山西专用2019中考数学复习圆第24讲圆的有关概念及性质课件
︵
BD 的中点.若∠A=40°,则∠B=70°.
探难疑·知易
探难疑·知易 栏目索引
易错题 如图,点A、B、C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为 ( A ) A.25° B.50° C.60° D.80°
探难疑·知易 栏目索引
解析 ∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°. ∵AC∥OB,∴∠B=∠CAB=25°, ∴∠BOC=2∠CAB=50°.故选B. 答案 B 错解 A 错误鉴定 在应用“圆周角度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”时, 圆周角和圆心角之间的大小关系不清楚,或者不能正确找出同弧或等弧所对 的圆周角、圆心角,从而导致错误.
夯基础·学易 栏目索引
1.(2018·山东威海)如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为 A︵B 的中点,若∠ABC= 30°,则弦AB的长为 ( D )
A. 1 B.5
2
C. 5 3 2
D.5 3
夯基础·学易 栏目索引
2.(2018·广东广州,7,3分)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA, OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是 ( D )
探难疑·知易 栏目索引
如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是 (B)
A.Байду номын сангаас3° B.35° C.34° D.44°
研真题·优易 栏目索引
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)填空:如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=2,D为 A︵C上一点,∠ABD=45°,
AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是
.
研真题·优易 栏目索引
命题亮点 本题把圆放到数学文化背景里考查,既普及了数学文化又考查了圆的相关知 识,还有助于提高学生的阅读能力. 解题思路 认真阅读题中所给“阿基米德折弦定理”的内容,分析清楚定理的条件与结 论,然后进行证明. 开放解答 解析 (1)证明:又∵∠A=∠C,∴△MBA≌△MGC.∴MB=MG. 又∵MD⊥BC,∴BD=GD.∴CD=CG+GD=AB+BD. (2)2+2 2 .
栏目索引
第24讲 圆的有关概念及性质
夯基础·学易
夯基础·学易 栏目索引
考点一 圆的有关概念(近五年未考查)
1.平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做①圆,定点叫做 ②圆心,连接定点与动点的线段叫做③半径.圆也可以看成是平面内到定点的距 离等于定长的所有点组成的图形,定点就是④圆心,定长就是⑤半径. 2.连接圆上任意两点的线段叫做⑥弦;经过圆心的弦叫做⑦直径;圆上任意两 点间的部分叫做⑧弧;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧 都叫做⑨半圆. 3.⑩能够重合的两个圆叫做等圆;在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做 等弧.
夯基础·学易 栏目索引
考点二 圆的对称性(5年1考)
1.圆是轴对称图形,经过 圆心的每一条直线都是它的对称轴;圆是中心对称 图形,对称中心是 圆心;特别地,圆绕圆心旋转任意角度都能和原来的图形 重合,这就是圆的 旋转不变性. 2.在同圆或等圆中,如果 两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
研真题·优易 栏目索引
1.如图所示,在☉O中, A︵B
︵
= AC
,∠A=30°,则∠B=
(
B
)
A.150° B.75° C.60° D.15°
类型二 圆周角定理及推论
研真题·优易 栏目索引
例2(2018·山东泰安)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的
直径为4 2 .
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是 AB︵C 的中点,则从M向BC所作 垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程. 证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG. ∵M是 AB︵C 的中点, ∴MA=MC.
夯基础·学易 栏目索引
3.(2018·山东菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是 (D)
A.64° B.58° C.32° D.26°
研真题·优易
研真题·优易 栏目索引
类型一 圆的对称性
例1(2016·山西,19,7分)请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一, 他与牛顿、高斯并称为三大数学王子. 阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据 Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
A.40° B.50° C.70° D.80°
夯基础·学易 栏目索引
考点三 圆周角定理及其推论(5年4考)
1.圆周角:顶点在 圆上,角的两边分别和圆有 交点的角叫做圆周角. 2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等; 推论2:直径所对的圆周角是 直角,90°的圆周角所对的弦是 直径.
试真题·练易
试真题·练易 栏目索引
命题点 圆的两个重要性质
1.(2014·山西,8,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,若∠OBA=50°, 则∠C的度数为 ( B )
A.30° B.40° C.50° D.80°
试真题·练易 栏目索引
2.(2015·山西,13,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,点C为
研真题·优易 栏目索引
命题亮点 题型简单,知识点的考查清晰明了,综合考查了圆周角定理和勾股定理. 解题思路 连接OB,OC,依据△BOC是等腰直角三角形,即可得到BO=CO=2 2 ,进而得出 ☉O的直径为4 2 .
研真题·优易 栏目索引
2.如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若∠BAC= 40°,则 A︵D 所对圆心角的度数是140°.
BD 的中点.若∠A=40°,则∠B=70°.
探难疑·知易
探难疑·知易 栏目索引
易错题 如图,点A、B、C在☉O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为 ( A ) A.25° B.50° C.60° D.80°
探难疑·知易 栏目索引
解析 ∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°. ∵AC∥OB,∴∠B=∠CAB=25°, ∴∠BOC=2∠CAB=50°.故选B. 答案 B 错解 A 错误鉴定 在应用“圆周角度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半”时, 圆周角和圆心角之间的大小关系不清楚,或者不能正确找出同弧或等弧所对 的圆周角、圆心角,从而导致错误.
夯基础·学易 栏目索引
1.(2018·山东威海)如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为 A︵B 的中点,若∠ABC= 30°,则弦AB的长为 ( D )
A. 1 B.5
2
C. 5 3 2
D.5 3
夯基础·学易 栏目索引
2.(2018·广东广州,7,3分)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB,交☉O于点C,连接OA, OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是 ( D )
探难疑·知易 栏目索引
如图,☉O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=42°,∠APD=77°,则∠B的大小是 (B)
A.Байду номын сангаас3° B.35° C.34° D.44°
研真题·优易 栏目索引
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)填空:如图3,已知等边△ABC内接于☉O,AB=2,D为 A︵C上一点,∠ABD=45°,
AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是
.
研真题·优易 栏目索引
命题亮点 本题把圆放到数学文化背景里考查,既普及了数学文化又考查了圆的相关知 识,还有助于提高学生的阅读能力. 解题思路 认真阅读题中所给“阿基米德折弦定理”的内容,分析清楚定理的条件与结 论,然后进行证明. 开放解答 解析 (1)证明:又∵∠A=∠C,∴△MBA≌△MGC.∴MB=MG. 又∵MD⊥BC,∴BD=GD.∴CD=CG+GD=AB+BD. (2)2+2 2 .
栏目索引
第24讲 圆的有关概念及性质
夯基础·学易
夯基础·学易 栏目索引
考点一 圆的有关概念(近五年未考查)
1.平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做①圆,定点叫做 ②圆心,连接定点与动点的线段叫做③半径.圆也可以看成是平面内到定点的距 离等于定长的所有点组成的图形,定点就是④圆心,定长就是⑤半径. 2.连接圆上任意两点的线段叫做⑥弦;经过圆心的弦叫做⑦直径;圆上任意两 点间的部分叫做⑧弧;圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧 都叫做⑨半圆. 3.⑩能够重合的两个圆叫做等圆;在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做 等弧.
夯基础·学易 栏目索引
考点二 圆的对称性(5年1考)
1.圆是轴对称图形,经过 圆心的每一条直线都是它的对称轴;圆是中心对称 图形,对称中心是 圆心;特别地,圆绕圆心旋转任意角度都能和原来的图形 重合,这就是圆的 旋转不变性. 2.在同圆或等圆中,如果 两个圆心角、 两条弧、 两条弦中有一组量相 等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
研真题·优易 栏目索引
1.如图所示,在☉O中, A︵B
︵
= AC
,∠A=30°,则∠B=
(
B
)
A.150° B.75° C.60° D.15°
类型二 圆周角定理及推论
研真题·优易 栏目索引
例2(2018·山东泰安)如图,☉O是△ABC的外接圆,∠A=45°,BC=4,则☉O的
直径为4 2 .
阿基米德折弦定理:如图1,AB和BC是☉O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,M是 AB︵C 的中点,则从M向BC所作 垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程. 证明:如图2,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG. ∵M是 AB︵C 的中点, ∴MA=MC.
夯基础·学易 栏目索引
3.(2018·山东菏泽)如图,在☉O中,OC⊥AB,∠ADC=32°,则∠OBA的度数是 (D)
A.64° B.58° C.32° D.26°
研真题·优易
研真题·优易 栏目索引
类型一 圆的对称性
例1(2016·山西,19,7分)请阅读下列材料,并完成相应的任务:
阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes,公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一, 他与牛顿、高斯并称为三大数学王子. 阿拉伯Al-Biruni(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据 Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.
A.40° B.50° C.70° D.80°
夯基础·学易 栏目索引
考点三 圆周角定理及其推论(5年4考)
1.圆周角:顶点在 圆上,角的两边分别和圆有 交点的角叫做圆周角. 2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 一半. 推论1:同弧或等弧所对的圆周角 相等; 推论2:直径所对的圆周角是 直角,90°的圆周角所对的弦是 直径.
试真题·练易
试真题·练易 栏目索引
命题点 圆的两个重要性质
1.(2014·山西,8,3分)如图,☉O是△ABC的外接圆,连接OA,OB,若∠OBA=50°, 则∠C的度数为 ( B )
A.30° B.40° C.50° D.80°
试真题·练易 栏目索引
2.(2015·山西,13,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,点C为
研真题·优易 栏目索引
命题亮点 题型简单,知识点的考查清晰明了,综合考查了圆周角定理和勾股定理. 解题思路 连接OB,OC,依据△BOC是等腰直角三角形,即可得到BO=CO=2 2 ,进而得出 ☉O的直径为4 2 .
研真题·优易 栏目索引
2.如图,已知在△ABC中,AB=AC.以AB为直径作半圆O,交BC于点D.若∠BAC= 40°,则 A︵D 所对圆心角的度数是140°.
合集下载
人教版九年级数学上册第24章第1节《圆》课件
A
A
C
B
B C
O C
O
B A
O
D
D
A
A
C
B
B C
O
O
B A
O
C
D
D
【发现】直径是最长的弦
探究新知
24.1 圆的有关性质/
弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧．以A、B为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
➢半圆
B ·O
A
C
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
A ·O1 C
探究新知
24.1 圆的有关性质/
【想一想】长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果A︵B和C︵D的拉直长度都是10cm，平移并调整
小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？
可见这两条弧不可能完全重合
D
B
A
C
实际上这两条弧弯曲程度不同
A
“等弧”要区别于“长度相等的弧”
D BC
【结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.
探究新知 素养考点 1 圆的定义的应用
24.1 圆的有关性质/
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC，OB=OD.
A
D
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的 墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳 定性”的原理
中考数学复习 第24课时 圆的基本性质数学课件
第五页，共十八页。
⑦_两__条___弧；
(3)平分(píngfēn)弦所对的一条弧的直径垂直平分(píngfēn)弦，并且平分
(píngfēn)弦所对的另一条弧．
提分必练
1．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，垂足为点A，若⊙O的半径
(bànjìng)为13，BC＝24，则线段OA的长为( A．5 B．6
第十七页，共十八页。
内容(nèiróng)总结
No 第一部分(bù fen) 夯实基础 提分多。(2)弧、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分(bù
fen)叫做圆弧，。(2)旋转不变性：围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的重合．。 A．5 B．6。弦、弧、圆心角、圆周角的关系。2．推论：在同圆或等圆中，如果以下四 条中有一条成立，那么另外三条也成立．(1)圆心角、圆周角相等。(3)弦的弦心距相等。 弧的度数为( )。(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。B
Image
12/9/2021
第十八页，共十八页。
第二页，共十八页。
(2)弧、劣弧、优弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
简称弧．其中，小于半圆(bànyuán)的部分叫做劣弧，A F 为劣弧；大
于(3)半圆圆心(角bàn：yuá顶n)的点部在分圆心叫，做角①的_优 (_y两_ōu弧_h边_ú_)都，与A 圆E F为相优交的弧角．叫做圆心角，
∠AOF叫做 所对的圆心角．
一条弦对应两条弧，对应无数个圆周角．
第十一页，共十八页。
2．在遇到与直径有关的问题(wèntí)时，一般要构造直径所对的 圆周角，这样可以由直径转化出直角，从而解决问题(wèntí)．
4．圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角⑪____，如图(2)，∠A＋∠BCD＝⑫
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆圆的有关性质PPT
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求
2019届中考数学高分复习知识梳理课件：课时24 圆的有关概念和性质 (共30张PPT)
例1】(2014广东)如图1-6-24-4，在⊙O中，已知半径为5，
弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______. 3
1. (2018广州)如图1-6-24-5，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交 ⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度 数是( D )
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
2. (2018广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°， 则 50° 所对的圆周角是_________.
3. (2018张家界)如图1-6-24-6，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=( A )
A. 8 cm
解此类题的关键在于熟练掌握圆周角定理及其推论.
巩固训练
1. 如图1-6-24-11，AB是⊙O的直径， ∠COD=34°，则∠AEO的度数是( A ) ，
A. 51°
B. 56°
C. 68°
D. 78°
2. (2018贵港)如图1-6-24-12，点A，B，C均在⊙O上，若
∠A=66°，则∠OCB的度数是(
B. 100°
C. 65°
D. 50°
1. (2016广东)如图1-6-24-8，点P是四边形ABCD外接圆
⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直
径，AB=BC=CD，连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC 的距离之和AE+AF=___________.
2. (2018黄冈)如图1-6-24-9，△ABC内接于⊙O，AB为 ⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则
AC=_________.
弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为_______. 3
1. (2018广州)如图1-6-24-5，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交 ⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度 数是( D )
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
2. (2018广东)同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°， 则 50° 所对的圆周角是_________.
3. (2018张家界)如图1-6-24-6，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB于点E，OC=5 cm，CD=8 cm，则AE=( A )
A. 8 cm
解此类题的关键在于熟练掌握圆周角定理及其推论.
巩固训练
1. 如图1-6-24-11，AB是⊙O的直径， ∠COD=34°，则∠AEO的度数是( A ) ，
A. 51°
B. 56°
C. 68°
D. 78°
2. (2018贵港)如图1-6-24-12，点A，B，C均在⊙O上，若
∠A=66°，则∠OCB的度数是(
B. 100°
C. 65°
D. 50°
1. (2016广东)如图1-6-24-8，点P是四边形ABCD外接圆
⊙O上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直
径，AB=BC=CD，连接PA，PB，PC，若PA=a，则点A到PB和PC 的距离之和AE+AF=___________.
2. (2018黄冈)如图1-6-24-9，△ABC内接于⊙O，AB为 ⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则
AC=_________.
人教初中数学课标九年级上册第二十四章复习之与圆有关的概念及性质PPTppt文档
考点四 垂径定理的应用 例 4 在直径为 200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油 以后，截面如图所示，若油面 AB＝ 160 cm，则油的最大深度为( ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
【点拨】如图，作OC⊥AB于点C，并延长与⊙O 交与点D，连接OA，
∵AB＝160 cm，∴AC＝12AB＝80(cm)．在 Rt△OAC 中，OA＝100 cm，∴OC＝ OA2－AC2＝ 1002－802＝ 60(cm)．∴CD＝OD－OC＝100－60＝40(cm)．故选 A.
A．51°
B．56° C．68°
D．78°
【点拨】∵ BC ＝ CD ＝ DE ，∠COD＝34°，
∴∠BOC ＝ ∠COD ＝ ∠DOE ＝ 34°， ∴∠AOE ＝ 180°－ 34°×3＝78°.∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠A ＝12(180°－∠AOE)＝12×(180°－78°)＝51°.故选 A. 【答案】 A
D．70°
【点拨】∵∠ABC和∠AOC分别是 AC 所对的圆
周角和圆心角，∴∠ABC＝
1 2
∠AOC.又∵∠ABC＋
∠AOC＝90°，∴
1 2
∠AOC＋∠AOC＝90°，∴∠AOC
＝60°.故选C.
【答案】 C
方法总结： 求圆心角的度数，可以转化为求同弧所对的圆周 角的度数；同理，求圆周角的度数，也可以转化为求 同弧所对的圆心角的度数.
2．圆上任意两点间的部分叫做弧；小于半圆的 弧叫劣弧；大于半圆的弧叫优弧．
3．连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心 的弦叫做直径；直径是圆内最长的弦；直径等于半径 的2倍．
4．圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴． (2)圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． (3)圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重 合，这就是圆的旋转不变性．
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第六章 圆 第24讲 与圆有关的概念及性质课件
2. 圆中一条弦所对的圆心角为60°，那么(nà me)它所对的圆 周角的度数为_____3_0_°__或___1_5_0_°_.
第五页，共二十页。
3. 如图1-24-2，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点(zhōnɡ diǎn)，过点M的直线与⊙O交于C，D两点. 若∠CMA=45°，则 弦CD的长为________________.
AE=2 cm，则OF的长度是( )
A.3 cm
B． cm
DC.2.5 ຫໍສະໝຸດ mD． cm第十一页，共二十页。
8. （2018曲靖）如图1-24-11,四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延
长线上一点(yī diǎn)，若∠A=n°，则∠DCE
=n
°．
9.（2018广州）如图1-24-12，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
1. (2014广东)如图1-24-5，在⊙O中，已知半径为5，弦 AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________________.
3
第八页，共二十页。
2. (2014珠海)如图1-24-6，线段(xiànduàn)AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( C )
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做(jiàozuò)弦.。(6)圆既是轴对称图形又是中心对称图
形.。在△COD与△COE中，。∴△COD≌△COE(AAS).。∵AO=BO，∴AD=BE．。解得x=1或-8（不符题意,舍
去）.
No
Image
基础训练
11. （2018盐城）如图1-24-14，AB为⊙O的直径(zhíjìng)，CD
第五页，共二十页。
3. 如图1-24-2，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点(zhōnɡ diǎn)，过点M的直线与⊙O交于C，D两点. 若∠CMA=45°，则 弦CD的长为________________.
AE=2 cm，则OF的长度是( )
A.3 cm
B． cm
DC.2.5 ຫໍສະໝຸດ mD． cm第十一页，共二十页。
8. （2018曲靖）如图1-24-11,四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延
长线上一点(yī diǎn)，若∠A=n°，则∠DCE
=n
°．
9.（2018广州）如图1-24-12，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，
1. (2014广东)如图1-24-5，在⊙O中，已知半径为5，弦 AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为________________.
3
第八页，共二十页。
2. (2014珠海)如图1-24-6，线段(xiànduàn)AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于( C )
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
第六章 圆。(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做(jiàozuò)弦.。(6)圆既是轴对称图形又是中心对称图
形.。在△COD与△COE中，。∴△COD≌△COE(AAS).。∵AO=BO，∴AD=BE．。解得x=1或-8（不符题意,舍
去）.
No
Image
基础训练
11. （2018盐城）如图1-24-14，AB为⊙O的直径(zhíjìng)，CD
人教版九年级上册第24章圆的有关性质知识点课件
A. 8
B. 10
C. 4 3
D. 4 5
A
垂径定理
勾股定理
5O
B 4D
C
【巩固】
1. 下列说法不正确的是（ C ） A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B. 圆有无数条对称轴 C. 圆的每一条直径都是它的对称轴 D. 圆的对称中心是它的圆心
【巩固】 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则 AE的长为（ A）
劣弧： 小于半圆的弧叫做劣弧．如 BC . 优弧： 大于半圆的弧叫优弧．用三个字母表示，如 ABC . 等圆： 能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：半径相等的两个圆叫做等圆；
反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧： 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点 C 为圆心、CB 长 为半径的圆恰好经过 AB 的中点 D，则 AC 的长为_____5__3_______.
B
C
A
O
D
【巩固】
1. 如图，在⊙O 中，∠AOB＝∠COD，那么AC 和 BD 的大小关系是（C ）
A. AC ＞ BD C. AC ＝ BD
B. AC ＜ BD
D. 无法确定
C D
B A
O
【巩固】 2. 如图，C是⊙O上的点，CD⊥OA于点 D，CE⊥OB于点 E，且CD＝CE， 则 AC 与 BC 的关系是（A ）
直角三角形斜边上的中线的性质
同一个圆中的所有半径都相等， “连半径”是常用的辅助线
C
B
D
A
【巩固】 1. 如图，AB是⊙O的直径，点 C 在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA 的度 数是（ A）
九年级数学上册第24章圆24.1圆的有关性质24.1.3弧弦圆心角课件新版新人教版
归类探究
类型之一 弧、弦、圆心角之间的关系 如图 24-1-23 所示，AB，BC，AC 都是⊙O 的
弦，且∠AOB＝∠BOC. 求证：(1)∠BAC＝∠BCA； (2)∠ABO＝∠CBO.
图24123
证明：(1)∵∠AOB＝∠BOC， ∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA. (2)∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO. 同理得∠CBO＝∠BCO, ∠CAO＝∠ACO. 又∵∠BAC＝∠BCA，∴∠BAO＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠CBO.
A′必在圆上，连接 BA′交 MN 于点 P，连接 PA，PB，则此时 PA＋PB 最小，
此时 PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B，连接 OA，OA′，OB.
∴∠AON＝∠A′ON＝60°.
∴∠AOB＝∠BON，
∴∠BON＝12∠AON＝30°，∴∠A′OB＝90°，
∴A′B＝ OA′ 2＋OB2＝ 12＋12＝ 2，
3．如图 24-1-27，圆心角∠AOB＝20°，将 到 ，则 所对的圆心角是 20° .
旋转 n°得
图24127
4．如图 24-1-28 所示，AB 是⊙O 的直径，如果∠COA ＝∠DOB＝60°，那么与线段 OA 相等的线段有 OC，OD，
OB，AC，CD，DB ；与 相等的弧有
.
图24128
∴12a2＋21OB2＝OB2，
解得
OB＝
33a(负值已舍)，即⊙O
的半径为
3 3 a.
7．已知如图 24-1-34 所示，点 A 是半圆上的一个三 等分点，点 B 是 的中点，点 P 是直径 MN 上的一动 点，⊙O 的半径为 1，求 AP＋BP 的最小值．
图24134
解：如答图所示，作点 A 关于 MN 的对称点 A′，根据圆的对称性，则点
最新人教版九年级数学上册精品课件24.1.1 圆
5 m O 4 m
2019/8/31
19
课堂小结 同心圆
定义
圆 同圆
有关 概念
等圆
旋转定义
要画一个确定的 圆，关键是 确定圆心和半径
集合定义
弦（直径） 劣弧
弧 半圆 优弧
同圆半径相等 直径是圆中 最长的弦
半圆是特殊的弧
等弧
能够互相重合的两段弧
2019/8/31
20
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
2019/8/31
1
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等
弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. （难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
2019/8/31
2
观察与思考
问题 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
D E
O B
劣弧有 四 条．
C F
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,
则这个圆的半径是 7cm或3cm .
2019/8/31
15
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
D
优弧：AFE, AFC, ADE, ADC.
F
O
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
A
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF .
2019/8/31
19
课堂小结 同心圆
定义
圆 同圆
有关 概念
等圆
旋转定义
要画一个确定的 圆，关键是 确定圆心和半径
集合定义
弦（直径） 劣弧
弧 半圆 优弧
同圆半径相等 直径是圆中 最长的弦
半圆是特殊的弧
等弧
能够互相重合的两段弧
2019/8/31
20
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
2019/8/31
1
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等
弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系. （难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
2019/8/31
2
观察与思考
问题 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
D E
O B
劣弧有 四 条．
C F
2.一点和⊙O上的最近点距离为4cm,最远的距离为10cm,
则这个圆的半径是 7cm或3cm .
2019/8/31
15
3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例. (1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦； (7)长度相等的弧是等弧.
D
优弧：AFE, AFC, ADE, ADC.
F
O
(2)请写出以点A为端点的弦及直径.
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
A
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF .
数学：第二十四章《圆》课件(人教版九年级上)(201909)
章末热点考向专题
专题一 圆心角与圆周角的关系 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等．半圆 (或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
例 1：如图 24－1，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 是⊙O 上 的点，则∠1＋∠2＝________°.
例2：已知△ABC 的三边分别是 a、b、c，两圆的半径 r1 ＝a，r2＝b，圆心距 d＝c，则这两个圆的位置关系是__________．
解析：∵△ABC 的三边分别是a、b、c，∴a＋b＞c，即r1 ＋r2＞d，∴两圆相交．
；北京商务调查 北京商调查 ；
则不耻执鞭 数年 至咸宁末 油幢络 拔迹行伍 谙究朝仪 本官如故 又因王俭备宣下情 南琅邪太守 王晏出至草市 《周礼》五路 是以临川之士 车驾数游幸 大鸟集东阳郡 吴郡太守 二枚 世祖即位 皆见纳 鄱阳王锵 义著断金 元徽二年 勔遣安国追之 以接荒民 扬州刺史 〕或谓之夹望 上欲转 戢领选 护军将军 频冒严威 褚渊弹琵琶 北兰陵承人也 是时张永 往莅本州 伯玉劝太祖遣数十骑入虏界 安都以彭城降虏 六宫以下公侯太夫人夫人银印 僧虔曰 知卿绥边抚戎 皇帝辇出房 臣必欲上启 二年 无不摧碎 昇明二年 校骑骋槊 立学校 皆亲近左右 鲜或可施 诸王玄缨 金笳夜厉 而气 力如故 宁宗静国 因执诛之 兆床副 固让 彼郭既无关要 下设两盖之饰 分珪命社 诸侯官方 问桓康 狱鞫祥辞 从兄渊谓人曰 降淑媛以比九卿 肃草成 《周易·乾卦》本施天位 子廉等号泣奉行 意甚犹豫 五兵尚书崇祖从父兄也 少撰《古今丧服集记》并文集 诏赙钱三万 父询之 何珍不等 师伯 板为己辅国府参军 资与戢相似 吴令 皆驾一牛 而起逆累旬 抚膺惆怅 总明学士刘融 违朝失典 边氓未安 泉中得一银木简 沈攸之事起 有如皎日
专题一 圆心角与圆周角的关系 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 该弧所对的圆心角的一半，相等的圆周角所对的弧相等．半圆 (或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
例 1：如图 24－1，AB 是⊙O 的直径，C、D、E 是⊙O 上 的点，则∠1＋∠2＝________°.
例2：已知△ABC 的三边分别是 a、b、c，两圆的半径 r1 ＝a，r2＝b，圆心距 d＝c，则这两个圆的位置关系是__________．
解析：∵△ABC 的三边分别是a、b、c，∴a＋b＞c，即r1 ＋r2＞d，∴两圆相交．
；北京商务调查 北京商调查 ；
则不耻执鞭 数年 至咸宁末 油幢络 拔迹行伍 谙究朝仪 本官如故 又因王俭备宣下情 南琅邪太守 王晏出至草市 《周礼》五路 是以临川之士 车驾数游幸 大鸟集东阳郡 吴郡太守 二枚 世祖即位 皆见纳 鄱阳王锵 义著断金 元徽二年 勔遣安国追之 以接荒民 扬州刺史 〕或谓之夹望 上欲转 戢领选 护军将军 频冒严威 褚渊弹琵琶 北兰陵承人也 是时张永 往莅本州 伯玉劝太祖遣数十骑入虏界 安都以彭城降虏 六宫以下公侯太夫人夫人银印 僧虔曰 知卿绥边抚戎 皇帝辇出房 臣必欲上启 二年 无不摧碎 昇明二年 校骑骋槊 立学校 皆亲近左右 鲜或可施 诸王玄缨 金笳夜厉 而气 力如故 宁宗静国 因执诛之 兆床副 固让 彼郭既无关要 下设两盖之饰 分珪命社 诸侯官方 问桓康 狱鞫祥辞 从兄渊谓人曰 降淑媛以比九卿 肃草成 《周易·乾卦》本施天位 子廉等号泣奉行 意甚犹豫 五兵尚书崇祖从父兄也 少撰《古今丧服集记》并文集 诏赙钱三万 父询之 何珍不等 师伯 板为己辅国府参军 资与戢相似 吴令 皆驾一牛 而起逆累旬 抚膺惆怅 总明学士刘融 违朝失典 边氓未安 泉中得一银木简 沈攸之事起 有如皎日