等差数列认识与计算
等差数列的性质与公式
等差数列的性质与公式等差数列是数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数学模型，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍等差数列的性质与公式，并探讨其在代数、几何等领域中的应用。
一、等差数列的定义等差数列可以用下列形式表示：a，a + d，a + 2d，a + 3d，...其中，a是首项，d是公差。
首项代表数列中的第一个数，公差代表相邻两项之间的差值。
二、等差数列的性质1. 通项公式等差数列的第n项可以用通项公式表示：an = a + (n-1)d其中，an代表等差数列的第n项，a是首项，d是公差。
2. 求和公式等差数列的前n项和可以用求和公式表示：Sn = (n/2)(a + an)其中，Sn代表等差数列的前n项和，a是首项，an是第n项，n代表项数。
3. 公差与项数的关系对于等差数列，项数与公差的关系可以表示为：n = (an - a)/d + 1其中，n代表项数，a是首项，an是第n项，d是公差。
4. 等差中项等差数列中的中项可以表示为：a + (n-1)(d/2)其中，a是首项，n代表项数，d是公差。
5. 等差数列的性质等差数列具有以下性质：(1) 等差数列的任意三项成等差数列；(2) 等差数列对任意项数取整后仍为等差数列；(3) 等差数列的倒序也为等差数列；(4) 等差数列的前n项和等于后n项和。
三、等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在代数和几何领域中。
1. 代数应用(1) 等差数列可用于解决各种代数问题，如数列的推导、求和等问题。
(2) 等差数列可用于建立各种代数方程，进而解决实际问题。
2. 几何应用(1) 等差数列可用于几何问题，如等差中项问题、等差数列构成的图形问题等。
(2) 等差数列可用于建立几何方程，求解各种几何问题。
3. 统计应用(1) 等差数列可用于统计学中的各种模型建立与应用。
(2) 等差数列可用于数理统计、经济学等领域的数据分析。
发现数字的规律认识等差数列
发现数字的规律认识等差数列数字的规律是数学中一个重要的概念，它能帮助我们理解数字之间的关系并找到它们之间的规律。
其中一种常见的数字规律称为等差数列。
等差数列是指数字之间的差值保持不变的数列。
本文将介绍等差数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地认识和理解等差数列。
1. 等差数列的定义等差数列是指数字之间的差值保持不变的数列。
比如，1, 3, 5, 7, 9就是一个等差数列，其中的差值为2。
一般地，等差数列可以表示为a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...，其中a是首项，d是公差（即相邻两项的差值）。
等差数列的公差可以为任意实数，可以是正数、零或者负数。
2. 等差数列的性质等差数列有一些重要的性质，这些性质帮助我们更好地理解和运用等差数列。
(1) 第n项的求法：第n项可以表示为an = a + (n - 1)d，其中an是第n项，a是首项，d是公差。
(2) 前n项和的求法：前n项和可以表示为Sn = (n/2)(2a + (n - 1)d)，其中Sn是前n项和。
(3) 通项公式的推导：通过对等差数列的第n项公式和前n项和公式的推导，可以得到通项公式an = a + (n - 1)d。
(4) 递推公式的推导：通过对等差数列的第n项公式和第n+1项公式进行相减，可以得到递推公式an+1 = an + d。
递推公式是指通过已知项来求下一项的公式。
3. 等差数列的应用等差数列在实际应用中有广泛的运用。
以下是一些常见的应用场景：(1) 数列求和：通过等差数列的前n项和公式，我们可以方便地求出一系列数字的和。
这在金融、经济、物理等领域都有应用。
例如，计算连续时间间隔内的收益总和、计算加速度对质量的影响等等。
(2) 数列推断：通过已知的一些数字，我们可以推断出等差数列中的其他数字。
这在数学问题的解题中非常常见。
例如，给定一个等差数列的前几项，我们可以推断出其他项的值。
(3) 排列组合问题：等差数列在排列和组合问题中也有应用。
三年级奥数专题 等差数列的认识与计算提高(学生版)
学科培优数学等差数列的认识和计算提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲知识点属于计算板块的部分,难度并不大。
要求学生熟记等差数列各个公式,并在公式中找出对应的各个量进行计算。
知识梳理一、等差数列的定义：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如：等差数列：3、6、9……96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
注：一般情况下,等差数列是按照从小到大进行排列的,有时会出现从大到小排列顺序,此时可以改变数列顺序,从而让数列变为从小到大,并避免出现公差小于零的情况。
二、等差数列的相关公式：通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2=平均数×项数平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2注：第一个公式中,有时会遇到求中间项、而非末项,此时可以截取一个新的数列,把该项作为“新的末项”,即可继续用此公式。
三、重点难点解析1．找出题目中首项、末项、公差、项数。
2．必要时调整数列顺序。
四、竞赛考点挖掘1．找到数列规律。
2．适当调整数列顺序。
例题精讲【试题来源】【题目】2,5,8,11,14……是按照规律排列的一串数,第21项是多少？【试题来源】【题目】计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【试题来源】【题目】计算11+12+13+14+15+16+17+18+19【试题来源】【题目】计算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【试题来源】【题目】把比100大的奇数从小到大排成一列,其中第21个是多少？【试题来源】【题目】已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【试题来源】【题目】体育课上老师指挥大家排成一排,冬冬站排头,阿奇站排尾,从排头到排尾依次报数。
等差数列初步认识
等差数列初步认识等差数列是数学中经常出现的一个概念，广泛应用于各个领域中，如数学、物理、工程等等。
本文将对等差数列的定义、性质及应用进行初步认识，以帮助读者更好地理解和运用等差数列。
一、等差数列的定义等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
二、等差数列的性质1. 首项与公差的关系对于等差数列的首项和公差之间有以下关系：a2 = a1 + da3 = a2 + d = a1 + 2da4 = a3 + d = a1 + 3d...可以观察到，等差数列的首项和第n项的关系式为：an = a1 + (n-1)d。
2. 总和的计算等差数列的前n项和可以通过以下公式计算得到：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示前n项的和，a1表示首项，an表示第n项。
这个公式可以有效地计算出等差数列的总和，无需逐个相加。
3. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过割线法求得。
具体来说，将等差数列的图像绘制在直角坐标系中，然后通过观察割线与坐标轴的交点，可以得到等差数列的通项公式。
三、等差数列的应用1. 数学教学中的应用等差数列是数学教学中非常重要的概念，它在许多数学问题的解答中起到关键作用。
通过学习和应用等差数列的性质，可以帮助学生更好地理解和解决各类数学问题，如求和、推导公式等。
2. 物理学中的应用等差数列在物理学中也有广泛的应用。
例如，在匀速直线运动中，运动物体的位移随时间的变化可以形成一个等差数列，从而可以通过等差数列的性质来分析和计算物体的运动状态。
3. 工程中的应用等差数列的应用还延伸到工程领域，如建筑、电子、通信等。
例如，在设计天桥的拱形结构时，可以利用等差数列的概念来确定弓高、拱高等参数，从而保证结构的稳定与均衡。
四、等差数列的拓展除了等差数列，在数学中还有等比数列、等差数列等等。
人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
{an－2}的通项，再求{an}的通项公式．
➢ 等差数列的判定与证明 等差数列的判定方法有以下二种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数 列． 如果要证明一个数列是等差数列，必须用定义法或等差 中项法．
(2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面 的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数 列不能称为等差数列．
2．怎样认识等差数列通项公式 (1)确定 a1 和 d 是确定通项的一般方法． (2)由方程思想，根据 an，a1，n，d 中任何三个量可求 解另一个量，即知三求一． (3)通项公式可变形为 an＝dn＋(a1－d)，可把 an 看作自 变量为 n 的一次函数．
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
项公式是
.
3．等差中项
如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差
中项．
1.正确理解等差数列的定义 (1)注意定义中“从第 2 项起”这一前提条件的两层含 义，其一，第 1 项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必 须从第 2 项起保证使数列中各项均与其前面一项作差．
等差数列公式前n项和公式
等差数列公式前n项和公式什么是等差数列公式前n项和公式？等差数列是一类特殊的数列，它的每一项与它的前一项之差相等。
等差数列的第一项为a，其公差为d，则所求的前n项和即为：Sn=n/2(2a+(n-1)d)以下为证明等差数列前n项和公式：1.设 0 <= n < 2，此时，前n项和只有一项，令S0 = a；2.设 n >= 2，此时前n项和为两项以上，也可以表示为Sn= S n-1 +an其中S n-1前 n-1的和，an第 n的值3.公式（2）两边同时求和n次，即可得到：S n = a + (a + d) + (a + 2d) +......+(a+(n-1)d)4.于等差数列都具有加法结合性，可以简写为：Sn=n/2(2a+(n-1)d)由上面的证明，我们可以对等差数列前n项和公式有更深入的认识，运用它们能够解决大量的算术问题。
例1.等差数列 2，4，6，8，10...的前10项和解：此数列的首项a=2，公差d=2，前n项的和S10 为：S10= 10/2 (2*2 + (10-1)*2)= 10/2 (4 + 18)= 10/2 (22)= 110即等差数列 2，4，6，8，10...的前10项和为 110 。
例2.等差数列 12，18，24，30，36...的前9项和解：此数列的首项a=12，公差d=6，前n项的和S9 为：S9= 9/2 (2*12 + (9-1)*6)= 9/2 (24 + 48)= 9/2 (72)= 324即等差数列 12，18，24，30，36...的前9项和为 324 。
等差数列前n项和公式的运用非常广泛，对于等差数列的分析和求和，能够一次性解决很多问题，极大地节约了时间，它也被广泛应用于几何、统计学、概率论等领域中。
象征着数学推理能力的等差数列前n项和公式，是运用数学方法求解实际问题的有力工具。
等差数列的认识与公式运用
和:一个数列的前 项的和，常用 来表示 ．
二、等差数列的相关公式
(1）三个重要的公式
①通项公式：递增数列:末项 首项 (项数 ) 公差,
递减数列：末项 首项 (项数 ) 公差,
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想,让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的）间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手.同时还可延伸出来这样一个有用的公式： ,
②项数公式：项数 （末项 首项) 公差+1
由通项公式可以得到: (若 ); (若 ）.
找项数还有一种配组的方法,其中运用的思想我们是常常用到的.
譬如:找找下面数列的项数：4、7、10、1３、 、4０、4３、46 ,
分析：配组:(4、5、6)、(7、８、9）、(10、11、12)、(1３、14、15)、 、(４6、47、４8)，注意等差是3 ,那么每组有3个数,我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到４8有 项,每组3个数，所以共 组,原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法.
② ,
题中的等差数列有３3项,中间一项即第17项的值是3３,而和恰等于 .
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例 1】下面的数列中,哪些是等差数列？若是,请指明公差，若不是,则说明理由。
①６,10，14，1８，２２,…,９8；
②1，2,1,2，３，4,5,６;
③１,2,4，8,１6,32，６4；
【例 12】小马虎计算1到20０6这2０06个连续整数的平均数。在求这20０6个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2００6个数计算平均数,结果求出的数比应求得的数小１。小马虎求和时漏掉的数是。
第2讲 等差数列
知识归纳一、等差数列的概念1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列．2．等差中项：如果三数a 、A 、b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，即A ＝a ＋b2.二、等差数列的通项公式等差数列{a n }的通项a n ＝a 1＋(n －1) d ＝a m ＋(n －m )d.推导方法：累加法a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1. 三、等差数列的前n 项和公式 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d. 推导方法：倒序相加法． 四、用函数观点认识等差数列 1．a n ＝nd ＋(a 1－d)(一次函数)．2．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n(常数项为零的二次函数)．五、等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列，证明一个数列为等差数列，一般用定义法；(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)通项公式法：a n ＝kn ＋b(k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn(A 、B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (5){a n }是等差数列⇔{S nn }是等差数列．六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋a n ；若2m ＝p ＋q ，则有 a p ＋a q ＝2a m ，(p ，q ，m ，n ∈N *)． 2．任意两项的关系在等差数列{a n }中，m 、n ∈N *，则a m －a n ＝(m －n)d 或a m ＝a n ＋(m －n)d 或a m －a nm －n＝d. 3．在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.等差数列的依次n 项和也构成一个等差数列，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，……第2讲 等差数列为等差数列，公差为n2d.即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相同构成规律的项的和成等差数列．4．设等差数列{a n}的公差为d，那么(1)d>0⇔{a n}是递增数列，S n有最小值；d<0⇔{a n}是递减数列，S n有最大值；d＝0⇔{a n}是常数数列．(2)数列{λa n＋b}仍为等差数列，公差为λd.(3)若{b n}，{a n}都是等差数列，则{a n±b n}仍为等差数列．(4)项数为n的等差数列中，n为奇数时，S奇－S偶＝a n+12，S奇S偶＝n＋1n－1.S n＝na中＝na n+12.n为偶数时，S偶－S奇＝n2d.(5)若{a n}与{b n}为等差数列，且前n项和分别为S n与S′n，则a mb m＝S2m－1S′2m－1.误区警示1．用a n＝S n－S n－1求a n得到a n＝pn＋q时，只有检验了a1是否满足a n，才能确定其是否为等差数列，前n项和是不含常数项．．．．．的n的二次函数时，{a n}才是等差数列．2．在讨论等差数列{a n}的前n项和S n的最值时，不要忽视n是整数的条件及含0项的情形．3．如果p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则a p＋a q＝2a r，而不是a p＋a q＝a2r.方法技巧一、函数思想等差数列的通项是n的一次函数，前n项和是n的二次函数，故有关等差数列的前n项和的最值问题，数列的递增递减问题等都可以利用函数的研究方法来解决．[例1]已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a5＝11，则a n＝__________.二、等差数列的设项技巧与方程思想(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x＋d，…，此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.[例2]有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数．典例讲练等差数列的通项已知等差数列{a n }、{b n }的公差分别为2和3，且b n ∈N *，则数列{ab n }是( ) A ．等差数列且公差为5 B ．等差数列且公差为6 C ．等差数列且公差为8 D ．等差数列且公差为9①在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18②已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若{11＋a n }是等差数列，则a 11等于( )A.0B.16C.13D.12等差数列的前n 项和①等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66②设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列{S nn }的前n项和，求T n .①已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A. 12B ．1C ．2D ．3②已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6等差数列性质的应用已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m>1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 为( ) A ．10 B ．19 C ．20D ．39①等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 12＝30，则S 13的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70D ．75②在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＋a 9＝π4，则tan(a 4＋a 6)等于( )A. 3 B ．－1 C ．1D.33有关等差数列的最值问题等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？①若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值②已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )A ．11B ．19C ．20D ．21综合应用设{a n }是一个公差为d(d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 1、a 2、a 4成等比数列．(1)证明a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．①数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11②设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n ＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.课堂巩固1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．452．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．53．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝9，S 3＝15，则数列{a n }的通项a n ＝( ) A ．2n －3 B ．2n －1 C ．2n ＋1 D ．2n ＋34．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5.设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，已知S 5S 10＝13，那么S 10S 20等于( )A.19B.310C.18D.136.已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．187.已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．248.已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．49.设数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 成立，则k 的值为( ) A ．22 B ．21 C ．20D ．1910.已知方程(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝A.1B.34C.12D.3811.已知直线(3m ＋1)x ＋(1－m)y －4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第一项与第二项，若b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10＝( ) A.921 B.1021 C.1121D.202112.设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.13.已知a n ＝n 的各项排列成如图的三角形状：记A(m ，n)表示第m 行的第n 个数，则A(21,12)＝________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 … … … … … … … … … …14.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .15.已知在等差数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n >a n ＋1，且a 2，a 8是方程x 2－12x ＋m ＝0的两根，且前15项的和S 15＝m ，则数列{a n }的公差是( ) A ．－2或－3 B ．2或3 C ．－2 D ．316.已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4000，O 为坐标原点，点P(1，a n )，点Q(2011，a 2011)，则OP →·OQ →等于( )A ．2011B ．－2011C ．0D ．117.数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝0，b 1＝－4，用S k 、S k ′分别表示等差数列{a n }和{b n }的前k 项和(k 是正整数)，若S k ＋S k ′＝0，则a k ＋b k ＝________.18.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 3＋b 7＝18，且 b n －1＋b n ＋1＝2b n (n≥2)． (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝b na n ，求数列{c n }的前n 项和T n .19．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.31020．将正偶数集合{2,4,6…}从小到大按第n 组有2n 个偶数进行分组，第一组{2,4}，第二组{6,8,10,12}，第三组{14,16,18,20,22,24}，则2010位于第( )组． A ．30 B ．31 C ．32D ．3321．设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，b n 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1033B ．2057C ．1034D ．205822．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是( )A ．i<4?B ．i<5?C ．i≥5?D ．i<6?23．已知函数f(x)＝sinx ＋tanx.项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d≠0.若f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 27)＝0，则当k ＝______时，f(a k )＝0.24．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2>19的最大正整数n 的值为________．25．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．1.若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22D ．442．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 6＋a 7＝18，则S 9的值是( )A ．64B ．72C ．54D ．以上都不对 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．94．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为 A ．3 B ．－1 C ．2 D ．3或－15．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( ) A ．16 B ．11 C ．－11 D ．±116．在函数y ＝f(x)的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f(x)的解析式可能为( )A ．f(x)＝2x ＋1B ．f(x)＝4x 2C ．f(x)＝log 3xD ．f(x)＝⎝⎛⎭⎫34x7．已知a ，b ，c 是递减的等差数列，若将其中两个数的位置对换，得到一个等比数列，则a 2＋c 2b 2的值为________．8．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 9．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …………2826那么10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N ＋)在函数f(x)＝3x 2－2x 的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3a n ·a n ＋1，求数列{b n }的第n 项和T n .11.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 212．设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且S 15>0，S 16<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是( )A.S 15a 15B.S 9a 9C.S 8a 8D.S 1a 113．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A.1升 B.6766升 C.4744升 D.3733升14．若数列{x n }满足x n －x n －1＝d ，(n ∈N *，n≥2)，其中d 为常数，x 1＋x 2＋…＋x 20＝80，则x 5＋x 16＝________.15．已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2S n ＝a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和B n .。
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等差数列
一、等差数列的定义
定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．
首项：一个数列的第一项
公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；
末项：一个数列的最后一项它也可表示数列的第n项。
公式：末项=首项+（项数-1）×公差
项数：一个数列全部项的个数，通常用n来表示；
公式：项数=（末项-首项）÷公差+1
和：一个数列的前n项的和
公式：和=（末项+首项）×项数÷2
二、等差数列的应用
中项定理：
（1）对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
（2）对于任意一个项数为偶数的等差数列，中间两项和的一半等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间两项和的一半乘以项数．
一、判断等差数列
下列哪些是等差数列？如果是请写出首项、末项和公差；如果不是，请说明理由。
（1）0，0，0，0，0，0，0
（2）1，2，1，2，1，2，1，2
（3）3，10，17，24，31，38
（4）1，2，4，8，16，32，64
（5）98，86，74，62，50，38
（6）729，243，81，27，9，3，1
二、求末项
1.等差数列1，3，5，7，9，……，第18项是多少？
2.等差数列2，4，6，8，10，……，第19项是多少？
3.等差数列1，4，7，10，13，16……，第20项是多少？
4.等差数列3，9，15，21，27，……，第10项是多少?
5.等差数列3，4，5，6，7，8，……，第100项是多少？
三、求项数
下列等差数列各有多少项？
（1）3，4，5，6，7……，97，98
（2）2，5，8，11，14，……，62，65
（3）98，96，94，……，8，6，4，2
（4）1，6，11，16，……，96
四、求和
求下列等差数列的和：
（1）1，2，3，4，……，100
（2）2，4，6，8， (100)
（3）1，3，5，7， (99)
（4）1，4，7，10，13，16，……，100
五、应用
1.五个连续奇数的和为220，求这五个数中的最大数
2.六个连续偶数的和为210，求这六个数中的最小数
六、综合
1.在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为。
16 10
2.数列5、8、11、14、17、20、 ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？
3.数列2、4、6、8、10、12、 是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．
4.数列1、3、5、7、9、11、 是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？
+++⋯++++⋯+++÷=
5.(123200720082007321)2008
6.计算246198419861988135198319851987
（）（）
++++++-++++++。