等腰三角形的识别4
有关等腰三角形问题
初一暑期数学基础巩固与方法培养训练（十四）专题（四）：有关等腰三角形问题等腰三角形是一类特殊的三角形，正因为它特殊，所以它比一般的三角形应用更为广泛，因此学好等腰三角形有关知识是很必要的．下面就有关知识从四个方面进行解读．一、概念篇1．等腰三角形概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做等腰三角形的腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2．等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形．说明：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形一定是等边三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形．3．等腰直角三角形概念：顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形．二、特征篇1．等腰三角形特征：（1）等腰三角形是轴对称图形，其底边中线所在直线是它的对称轴，或底边上的高所在直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在直线是它的对称轴；（2）等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”；（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线互相重合，称“三线合一”．说明：根据等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中两底角的平分线、两腰的中线、两腰的高相等；等腰三角形的两底角相等是说明两角相等的依据；“三线合一”是说明两角相等、两线相等及两线垂直的重要依据．2．等边三角形特征：等边三角形是特殊的等腰三角形，它除了具有等腰三角形所有特征外，还具有：（1）它只有三条对称轴；（2）三个内角都相等，都等于60º；（3）每条边上的中线都是“三线合一”的线段．三、识别篇1．等腰三角形的识别：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称等角对等边．说明：（1）等腰三角形的识别方法是说明两线段相等的重要方法，它是三角形中角相等关系转化为边相等关系的重要依据，同学们要重点掌握．（2）要注意等腰三角形特征与识别是两个不同的结论，学习时分清它们之间的区别．2．等边三角形的识别：（1）三条边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形或有两个角为60º的三角形是等边三角形；（3）有一个角为60º的等腰三角形是等边三角形．四、注意篇1．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．2．在计算等腰三角形有关边、角问题时，要注意利用分类讨论思想进行全面考虑．3．注意“三线合一”在处理等腰三角形问题时的综合运用．五、等腰三角形问题注意分情况讨论等腰三角形因其内角有顶角和底角之分；其边有底边和腰之分；其形状有锐角三角形、钝角三角形和直角三角形；其高的位置有在形内、在形外和在三角形的一边上；因而有关等腰三角形问题，当题中条件不明确时应分情况讨论，谨防漏解.（一）对角的讨论例1 已知等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求三个内角.（二）对边的讨论例2 已知等腰三角形的两边长分别为（2x-1）cm和(x+1)cm，周长19cm,求x和三边长.（三）对形状及高的位置的讨论例3 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三个内角的度数.（四）对问题本身的讨论例4 如图3，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，AC 边中线BE 分三角形周长为21cm 和15cm ，求三边长.六、利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. （一）、证明线段相等例5 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ， DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .（二）、证明两条线垂直例6 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD .（三）、证明角的倍半关系例7 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC .（四、证明线段的倍半关系例8 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，图4BF DE CAF E 图3 D CBACDE F 图1BAF D图2BECA（五）、证明一个角是直角例9 如图5，△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，BC ＝2AC .求证：∠A ＝90°.（六）、证明线段的和差关系例10 如图6，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且∠ABC ＝2∠C .求证：CD ＝AB +BD . 练习：.1、已知：等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于5，求它的周长．2、10.如果以4cm 长的线段为底组成一个等腰三角形,腰长x 应在的范围是( ) A.x>4cm B.x>2cm C.x≥4cm D.x≥2cm3、如图，一个顶角为︒40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21____.4、如图，︒=∠15A ，作线段⋅⋅⋅DE CD BC 、、，使⋅⋅⋅====DE CD BC AB ，如此进行下去，一共可以得到 个等腰三角形.5、已知：等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于15， 求它的周长．6、已知等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为15和18两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长．7、已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍，求这个等腰三角形的三个内角大小．8、已知：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是40°，求这个等腰三角形的底角的度数．图5ABCDED 图6CE BA.9、 如图1，已知AH ⊥BC 于H ，∠C=28°，且AB+BH=HC ，求∠B 的度数.图110、 如图2，已知AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证AB+BD=AC.图211 如图3，在△ABC 中，AC=AB ，E 在CA 的延长线上，∠AEF=∠AFE ，求证：EF ⊥BC.图312.如图，D E ，分别为ABC △的边A B A C ，上的点，BE 与C D 相交于O 点．现有四个条件：①A B A C =，②O B O C =，③ABE AC D ∠=∠，④B E C D =．请你认为这四个结论正确吗？写出一个正确．．的的理由。
等腰三角形
角形？
A
△ABC（AB=AC）
△ADB（AD=BD）
△BDC （BD=BC）
D
B
C
练1:如图,在下列等腰三角形中, 分别求出它们的底角度数
A
36°
120°
┓
B
D
C
2: 如图, △ABC是等腰直角三角( AB=AC,∠BAC=90°)
AD是底边BC上的高,标出∠B, ∠C, ∠BAD, ∠DAC
的度数.图中有哪些相等的线段? A
A
B
E
C
FD
（1）等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？
A
G
H
E
F
B
C
D
（2）DG，DH分别是AB、AC上的中线呢？
判断下列语句是否正确。
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重
合。
（× ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°.
（）
（3）等腰三角形的底角都是锐角.
（）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （× ）
趣味数学：
如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边
上， ∠A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，
求∠ MEF的度数。
M
E
Cห้องสมุดไป่ตู้
AB
DF
N
经过本节课的学习， 你有哪些收获？
； ； ； ；
6. 已知等腰三角形的一边长等于5,另一边长等于9, 那么 它的周长等于 19 或 23 ;
7. 已知等腰三角形的一个外角等于100°, 那么它的顶角
的度数是 80°或20°
;
8. 已知等腰三角形一角是另一角的2倍,则各内角的度数 分别是 45°, 45°, 90°,或72°, 72°, 36° ;
1.1等腰三角形复习(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题，如如何计算等腰三角形的周长和面积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作等腰三角形，并测量其相关数据。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
针对本次教学，我总结了以下几点反思：
1.加强课堂互动，提高学生参与度，鼓励大家积极发表自己的观点，培养独立思考能力。
2.注重知识点的实际应用，设计更多与生活相关的案例，让学生在实践中感受数学的魅力。
3.在教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教，帮助每个同学找到适合自己的学习方法。
4.加强课堂小结，通过提问、练习等方式，检验同学们对于课堂内容的掌握程度，及时发现问题并进行针对性指导。
2.发展学生的逻辑推理能力：在探讨等腰三角形的判定方法和性质应用过程中，引导学生运用逻辑推理，培养严谨的思维习惯。
3.增强学生的数学运算能力：让学生在解决等腰三角形周长和面积问题时，掌握相关计算方法，提高运算的准确性和速度。
4.培养学生的数据分析观念：通过对等腰三角形实例的分析，让学生学会从数据中寻找规律，培养数据分析能力，为解决实际问题奠定基础。
3.等腰三角形的底角和顶角：底角相等，顶角为两底角的补角。
4.等腰三角形的周长和面积：周长为底边加上两腰的长度之和；面积可通过底和对应高的乘积除以2计算得出。
二、核心素养目标
《1.1等腰三角形复习（教案）》
本节课的核心素养目标为：
1.培养学生的几何直观：通过复习等腰三角形的性质，使学生能够直观理解和把握等腰三角形的图形特征，提高空间想象能力。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
等腰三角形性质定理
知识点一：等腰三角形、腰、底边 在小学里我们就已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边，∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．知识点二：三角形按边分类不等边三角形三角形底边与腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形（正三角形）3例题讲解 40分钟 4随堂练习 20分钟等腰三角形的性质定理知识点三：等腰三角形的性质1、性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2、这两个性质证明如下：在△ABC中，AB=AC，如图所示．作底边BC的高AD，则有∴ Rt△ABD≌Rt△ACD．∴∠B=∠C，∠1=∠2．BD=CD．于是性质1、性质2均得证．3、说明：（1）①等腰三角形的性质1用符号表示为：∵AB=AC，∴∠B=∠C；②性质1是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后我们证明角相等的又一个重要依据．（2）①性质2实质包含三条性质，符号表示为：∵ AB=AC，AD⊥BC，∠1=∠2，∴ BD=CD；或∵ AB=AC，BD=CD，∠l=∠2，∴ AD⊥BC．②性质2的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．一、规律方法指导1．等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之构成等腰（边）三角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。
2．常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
（2）在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
三角形判断公式
三角形判断公式
三角形判断公式是用来判断一个三角形是否为等边三角形、等腰三角形或一般三角形的公式。
其中，等边三角形的三条边相等，等腰三角形有两条边相等，一般三角形则三条边均不相等。
三角形判断公式有以下几种：
1. 等边三角形判断公式：如果一个三角形的三条边相等，则它是等边三角形。
2. 等腰三角形判断公式：如果一个三角形的两条边相等，则它是等腰三角形。
此时，两个等边所对的角也相等。
3. 直角三角形判断公式：如果一个三角形有一个角为直角，则它是直角三角形。
此时，直角所对的边称为斜边，另外两条边分别称为直角边。
4. 三角形边长关系判断公式：如果一个三角形的任意两条边之和大于第三边，则它是一般三角形。
如果任意两条边之和等于第三边，则它是退化三角形。
如果任意两条边之和小于第三边，则它不是三角形。
以上是三角形判断公式的介绍，它们不仅能帮助我们识别出不同类型的三角形，还能为我们解决一些三角形相关的问题提供帮助。
- 1 -。
八年级数学 第十二章 第3节 等腰三角形 人教新课标版
初二数学第十二章第3节等腰三角形人教新课标版一、学习目标：1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30的直角三角形的性质。
二、重点、难点：重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是30的直角三角形的性质。
难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。
三、考点分析：本节知识内容是初中数学的基础，考试题型多，方法灵活。
对这部分知识的命题方向是考查等腰三角形及等边三角形的性质和判定，即边角的相互转化。
这部分内容在中考中多以填空题、选择题的形式出现。
在综合题中，对等腰三角形的性质和判定知识的考查较为常见，中考中还经常出现与本节知识有关的探究性问题，如函数中的动点，考查动点在何处时形成的图形是等腰三角形、等边三角形等。
知识点一：等腰三角形的有关概念例1.如图，D在AC上，AB=AC，AD=DB，请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。
思路分析：这里要求根据条件说明图形的名称，而不是凭直观和想象。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，另外的两个角叫做底角。
解答过程：图中的等腰三角形有ABC∆和ADB∆。
其中∠；∠和C ABC∠，底角是CBA ∆的腰是AB和AC，底边是BC，顶角是BAC∠，底角是∠A和ABD∠。
∆的腰是DA和DB，底边是AB，顶角是BDAADB解题后的思考：解决此类题目应先找到两腰，然后根据其他元素与两腰的相对位置关系来进行识别。
例2. 已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长分别为___________； 思路分析：长为3的边是否是腰并不清楚，故应分类讨论。
解答过程：当3为底边时，其他两边均为(133)25-÷=；当3为腰长时，其他两边为3和13337--=。
《等腰三角形的性质》优秀课件
全等识别
若两个三角形三边及三角分别相等，则这两个三角形全等。在等腰三角形中， 若两个等腰三角形的底边和腰长分别相等，则这两个等腰三角形全等。
2024/1/26
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对后续知识点（如圆、三角函数）的铺垫作用
对圆的知识点铺垫
等腰三角形的性质与圆的性质有密切联系。例如，在等腰三角形中，底边上的中垂线同时也是底边所 在圆的直径；此外，在等腰三角形中引入外接圆和内切圆的概念，可以进一步探讨三角形的性质。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形）
在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等 ，则这两个三角形全等。
2024/1/26
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与其他特殊三角形关系
与等边三角形的关系
等边三角形是特殊的等腰三角形，三 边都相等。
与相似三角形的关系
若两个等腰三角形的顶角和底角分别 相等，则这两个三角形相似。
8
边角关系
等腰三角形中，两个等腰边所 对的两个底角相等，即等边对 等角。
2024/1/26
等腰三角形的顶角平分线、底 边上的中线、底边上的高相互 重合，即“三线合一”。
等腰三角形中，若有一个角是 60度，则这个三角形是等边三 角形。
9
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度， 高是从顶点到底边的垂直距离。
《等腰三角形的性质》 优秀课件
2024/1/26
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目录
2024/1/26
• 等腰三角形基本概念 • 等腰三角形性质探究 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理证明 • 等腰三角形在几何变换中的地位和作用 • 典型例题解析与课堂互动环节
【中考备战策略】2014中考数学总复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形课件 新人教版
解析： 分两种情况： (1)等腰三角形的腰长为 6 cm， 则它的周长为 6×2＋3＝15(cm)； (2)等腰三角形的腰长 为 3 cm，三角形的三边长分别 6 cm,3 cm,3 cm，不可 能．故选 D.
2．已知等腰三角形的一个内角为 40° ，则这个等 腰三角形的顶角为 ( A． 40° C． 40° 或 100° C ) B． 100° D． 70° 或 50°
考点二 等腰三角形的判定 例 2 (2013· 厦门 )如图，已知 A，B，C，D 是⊙ O 上 的四点，延长 DC， AB 相交于点 E.若 BC＝ BE. 求证：△ ADE 是等腰三角形．
【点拨】 本题考查圆内接四边形的性质与等腰三角 形的判定． 证明：∵ A， B， C， D 四点共圆， ∴∠ A＝∠ BCE. ∵ BC＝ BE， ∴∠ BCE＝∠ E，∴∠ A＝∠ E. ∴ AD＝ DE，即△ ADE 是等腰三角形．
考点二 等腰三角形的性质和判定 1．性质
(1) 等腰三角形的两个 底角 相等 ( 简称： 等边对等 角 )； (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底 边上的高线互相重合 ； (3)等腰三角形是轴对称 图形，有一 条对称轴，顶 角的平分线 (底边上的中线、 底边上的高线)所在的直线 是它的对称轴．
【点拨】 ∵ AB＝ BC， ∠ ACB＝ 35° ， ∴∠ A＝ ∠ ACB ＝ 35° .∵ AB∥ DC， ∴∠ OCD＝ ∠ A＝ 35° .∵∠ D＝ 40° ， ∠ AOD 是 △ OCD 的外角， ∴∠ AOD＝ ∠ OCD＋ ∠ D＝ 35° ＋ 40° ＝ 75° . 【答案】 75°
∵ BE⊥ CE， ∴∠ BCE＝ 60° ， ∠ EBC＝ 30° . ∴ BC＝ 2CE. ∵ EA＝ EC， ∴ BC＝ AC. ∴△ ABC 是等边三角形．
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顶角
(1)相等的两条边叫做腰。 (2)另一边叫底边。 (3)两腰的夹角叫顶角。 (4)腰与底边夹角叫底角。
B 底角 腰
A
腰
C
底边
底角
等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等； 2.底边上的高、中线及顶角平分线三线合一
观 察 边 AB 与 AC 是否重合 ？
☆
如果一个三角形有两个角相等,那么这两 ☆ 个角所对的边也相等 （简称为等角对等边）
巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？
300
400
400
750
1
在 ABC中, 已知 A=45 , B=90 , 判断 ABC 是什么三角形.为什么?
∵ ∠C＝180°－∠A－∠B ＝18等边三角形吗? 请说明理由
A
B
C
小结
1. 等腰三角形的识别
1).根据等腰三角形定义；
2).等角对等边 2.了解了等边三角形识别,等腰直角三角形的概念
1).三个角都是60 的三角形是等边三角形 2).顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形
想一想
你要怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢？
下列图形是否是等腰三角形？
7cm
7cm
750
750
做一做
1.在半透明纸上画一线段BC
A
2.以BC为始边，分别以点B和点C 为顶点，画两个相等的角（使用 量角器），两角中边的交点为点A
B D C
3.用刻度尺找出边BC的中点D，连接AD 然后沿AD对折
解
∴
∴
∠C＝∠A．
△ABC是等腰三角形．
你能说出 它的理由 吗？
A
概念 顶角是直角的等腰三角形
叫做等腰直角三角形
B C
你能说出这个等腰直角三 角形各个角的大小？
∠A= ∠C=
900 450
， ∠B= 。
450
，
C 1 2
B
D
A
△ABC 是等腰直角三角形，∠ ACB ＝ 90°， CD是底边上的高，那么图中共有哪几个等腰 直角三角形？