1集合与元素(教师版)
北师大版中职数学基础模块上册：1.1.1集合与元素(教案)
(4）任意一个正整数，能否被5整除是确定的，所以能被5整除的正整数能组成集合.
解(1）能；(2）不能；(3）能；(4）能．
合作交流
同桌两人，其中一人举出一个集合的例子，另一人
说出这个集合中的两个元素，再交换练习，看谁的正确率高.
完成“合作交流”中问题
活动四：
课堂小结
作业布置
（一）课堂小结
（二）作业布置
完成课本中P4 ——练习1./2./3./4.
活动五：板书设计
1.1.1 集合与元素
一、集合与元素概念及其表示方法练习小结
二、集合与元素关系练习作业
三、集合中元素的特征
活动六：教学反思包括5个方面，教学目标、教学内容、教学实施、教学评价、教学效果。
所谓教学反思，是指。
1、集合与元素教案
识点
启发
学生
体会
集合
概念
动脑思考探索新知
概念
由某些确定的不同对象组成的整体叫做集合，集合通常用大写的英文字母A,B,C,…表示，例如……
注意:不能确定的对象，不能组成集合．例如，本校一年级的高个子男生，本班数学成绩较好的同学就不能组成集合
集合中每个确定的对象叫做这个集合的元．元素通常用小写英文字母a,b,c…
能力
(1)课后作业：
说明
记录
归纳
（1）云南，贵州，四川组成了中国西南三省集合；
（2）大西洋，北冰洋，印度洋，太平洋组成了世界四大洋集合；
（3）红，橙，黄，绿，蓝，靛，紫构成太阳光的七种单色集合。
云南，贵州，四川，北冰洋，大西洋，印度洋，太平洋，红，橙，黄，绿，蓝，靛，紫就是其对应集合的元素．
例说概 念
理解
从实
际事
例使
学生
自然
的走
例1下列对象能否组成集合，如能组成元素分别是什么
（1）中国的直辖市；
（2）方程 的所有解；
（3）大于3的自然数；
（4）著名的科学家；
（5）小于0的实数。
解(1)中国的直辖市分别是北京市、天津市、上海市、重庆市，他们是确定的对象，能够组成集合。
（2）方程 的所以解是1和-1，他们是确定的对象，能组成集合。
强调
符号
规范
书写
*问题解决
课本49页
*运用知识强化练习
课内练习
提问
巡视
指导
思考
动手
求解
交流
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容重点和难点各是什么
湘教版高中数学必修第一册-1.1.1.1集合与元素【课件】
方法归纳
判断一组对象能否组成集合的策略 (1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对 于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具 有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合． (2)注意集合中元素的互异性、无序性．
2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是( ) A．0∈N B．π∈Q C．－1∈Z D． 2∉R
答案：AC 解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确； 2是实数，D不正确．故选AC.
3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是 ___2_，__3__．
4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1___∈_____A，2____∉__A(用∈ 或∉填空)
关系
概念
属于 如果a_是__集_合__S_的__元_素__，就说a属于S
不属于
如果__a_不__是__集_合__S_中__的__元__素___，就说 a不属于S
记法 __a_∈__S___
____a_∉_S__
读法 a属于S
a不属于S
要点三 元素的基本属性 (1)互异性：同一集合中的元素是__互__不_相__同__的___． (2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2， 3与3，2，1 构成的集合是同一个集合．
要点四 常用数集及表示符号
人教版高数必修一第1课：集合的含义与表示(教师版)
集合的含义与表示1、 通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。
2、 掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。
3、 掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。
一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。
集合中每一个对 象称为该集合的元素。
如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。
1，2，3，4就是这个集合的元素 。
类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。
特别提醒：1、集合是一个“整体”。
一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。
2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。
3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。
二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性： 对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。
集合中相同的元素只能算是一个。
如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。
3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。
三、元素与集合的关系：一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉。
集合与元素的教案
1.1集合及其表示法一、数学史引入（1）“物以类聚，人以群分”（2）我校高一年级的全体学生；（3）这间教室里所有的课桌；（4）所有的正有理数；（5）……二、学习新课集合的述性说明：把能够确切指定的一些对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
我们既要研究集合这个整体，也要研究这个整体中的个体。
我们称集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的分类：有限集、无限集、空集；集合中元素的特性：“确定性”；“互异性”；“无序性”；（2）集合的表示方法：集合的符号表示：集合常用大写英文字母A、B、C…表示，集合中的元素常用小写英文字母a、b、c…表示元素与集合的关系：属于∈与不属于∉（注意方向和辨析）；列举法：将集合中的元素一一列出来（不考虑元素的顺序），且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：{}A x x p=满足的性质，这种表示集合的方法叫做描述法.（3）特殊集合的表示：常用的集合的特殊表示法：实数集R（正实数集+R）、有理数集Q（负有理数集-Q）、整数集Z（正整数集+Z）、自然数集N（包含零）、不包含零的自然数集*N；空集∅（例：方程220x+=的实数解集为∅）.[说明]描述法这一表示集合的形式学生较难理解，可以通过一些例题来加深（1）不等式320x +>的解； （2）我班中身高较高的同学； （3）直线21y x =-上所有的点； （4）不大于10且不小于1的奇数。
例2、用符号∈或∉填空： （1）2______N （2______Q （3）0____∅（4）0______{}0（5）b ______{},,a b c（6）0______*N例3、写出下列集合中的元素（并用列举法表示）： （1）既是质数又是偶数的整数组成的集合 答：{}2（2）大于10而小于20的合数组成的机荷 答：{}12,14,15,16,18例4、用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合 答：{}|51,x x k k =+∈N（2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 答：{}(,)|0,,x y xy x y >∈∈R R（3）函数221y x x =-+的图像上所有的点 答：(){}2,|21,,x y y x x x y =-+∈∈R R （4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 答：*,,52n x x n n n ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭N例5、用列举法表示下列集合： （1）(){},|5,,x y x y x y +=∈∈N N答：()()()()()(){}0,5,1,4,2,3,3,2,4,1,5,0（2）{}2230,x x x x --=∈R答：{}3,1- （3）{}2230,x xx x -+=∈R答：∅ （3）12,5x x x ⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z答：{}7,1,1,3,4--例6、用符号∈或∉填空： （1）{x x <{}2*3____1,x x n n =+∈N（3）(){}21,1____y y x -=（4）()(){}21,1____,x y y x -=三、课堂小练：1、用描述法表示下列集合：（1）被5除余1的正整数所构成的集合 （2）平面直角坐标系中第一、第三象限的点构成的集合 （3）函数221y x x =-+的图像上所有的点 （4）12345,,,,34567⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、用列举法表示下列集合：},512|){3(},032|){2(},,5|),){(1(2Z x N xx R x x x x N y N x y x y x ∈∈-∈=--∈∈=+3、用符号∈或∉填空： （1）{x x <（2）{}2*3____1,x x n n =+∈N （3）(){}21,1____y y x -= （4）()(){}21,1____,x y y x -=4、已知x 、y 、z 为非零实数，用列举法将||x x ＋||y y ＋||z z ＋||xy xy ＋||xyz xyz 的所有可能值构成的集合表示出来为___．5、下列各集合中，与集合｛x ｜x 2＝1，x ∈R ｝不相等的集合为（ ）．（A ）｛1，－1｝ （B ）｛x ｜|x |＝1，x ∈R ｝ （C ）｛x ｜x ＝x1，x ∈R ｝ （D ）｛x ｜x 3＝x ，x ∈R ｝ 6、数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ） A.{2，5}B.{－2，－5}C.{±2,±5}D.{2,－5}7、已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某个三角形的三条边长， 那么此三角形一定不是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8、有下列四个命题：①{}0是空集； ②若N a ∈，则a N -∉； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素；④集合6B x QN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集。
数学人教版高中一年级必修1 元素与集合、集合与集合的关系
第一周 元素与集合、集合与集合的关系重点知识梳理1．集合元素的三个特性：确定性，互异性，无序性． ①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元素，相同元素只能出现一次； ③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．2．元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，元素与集合是从属关系，如a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A ，a 不属于集合A ，记作a ∉A . 3．集合间的基本关系(1)子集：如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B . (2)真子集：如果A ⊆B 且A ≠B ，那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B .(3)相等：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，即A ＝B . (4)常用结论①任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A ；②空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集； ③如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ； ④如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B .典型例题剖析例1 已知集合A ＝{x |ax 2－2x －1＝0，x ∈R }，若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．【方法指导】集合A 中至多有一元素，即为对应方程至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a 的取值范围即可．【解析】(1)当a ＝0时，方程只有一个根－12，则a ＝0符合题意；(2)当a ≠0时，关于x 的方程ax 2－2x －1＝0是一元二次方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}． 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≤－1}． 【提示】以下解法是错误的：由于集合A 中至多有一个元素，则一元二次方程ax 2－2x －1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所以Δ＝4＋4a ≤0，解得a ≤－1，所以实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．错误原因 方程ax 2－2x －1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式Δ判断其实根的个数．淘出优秀的你2【小结】本题体现了转会与化归的思想，解答时将问题转化为关于x 的方程ax 2－2x －1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，则需对其是否为零进行讨论．变式训练 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A 是单元素集(只含有一个元素的集合)，求a 的值及集合A ； (2)求集合P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}． 【解析】(1)当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98，此时A ＝{43}．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)知，当a ＝0时，A ＝{23}含有一个元素，符合题意．由a ≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上所述，P ＝{a ∈R |a 使得A 至少含有一个元素}＝{a |a ≤98}．例2 已知－3∈A ，A 中含有的元素有a －3,2a －1，a 2＋1，求a 的值． 【解析】由－3∈A 且a 2＋1≥1，可知a －3＝－3或2a －1＝－3， 当a －3＝－3时，a ＝0； 当2a －1＝－3时，a ＝－1. 经检验，0与－1都符合要求． ∴a ＝0或a ＝－1.变式训练 已知互异的两数a ，b 满足ab ≠0，集合{a ，b }＝{a 2，b 2}，则a ＋b 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 【答案】D【解析】由{a ，b }＝{a 2，b 2}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝a 2b ＝b 2① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝a 2，② 由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝1b ＝0或b ＝1，∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，即a ＝1，b ＝1，此时集合{1,1}不满足条件． 由②两式相减得a 2－b 2＝b －a ，∵两数a ，b 互异，∴b －a ≠0，即a ＋b ＝－1，故选D.例3 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解析】A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 且B ⊆A .①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2， 由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ＋1≥－22m －1≤5，解得2≤m ≤3. 由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．【小结】对于这类含有字母参数的集合的包含关系，应注意空集是任何集合的子集，如本题中，应讨论集合B 为空集的情形．变式训练 已知集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，集合Q ＝{x |ax ＋1＝0}，且Q ⊆P ，求实数a 的取值构成的集合A .【解析】∵x 2＋x －6＝0， ∴(x ＋3)(x －2)＝0， 即x ＝－3或x ＝2. ∴P ＝{－3,2}． 又∵Q ＝{x |ax ＋1＝0}， 当a ＝0时，Q ＝∅，满足Q ⊆P ； 当a ≠0时，有－1a ＝－3或－1a ＝2，∴a ＝13或a ＝－12，故a ＝0或a ＝13或a ＝－12.∴A ＝{－12，0，13}．跟踪训练1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}其中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或42．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中含有的元素个数为( )淘出优秀的你4A ．4B ．6C ．8D ．123．若集合A ＝{x |ax 2＋(a －6)x ＋2＝0}是单元素集合，则实数a 等于( ) A ．2或18 B ．0或2 C ．0或18D ．0或2或184．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4 D ．05．集合A 满足关系式(a ，b )⊆A ⊆{a ，b ，c ，d ，e }，则集合A 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．86．若非空数集A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |3≤x ≤22}，则能使A ⊆B 成立的所有a 的集合是( ) A ．{a |1≤a ≤9} B ．{a |6≤a ≤9} C ．{a |a ≤9}D ．∅7．若集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x |ax －2＝0，a ∈Z }，且B ⊆A ，则实数a ＝________.8．若集合M ＝{}1，m 2，集合N ＝{2,4}，M ∪N ＝{1,2,4}，则实数m 的值的个数是________．9．如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________________． 10．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，则有序实数对(a ，b )的值为________． 11．设集合A ＝{3,3m 2}，B ＝{3m,3}，且A ＝B ，则实数m 的值是________．12．已知集合A ＝{x |2a －2<x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x <3}且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 13．已知由实数构成的集合A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a1－a∈A (a ≠0且a ≠±1)，则集合A 中至少有几个元素？证明你的结论．参考答案1．A 当a ＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件；当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4. 故选A.2．B 由题意，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *|12x ∈Z 中的元素满足x 是正整数，且12x 是整数，由此列出下表根据表格，可得符合条件的x 共有6个，即集合⎩⎨⎭⎬x ∈N *|12x ∈Z 中有6个元素，故选B.3．D a ＝0时，－6x ＋2＝0，x ＝13，只有一个解，集合A ＝{13}，满足题意．a ≠0时，方程ax 2＋(a －6)x ＋2＝0有两个相等实根． 判别式Δ＝0， Δ＝(a －6)2－8a ＝0， a 2－20a ＋36＝0， 解得a ＝2或a ＝18， ∴实数a 为0或2或18. 故选D.4．B 集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ， a ＝2∈A,6－a ＝4∈A ，∴a ＝2， 或者a ＝4∈A,6－a ＝2∈A ，∴a ＝4， 综上所述，a ＝2,4. 故选B.5．D 由题意知集合A 中的元素a ，b 必取，另外可从c ，d ，e 中取，满足题意的集合A 的个数等于集合{c ，d ，e }的子集个数，因为{c ，d ，e }的子集个数为23＝8，则集合A 的个数是8. 故选D. 6．B 7．0或1 8．49．x ≠0,1,2，1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1，x 2－x ≠1，x 2－x ≠x ，解得x ≠0,1,2，1±52.淘出优秀的你610．(0,1)或(14，12)解析 ∵M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b ＝2a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14b ＝12，当a ＝0，b ＝0时，集合M ＝{2,0,0}不成立， ∴有序实数对(a ，b )的值为(0,1)或(14，12)故答案为(0,1)或(14，12)．11．0解析 依题意，3m ＝3m 2，所以m ＝0或m ＝1.当m ＝1时，违反元素互异性(舍去)． 12．解析 由已知A ⊆B 可得， (1)当A ＝∅时，有2a －2≥a ＋2⇒a ≥4. (2)当A ≠∅时，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ＋2，2a －2≥－2，a ＋2<3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <4，a ≥0，⇒0≤a <1a <1. 综合(1)(2)，实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0≤a <1}． 13．解析 ∵a ∈A ，则1＋a1－a ∈A ，∴1＋1＋a 1－a 1－1＋a1－a ＝－1a ∈A ，进而有1＋⎝⎛⎭⎫－1a 1－⎝⎛⎭⎫－1a ＝a －1a ＋1∈A ，∴又有1＋a －1a ＋11－a －1a ＋1＝a ∈A .∵a ∈R ，∴a ≠－1a.假设a ＝1＋a1－a ，则a 2＝－1，矛盾，∴a ≠1＋a 1－a.类似方法可得a 、1＋a 1－a 、－1a 和a －1a ＋1四个数互不相等，故集合A 中至少有四个元素．。
1.1集合与元素教案
（1）如果a是集合的元素，就说a属于A，
记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A
举例说明：
例1.下列对象能否组成集合？
（1）中国的直辖市；
（2）方程 的所有解；
（3）大于3的自然数；
（4）著名科学家。
评注：集合中的元素必须是确定的，不能含糊不清
《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒》
3.最负盛名的文房四宝分别指什么？
最负盛名的文房四宝是：浙江湖州的湖笔、安徽徽州的徽墨、安徽宣州的宣纸、广东端州的端砚
1.集合的描述性概念及符号表示
有某些确定的对象所组成的整体叫做集合。通常用大写的英文字母A、B、C，。。。表示
2.元素的概念及符号表示
通常用小写的英文字母a,b,c，。。。表示
课题序号
1
授课班级
14机电
授课课时
2
授课形式
新授
授课章节
名称
§1.1集合与元素
使用教具
多媒体
教学目的
知识与技能目标：1.了解集合的含义，能判断元素与集合的关系；
2.通过实例，初步体会元素与集合的“属于”、“不属于”关系，从观察、分析集合的元素入手，正确地理解集
3.在学习运用集合语言的过程中，增强认识事物的能力；
4×100米、三级跳远、立定跳远、跳高，共11项。
（1）田赛、径赛项目分别有哪些？它们能否组成集合？如果能组成集合，集合的元素分别是哪些？
（2）、个人项目、团体项目分别有哪些？它们能否组成集合，集合的元素分别是哪些？
教材第4页：练习、习题
1.集合、元素的概念、表示及关系，能判断元素是否在集合内，并用集合语言准确表示
集合与元素教案
归纳：不能确定的对象，不能组成集合．
问题2：大于2并且小于5的自然数组成的集合是由哪些元素组成？
元素和集合之间的关系怎样表示呢？
如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a A;如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A
如在上一问中7是不是集合的元素，怎么表示？4呢？
（2）全世界共有四大洋，它们的名称是什么？
（3）太阳光实际上是由七种单色光组成的，你知道是哪七种吗？
解决
学生回答
概念
由某些确定的对象所组成的整体叫做集合．集合通常用大写英文字母A,B,C,……
集合中每个确定的对象叫做这个集合的元素．集合的元素通常用小写英文a,b,c,……
问题1：集合概念里的关键词是哪个？如何理解？
2描述法
例题讲解
例1例2
小结1
小结2
小结3
例3
课后作业：
P3习题1，2
P6习题1,2,3
课堂教学安排
教学过程
主要教学内容及步骤
揭示课题
创设情景
兴趣导入
动脑思考
探索新知
例题讲解
思考交流几点说明强练习归纳总结课后讨论
问题探究
兴趣导入
动脑思考
探索新知
巩固知识
典型例题
运用知识
强化练习
理论升华
整体建构
运用知识
记集合为A，则7 A,4 A
例1下列对象能否组成集合
（1）中国的直辖市；
（2）方程 的所有解；
（3）大于3的自然数；
（4）著名科学家。
解：（1）中国的直辖市分别是北京市，上海市，天津市和重庆市，它们是确定对象，可以组成集合。
（2）（3）（4）略。
元素与集合的教案
元素与集合的教案教案标题：元素与集合的教案教案目标：1. 学生能够理解元素和集合的概念，并能够运用这些概念解决问题。
2. 学生能够辨别元素和集合之间的关系，并能够应用这些关系进行推理和证明。
3. 学生能够运用元素和集合的知识解决实际生活中的问题。
教学重点：1. 元素和集合的定义和基本性质。
2. 元素与集合之间的关系，包括属于、包含、相等等关系。
3. 运用元素和集合的知识进行推理和证明。
教学难点：1. 运用元素和集合的知识解决实际生活中的问题。
2. 运用元素和集合的知识进行推理和证明。
教学准备：1. 教师准备：a. 熟悉元素和集合的概念及其基本性质。
b. 准备相关的教学素材和案例，以便学生能够更好地理解和应用元素和集合的知识。
c. 准备教学辅助工具，如投影仪、白板等。
2. 学生准备：a. 复习并掌握数学中的基本概念，如数的分类、数的运算等。
b. 准备笔记本和写字工具，以便记录和解决问题。
教学过程：Step 1：导入新知1. 引入元素和集合的概念，通过实际生活中的例子向学生解释这些概念的含义。
2. 通过提问和讨论，激发学生对元素和集合的兴趣和思考。
Step 2：讲解元素和集合的定义和基本性质1. 以简洁明了的语言解释元素和集合的定义，并通过示意图进行说明。
2. 引导学生讨论和总结元素和集合的基本性质，如互异性、无序性等。
Step 3：介绍元素与集合之间的关系1. 分别介绍元素与集合之间的属于、包含、相等等关系，并通过示例进行说明。
2. 引导学生分析和讨论不同关系的特点和应用场景。
Step 4：运用元素和集合的知识进行推理和证明1. 给出一些简单的推理和证明问题，引导学生运用元素和集合的知识进行解答。
2. 鼓励学生积极参与，提供正确的解题思路和方法。
Step 5：应用元素和集合的知识解决实际问题1. 提供一些实际生活中的问题，要求学生运用元素和集合的知识进行分析和解决。
2. 引导学生思考问题的实质和关键点，培养他们的问题解决能力。
高中数学集合与元素教案模板
高中数学集合与元素教案模板
教学内容：集合与元素
教学目标：
1. 理解集合的基本概念；
2. 掌握集合的表示方法；
3. 能够进行集合之间的运算；
4. 能够解决实际问题中的集合应用题。
教学重点：
1. 集合的定义和基本概念；
2. 集合的表示方法；
3. 集合的运算规则。
教学难点：
1. 高中数学中集合的应用和解题技巧；
2. 集合的运算问题。
教学准备：
1. 教学课件；
2. 教学资料；
3. 黑板、彩笔、橡皮；
4. 实际应用题解析。
教学步骤：
第一步：引入
教师向学生介绍集合的概念，引导学生思考什么是集合，集合有哪些特点。
第二步：讲解
教师详细讲解集合的定义、集合元素、子集、空集、全集等概念，并介绍集合的表示方法和基本符号。
第三步：练习
教师设计一些练习题供学生练习，巩固基本概念和集合的表示方法。
第四步：运算规则
教师向学生介绍集合的运算规则，并通过例题讲解，帮助学生理解集合的运算方法。
第五步：实际应用
教师给学生提供一些实际应用题，让学生运用所学的集合知识解决问题，培养学生的应用
能力。
第六步：总结
教师对本节课的内容进行总结，强调重点知识和难点，鼓励学生多加练习，巩固所学知识。
教学反馈：
对学生的学习情况进行及时反馈，关注学生的学习进展，及时纠正学生的错误，鼓励学生
积极参与课堂讨论。
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1.1集合1.1.1 集合的含义及其表示一、集合与元素1.集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，用小写字母a、b、c...表示；把一些元素组成的总体叫做集合，用大写字母A、B、C...表示。
如所有的正方形可以组成集合，每个正方形就是这个集合的元素。
例1:判断以下元素的全体是否组成集合：(1)大于1小于10的偶数；(2)高一所有高个子的同学；(3)所有数学难题；练习1：下列各组对象中，不能组成集合的是( )A．所有的正数B．所有的老人C．不等于零的数 D．我国古代四大发明2.集合中元素的三个特征：（）、（）、无序性．(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
(3)无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
例2:集合A是含有两个不同实数a－3,2a－1的集合，求实数a的取值范围．练习2：若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( ) A．锐角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．直角三角形3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；a∈(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作Aa∉(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作A例3:已知集合A={a，|a|，a﹣2}，若2∈A，则实数a的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．2或 4【解答】解：∵集合A={a，|a|，a﹣2}，2∈A，∴a=2，|a|=2或a﹣2=2，解得a=﹣2或a=2或a=4．当a=﹣2时，A={﹣2，2，﹣4}，成立；当a=2时，a=|a|，A 中有两个相等元素，不满足互异性；当a=4时，a=|a|，A 中有两个相等元素，不满足互异性．实数a 的值为﹣2．故选：A ．练习3：设集合A={2，1﹣a ，a2﹣a+2}，若4∈A ，则a=（ ）A ．﹣3或﹣1或2B ．﹣3或﹣1C ．﹣3或2D ．﹣1或2【解答】解：若1﹣a=4，则a=﹣3，∴a2﹣a+2=14，∴A={2，4，14}；若a2﹣a+2=4，则a=2或a=﹣1，a=2时，1﹣a=﹣1∴A={2，﹣1，4}；a=﹣1时，1﹣a=2（舍），故选：C ．4.集合的表示法：列举法、描述法、图示法（韦恩图）．(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，各元素之间用逗号分开.并用花括号“{}” 括起来表示集合的方法.例如集合{}4321，，，=A .注意：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点）（0,1和点）（1,0表示不同的两个点，而集合{}0,1和{}1,0表示同一个集合.例4：用列举法表示下列集合（1）{}2A x Z x =∈≤； （2）(){},4,,M x y x y x N y N **=+=∈∈解析：（1） ∵2x ≤，x Z ∈ ∴2,1,0,1,2x =-- ∴{}2,1,0,1,2A =-- （2） ∵4,,x y x N y N **+=∈∈ ∴13x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩ ∴()()(){}1,3,2,2,3,1M =例5：(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪65－a ∈N *，a ∈Z ＝__________. 答案：{－1,2,3,4}练习4:用列举法表示小于5的所有自然数组成的集合.练习5：用列举法表示方程0322=--x x 的解集.(2)描述法：用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法.①格式：(){}x A P x ∈；②含义：它表示集合由具有性质()P x 的所有元素构成的。
其中x 为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I 表明了x 的范围；()P x 为该集合中元素所具有的特征。
如：不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 。
例6:坐标轴上的点的集合可表示为（ ）A ．{（x ，y ）|x=0，y=0；或x ≠0，y=0}B ．{（x ，y ）|x2+y2=0}C ．{（x ，y ）|xy=0}D ．{（x ，y ）|x2+y2≠0}【解答】解：∵直角坐标系中，x 轴上的点的集合{（x ，y ）|y=0}，直角坐标系中，y 轴上的点的集合{（x ，y ）|x=0}，∴坐标轴上的点的集合可表示为{（x ，y ）|y=0}∪{（x ，y ）|x=0}={（x ，y ）|xy=0}．故选：C ．练习6：用描述法表示下列集合.不等式37<-x 的解集练习7：用描述法表示012=-x 的解集.(3)韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
如：集合{}4,3,2,1可用韦恩图表示为：5.常用数集的记法：(1)自然数集：全体自然数的集合记作N ，{}...2,1,0N(2)正整数集：自然数集内排除0的集记作*N 或+N ,{}...3,2,1*=N(3)整数集：全体整数的集合记作Z ，{}...2,1,0±±=Z(4)有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q(5)实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 注意：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除0的集记作*N 或+N例7：下列所给关系中正确的个数是（ ）（1）π∈R ； （2）∉Q ； （3）0∈N ； （4）|﹣4|∉N*； （5）∈Z ．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：对于（1）：π是一个元素，R 是实数集，π∈R ；正确．对于（2）：是无理数，Q是有理数集；∉Q；正确．对于（3）：0是一个元素，N是自然数集，0∈N；正确．对于（4）：|﹣4|是一个元素，N是自然数集，|﹣4|∈N*；故不对；对于（5）：是一个元素，一个分数，Z是整数集，﹣∉Z．故不对；故选：C．6.集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．有限集：含有有限个元素的集合.无限集：含有无限个元素的集合.空集：不含任何元素的集合,记做 .注意:空集和零的区别.例8：若集合A={x|ax2+（a﹣6）x+2=0}是单元素集合，则实数a=（）A．2或18 B．0或2 C．0或18 D．0或2或18【解答】解：a=0时，﹣6x+2=0，x=，只有一个解，集合A={}，满足题意．a≠0时，方程ax2+（a﹣6）x+2=0有两相等实根．判别式△=0△=（a﹣6）2﹣8a=0a2﹣20a+36=0，解得a=2，或a=18，∴实数a为0或2或18．故选：D．练习8：已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值（）A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1【解答】解：若集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个解当a=0时，方程可化为2x+1=0，满足条件；当a≠0时，二次方程ax2+2x+1=0有且只有一个解则△=4﹣4a=0，解得a=1故满足条件的a的值为0或1故选：C．1.下列说法：①地球周围的行星能确定一个集合；②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合；③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3答案：B2. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B答案： C3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{－1,0}D ．{－1,1}答案：A4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
答案：{}4,6,85．用另一种方法表示下列集合：（1）11325,,,,32537⎧⎫⎨⎬⎩⎭= 。
（2）{}3绝对值不大于的整数= 。
答案：（1）,15,2n x x n n N n +⎧⎫=≤≤∈⎨⎬+⎩⎭（2）{}3210123---，，，，，， 6. 集合{},5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为 。
答案：{}0,1,2,3,47. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为 。
答案：{}4,6,8基础巩固1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )A ．1∉AB ．0∈AC ．0∉AD ．2∈A答案：B2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10答案：D3. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，则实数x ＝________.答案：-14. 集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________． 答案：{x |x ＝nn ＋3，n ∈N ＋，n ≤5}5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，，b}，则b-a=（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2答案：C能力提升6. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．答案：－13. 7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．答案：x ≠±1，且x ≠±28. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.答案：{2 000,2 001,2 004}9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；答案：{(x ，y )|0<x <2,0<y <1}．10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．答案：a ＝0或a ≥94.。