离散型随机变量的研究分析

目录毕业设计任务书 (Ⅰ)开题报告 (Ⅱ)指导教师审查意见 (Ⅲ)评阅教师评语 (Ⅳ)答辩会议记录 (Ⅴ)中文摘要 (Ⅵ)外文摘要 (Ⅶ)1 前言 (1)2 选题背景 (2)2.1 题目类型及来源 (2)2.2 研究目的和意义 (2)2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (2)3 离散型随机变量的一些基本知识 (3)3.1 随机变量与概率分布 (3)3.2 离散型随机变量函数的概率分布 (5)3.3 离散型随机变量的母函数 (6)4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系 (10)4.1 常用离散型随机变量 (10)4.2 常用离散型随机变量的关系 (12)4.3 常见离散型随机变量的特殊性质 (14)5 离散型随机变量的数字特征 (15)5.1 公式法 (16)5.2 随机变量分解法 (16)5.3 母函数方法 (17)6 几个常用离散分布的应用讨论 (19)6.1 关于泊松分布及其应用 (19)6.2 关于二项分布及其应用 (21)参考文献 (22)致谢 (23)离散型随机变量的研究前言离散型随机变量的研究1 前言目前,概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展.在社会科学领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题,都大量采用概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(Laplace)说对了:“生活中最重要的问题 , 其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计, 那么我们就寸步难行,无所作为.随机变量概念的引入是概率论发展史上的一次突破，它不仅在形式上使随机事件的表达形式简洁，而且还使变量、函数、积分等分析工具进入了概率论的理论研究之中，从而大大加快了概率论的发展进程.随机变量在概率统计[1]研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．对于随机变量，我们最关心的问题是它取哪一些值，以及它以多大概率取这些值.因此从这个角度看离散型随机变量的概率分布律的计算就成了学习离散随机变量的主要计算课题. 关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.在离散型中比较典型，也比较重要的概率分布律要属二项分布，泊松分布，超几何分布与几何分布了，它们在许多实际问题中也有应用到.本文先介绍随机变量与概率分布的关系，然后给出几种常见的离散型随机变量的概率分布及其关系，介绍离散型随机变量的函数的一些性质，通过研究离散型随机变量的母函数来求它的数字特征及其其他问题，最后讨论离散型随机变量的一些应用研离散型随机变量的研究究.通过研究离散型随机变量的一些常见性质以及它在某些方面的应用研究，来更深刻的学习它的一方面知识.基于此以突出它在数学教学中的重要意义以及未来发展中的重要影响.2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2 研究目的和意义随机变量在概率统计研究中起着极其重要的作用，随机变量是用来描述随机现象的结果的一类特殊的变量，随机变量能够反映随机现象的共性，有关随机变量的结论可以应用到具有不同背景的实际问题中，随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，它使得我们可以借助于有关实数的数学工具来研究随机现象的本质.而离散型随机变量是为随机变量中的一种，即研究的变量仅可能取有限个或可列个值，比如抛掷骰子出现的点数、射击命中的环数、产品检验中次品的件数等等，都是离散型随机变量研究的范畴．通过研究也可以检验自己对专业理论知识的理解与掌握程度．锻炼自己综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力．使自己具有良好的思想作风，顽强的学习毅力和实事求是的工作作风，培养自己综合运用所学理论知识和技能的能力．2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，随机变量在得到不断的广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展．关于离散随机变量，常见离散随机变量概率分布及其关系、离散随机变量的数字特征、离散随机变量的概率分布的母函数及其性质的研究都是当今研究的主要方面.每个随机变量都有一个分布，不同随机变量可以有不同的分布，随机变量有千千万万离散型随机变量的数字特征个，但常用分布并不多，常用离散分布主要为二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负几何分布，其中二项分布，泊松分布以及超几何分布在现实生活中有比较广泛的应用,是当今国内外研究的主攻方向.另外多维随机变量也是当今研究的主要范畴.随机变量（random variable ）表示随机现象（在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象）各种结果的变量（一切可能的样本点），例如某一时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例．随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，离散随机变量的研究方向基本上也是一致的，主要研究离散随机变量的概率分布关系及其母函数的特征性质，离散随机变量的分布列以及数字特征，离散随机变量的均值与方差，离散随机变量的数学期望等等.3 离散型随机变量的一些基本知识3.1 随机变量与概率分布定义 1 定义在样本空间Ω上的实值函数()X X ω=称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z 等表示随机变量，其取值用x,y,z 等表示.假如一个随机变量仅可能取有限个或可列个值，则称其为离散随机变量.假如一个随机变量的可能取值充满数轴上的一个区间（a,b ）,则称其为连续随机变量，其中a 可以是∞-,b 可以是∞.概率分布是随机变量指X 小于任何已知实数x 的事件可以表示成的函数。

用以表述随机变量取值的概率规律.描述不同类型的随机变量有不同的概率分布形式.是概率论的基本概念之一.概率分布是概率论的一个概念,使用时可以有以下两种含义：广义地，概率分布是指称随机变量的概率性质：当我们说概率空间 (Ω,F,P)中的两个随机变量X 和Y 具有同样的分布（或同分布）时，我们是无法用概率P 来区别他们的.换言之：称X 和Y 为同分布的随机变量，当且仅当对任意事件ΑF ∈，有()()P X A P Y A ∈=∈成立.但是，不能认为同分布的随机变量是相同的随机变量.事实上即使X 与Y 同分布，也可以没有任何点ω使得X(ω)=Y(ω).在这个意义下，可以把随机变量分类，每一类称作一个分布，其中的所有随机变量都同分布。

用更简要的语言来说，同分布是一离散型随机变量的研究种等价关係，每一个等价类就是一个分布.需注意的是，通常谈到的二项分布，泊松分布，超几何分布，几何分布与负二项分布等，都是指各种类型的分布，而不能视作一个分布.狭义地，它是指随机变量的概率分布函数.设X 是样本空间(Ω,F)上的随机变量，P 为概率测度，则称如下定义的函数是X 的分布函数（distribution function ），或称累积分布函数（cumulative distribution function ，简称CDF ）：()()x F a P X a =≤，对任意实数a 定义.具有相同分布函数的随机变量一定是同分布的，因此可以用分布函数来描述一个分布，但更常用的描述手段是概率密度函数.随机变量的概率分布列具有以下两点性质：(1)非负性 ()i p x 0,i 1,2,≥=. (2) 正则性 1i p(x )1i ∞==∑.对于特定的随机变量X ，其分布函数FX 是单调不减及右连续，而且()()x x F 0,F 1∞∞-==.这些性质反过来也描述了所有可能成为分布函数的函数：随机变量的分布设P 为概率测度,X 为随机变量则函数()()()F x P X x x R =≤∈称为X 的概率分布函数.如果将X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F(x)在x 处的函数值就表示X 落在区间(-∞,x]上的概率.例如，设随机变量X 为掷两次骰子所得的点数差，而整个样本空间由36个元素组成，数量( i , j )∈ S x P(X = x) F(x) 6 ( 1,1 )，( 2,2 )，( 3,3 )( 4,4 )，( 5,5 )，( 6,6 )06/36 6/36 10 ( 1,2 )，( 2,3 )( 3,4 )，( 4,5 )，( 5,6 ) 110/3616/36离散型随机变量的数字特征( 2,1 )，( 3,2 )，( 4,3 )( 5,4 )，( 6,5 )8 ( 1,3 )，( 2,4 )，( 3,5 )( 4,6 )，( 3,1 )，( 4,2 )( 5,3 )，( 6,4 )28/36 24/36 6 ( 1,4 )，( 2,5 )，( 3,6 )( 4,1 )，( 5,2 )，( 6,3 )36/36 30/36 4 ( 1,5 )，( 2,6 )( 5,1 )，( 6,2 )44/36 34/36 2 ( 1,6 )，( 6,1 ) 52/3636/36 3.2 离散型随机变量函数的概率分布设y=g(x)是定义在直线上的一个函数，X 是一个随机变量，那么Y=g(X)作为X 的函数，同样也是一个随机变量.在实际问题中，我们经常感兴趣的问题是：已知随机变量X 的分布，如何求出另一个随机变量的Y=g(X)的分布.描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即,1,2,k k P X x p k ===（）离散型随机变量的研究设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数)()(x X P x F ≤=称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数.)()()(a F b F b X a P -=≤<可以得到X 落入区间],(b a 的概率.分布函数)(x F表示随机变量落入区间]– x ∞（，内的概率. 分布函数具有如下性质：1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ；3° 0)(lim )(==-∞-∞→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞→x F F x ； 4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的；5° )0()()(--==x F x F x X P .对于离散型随机变量，∑≤=x x k k p x F )(； 离散型随机变量的分布列为()()()12n 12n x x x x x x X~p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 则其Y 的分布列为 ()()()12n 12nx x x y y y Y~p p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 当y 的取值中有某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可.3.3 离散型随机变量的母函数母函数在研究离散型随机变量的某些问题中，具有非常重大的作用.现给出母函数的定义.定义 2 设X 是取非负整数值的随机变量，其分布律为{}k p P X k ==，对于1s ≤，称0()()k X k k G s p s E s ∞===∑为该分布的母函数．例如，若~(,)X b n p ，则离散型随机变量的数字特征0()()()n kkn k n n k G s C ps q q ps -===+∑；若)(~p Ge X ，则11()1k k k ps G s pq s qs∞-===-∑； 若()X πλ∈，则(1)0()!k k s k G s e s e k λλλ∞--===∑．母函数的性质：可以证明母函数有如下性质[2] ：(1) 概率分布与母函数是一一对应的．因而对于概率分布的许多研究可以化为对其所对应的母函数的研究；(2) 独立随机变量之和的母函数 若随机变量12,,,n X X X 相互独立，它们的母函数分别为12(),(),,()n G s G s G s ，则X =12n X X X +++的母函数为 ()G s =12()()()n G s G s G s 特别当12,,,n X X X 独立同分布时，1()()i G s G s =，这时 1()[()]n G s G s =；（3）随机个随机变量之和的母函数 设12,,,,n X X X 是一串独立同分布的取非负整数值的随机变量，其母函数为()g s ,随机变量Y 是取正整数值的，其母函数为()G s ．若{}n X 与Y 独立，则Z =12Y X X X +++（若0Y =，则定义0Z =）的母函数为()H s =[]()G g s ．典型离散型随机变量的母函数⑴ 两点分布的母函数：()G z q pz =+⑵ 二项式分布的母函数：()()n G z q pz =+⑶ 泊松分布（）：()()λz 1G z e--= ⑷ 几何分布：()pz G z 1qz=- 现在讲解几个母函数的应用1 利用母函数求概率分布列定理：设随机变量X 的母函数为()()0X G S P S S 1k k k ∞==≤∑离散型随机变量的研究则X 的概率分布列为()kk x k s 01d p G s k!ds =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦证明：对()x G s 用幂级数展开，并逐项求导，可得()()()km k x k m km k 1d G s k!p m m 1m k 1p s ds ∞--+=+--+∑在上式中令s 0=,有()k X k k S 0d G S k!p ds =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因此()kk x k s 01d p G s k!ds =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2 现在证明母函数的唯一性 证明：设随机变量的概率分布为{}k p ,随机变量的概率分布为{}k q ,它们的母函数分别为()kx k k 0G s p s ∞==∑及()k y k k 0G s q s ∞==∑ 且()()x y G s G s =,因()()x y G s G s 和均为幂级数，且当s 1≤时该幂级数收敛，对()()x y G s G s 和求导k 次，并令s 0=，则得()()()()k k k x y k k!p G 0G 0k!q ===因此得：k k p q ,k 0,1,2,==,即两个概率分布相同，由此可知，概率分布和母函数是一一对应的.3 利用母函数求均值利用母函数可以求得相应的概率分布的的数字特征，若非负整值随机变量X 的母函数为()0kX k G S P s k ∞==∑则其导数为()1k 1x k d G s kp s ds k ∞-==∑离散型随机变量的数字特征上述级数至少在s 1<是收敛的，当随机变量X 的数学期望存在时，即()1k E X kp k ∞==∑存在时，显然有()()x k s 11d G s kp E X ds k ∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑.4 利用母函数求方差母函数()X G s 对s 求二阶导数，有()()()22X k 1x 22s 1d d G s k k 1p G s dx dx k ∞==⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦∑因此X 的方差为：()()()()()2222X X x 2s 1s 1s 1d d d D X E X E X G s G s G s ds ds ds ---⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=+-⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭现在举出几个母函数求期望与方差的例子① 计算二项分布随机变量的母函数、数学期望和方差解：若随机变量服从二项分布，则有[]()k k n kk n p P X k C p q k 0,1,2,n -====因此其母函数为()0kx k G s P s k ∞==∑()()nnk k n n 0k kx G s C p qs q ps k =-==+∑其一、二阶导数为()()()()()2n 1n 22x x 2d d G s n q ps p G s n n 1q ps p ds ds--=+=-+ X 的数学期望为[]()()n 1x s 1d E X G s |n q p p np ds --==+=()()()()2n 222x s 12d G s |n n 1q p p n n 1p ds --=-+=-X 的方差为[]()()()22x s 1x s 1x s 12d d d D X [G s ][G s ][G s ]ds ds ds ---⎧-+⎫=⎨⎬⎩⎭()()22n n 1p np np npq=-+-=离散型随机变量的研究② 计算泊松分布随机变量的母函数、数学期望和方差 解：若随机变量X 服从泊松分布，则[]k λk λp P X k e k!-===因此其母函数为()()()kkλs 1λk λλλs X 00λs λG S e s e e e e k!k!k k ∞∞==----====∑∑()()()()2λs 1λs 12x x 2d d G s λe G s λe ds ds --==X 的数学期望为[]()()λs 1x s 1s 1d E X G s |e λλds ---⎡⎤===⎣⎦()()2λs 122x s 12s 1d G s |λe λds ---⎡⎤==⎣⎦X 的方差为[]()()()22x s 1x s 1x s 12d d d D X G s ]G s ][G s ]ds ds ds ---⎡⎡⎧⎫=+-⎨⎬⎢⎢⎩⎭⎣⎣ 22λλλλ=+-=综上所言为离散型随机变量的母函数的一些性质及用来解决问题的方法.4 常见离散型随机变量的概率及其分布关系4.1 常用离散型随机变量常用离散型随机变量大致有七种：（1） 0-1分布或两点分布：),1(~p b X ，两点分布也成为伯努利分布，是超几何分布的特殊情况，当伯努利试验成功，令伯努利随机变量为1，若伯努利试验失败，令伯努利随机变量为0；（2）二项分布：~(,)X b n p ，二项分布即重复的n 次独立的伯努利试验，在每次试验中只有两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生于否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列才、试验总称为n 重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布；常见离散型随机变量的概率及其分布关系（3）几何分布：)GeX，在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的~p(机率，详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率；（4）巴斯卡分布或负二项分布：~(,)X Nb r p，满足其分布要有以下条件：实验包含一系列独立的实验，每个实验都有成功、失败两种结果，成功的概率是恒定的，实验持续到r次成功，r为正整数；（5）泊松分布：Xπλ，泊松分布中只有一个参数，它是泊松分布的均值，~()也是泊松分布的方差，关于泊松分布，接下会有详细的讨论；（6）超几何分布：~(,,)X h n M N，它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数；（7）多项分布，是二项式分布的推广.它们的关系图如下图 1 基于贝努利试验的结构图离散型随机变量的研究这些随机变量的最大特点是它们的取值是非负整数，因此引入母函数便于处理．因为母函数是幂级数，具有许多良好的性质，所以母函数是研究取非负整数值随机变量的有效工具.4.2 常用离散型随机变量的关系它们具有以下关系： 1 极限关系(1)设(,)n X b n p ∈，当n 较大时, 由棣莫佛-拉普拉斯定理, 二项分布可用正态分布逼近,(0,1)N ；(2) 当n 较大、p 较小, 且np 不大时, 二项分布可用泊松分布逼近, 即(;,)!kb k n p e k λλ-≈，其中np λ=；(3) 当N 很大而n 较小时, 超几何分布可用二项分布近似，即()(;,)h k b k n p ≈, 其中M p N=． 2 随机变量之和的关系 (1) 设12,,,n X X X 独立同分布于0-1分布, 则1(,)ni i X X b n p ==∈∑；实际上，由于12,,,n X X X 独立同分布于0-1分布，i X 的母函数为()q ps +，由母函数的性质（2），1ni i X X ==∑的母函数为()()n G s q ps =+．与二项分布的母函数相同，故(,)X b n p ∈． (2) 设12,,,r X X X 独立同分布于几何分布, 则1(,)ri i X X Nb r p ==∈∑；证明与（1）类似．这时X 的母函数为()1rps G s qs ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．（3 在超几何分布的产生背景中，将抽取n 件产品分解为抽取n 次，每次一常见离散型随机变量的概率及其分布关系件．令i X 表示第i 次抽取的次品数(1)i n ≤≤，显然i X 服从0-1分布，{}1i P X ==M N {},01i M P X N ==-．这时1ni i X X ==∑~(,,)h n M N ； 不过要注意这里的12,,,n X X X 不是相互独立的[3]．（4） 设12,,,,n X X X 是独立同分布于0-1分布的随机变量序列，()Y πλ∈，且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =+++()p πλ∈；这个结果可以从母函数[](1)(1)()()q ps p s H s G g s e e λλ+--===得到验证. （5）设12,,,,n X X X 是独立同分布于参数为1p 的几何分布的随机变量序列，2()Y Ge p ∈，且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =+++12()Ge p p ∈．这个结果可以从母函数[]1212()()1(1)p p sH s G g s p p s==--得到验证.3 特殊关系(1) 二项分布(,)b n p 中, 取1n =, 即为0-1分布； (2) 巴斯卡分布中, 取1r =, 即为几何分布； （3）多项分布中，取2r =, 即为二项分布；（4）若12(),()X Y πλπλ∈∈, 且,X Y 相互独立，则112(,)X X Y b n λλλ+∈+．即{}112(;,)P X k X Y n b k n λλλ=+==+，说明了泊松分布与二项分布的关系[4]；（5）若~(,)X Nb r p , 则{}1(;,)1r k r r k r k k r r P X k p q p q b r k p r r k k ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，这说明了二项分布与巴斯卡分布之间的关系[5]； （6）设12,,,n X X X 相互独立，且~(),1,2,,i i X Ge p i n =, 则11min()(1(1))ni i i ni X X Ge p ≤≤==∈--∏．证明：{}{}{}{}111min()min()1min()i i i i ni ni nP X k P X k P X k P X k ≤≤≤≤≤≤====>-->离散型随机变量的研究{}{}12121,1,,1,,,n n P X k X k X k P X k X k X k =>->->-->>>11111111nn n ni i k k j j j j j j i k i k j j j j p q p q q q +∞+∞---==+====⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏∏∏∏1111(1)(1)k nn i i i i p p -==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∏∏故11min()(1(1))ni i i ni X X Ge p ≤≤==∈--∏4.3 常见离散型随机变量的特殊性质1 二项分布的最可能成功次数与中心项当n 固定时，考察(;,)b k n p 随k 的变化情况．当k 从0变到n 时，(;,)b k n p ，单调上升，当[](1)k m n p ==+（这里[]为取整符号）时，达到最大值，以后又单调下降．因此，[](1)m n p =+称为最可能成功次数，项(;,)b m n p 称为(;,)b k n p 的中心项．2 几何分布的无记忆性设X 是取正整数值的随机变量，若{}{}P X m n X n P X m >+>=>，这里,m n 是非负整数，则称X 的分布具有无记忆性．显然，若X ∈)(p Ge ，则X 的分布具有无记忆性．实际上，在离散型分布中，也只有几何分布才具有这样的性质．为此，我们证明如下命题[2]：设X 是正整数值的随机变量，并且在已知X k >的条件下，1X k =+的概率与k 无关，那么X 服从几何分布． 为方便证明，记{}k q P X k =>，{}k p P X k ==，{}1p P X k X k ==+>．则111,k k k k k p p q q p q +++=-=，即11k kqp q +=-．注意到01q =，那么(1)k k q p =-，因此(1),1,2,k k p p p k =-= 这正是几何分布．3 二项分布与泊松分布的再生性（1）设,X Y 相互独立，且12(,),(,)X b n p Y b n p ∈∈，则几个常用离散分布的应用讨论12(,)Z X Y b n n p =+∈+；实际上，12()(),()()n n X Y G s q ps G s q ps =+=+，()Z G s=12()n n q ps ++，故12~(,)Z b n n p +．（2）设,X Y 相互独立，且12(),()X Y πλπλ∈∈，则12()Z X Y πλλ=+∈+． 实际上， 12(1)(1)(),()s s X Y G s e G s e λλ--==,()Z G s =12()(1)s e λλ+-. 故12~()Z πλλ+．5 离散型随机变量的数字特征随机变量的数字特征描述了随机变量变化的全貌特点，数学期望或均值描述了随机变量取值的集中位置或平均大小，方差描述了随机变量的取值偏离均值的程度或分散程度．因此研究随机变量数字特征的计算方法是非常必要的．先引入离散型随机变量的数学期望的定义定义 3 设离散随机变量X 的分布列为,1,2,3()(),i i p x P X x i ===如果()ii1x p x i ∞=<∞∑,则称()()1i i E x x p x i ∞==∑为随机变量的X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.若级数()ii1x p x i ∞=∑不收敛，则称X 的数学期望不存在.再引入其方差的定义定义 4 若随机变量2X 的数学期望2()E X 存在，则称偏差平方()2X EX -的数学期望()2E X EX -为随机变量X （或相应分布）的方差，记为 ()()()2Var X E X E X =-()()()2i i ix E X p x =-∑离散型随机变量的研究X （或相应分布）的标准差，记为()σX . 下面介绍几种求随机变量的数字特征方法：5.1 公式法我们知道，若X 的分布律为{},0,1,2,k k P X x p k ===，则0()k k k E X x p ==∑，()22()()()D X E X E X =-．这就是离散型随机变量X 的期望与方差的计算公式．例如，若),1(~p b X ，则()01E X q p p =⨯+⨯=，()22()()()D X E X E X =-=222201q p p p p pq ⨯+⨯-=-=；若)(~p Ge X ，则11()k k E X kpq+∞-==∑p q p q dq d p q dq d p k k 1)1(11)(20=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑+∞=，又因为2()E X =211k k k pq+∞-=∑1111[(1)]k k k k p k k qkq+∞+∞--===-+∑∑pq dq d pq k k 1022+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑+∞=p q dqd pq 11122+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=p p q p q pq 121)1(223+=+-= 由此得X 的方差为 22222211()()[()]q qD XE X E X p p p p =-=+-=； 若)(~λπX ，则11()!(1)!kk k k E X keee e k k λλλλλλλλλ-+∞+∞---======-∑∑，22()[(1)]!!kkk k E X kek k k e k k λλλλ+∞+∞--====-+∑∑= 222(2)!k k ek λλλλ-+∞-=+-∑ =λλ+2，由此得X 的方差为2222()()(())D X E X E X λλλλ=-=+-=．5.2 随机变量分解法若~(,)X b n p ， 则1ni i X X ==∑，其中12,,,n X X X 独立同分布于0-1分布[6],由期望与方差的性质，1()()ni i E X E X np ===∑，1()()ni i D X D X npq ===∑.几个常用离散分布的应用讨论若~(,)X Nb r p ， 则1ri i X X ==∑，其中12,,,r X X X 独立同分布于几何分布[6],由期望与方差的性质，1()()ri i r E X E X p ===∑，21()()ri i rqD X D X p ===∑.若~(,,)X h n M N ，由X 的产生背景，将抽取n 件产品分解为抽取n 次，每次一件．令i X 表示第i 次抽取的次品数(1)i n ≤≤，则1ni i X X ==∑，i X 服从0-1分布，这里NMp =．不过要注意12,,,n X X X 不是相互独立的[3]．故(),()i i E X p D X pq ==．又因为{}{}{}{}111,11111i j i j i j i M P X X P X X P X P X X pN -=========-，故 1()1i j M E X X pN -=-，(,)()()()i j i j i j Cov X X E X X E X E X =-211M p p N -=--，最后由期望与方差的性质得：1()()ni i nME X E X np N====∑， 111()()2(,)2[()()()]ni i j i j i j i i j ni j nD X D X Cov X X npqE X X E X E X =≤<≤≤<≤=+=+-∑∑∑=22()2[n nM N M C N -+21]1M p p N ---2()()(1)nM N M N n N N --=-． 5.3 母函数方法当X 的期望与方差存在时，()(1)E X G '=， []2()(1)(1)(1)D X G G G ''''=+-．上述公式为用母函数计算数学期望及方差的简便公式. 若)(~p Ge X ，则()1ps G s qs =-，1()(1),E X G p'==离散型随机变量的研究[]22()(1)(1)(1)qD X G G G p''''=+-=； 若()Xπλ，则(1)()s G s e λ-=，()(1)E X G λ'==，[]2()(1)(1)(1)D X G G G λ''''=+-=；若~(,)X b n p ，则()()n G s q ps =+，()(1)E X G np '==，2()(1)(1)[(1)]D X G G G npq ''''=+-=．再比如，若(,)X Nb r p ∈，则1ri i X X ==∑，其中12,,,r X X X 独立同分布于几何分布．由于i X 的母函数为1ps qs -，由母函数的性质（2）知()1rps G s qs ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．这时2()(1),()(1)(1)[(1)]r E X G D X G G G p '''''===+-=2rqp． 设Z 是母函数的性质（3）中的随机变量，这时，()H s =[]()G g s ．由于[]()()()H s G g s g s '''=，[][]2()()[()]()()H s G g s g s g s G g s ''''''''=+，因此当()i E X ，()E Y ，()i D X ，()D Y 存在时，()(1)()()i E Z H E Y E X '==⨯，()(1)D Z H ''=+[]2(1)(1)H H ''-2()[()]()()i i D Y E X E Y D X =+．这是计算随机个独立同分布的随机变量之和的期望与方差的公式[7]．例如，设12,,,,n X X X 是独立同分布于0-1分布的随机变量序列，()Y πλ，且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =+++的期望与方差分别为：()()()i E Z E Y E X p λ=⨯=，2()()[()]()()i i D Z D Y E X E Y D X p λ=+=． 实际上，这个结果也可以从母函数[](1)(1)()()q ps p s H s G g s e e λλ+--===得到验证，因为这时的()Z p πλ∈.再例如，设12,,,,n X X X 是独立同分布于参数为1p 的几何分布的随机变量序列，2()Y Ge p ∈，且与{}n X 相互独立，则12Y Z X X X =+++的期望与方差分别为：121()()()i E Z E Y E X p p =⨯=，2122121()()[()]()()()i i p p D Z D Y E X E Y D X p p -=+=．几个常用离散分布的应用讨论实际上，这个结果也可以从母函数[]1212()()1(1)p p sH s G g s p p s==--得到验证，因这时的12()Z Ge p p ∈.6 几个常用离散分布的应用讨论6.1 关于泊松分布及其应用作为一种常见的离散型随机变量的分布, 泊松分布日益显示其重要性, 成为概率论中最重要的几个分布之一.服从泊松分布的随机变量是常见的.泊松分布产生的一般条件：在自然界和人们的现实生活中, 经常要遇到在随刻出现的某种事件, 我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列, 叫做随机事件流[8]，若事件流具有平稳性、无后效性、普通性, 则称该事件流为泊松事件流(泊松流). 例如一放射性源放射出的 子数;某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; 等这些事件都可以看作泊松流.泊松分布的数学期望与方差： 泊松分布其概率分布列为()k λλP X k e ,k 0,1,2,k!-===其中参数λ0>，记为()X~P λ.由泊松分布知()()()()()000E N t N t D N t N t λt t -=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦特别地, 令0t 0=, 由于假设()N 00=, 故可推知泊松过程的均值函数和方差分别为()()E N t λt,D N t λt ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦泊松过程的强度λ(常数)等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值. 即对泊松分布有: ()()E X D X λ==泊松分布的特征：⑴ 泊松分布是描述和分析稀有事件的概率分布.要观察到这类事件，样本含量n 必须很大.⑵ 是泊松分布所依赖的唯一参数.值愈小，分布愈偏倚，随着的增大，分布趋于对称.离散型随机变量的研究⑶ 当λ20=时，泊松分布接近于正态分布；当λ50=时，可以认为泊松分布呈正态分布.在实际工作中，当λ20≥时，就可以用正态分布来近视地处理泊松分布的问题.泊松分布的应用研究：在生物学研究中，服从泊松分布的随机变量时常见的.如每升饮水中大肠杆菌数，计数器小方格中血球数，单位空间中某些野生动物或昆虫数等.都是服从泊松分布的.[例] 为监测饮用水的污染情况，现检验某社区每毫升饮用水中细菌数，共得400个记录如表1.表 1 某社区每毫升饮用水中细菌数3 试分析引用水中细菌数的分布是否服从泊松分布.若服从，按泊松分布计算：细菌数ml ∕（水）的概率及理论次数，并将频率分布与泊松分布直观比较.经计算得每毫升水中平均细菌数x 0.500=，方差2s 0.496=.两者很接近，故可认为细菌数ml ∕（水）服从泊松分布.以x 0.500=代入公式中的得()()k 0.50.5P x k e k 0,1,2k!-===计算结果如表2.表 2 细菌数的泊松分布3 可见细菌数的频率分布与λ0.5=的泊松分布是相当吻合的，进一步说明泊松分布描述单位容积（或面积）中细菌数的分布是适宜.泊松分布理论及其应用的研究，对于试验成功概率很小而试验次数很多的随机过程，都可以很自然的应用于泊松分布的理论.在泊松分布中的概率表达式只含一个参数λ，减少了对参数的确定与修改工作量，模型构建比较简单，具有很重要的实际意。