2010高考数学试题分类汇编——函数

2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）14.将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（*
n N ∈，2n ≥）
围成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞
=
1
2。

解析：B )1
,1(
++n n n n 所以B O ⊥AC ， n S =)
1(21
)2221(221+-=
-+⨯⨯n n n n 所以lim n n S →∞
=
1
2
（2010上海文数）9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 (0,-2) 。

解析：考查反函数相关概念、性质
法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=x
y ，另x=0，有y=-2
法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）
（2010湖南文数）10.已知一种材料的最佳加入量在100g 到200g 之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】171.8或148.2
【解析】根据0.618法，第一次试点加入量为
110＋（210－110）⨯0.618＝171.8 或 210－（210－110）⨯0.618＝148.2
【命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。

（2010陕西文数）13.已知函数f （x ）＝2
32,1,,1,
x x x ax x +<⎧⎨
+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .
解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2
（2010重庆文数）(12)已知0t >，则函数241
t t y t -+=的最小值为____________ .
解析：2411
42(0)t t y t t t t
-+=
=+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =-
（2010浙江文数）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。

答案：20
（2010重庆理数）（15）已知函数()f x 满足：()1
14
f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________. 解析：取x =1 y=0得2
1)0(=
f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)= 2
1
（2010天津文数）（16）设函数f(x)=x-
1
x
,对任意x [1,∈+∞），f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________ 【答案】m<-1
【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。

已知f （x ）为增函数且m ≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意。

M<0，时有221111
02()012m mx mx mx m x mx x m x m
-
+-<⇒--∙<⇒+<因为22y x =在[1,)x ∈+∞上的最小值为2，所以1+212m
<即2
m >1,解得m<-1.
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。

（2010天津理数）（16）设函数2
()1f x x =-，对任意2
,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。

依据题意得2222
2214(1)(1)14(1)x m x x m m ---≤--+-
在3
[,)2
x ∈+∞上恒定成立，即2
2213241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。

当32x =
时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以2
21543
m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解
得m ≤或m ≥ 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
（2010广东理数）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 . 9． (1,+∞) ．∵10x ->，∴1x >．
（2010广东文数）
（2010全国卷1理数）(15)直线1y =与曲线2
y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
（2010湖南理数）14．过抛物线2
2(0)x py p =＞的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于,A B 两点，
,A B
在x 轴上的正射影分别为,D C ．若梯形ABCD 的面积为，则p = ．
3. （2010福建理数）15．已知定义域为0+∞（，）的函数f(x)满足：①对任意x 0∈+∞（，），恒有f(2x)=2f(x)
成立；当x ]∈
（1，2时，f(x)=2-x 。

给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有m f(2)=0；②函数f(x)的值域为[0+∞，）；③存在n Z ∈，使得n
f(2+1)=9；④“函
数f(x)在区间(,)a b 上单调递减”的充要条件是 “存在Z k ∈，使得 1(,)(2,2)k k a b +⊆”。

其中所有正确结论的序号是 。

【答案】①②④
【解析】对①，因为m
2>0，所以m
f(2)=0，故①正确；经分析，容易得出②④也正确。

【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件，熟练基础知识是解答好本题的关键。

4 . （2010江苏卷）5、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________ [解析]考查函数的奇偶性的知识。

g(x)=e x +ae -x 为奇函数，由g(0)=0，得a =－1。

5. （2010江苏卷）11、已知函数21,0()1,
0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2
(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。

[解析]
考查分段函数的单调性。

2
2
12(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩
6. （2010江苏卷）14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，
记2
(S =梯形的周长）梯形的面积
,则S 的最小值是____▲____。

[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。

一题多解。

设剪成的小正三角形的边长为x ，
则：22
2
(3)(01)1x S x x -=<<- （方法一）利用导数求函数最小值。

22(3)()1x S x x -=-
，2222
(26)(1)(3)(2)
()(1)x x x x S x x -⋅---⋅-'=-
222222
(26)(1)(3)(2)2(31)(3)
(1)(1)x x x x x x x x -⋅---⋅----==-- 1
()0,01,3
S x x x '=<<=，
当1(0,]3x ∈时，()0,S x '<递减；当1
[,1)3
x ∈时，()0,S x '>递增；
故当13x =
时，S
的最小值是3。

（方法二）利用函数的方法求最小值。

令111
3,(2,3),(,)32x t t t -=∈∈
，则：222186681t S t t t t
==-+--+-
故当131,83x t ==时，S。