标准方程为： ＋ ＝1. 4 16 x2 2 x2 y2 综上所述，椭圆的标准方程为 ＋y ＝1 或 ＋ ＝1. 4 4 16
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义；2、椭圆的两类标准方程；3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。
能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。
让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。
通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。
四、教学重点、难点重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；难点：椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体幻灯片、黑板。
七、教学过程（一）创设情境，导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。
此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。
这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。
（二）问题探究老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。
然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。
DL教育 最新高考 高中数学课件(可改)选修课件2.2.1 椭圆及其标准方程(共34张ppt)
y
P
a a2 c2
F1
O c F2
x
所以椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
类似的也可以得到椭圆的方程
为 y2 a2
x2 b2
1(a
b
0).
1.我们把形如
x2 a2
y2 b2
1a
b
0的方程叫做椭圆的标准方程，
yM
它表示焦点在x轴上的椭圆.
F1 o F2 x
2.也把形如
y2 a2
x2 b2
比数列，还要验证a1≠0. • (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意
对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特 殊情形导致解题失误. • 三种方法 • 等比数列的判断方法有： • (1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或
• 6.满足二元一次不等式(组)的整数x和y的取值构成的有序数对(x，y)，称 为这个二元一次不等式(组)的一个解。所有整数解对应的点称为整点(也
• 高三数学复习知识点2 • 一、充分条件和必要条件 • 当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。 • 二、充分条件、必要条件的常用判断法 • 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把
2
所以 a 1 0 .
又因为 c ,所2 以
b2 a2 c2 10 4 6.
因此, 所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1.
10 6
能用其他方 法求它的方
程吗？
另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它
的标准方程为:
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0).
高中数学2-2-1椭圆及其标准方程
4 直线y 2 x 4与x轴y轴的焦点分别是
椭圆的焦点和顶点 x2 y 2 5 过点 -3, 2 且与 1有相同焦点 9 4
题型二 椭圆定义应用
x2 y 2 1 椭圆 1的焦点是F1F2 , 点P在椭圆 9 2 上， PF1 4, PF2 x2 y 2 2 椭圆 1的焦点是F1F2，过F2的直线 25 9 如果该做求 PF1 交椭圆于A, B两点， AF1 BF1 12, 的最大值呢？ 则 AB x2 y 2 3 椭圆 1的焦点是F1F2 , p在椭圆上 12 3 如果PF1的中点在y轴上，则PF1是PF2的----倍
PF2
题型三 与椭圆有关的轨迹问题与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 (12分)已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的 周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[规范解答] 以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直 平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示. 2分
由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)． 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10， 点与两焦点的距离之和2a＝10； 6分 8分 10分
椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.
【变式】 已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B： (x－3)2＋y2＝64.求动圆圆心M的轨迹方程． 解 设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r， ∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6， ∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3， 0)，且2a＝8， ∴a＝4，c＝3，
人教版数学高二选修2-1课后训练 2-2-1 椭圆及其标准方程
04课后课时精练一、选择题1．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：∵乙⇒甲且甲D ⇒/乙， ∴甲是乙的必要不充分条件． 答案：B2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F 在BC 上，则△ABC 的周长是( )A. 23B. 6C. 4 3D. 12解析：可知a ＝3，由椭圆的定义得|BF |＋|BA |＝|CF |＋|CA |＝2a ＝23，∴(|BF |＋|CF |)＋|BA |＋|CA |＝|BA |＋|CA |＋|BC |＝43，即△ABC 的周长为43，故选C.答案：C3. 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为( )A. x 213＋y 212＝1B. x 213＋y 225＝1或x 225＋y 213＝1 C. x 213＋y 2＝1D. x 213＋y 2＝1或x 2＋y213＝1解析：显然，此题中并没有讲明椭圆的焦点在哪个轴上，题中也没有条件能够得出相应的信息，所以本题中的标准方程应有两种情况，所以排除A 和C ，又由于a 2＝13，c 2＝12，∴b 2＝1.答案：D4．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a < 2 B ．a <－2或a > 2 C ．－2<a <2D ．－1<a <1解析：由已知可得a 24＋12<1，∴a 2<2，即－2<a < 2. 答案：A5．设F 1、F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且P 到F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．斜三角形D ．直角三角形解析：由椭圆的定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8. 由题可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 答案：D6．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1.∵焦点在y 轴上，∴2k >2且k >0，∴0<k <1.答案：D 二、填空题7．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析：由已知椭圆的方程得a ＝23，b ＝3，c ＝3，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．由于焦点F 1和F 2关于y 轴对称， ∴PF 2必垂直于x 轴．∴P (3，32)或P (3，－32)，|PF 2|＝32， |PF 1|＝2a －|PF 2|＝732. ∴|PF 1|＝7|PF 2|.答案：78．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：|AB |＝|F 1A |＋|F 1B |＝(2a －|F 2A |)＋(2a －|F 2B |)＝4a －(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8.答案：89．M 是椭圆x 29＋y 24＝1上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，则|MF 1|·|MF 2|的最大值是________．解析：|MF 1|＋|MF 2|＝2a .|MF 1|·|MF 2|≤(|MF 1|＋|MF 2|2)2＝a 2＝9. 答案：9 三、解答题10．已知圆A ：x 2＋(y ＋6)2＝400，圆A 内一定点B (0,6)，圆C 过B 点且与圆A 内切，求圆心C 的轨迹方程．解：设动圆C 的半径为r ，则|CB |＝r . ∵圆C 与圆A 内切，∴|CA |＝20－r . ∴|CA |＋|CB |＝20.又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |.∴点C 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∵2a ＝20,2c ＝12，∴a ＝10，c ＝6，b 2＝64. 又∵A 、B 在y 轴上，∴C 点的轨迹方程为y 2100＋x 264＝1. 11．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.12. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点． (1)若椭圆C 上的点A (1，32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1K 的中点的轨迹方程．解：(1)椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又点A (1，32)在椭圆上，因此122＋(32)2b 2＝1，得b 2＝3，则c 2＝a 2－b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点K (x 1，y 1)，线段F 1K 的中点Q (x ，y )，则x ＝－1＋x 12，y ＝y 12，即x 1＝2x ＋1，y 1＝2y .因为点K (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 23＝1上，所以(2x ＋1)24＋(2y )23＝1，即(x ＋12)2＋4y 23＝1，此即为所求的轨迹方程．。
高中数学 错误解题分析 2-2-1 椭圆及其标准方程
2.2 椭 圆 2.2.1 椭圆及其标准方程双基达标 限时20分钟1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．A ．4B ．5C ．8D ．10解析 由椭圆的标准方程得a 2＝25，a ＝5.由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案 D2．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是 ( )． A ．椭圆 B ．直线 C ．圆 D ．线段 解析 ∵|MF 1|＋|MF 2|＝8＝|F 1F 2|， ∴点M 的轨迹是线段F 1F 2，故选D. 答案 D3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ( )．A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析 由于椭圆焦点在x 轴上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋2）（a －3）>0，a >－6. ⇔a >3或－6<a <－2.故选D. 答案 D4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析 由已知2a ＝8，2c ＝215， ∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1， ∴椭圆标准方程为y 216＋x 2＝1.答案y 216＋x 2＝15．已知椭圆x 220＋y 2k＝1的焦距为6，则k 的值为________．解析 由已知2c ＝6， ∴c ＝3，而c 2＝9， ∴20－k ＝9或k －20＝9， ∴k ＝11或k ＝29. 答案 11或296．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)； (2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解 (1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)． 由椭圆的定义知2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知2c ＝10，2a ＝26，所以c ＝5，a ＝13，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是 ( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线解析 如图，依题意：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a >0是常数)． 又∵|PQ |＝|PF 2|，∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ，即|QF 1|＝2a .∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，2a 为半径的圆，故选A. 答案 A8．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于 ( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．1 解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6， 又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4，故选B. 答案 B 9．若α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析 方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)， ∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案 (π4，π2)10．椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的________倍．解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P 点的坐 标为(x 1，y 1)，由线段PF 1的中点的横坐标为0，知x 1－32＝0，∴x 1＝3.把x 1＝3代入椭圆方程x 212＋y 23＝1，得y 1＝±32，即P 点的坐标为(3，±32)， ∴|PF 2|＝|y 1|＝32由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 1|＝43－|PF 2|＝43－32＝732， 即|PF 1|＝7|PF 2|. 答案 711．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4，3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)． ∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c ，3)， F 2A →＝(－4－c ，3)，∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5，0)，F 2(5，0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝（－4＋5）2＋32＋（－4－5）2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．(创新拓展)如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解 由题意知点M 在线段CQ 上， 从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |.又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5. ∵A (1，0)，C (－1，0)，∴点M 的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a2－c 2＝2541＝214. 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1.。
高中数学选修二《椭圆及其标准方程》课件
线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，
椭圆的方程形式又如何呢？
o
x
[设计意图] 该问的设置，一方面是为了得出焦点在 y 轴上的 椭圆的标准方程；另一方面通过学生的猜想，充分发挥学生
的直觉思维和数学悟性. 调动了学生学习的主动性和积极性， 通过动手验证，培养了学生严谨的学习作风和类比的能力.
[设计意图]通过小结，使学生对所学的知识有一个完 整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.
四、教学过程 <布置作业，巩固提高（学有余力的学生全做， 其余学生不做探究题） >
[设计意图] 一方面为了巩固知识，形成技能，培养学生周 密的思维能力，发现教学中的遗漏和不足；另一方面，分 层要求，有利各种层次的学生获得最佳发展，充分培养了 学生的自主学习能力和探究性学习习惯.
3、教学手段：多媒体辅助教学.
通过动态演示，有利于引起学生的学习兴趣， 激发学生的学习热情，增大知识信息的容量，使 内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质 量.
四、教学流程
创 自 师初 自
知
布
设 主 生步 我
识
置
情 探 互运 评
整
作
景 究 动用 价
理
业
， ， ，， ，
，
，
提 形 导强 反
形
巩
出 成 出化 馈
一、教材分析
(五) 教学的重点难点
1. 教学重点：椭圆的定义及其标准方程 2. 教学难点：椭圆标准方程的推导
二、学情分析
在此之前,学生对坐标法解决几何问题掌握 不够，从研究圆到研究椭圆，跨度较大，学生 思维上存在障碍. 在求椭圆标准方程时，会遇到 比较复杂的根式化简问题，而这些在目前初中 代数中都没有详细介绍，初中代数不能完全满 足学习本节的需要，故本节采取缺什么补什么 的办法来补充这些知识.
高二数学2.2.1椭圆及其标准方程教案1人教新课标A版选修21
P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。
2-2.1 椭圆及其标准方程
（六）应用拓展、提高能力 ( -2, 0 ), (2,0)， 例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ：
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设 x2 y2 1(a b 0) a 2 b2 由椭圆的定义知
2a 5 3 2 2 2
（六）应用拓展、提高能力 ( -2, 0 ), (2,0)， 例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ：
解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，设 2 2 1(a b 0) a b y 2 2 由于 c 2， 所以 a b 4 ①
又点
2
3 5 并且经过点P ， ，求它的标准方程. 2 2 2 2
O
F2
M
x
F2
x
O
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系一般遵循的原则：对称、简洁
（四）深化研究、构建方程
椭圆标准方程的推导
限制条件为：| MF1 | | MF2 | 2a y 建
2 ( x , 2y ) 则： x + c 2 + y 2 + x - c M + y = 2a
设 限
22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( x c ) y ( x c ) y 2 a c x y x c y 2 a x c y ∴ F1 - c , 0 O F2 c , 0 x
又由椭圆 的定义可得：
F2 M
|MF1|+ |MF2|=2a
由两点间的距离公式，可知：
焦点在 Y轴
o
2 2
x
( y c ) x ( y c ) x 2a y2 x2 y 2 x2 2 2 2 1 1 b a c 2 2 2 2 2 a a c a b
高二数学-椭圆及其标准方程(梁祥居)
板书设计
椭圆及其标准方程 2.2.1 椭圆及其标准方程 1、 椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 标准方程的推导 (练习题解答) 作业题
关于教学策略选择的阐述 关于教学策略选择的阐述 教学策略选择
3
主要采用诱导探究策略，并辅以创设情景、动手操作、启发类比、当堂操练策略。 主要采用诱导探究策略，并辅以创设情景、动手操作、启发类比、当堂操练策略。 诱导探究策略 类比 策略 诱导探究策略： 探究策略 1、诱导探究策略：问题诱导－启发讨论－探索结果，充分发挥学生的主体作用和教师的主导 作用。 创设情景策略： 2、创设情景策略：多媒体演示几个生活中的椭圆图形及“嫦娥一号”绕月运行轨道，让学生 从感性上认识椭圆，感受椭圆在现实生活中和高科技中的应用，增强学好数学的信心，并自然地引 入课题。 动手操作策略： 3、动手操作策略：让学生拿出课前准备好的学具，按课本上介绍的方法，同桌间相互磋商、 动手绘图，教师巡视，并请已完成的两位同学在黑板上用准备好的工具演示，使学生感受成功的喜 悦. 教师进一步启发引导学生讨论，概括得出椭圆定义。 启发类比策略 类比策略： 4、启发类比策略：启发学生类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，根据椭圆的对称性选 择适当的坐标系推导椭圆的标准方程；启发学生通过类比焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，得出焦 点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 当堂操练策略 策略： 5、当堂操练策略：教师设计 3 道有层次性、针对性的练习供学生当堂训练，并进行点评，以 及时检测教学目标的落实情况。
学习者特征分析
1、一般特征：学生是南安一中的高二（8）班学生，绝大部分学生学习数学的兴趣教浓，有较强的 一般特征： 特征 探究意识。 初始能力： 2、初始能力：学生对生活中的椭圆模型较熟悉，有较强的动手操作能力和一定的小组合作经验， 已初步掌握求曲线方程的一般方法，但未学过比较复杂的根式方程化简问题。 信息素养： 3、信息素养：学生已具备上网查找资料等信息素养，但大部分学生不熟悉几何画板。
高二数学 2.2.1 椭圆及其标准方程
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第二章 §2.2 2.2.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版·选修2-1
解 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且 A≠B)，依题意可得31A2A＋＋4BB＝＝11，， ⇒AB＝＝11515. ，
故所求的椭圆方程为1x52 ＋y52＝1.
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题型三 求经过两点的椭圆的标准方程 例3 求经过两点P1 13，13 ，P2 0，－12 的椭圆的标准方 程．
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题型四 用定义求椭圆的标准方程 例4 已知△ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A 的轨迹方程． 分析 注意顶点A到B和C的距离之和为定值，故可考虑 利用椭圆的定义来求其方程．
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解法2 设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞ 0，A≠B)．
依题意，得A132＋B132＝1， B－122＝1，
⇒AB＝ ＝54.，
故所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1.
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分析1 因为椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴 和y轴两种情况分别求解．
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