37584_《集合之间的关系》教案1(新人教B版必修1)
集合之间的关系人教B版必修一优秀教学教案说课稿
1.2.1 集合之间的关系（一）教学目标；1．知识与技能（1）理解集合的包含和相等的关系（2）了解使用Venn 图表示集合及其关系（3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系2．过程与方法（1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系（2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义（3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念3．情感、态度与价值观应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力（二）教学重点与难点重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别（三）教学方法在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系从而形成子集、真子集、相等集合等概念另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包备选训练题例1 能满足关系{a，b}{a，b，c，d，e}的集合的数目是（ A ）A．8个B．6个C．4个D．3个【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A 中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A例2 已知A = {0，1}且B = { |}，求B【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是：，{0}，{1}，{0，1}由题意可知B = {，{0}，{1}，{0，1}}例3 设集合A = { – ， ，}，B = {2 2，2 – 2，0}，且A = B ，求实数和的值及集合A 、B【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A若 = 0或 – = 0，则2 – 2 = 0，这样集合B = {2 2，0，0}，根据集合元素的互异性知： ≠0， – ≠0∴22220xy x y x y x y x y=⎧⎪-=-⎨⎪+=+⎩ （I ） 或22220xy x y x y x y x y=⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩ （II ）由（I ）得：00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩ 由（II ）得：00x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩或1x y =⎧⎨=⎩ ∴当 = 0， = 0时， – = 0，故舍去 当 = 1， = 0时， – = = 1，故也舍去 ∴01x y =⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩， ∴A = B = {0，1，–1}例4 设A = { | 2 – 8 15 = 0}，B = { | a – 1 = 0}，若B A ⊆，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集【解析】A = {3，5}，∵B A ⊆，所以 （1）若B =，则a = 0；（2）若B ≠，则a ≠0，这时有或，即a =或a = 综上所述，由实数a 组成的集合为11{0,,}53其所有的非空真子集为：{0}，111111{},{},{0,},{0,},{,}535353共6个。
人教新课标版数学高一- 人教B版必修1 《集合之间的关系》教案
1.2.1集合之间的关系教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。
2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。
教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。
教学过程：一、复习提问1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？2、集合的表示方法有几种？分别是什么？二、新课5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
称为：集合A是集合B的子集。
记作：A⊆B，或B⊇A。
例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。
特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。
记作：A⊆B，或B⊇A。
用Venn图表示(右上图)。
5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}a ≤b 特点：集合C 中的任何一个元素都是集合D 中的元素，集合D 中的任何一 且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ⊆D ，或D ⊇C 。
则a=b 所以，C=D 。
定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，此时 集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ⊆B ，但在在元素x ∈B ，且x ∉A ，我们称集合A 是集合B 的真子集B ，或B A记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。
例2呢？方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。
定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø，并规定：空集是任何集合的子 集。
高一数学上册《集合之间的关系》教案、教学设计
1.通过实际问题引入集合的概念，引导学生从具体实例中抽象出集合的定义，培养其从特殊到一般的归纳能力。
2.利用图形、表格等直观手段，帮助学生形象地理解集合之间的关系，提高其空间想象能力和直观感知能力。
3.通过小组讨论、合作探究的方式，引导学生自主发现集合运算的规律，培养其合作意识和团队精神。
-引导学生探索集合的其他性质，如幂集、无穷集合等，提高学生的数学素养。
-介绍集合论在数学及相关领域中的应用，增强学生的学习兴趣。
3.教学评价：
-采用多元化的评价方式，如课堂提问、课后作业、小组讨论、小测验等，全面了解学生的学习情况。
-关注学生的个体差异，鼓励学生积极参与，及时给予表扬和鼓励，提高学生的自信心。
-数学日记：要求学生以日记的形式记录自己在解决集合问题时的心得体会，促进学生对知识的内化。
4.预习作业：
-预习下一节课的内容：提前让学生预习下一节课关于集合的拓展知识，如幂集、无穷集合等，为课堂学习做好准备。
-提出疑问：鼓励学生在预习过程中提出自己的疑问，以便在课堂上进行讨论和解答。
在作业布置过程中，关注以下几点：
1.作业量适中，难度适宜，避免过度的作业压力，让学生有足够的时间消化和吸收所学知识。
2.鼓励学生主动思考和探究，培养其独立解决问题的能力。
3.注重作业反馈，及时批改和讲评，帮助学生发现并纠正错误，提高学习效果。
4.关注学生的个体差异，针对不同学生的学习情况，给予个性化的作业指导。
2.互动交流：
-各小组汇报讨论成果，分享解题方法。
-教师点评各小组的表现，给予鼓励和指导。
（四）课堂练习
在这一环节，我将设计一些具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识。
1.练习题设计：
《集合之间的关系》教案
集合之间的关系(一)
【教学目标】
1. 理解子集、真子集概念；掌握子集、真子集的符号及表示方法；会用它们表示集合间的关系．
2. 了解空集的意义；会求已知集合的子集、真子集并会用符号及Venn图表示．
3. 培养学生使用符号的能力；建立数形结合的数学思想；培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力．
【教学重点】
子集、真子集的概念．
【教学难点】
集合间包含关系的正确表示．
【教学方法】
本节课采用讲练结合、问题解决式教学方法，并运用现代化教学手段辅助教学．设计典型题目，并提出问题，层层引导学生探究知识，让学生在完成题目的同时，思维得以深化；切实体现以人为本的思想，充分发挥学生的主观能动性，培养其探索精神和运用数学知识的意识．。
高中数学集合之间的关系学案新人教B版必修1
高中数学 集合之间的关系学案 新人教B 版必修1一、三维目标： 知识与技能：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）了解空集的含义。
过程与方法：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，掌握并能使用Venn 图表达集合间的关系。
情感态度与价值观：通过学习，提高利用类比发现新结论的能力，加强从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想。
二、学习重、难点：重点：子集与空集的概念；能利用Venn 图表达集合间的关系。
难点：弄清属于与包含的关系。
三、学法指导：研读学习目标，了解本章重难点，精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。
【小组活动一】想一想：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =； （2）}167|{班的同学级为国际学校x x C =；}67|{D 级的同学为国际学校x x =（3）{|}Ex x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形【小组活动二】1.阅读教材10---12页，完成下列表格：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一个集合是它本身的子集；例1、写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集。
例2 、说出下列每对集合之间的关系 （1） A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} （2） P={1|2=xx }Q={1|||=x x }（3） C={1|>x x } D={2|≥x x } 跟踪练习：用适当的符号填空⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ ∅___2{R |20}x x ∈+=⑸ {3,5}___N⑹ {(2,3)}___{(3,2)} ⑺ {(1,2)}___2{|320}x x x -+=⑻{1,2}___2{|320}x x x -+=例3、设{|13},{|}A x xB x x a =-<<=>，若AB，则a 的取值范围是______跟踪练习：1.已知集合A=},52|{≤<-x x }121|{-≤≤+=m x m x B 且B A ⊆,求实数m 的取值范围1、 下列关系（1）}2,1{1∈（2）}2,1{∈φ（3）}1,2{}2,1{=（4）}2,1{)}2,1{(=（5）}0{⊆φ中正确的是____________2、 已知A={2,3},集合B ⊆A 则这样的集合B 一共有______个3、 判断题（1）空集没有子集。
高中高一数学上册《集合之间的关系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解集合的包含关系，能够判断两个集合之间的包含与被包含关系。
2.掌握集合的交集、并集和补集的定义，能够运用这些概念进行集合运算。
3.学会使用集合的符号表示法，如大括号、小括号等，正确表示集合之间的关系和运算。
4.能够解决实际问题时运用集合之间的关系，如解决线性方程组、不等式组等问题。
2.培养严谨性：强调数学语言的严谨性和逻辑性，使学生养成认真、细致的学习习惯。
3.情感教育：通过数学史的了解，让学生感受数学家们为人类文明进步所做出的贡献，培养他们的爱国主义情怀。
4.价值观引导：引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，培养他们运用数学知识为人类服务的价值观。
二、学情分析
针对高中高一学生，他们在学习集合之间的关系这一章节时，已经具备了初步的数学逻辑思维能力和基本的代数运算技能。然而，由于集合概念较为抽象，学生在理解集合之间的包含关系、交集、并集和补集等概念时，可能会存在一定的困难。此外，学生在运用集合知识解决实际问题时，可能缺乏将问题转化为集合运算的能力。因此，在教学过程中，应注重以下几点：
9.教学反思：在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，不断调整和优化教学方法，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在导入新课环节，我将采用生活实例和问题驱动的教学方法，激发学生的兴趣和求知欲。
1.生活实例引入：向学生展示一组照片，包括家庭成员、学习用品等，引导学生观察并说出这些照片的共同点和不同点。通过这个实例，让学生感受到集合的概念。
（四）课堂练习
课堂练习环节旨在巩固所学知识，提高学生的解题能力。
1.设计练习题：针对集合之间的关系和运算，设计不同难度的练习题，让学生在练习中掌握知识。
1.2.集合之间的关系-人教B版必修一教案
1.2. 集合之间的关系-人教B版必修一教案一、教学目标1.理解集合之间的含义和关系；2.掌握集合的表示方法；3.掌握集合的运算法则；4.能够解决集合的交、并、差、补等问题；5.能够用集合的运算法则进行实际问题的模型建立和解决。
二、教学重点1.集合的表示方法；2.集合的运算法则。
三、教学难点1.集合的交、并、差、补等问题的解决。
四、教学内容与步骤第一步：引入1.提问：“什么是集合？”2.对学生回答进行适当引导，深化对集合概念的理解。
第二步：集合的表示方法1.定义集合的表示方法；2.给出集合表示方法的例子；3.教师板书集合的表示方法。
第三步：集合的运算1.介绍集合的运算法则；2.给出运算法则的例子；3.教师板书集合的运算法则。
第四步：集合的关系1.介绍集合之间的关系；2.给出集合关系的例子；3.教师板书集合之间的关系。
第五步：集合的交、并、差、补等问题1.介绍集合的交、并、差、补等问题；2.给出集合交、并、差、补等问题的例子；3.讲解如何解决集合交、并、差、补等问题。
第六步：模型建立和解决1.给出实际问题；2.指导学生建立数学模型；3.讲解如何用集合的运算法则解决实际问题。
第七步：练习1.给出练习题目；2.让学生自主完成练习；3.讲解练习题目的解答方法。
五、教学反思本节课主要教授集合之间的关系和集合的运算法则等内容。
在教学过程中，我注重充分发挥学生的主动性和实践能力，通过不同的教学方式，激发学生的兴趣，使他们对这一知识点有更加深入的理解和掌握。
同时，我还注重与学生的互动交流，让他们更好地理解相关的知识点。
在实际教学中，我发现有些学生对集合的概念和运算法则掌握不够牢固，需要反复强化。
因此，我会在下一次课上继续巩固相关知识点，提高学生的学习效果。
最终目的是让每个学生都能够顺利掌握这一知识点，为以后的学习打下基础。
集合之间的关系的教案
集合之间的关系的教案
教案标题：集合之间的关系
一、教学目标
1. 知识与技能
- 了解集合的概念和基本符号表示
- 掌握集合之间的关系，包括并集、交集、差集和补集
- 能够用集合的概念解决实际问题
2. 过程与方法
- 通过实例和练习，培养学生分析问题和解决问题的能力
- 引导学生探索集合之间的关系，培养逻辑思维和抽象思维能力3. 情感态度价值观
- 培养学生对数学的兴趣和自信心
- 培养学生合作学习和团队合作的意识
二、教学重点与难点
1. 教学重点
- 集合的基本概念和符号表示
- 集合之间的并集、交集、差集和补集的概念和运算
- 实际问题中集合之间关系的应用
2. 教学难点
- 集合之间关系的抽象概念理解
- 集合运算符号的运用
三、教学过程
1. 导入新课
- 通过引入一个实际问题，引出集合的概念和集合之间的关系，激发学生的学习兴趣
2. 概念讲解
- 介绍集合的基本概念和符号表示
- 讲解集合之间的并集、交集、差集和补集的概念和运算方法
3. 练习与训练
- 给学生提供一些具体的例子，让学生通过练习来加深对集合之间关系的理解- 组织学生进行小组讨论，共同解决一些实际问题，培养学生的合作学习和团队合作意识
4. 拓展应用
- 引导学生运用集合的概念解决一些实际问题，如排列组合、概率等
四、教学反思
通过本节课的教学，学生对集合的概念和集合之间的关系有了初步的了解和掌握，但在实际问题的应用中还存在一定的困难，需要在后续的教学中加强练习和拓展应用的训练。
同时，要注重培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和自信心。
高中数学 1.2.1集合之间的关系教学设计 新人教B版必修1-新人教B版高一必修1数学教案
1．2.1 集合之间的关系整体设计教学分析课本从学生熟悉的集合出发，引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如归纳等．值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．三维目标1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．重点难点教学重点：理解集合间包含与相等的含义．教学难点：属于与包含之间的区别．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断，而是继续引导学生)欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．思路 2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：(1)0____N；(2)2____QR.类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？(答案：(1)∈；(2)；(3)∈)推进新课新知探究提出问题1观察下面几个例子：①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；②设A为国兴中学高一3班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；③设C＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；④E＝{2，4，6}，F＝{6，4，2}.,你能发现两个集合间有什么共同特点吗？(2)例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？(3)结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？(4)按升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然.试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．(7)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？活动：教师从以下方面引导学生：(1)观察两个集合间元素的特点．教师给出定义：一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.规定：空集是任何一个集合的子集．(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：如果A⊆B，但存在x∈B，且x A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)．(3)实数中的“≤”类比集合中的⊆．(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面内一条封闭曲线的内部代表集合，这种图称为维恩(Venn)图．(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．(6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B.(7)类比子集．讨论结果：(1)①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．可以发现：对于任意两个集合A、B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A中．(2)例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A，而例子②中集合E和集合F中的元素完全相同．(3)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．(5)如图甲所示表示集合A，如图乙所示表示集合B.(6)如下图所示．(7)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C.应用示例思路1例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．分析：如何一个不漏地写出集合{1,2,3}的所有子集呢？我们采用下面的步骤：(1)因为空集∅是所有集合的子集，所以首先写出∅；(2)写出所有由一个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；(3)写出所有由两个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；(4)写出所有由三个元素构成的子集：{1,2,3}．解：集合A的所有子集是：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集．点评：本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n＝0时，即空集的子集为∅，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为∅，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为∅，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22……集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1)个真子集.变式训练已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．答案：A例2说出下列每对集合之间的关系：(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,3,5}；(2)P＝{x|x2＝1}，Q＝{x||x|＝1}；(3)C＝{x|x是奇数}，D＝{x|x是整数}．解：(1)B A；(2)P＝Q；(3)C D.点评：本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、B中的元素之间的关系，得：当集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A B；当集合A 中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有A B，且B A，即集合A、B互不包含.变式训练某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．已知集合A、B、C均不是空集．(1)则下列包含关系哪些成立？A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系．活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生以下两点：(1)重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有：A⊆B，A⊆C.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示，如下图所示.例3判定下列集合A与B的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x＞3}，B＝{x|x＞5}；(3)A＝{x|x是矩形}，B＝{x|x是有一个角为直角的平行四边形}．解：(1)因为x是12的约数⇒x是36的约数，所以A⊆B；(2)因为x＞5⇒x＞3，所以B⊆A；(3)因为x是矩形⇔x是有一个角为直角的平行四边形，所以A＝B.点评：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则如果p(x) ⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x) ⇔q(x).变式训练本节练习A 4思路2例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B A，则实数m＝________.活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，集合元素的互异性，列出方程某某数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m22的值分类讨论．解析：∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1(舍去)或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．讨论两集合之间关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解变式训练已知集合M＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，某某数a的取值X围．分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝{x|x＞2}≠∅，由于N M，则N＝或N≠∅，要对集合N是否为空集分类讨论．解：由题意得M＝{x|x＞2}≠∅，则N＝∅或N≠∅．当N＝∅时，关于x的方程ax＝1中无解，则有a＝0；当N≠∅时，关于x 的方程ax ＝1中有解，则a≠0，此时x ＝1a. 又∵N M ，∴1a ∈M.∴1a ＞2.∴0＜a ＜12. 综上所得，实数a 的取值X 围是a ＝0或0＜a ＜12， 即实数a 的取值X 围是{a|0≤a＜12}.例2 (1)分别写出下列集合的子集及其个数：∅，{a}，{a ，b}，{a ，b ，c}．(2)由(1)你发现集合M 中含有n 个元素，则集合M 有多少个子集？活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．(1)按子集中所含元素的个数分类写出子集；(2)由(1)总结当n ＝0，n ＝1，n ＝2，n ＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．解：(1)∅的子集有：∅，即∅有1个子集；{a}的子集有：∅、{a}，即{a}有2个子集；{a ，b}的子集有：∅、{a}、{b}、{a ，b}，即{a ，b}有4个子集；{a ，b ，c}的子集有：∅、{a}、{b}、{c}、{a ，b}、{a ，c}、{b ，c}、{a ，b ，c}，即{a ，b ，c}有8个子集．(2)由(1)可得：当n ＝0时，有1＝20个子集；当n ＝1时，集合M 有2＝21个子集；当n ＝2时，集合M 有4＝22个子集；当n ＝3时，集合M 有8＝23个子集．因此，含有n 个元素的集合M 有2n 个子集．点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M 中含有n 个元素，则集合M 有2n 个子集，有2n －1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个变式训练已知集合A {2,3,7}，且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有… ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：对集合A 所含元素的个数分类讨论．A ＝∅或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．答案：D知能训练1．判断正误：(1)空集没有子集．( )(2)空集是任何一个集合的真子集．( )(3)任一集合必有两个或两个以上子集．( )(4)若B ⊆A ，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B.( )分析：关于判断题应确实把握好概念的实质．解：该题的4个命题，只有(4)是正确的，其余全错．对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则x A时也必有x B.2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，则该题先找该集合元素，后找真子集．解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0,1,2，即A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}＝{0,1,2}．真子集有∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2}，共7个．3．(1)下列命题正确的是( )A．无限集的真子集是有限集B．任何一个集合必定有两个子集C．自然数集是整数集的真子集D．{1}是质数集的真子集(2)以下五个式子中，错误的个数为( )①{1}∈{0,1,2}②{1，－3}＝{－3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}④∅∈{0,1,2}⑤∅∈{0}A．5 B．2 C．3 D．4(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是( )A．a M B．a M C．{a}∈M D．{a}M解析：(1)该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于∅只有一个子集，即它本身，排除B；由于1不是质数，排除D.(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合的关系．①应是{1}⊆{0,1,2}，④应是∅⊆{0,1,2}，⑤应是∅⊆{0}．故错误的有①④⑤.(3)M＝{x|3＜x＜4}，a＝π.因3＜a＜4，故a是M的一个元素．{a}是{x|3＜x＜4}的子集，那么{a}M.答案：(1)C (2)C (3)D4．判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系．(1)A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}；(2)A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}．解：(1)因A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.(2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，又x＝4n＝2·2n，在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数．故集合A、B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成，则有B A.5．已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，Q＝{x|ax＋1＝0}满足Q P，求a所取的一切值．解：因P ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{2，－3}，当a ＝0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝∅，Q P 成立． 又当a≠0时，Q ＝{x|ax ＋1＝0}＝{－1a}， 要Q P 成立，则有－1a ＝2或－1a ＝－3，a ＝－12或a ＝13. 综上所述，a ＝0或a ＝－12或a ＝13. 点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a ＝0，ax ＋1＝0无解，即Q 为空集的情况，而当Q ＝∅时，满足Q P.6．已知集合A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}，要使A P ⊆B ，求满足条件的集合P.解：由A ＝{x∈R |x 2－3x ＋4＝0}＝∅，B ＝{x∈R |(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0}＝{－1,1，－4}， 由A P ⊆B 知集合P 非空，且其元素全属于B ，即P 是B 的非空子集，则满足条件的集合P 为{1}或{－1}或{－4}或{－1,1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1,1，－4}．点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P 的元素，而做到这点，必须明确A 、B ，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．7．集合A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，(1)若B ⊆A ，某某数m 的取值X 围；(2)当x∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x∈R 时，没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝∅满足B ⊆A.当m ＋1≤2m－1即m≥2时，要使B ⊆A 成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值X 围为m≤3.(2)当x∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x∈R ，且A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立．则①若B ＝∅即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；②若B≠∅，则要满足条件有：⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m－1，2m －1<－2，解之，得m ＞4.综上，有m ＜2或m ＞4.点评：此问题解决要注意：不应忽略∅；找A 中的元素；分类讨论思想的运用． 拓展提升问题：已知A ⊆B ，且A ⊆C ，B ＝{0,1,2,3,4}，C ＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B 和集合C的公共元素．思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A；思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．解法一：因A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3,4}，C＝{0,2,4,8}，由此，满足A⊆B，有：∅，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0,1}，{0,2}，{2,3}，{2,4}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{3,4}，{0,2,4}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{2,3,4}，{0,3,4}，{0,1,2,3}，{1,2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3}，{1,3,4}，{0,1,2,4}，{0,2,3,4}，{0,1,2,3,4}，共25＝32(个)．又满足A⊆C的集合A有∅，{0}，{2}，{4}，{8}，{0,2}，{0,4}，{0,8}，{2,4}，{2,8}，{4,8}，{0,2,4}，{0,2,8}，{0,4,8}，{2,4,8}，{0,2,4,8}，共24＝16(个)．其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个，即∅，{0}，{2}，{4}，{0,2}，{0,4}，{2,4}，{0,2,4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁．解法二：题目只求集合A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8(个)．点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．课堂小结本节课学习了：①子集、真子集、Venn图等概念；②能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集；③清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．作业课本本节练习B 2、3、4.设计感想本节教学设计注重引导学生通过归纳来获得新知，在实际教学中，要留给学生适当的思考时间，使学生自己通过归纳得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．备课资料[备选例题]例1下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合？分析：结合Venn图，利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝{四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形，而菱形、正方形是平行四边形，故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故E ＝{正方形}，即A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．例2 设集合A ＝{x||x|2－3|x|＋2＝0}，B ＝{x|(a －2)x ＝2}，则满足B A 的a 的值共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析：由已知得A ＝{x||x|＝1或|x|＝2}＝{－2，－1,1,2}，集合B 是关于x 的方程(a －2)x ＝2的解集，∵B A ，∴B＝∅或B≠∅．当B ＝∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2无解，∴a－2＝0.∴a＝2.当B≠∅时，关于x 的方程(a －2)x ＝2的解为x ＝2a －2∈A， ∴2a －2＝－2或2a －2＝－1或2a －2＝1或2a －2＝2. 解得a ＝1或0或4或3，综上所得，a 的值共有5个．答案：D例3 集合A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }的真子集．．．的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．7 D ．4解析：A ＝{x|0≤x＜3且x∈N }＝{0,1,2}，则A 的真子集有23－1＝7个．答案：C例4 已知集合A ＝{x|1≤x≤3}，B ＝{x|(x －1)(x －a)＝0}，试判断集合B 是不是集合A 的子集？是否存在实数a 使A ＝B 成立？分析：先在数轴上表示集合A ，然后化简集合B ，由集合元素的互异性，可知此时应考虑a 的取值是否为1，要使集合B 成为集合A 的子集，集合B 的元素在数轴上的对应点必须在集合A 对应的线段上，从而确定字母a 的分类标准．解：当a ＝1时，B ＝{1}，所以B 是A 的子集；当1＜a≤3时，B 也是A 的子集；当a ＜1或a ＞3时，B 不是A 的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B 是A 的子集．由于集合B 最多只有两个元素，而集合A 有无数个元素，故不存在实数a ，使B ＝A. 点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再求整体解决(即先化整为零，再聚零为整)的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求，探索划分的数量界限是分类讨论的关键．[思考](1)空集中没有元素，怎么还是集合？(2)符号“∈”和“⊆”有什么区别？剖析：(1)疑点是总是对空集这个概念迷惑不解，并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫做方程的解集．对于1x＝0，x 2＋4＝0等方程来说，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有元素的集合呢？为此引进了空集的概念，把不含任何元素的集合叫做空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式|x|＜0的解集也是不含任何元素，就称不等式|x|＜0的解集是空集．(2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用X 围，并加以对比．符号∈只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合，说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z ，12Z ；符号⊆只能适用于集合与集合之间，其左右两边都必须写集合，说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系，如{1}⊆{1,0}，∅⊆{x|x ＜0}．。
高中数学 1.1.2 集合间的基本关系教案 新人教B版必修1
课题:§1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：〔1〕了解集合之间的包含、相等关系的含义；〔2〕理解子集、真子集的概念；〔3〕能利用Venn 图表达集合间的关系；〔4〕了解与空集的含义。
教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。
教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、引入课题1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：〔1〕0N ；〔2〕2Q ；〔3〕-1.5R2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小〞关系呢？〔宣布课题〕二、新课教学（一） 集合与集合之间的“包含〞关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集〔subset 〕。
记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于〔is contained in 〕B ，或B 包含〔contains 〕A当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn图表示两个集合间的“包含〞关系(B B A ⊇⊆或（二）A B B A ⊆⊆且，那么B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A B B A B A 练习结论：任何一个集合是它本身的子集（三） 真子集的概念假设集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，那么称集合A 是集合B 的真子集〔proper⊆subset 〕。
记作：A B 〔或B A 〕读作：A 真包含于B 〔或B 真包含A 〕举例〔由学生举例，共同辨析〕（四） 空集的概念〔实例引入空集概念〕不含有任何元素的集合称为空集〔empty set 〕，记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
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1.2.1集合之间的关系教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。
2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。
教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。
教学过程：
一、复习提问
1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？
2、集合的表示方法有几种？分别是什么？
二、新课
5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5}
或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
称为：集合A是集合B的子集。
记作：A⊆B，或B⊇A。
例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。
特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。
定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。
记作：A⊆B，或B⊇A。
用Venn图表示(右上图)。
5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}
a≤b特点：集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合D中的任何一
且b≥a个元素都是集合C中的元素，即C⊆D，或D⊇C。
则a=b 所以，C=D。
定义：如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时集合A与集合B的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：A=B
定义：若集合A⊆B，但在在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集
记作：AB，
或B A
例1中，集合A是集合B的真子集。
例2呢？
方程x2+1=0没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。
定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子集。
两个结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。
(2)对于集合A、B、C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C
类比：a<b，b<c，则a<c
例3、写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集？
解：子集有：?，{a}，{b}，{a,b};真子集有：?，{a}，{b}
练习：P131、2
作业：P133、4
(2008年江西高考理)．定义集合运算:{}
A B z z xy x A y B
*==∈∈设
,,.
{}
B=,则集合A B
0,2
1,2
A=,{}
*的所有元素之和为（）
A．0B．2 C．3D．6
答案：（C）。