chap1随机事件及其概率4

独立性定义P ( B | A) = P ( B )可得
实际问题中，事件的独立性可根据问题的实 实际问题中， 际意义来判断 如甲乙两人射击，“甲击中”与“乙击中” 如甲乙两人射击， 甲击中” 乙击中” 可以 认为相互之间没有影响，即可以认为相互独立 认为相互之间没有影响，
例如
一个家庭中有若干个小孩， 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是
A ＝｛取到正品｝ Ａi={第i次抽样抽到次品} ＝｛取到正品 取到正品｝ ={第 次抽样抽到次品}
．
p = P ( A) = 5%
q = P ( A) = 1 P ( A) = 1 p = 95%
P ( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) = 5%
P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = P ( A4 ) = 95%
概念辨析 事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立
P( AB) = P ( A) P( B)
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB = Φ AB = Φ
P( AB) = 0
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
A∪ B =
P ( A) + P( B ) = 1
例
甲乙二人向同一目标射击， 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概 率为0.6，乙击中目标的概率为 。 率为 ，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击 ）两人都击中目标的概率； ） 中目标的概率； ）目标被击中的概率。 中目标的概率；3）目标被击中的概率。
四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品） 四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有
A1 A 2 A 3 A 4 , A1 A 2 A 3 A 4 , A1 A 2 A 3 A 4 ,
A1 A 2 A 3 A 4 , A1 A 2 A 3 A 4 , A1 A 2 A 3 A 4
因为Ａ 相互独立， 因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互独立，所以
等可能的， 一个家庭中有男孩、 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩 ， 一个家庭中有男孩 又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩 ，对下列两种情形， 一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 一个家庭中最多有一个女孩 讨论A与 的独立性：（1）家庭中有两个小孩； 的独立性：（ 讨论 与B的独立性：（ ）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。 ）家庭中有三个小孩。 情形（1） 解 情形（1）的样本空间为 Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）} ={（男男），（男女），（女男），（女女） ），（男女），（女男），（女女
P( AB ) = P( A ∪ B) = 1 P( A ∪ B)
= 1 [ P( A) + P( B) P( AB ) ] = 1 P( A) P( B) + P( A) P( B)
= [1 P ( A) ][1 P( B ) ] = P( A) P ( B )
所以， 独立。 所以， A与 B 独立。
6 1 3 P( A) = , P( B) = , P( AB) = 8 2 8
此种情形下，事件 、 是独立的 是独立的。 此种情形下，事件A、B是独立的。
定理
下列四组事件，有相同的独立性： 下列四组事件，有相同的独立性：
（ 1 ） A 与 B ； （ 2 ） A 与 B； （ 3） A 与 B ； （ 4 ） 与 B A 独立， 证明 若A、B独立，则 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 、 独立
P(AB) P(AB) = P(AB) = P( A) = P(AB) = P(B) P(B| A) P(AB)/ P(A)
事件的独立性 判别
事件Ａ与事件Ｂ 事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是
P ( AB) = P( A) P ( B )
证明
由乘法公式 P ( AB ) = P ( A) P ( B | A) 和
P( ABC ) = 0
所以， 、 、 所以，A、B、C 两两独立， 两两独立，但总 起来讲不独立。 起来讲不独立。
1 P( A) = P( B) = P(C ) = 2 1 P( AB) = P( AC ) = P( BC ) = 4
定义
设A1 , A2 , , An为n个事件。如果对于所有可能的组合 1 ≤ i < j < k < ≤ n下列各式同时成立 P( Ai Aj ) = P( Ai ) P( Aj ) P( A A A ) = P( A ) P( A ) P( A ) 3 Cn i j k i j k P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An ) C n n 那么称A1 , A2 , , An是相互独立的。
例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个， ，从中每次任取一个， 检验后放回，再取一个， 检验后放回，再取一个， 连取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率． 次取到次品的概率． 分析
设 则
n = 4 的 Bernoulli 试验
Ｂ＝｛恰好有 次取到次品｝ Ａ＝｛取到次品 取到次品｝， Ｂ＝｛恰好有 2 次取到次品｝, Ａ＝｛取到次品｝，
P ( A) = 1 P ( A ) = 1 P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 )
= 1 P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
贝努利试验
相互独立的试验
Bernoulli trials
将试验E重复进行n 将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不 影响,则称这n次试验是相互独立的. 影响,则称这n次试验是相互独立的 贝努利试验 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A ,且 :A P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试 在相同的条件下将 则称这一串试验为n重贝努利试验， 验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努 利试验( trials). 利试验(Bernoulli trials).
P( A ∪ B) = P( A) + P ( B) P( A) P( B ) = 0.8
有限多个事件的独立性
如果事件A， ， 满足 如果事件 ，B，C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称事件A， ， 相互独立 相互独立。 则称事件 ，B，C相互独立。 注 意 事件A，B，C相互独立 事件 ， ， 相互独立 独立 ， 。 独立 ，相互独立 独立， 独立， 立。 立。 事件A，B，C 事件 ， ，
P(∪ Ai ) = 1 ∏ P( Ai )
i =1 i =1
n
n
例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序 加工某一种零件需要经过三道工序， 的次品率分别为2% 1%， 2%， 的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不影 响的． 响的．求加工出来的零件的次品率． 解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示第一、第二、第三道 分别表示第一、第二、 工序出现次品，则依题意：Ａ ,Ａ ,Ａ 相互独立， ：Ａ1 工序出现次品，则依题意：Ａ1 ,Ａ2 ,Ａ3 相互独立， ）＝2 ）＝1% , Ｐ（Ａ3）＝ ）＝5% Ｐ（Ａ1）＝ % , Ｐ（Ａ2）＝ 且 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3 方法２ 用对立事件的概率关系） 方法２ （用对立事件的概率关系）
1 3 1 P( A) = , P( B) = , P( AB) = 2 4 2
此种情形下，事件 、 是不独立的 是不独立的。 此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如
一个家庭中有若干个小孩， 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是
等可能的， 一个家庭中有男孩、 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩 ， 一个家庭中有男孩 又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩 ，对下列两种情形， 一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 一个家庭中最多有一个女孩 讨论A与 的独立性：（1）家庭中有两个小孩； 的独立性：（ 讨论 与B的独立性：（ ）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。 ）家庭中有三个小孩。 解 情形（2）的样本空间为 情形（ ） Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） ={（男男男），（男 ），（ ），（男女男），（女男男） ），（ 女女），（ 男女），（女女男），（女女女） ），（女 ），（女女男），（女女女 （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P ( B A) = P ( B ) 一、事件的独立性引例 例 一个盒子中有６只黑球、 只白球， 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回
地摸球。 地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二 ） 第一次摸到黑球的条件下， 次摸到黑球的概率；（ ） 次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概 ；（ 率。 解 第一次摸到黑球 ， 第二次摸到黑球
表示“ 表示“ 解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标” 表示 甲击中目标” 表示 乙击中目标” 则
P( A) = 0.6, P( B) = 0.5
P( AB) = P( A) P( B) = 0.6 × 0.5 = 0.3 P( AB + AB ) = P( A) P( B) + P( A) P( B ) = 0.5
6 P( B A) = = 0.6 10 P( B) = P( A) P( B A) + P( A) P( B A)
6 6 4 6 = × + × = 0.6 10 10 10 10
事件的独立性 independence