山西省大同市口泉中学2015届高三上学期摸底考试数学(理)试题

大同市口泉中学2014－2015学年高三上学期摸底考试（理科）命题人：高三数学组王高翔本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则AB =（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4．设b a ,是平面α内两条不同的直线，是平面α外的一条直线，则”“b l a l ⊥⊥,是”“α⊥l 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{}n a 为等比数列，且5642a a a =⋅，设等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，若552b a =，则9S =A ．36B ．32C ．24D ．226．函数)(cos sin 42sin )(3R x x x x x f ∈-=的最小正周期为 A ．8πB ．4π C ．2π D ．π 7．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的 等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．12πB ．C ．3πD ．8.已知,(1)()(4)2,(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)9.函数ax x f x++=)110lg()(是偶函数，xx bx g 24)(-=是奇函数，则=+b a （ ） A.1 B. 1- C. 21-D. 2110.已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为ABCD11.已知圆()()221:231C x y -+-=,圆()()222:349C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为x 轴上的动点,则PM PN +的最小值为（ ）A ．4-B 1 C．6-D12．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数0)0('),('>f x f ，且)(x f 的值域为),0[+∞，则)0(')1(f f 的最小值为 A ．3 B ．25 C ．2 D ．23 第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题答案填在答题纸的相应位置） 13、由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是14、在等比数列{}n a 中，若,81510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ，则=+++109871111a a a a 15. 若函数x x x f 3)(3+=对任意的0)()2(],2,2[<+--∈x f mx f m 恒成立，则∈x .16、设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠.若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x R ∈恒成立，则 ① 11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）． 三、解答题（6个题， 共70分）17．(10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B A A b a sin 2cos 3sin ,=+≥． (1)求角C 的大小； (2)求a bc+的最大值．18.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*22()n n S a n N =-∈,数列{}n b 满足11b =,且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上. (1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ;19.（12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且AD PD PA 22==．B(1)求证：面PAB ⊥平面PDC ； (2)求二面角B PD C --的余弦值．20.（12分）如图已知抛物线2:2C y px =的焦点坐标为(1,0)F ，过F 的直线交抛物线C 于A B ,两点，直线AO BO ,分别与直线m ：2x =-相交于M N ,两点． (1)求抛物线C 的方程；(2)证明△ABO 与△MNO 的面积之比为定值．21.已知函数()e x f x =,点(,0)A a 为一定点,直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ,N ,记AMN ∆的面积为()S t . （1）当0a =时,求函数()S t 的单调区间；（2）当2a >时, 若0[0,2]t ∃∈,使得0()e S t ≥, 求实数a 的取值范围.22. 已知函数()()0≠++=x b xax x f ，其中R b a ∈,. ⑴若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处切线方程为13+=x y ,求函数()x f 的解析式； ⑵讨论函数()x f 的单调性；⑶若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.参考答案（理科）二、填空题：(每小题5分,共20分)13． 2-22 14．-5/3 15．(-2,2/3) 16．三、解答题：(共70分) 17．(10分)解：（1）sin A ＋3cos A ＝2sin B 即2sin (A ＋3)＝2sin B ，则sin (A ＋3)＝sin B ．…3分 因为0＜A ，B ＜，又a ≥b 进而A ≥B ，所以A ＋3＝－B ，故A ＋B ＝23，C ＝3． (6)分（2）由正弦定理及（1）得 a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝23[sin A ＋sin (A ＋ 3)]＝3sin A ＋cos A ＝2sin (A ＋6)．…9分 当A ＝3时，a ＋b c取最大值2．18．(Ⅰ)当1=n ,21=a当2≥n 时,1122n n n n n a S S a a --=-=-∴ 12(2)n n a a n -=≥,∴{}n a 是等比数列,公比为2,首项12a = ∴2n n a = 又点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上,∴ 12n n b b +=+, ∴{}n b 是等差数列,公差为2,首项11=b ,∴21n b n =- (Ⅱ)∴(21)2n n n a b n ⋅=-⨯∴1234112325272(23)2(21)2n n n D n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ① 23451212325272(23)2(21)2n n n D n n +=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ②①—②得123411222222222(21)2n n n D n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯--⨯1114(12)22(21)22(32)612n n n n n -++-=+⨯--⨯=---1(23)26n n D n +=-+19．(12分)(1)解法一：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD面ABCD AD =ABCD为正方形，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ …………………………2分 又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2PAD π∠= 即PA PD ⊥CDPD D =，且CD 、PD ⊆面PDCPA ⊥面PDC又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC …………………………6分 解法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF . ∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴POABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵2PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,向量OA →,OF →,OP →为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2aA ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE - …………………………2分(1)∵(,0,)22a a PA =-,CD →=(0,-a,0) ∴PA →CD →=(a2,0,- a 2)(0,-a,0)=0,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D =,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,∴平面PAB ⊥平面PDC ． …………………………6分 (2)由(1)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a a PA =-.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =.∵DP →=(a 2,0, a 2),BD →=(-a,-a,0)∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅=可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2x+0y+a 2z=0-a x-a y+0z=0取1x =,则y=-1,z=-1,故n →=(1,-1,-1) …………………………10分∴cos ,2n PA n PA n PA⋅<>===, 即二面角B PD C --……………………12分 20．(12分)解：（1）由焦点坐标为(1,0) 可知12p= 所以2=p ,所以抛物线C 的方程为x y 42= …5分（2）当直线垂直于x 轴时，ABO ∆与MNO ∆相似， 所以21()24ABOMNO OF S S ∆∆==, …7分当直线与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-, 设)y 2,(M -M ，)y 2,(N -N ，),(11y x A ，),(22y x B ，解2(x 1),4,y k y x =-⎧⎨=⎩ 整理得2222(42)0k x k x k -++=， …9分所以121=⋅x x , …10分121sin 121224sin 2ABO MNOAO BO AOBS x x AO BO S MO NO MO NO MON ∆∆⋅⋅⋅∠∴==⋅=⋅=⋅⋅⋅∠,综上14ABO MNO S S ∆∆= …12分21.解: (I) 因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ …………2分 当0a =，1()||e 2t S t t =，其中0t ≠ 当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， ……………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增令1'()(1)e 02tS t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减 ………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-()S t 的单调递增区间为(1,0)-（II ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠ 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2tS t a t =-因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =- …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22ea ≥+ ， 所以3a ≥ …………………10分 当12a -<时，即3a <时1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+所以ln 223a +≤< …………………12分22、解：⑴2()1af x x'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+.............3分 ⑵2()1a f x x '=-． 当0a ≤时，显然()0f x '>(0x ≠),这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,-∞()+∞()f x ' ＋ 0 － － 0 ＋ ()f x↗极大值↘↘极小值↗∴()f x在(,-∞)+∞内是增函数，在(，(0,)+∞内是减函数．.........7分⑶由⑵知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞．......12分。