物理光学13 第十三次课、球面波干涉和分波面双光束干涉

可见，条纹的强度沿x方向按余弦规律变化； 在此平面上的等强度线(也即等光程差线)就 是等 x 值线； 干涉条纹应该是平行于z坐标轴的等间距直条 纹。
d2 S2 O d1 S1 x y0 P(x, y, z)
-l/2
l/2
z nl ˆ 该组条纹也只有在x方向上的空间频率： f = ex (38) λ0 y0 2ε 1/ 2 ˆ ex是轴上的单位矢量 条纹的反衬度仍为： = (24) V | cosψ | 1+ ε
则同样得到(39)式。
θ
θ
z
可见观察屏沿着y轴并垂直于y轴放置时，在y轴附近的干涉条纹与 两平面波的干涉条纹基本上是一样的。
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原因
Y 观察平面Π θ
'1
1 1由S1发射的球面波的波面
'2 θ y0 S2 波面
1和 2 2是由S2发射的球面波的波面
l
2都通过y轴上的Y点。
S1
因为它们的曲率半径相同，所以它们在观察平面Π上的光程差可以近似 地由两个假想的‘平面波’ '1和 '2之间的光程差代替， '1和 '2分别 与 1和 2相切于Y点。 这样，在y轴附近，两球面波和两平面波的干涉条纹差不多是一样的。
(29)
y
(30) ∆<0
d2 S2
P(x, y, z)
y
∆=0 S2 O
∆>0
d1 S1
x y +z − =1 ∆ 2 l 2 ∆ 2 ( ) ( ) −( ) 2n 2 2n
2 2 2
(31)
S1
-l/2
z
l/2
xx
_______等光程差面的方程。
z
根据三角形PS1S2的几何关系有：l2≥(d1-d2)2，所以：l2≥(∆/n)2。 由此判断(31)式是一个旋转双曲面的方程，旋转对称轴是x轴。 直观上就可见到，等光程差面(近似代表等强度面)不再具有非周期性。
y P(x, y, z)
E20 E2 = exp[ j (k0 nd 2 − ωt + ϕ20 )] d2
在t时刻P(r)点的合电场为： E(r, t)=E1(r, t)+E2(r, t) 干涉场强度为： I(r)=<E·E>=<(E1+E2)·(E1+E2)> (5)
d1 S1 O x
-l/2 (4)
2
1、概述
同平面波一样，球面波也是最基本的简单光波，而且在 实际中，球面波比平面波更加普遍，因此了解球面波的 干涉也是极其必要的。 两束球面波在空间相遇叠加，如果要产生稳定的干涉现 象，它们也要满足前面讲述的三个基本条件，即在相遇 点波振动方向不垂直，两束球面光波的频率相同，初始 位相差恒定，满足这种条件的球面波称为相干球面波 相干球面波。 相干球面波 我们知道点光源发射球面波，如果两个点光源发射的球 面波叠加时能够产生干涉现象，可以称这两个点光源为 相干点光源。 相干点光源
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条纹间距(空间周期)为：P = 我们回看上次课的(21)式：
λ0 y0 λ y0 1 = = |f| nl l
y0
(39)
y
1 λ P= = | f | sin(θ ) 2
(21)
P(x, y, z) d1 S1 O x
θ
S2 d2
——两束平面波干涉条纹的间距 如果取
-l/2
l/2
l sin( ) ≈ tg( ) = 2 2 2 y0
I ( P) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos [ k0 ∆ + (ϕ20 − ϕ10 ) ] (28)
∆ = ( L2 − L1 )
∆ = n(d 2 − d1 )
2 2 l l 2 2 2 2 = n x + + y + z − x − + y + z 2 2
z d2
y P(x, y, z)
d1 S1 O x
l/2
所以光程的意义 光程的意义是：光波在真空中传播距离L1所需的时间与它在媒质中 光程的意义 传播距离d1所需的时间相同。
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光程差
E1 = E10 exp[ j (k0 nd1 − ωt + ϕ10 )] d1
(25a') (25b')
S2 d2
( x + l / 2) 2 + z 2 ( x − l / 2) 2 + z 2 nl ∆ ≈ n y0 1 + − y0 1 + = x 2 2 2 y0 2 y0 y0
(37)
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I ( P) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos [ k0 ∆ + (ϕ20 − ϕ10 ) ] (28)
k=k0n
式中，k是媒质中的空间角频率(波数)： (26)
S2 d2 O z d1 S1 x
k0为真空中波数，n为媒质折射率。
E10 E1 = exp[ j (k0 nd1 − ωt + ϕ10 )] d1 E20 E2 = exp[ j (k0 nd 2 − ωt + ϕ20 )] d2 E10 E1 = exp[ j (k0 L1 − ωt + ϕ10 )] d1 E20 E2 = exp[ j (k0 L2 − ωt + ϕ 20 )] d2
S2 d2 O z
P(x, y, z)
d1 S1 x
-l/2
l/2
I ( P) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos [ k0 ∆ + (ϕ20 − ϕ10 ) ] (28)
等强度面 等位相面 =等光程差面 等光程差面
因为I1(P)、I2(P)和∆都是P点位置的函数，所以干涉场中的等强度面 具有复杂的形状。 但是，在远离S1和S2的区域内，I1(P)和I2(P)的变化要比式中余弦项的 变化慢得多。 因此，等强度面与等光程差面 等光程差面十分接近； 等光程差面 以致近似地可以用等光程差面 等光程差面代替等强度面 等强度面。 等光程差面 等强度面 9
∆ = n(d 2 − d1 )
d2 S2 O z y0 y P(x, y, z)
d1 S1 x
-l/2
l/2
x、z、 l<<y0
2 2 l l 2 2 2 2 = n x+ + y + z − x− + y + z 2 2
(30)
空间频率
对于两束球面波干涉场的强度分 布，可以用极限形式定义其局部 局部 空间频率f： 空间频率 ： f·dr=dm (34) z ∆<0 S1 O y ∆=0 S2 x ∆>0
λ0 ∆ = mλ0 − (ϕ 20 − ϕ10 ) (33) 2π
f ⋅ dr = d∆
λ0
=
1
λ0
(grad∆ ⋅ dr )
( x + l / 2) 2 + z 2 ( x − l / 2) 2 + z 2 nl ∆ ≈ n y0 1 + − y0 1 + = x 2 2 2 y0 2 y0 y0
(37)
k0 nl I ( P) = I1 ( P ) + I 2 ( P ) + 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos x + (ϕ20 − ϕ10 ) (28') y0 y
z
l/2
I ( P) =
E10 E20 exp[ j (k0 nd1 − ωt + ϕ10 )] + exp[ j (k0 nd 2 − ωt + ϕ20 )] d1 d2
2
7
E10 E20 E10 E20 I ( P) = + + 2 cos [ k0 ( L2 − L1 ) + (ϕ20 − ϕ10 ) ] d1 d 2 d1 d 2 = I1 ( P) + I 2 ( P) + 2 I1 ( P) I 2 ( P) cos [ k0 ∆ + (ϕ20 − ϕ10 ) ] (28)
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f =
grad∆
λ0
(35)
沿坐标轴的三个方向的空间频 率分别为：
y ∆<0
∆=0 S2 O
| f x |=
∂∆ λ0 ∂x
∆>0
(36a)
S1
∂∆ | f y |= λ0 ∂y
| f z |= ∂∆ λ0 ∂z
x
(36b) z (36c)
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4、二维观察屏面上干涉条纹的性质
两束干涉球面波形成干涉场是复杂的，鉴于此，我们只考察两个特殊位置即 沿着y轴并直于y轴放置和沿着x轴并直于x轴放置的二维观察屏面上干涉条纹 的性质。 (1)、观察屏沿着y轴并垂直于y轴放置 假定观察屏放置在“y=y0=常数”的平面 上； 并假设考察范围集中在y轴附近，使得：
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2、光程和光程差
y
P(x, y, z)
在距离这两点足够远的考察点P 处，两球面波的振动方向近似 相同，所以以下用标量波近似 标量波近似 进行讨论。
d2 S2 O
d1 S1 x
-l/2
z
l/2
E1 =
E10 exp[ j (kd1 − ωt + ϕ10 )] d1 E20 exp[ j (kd 2 − ωt + ϕ20 )] d2