数理逻辑
数理逻辑基本概念解析
数理逻辑基本概念解析数理逻辑是数学与哲学的交叉领域，它研究的是关于真理、推理和证明的基本概念和原则。
数理逻辑可以帮助我们理解和分析语言中的逻辑结构，从而使我们能够进行正确的推理和论证。
本文将对数理逻辑的基本概念进行解析，包括命题、谓词、量词、推理、证明等。
一、命题命题是陈述性的句子，它要么是真的，要么是假的。
命题可以用句子来表示，比如“今天是晴天”。
命题在数理逻辑中是基本的要素，我们可以对命题进行逻辑运算，比如取反、合取、析取等。
二、谓词谓词是带有一个或多个变量的命题函数，它依赖于特定的对象和参数。
谓词可以用来描述特定的性质或关系，比如“x是奇数”、“x大于y”。
通过引入谓词，我们可以更加精确地描述对象之间的关系，从而进行更加复杂的推理。
三、量词量词用来描述命题的数量存在与否。
在数理逻辑中，常见的量词有全称量词和存在量词。
全称量词表示命题对于所有的个体都成立，比如“对于任意的x，都有P(x)成立”。
存在量词表示命题对于至少一个个体成立，比如“存在一个x，使得P(x)成立”。
量词的引入使我们能够推理和论证一些关于对象的普遍性或存在性的命题。
四、推理推理是通过一系列逻辑步骤从已知的命题中得出新命题的过程。
在数理逻辑中，常用的推理形式有直接推理、假设推理、演绎推理等。
推理过程中需要遵循一定的推理规则和原则，比如充足条件、必然条件等。
五、证明证明是通过逻辑推理建立命题真实性或有效性的过程。
证明包括直接证明、间接证明、归谬证明等形式。
证明的过程需要严谨的逻辑思维和正确的推理方法。
数理逻辑为我们提供了一套形式化的证明系统，使我们能够清晰地展示证明过程，从而确保推理的准确性和有效性。
通过对数理逻辑的基本概念的解析，我们可以更好地理解和应用逻辑推理。
数理逻辑为我们提供了一种思维工具，帮助我们分析和解决问题，从而推动了科学和哲学的发展。
在实际生活中，数理逻辑的应用广泛存在于数学、计算机科学、人工智能等领域。
掌握数理逻辑的基本概念对于我们的学习和思维能力的提升具有重要的意义。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数理逻辑是数学中研究符号表达式或语言的规则和性质的学科，也称数理基础。
可以说，数理逻辑是数学的根基，没有它，就没有现代数学的发展和成就。
数理逻辑的研究对象是符号逻辑和模型论。
符号逻辑是研究逻辑符号语言的学科，模型论是研究有限和无限结构的学科。
数理逻辑在数学、计算机科学和哲学中都有广泛的应用。
数理逻辑的发展历程可以追溯到二十世纪初。
在此之前，人们常常用自然语言表示数学思想，难以表达精确的概念和推理。
数理逻辑的出现，使得人们能够用形式化的语言来描述数学结构，实现了严格的证明和推断。
同时，数理逻辑也为计算机科学的发展提供了基础。
数理逻辑中最为基本的概念是命题和命题连接词。
命题是不能被真假二选一的陈述句，例如“1+1=2”、“地球是圆的”等等，而“明天会下雨”、“他很高”则不是命题。
命题连接词是将两个或多个命题结合在一起的词，例如“否定”、“合取”、“析取”等等。
其中，“否定”将原命题的真假取反，如“不是所有人都喜欢运动”；“合取”表示两个或多个命题同时成立，如“他喜欢打篮球且他喜欢游泳”；“析取”表示其中一个或多个命题成立，如“他喜欢打篮球或者他喜欢游泳”。
通过对命题和命题连接词的定义，我们可以将复杂的数学问题化简为简单的命题，进而实现推理、证明和计算。
另外，数理逻辑中也有基于公理系统和推理规则的证明方法。
在这种方法中，我们首先确认一组公理或者基本公理，在此基础上应用逻辑规则，逐步推导得出所需要的结论。
这种证明方法具有形式化精确、严谨可靠的特点。
假设我们需要证明一个命题P是真的，但是我们并不知道P是否真，于是我们构造一个新命题，假设它是假的，这个假设我们记作非P。
然后我们再次构造一个新的命题Q，它与非P等价，即非Q与P等价。
对于命题Q，我们可以再次构造一个新命题，也就是非Q，它与P等价。
如果我们能够证明非Q是假的，也就是证明了Q是真的，这意味着非P不成立，所以P必须是真的。
数理逻辑有着广泛而深刻的应用。
数理逻辑
1
0
然语言中的“非”、“不”等，
真值表如右图。
1.1 命题与联结词
合取词“∧”
合取词（Conjunction） P Q P ∧Q 是二元联结词。相当于自然 0 0 0 语言中的“与” 、“并且” 、 0 1 0
“而且” 、“也”等，真值表 1 0 0
如右图。
11 1
1.1 命题与联结词
析取词“∨” 析取词（Disjunction）
是二元联结词。相当于自然 语言中的“或”、“要么… 要么…”等，真值表如右图。
PQ 00 01 10 11
P∨Q 0 1 1 1
1.1 命题与联结词
蕴含词“”
蕴含词（Implication） P Q
是二元联结词。相当于自然 0 0
语言中的“若…则…”、“如果 0 1
…就…”、“只有…才…”， 1 0
数理逻辑的发展前期
(3)莱布尼兹(Leibniz, 1646~1716)完善三 段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演 算的思想： 提出将推理的正确性化归于计算，这种演 算能使人们的推理不依赖于对推理过程中 的命题的含义内容的思考，将推理的规则 变为演算的规则。 使用一种符号语言来代替自然语言对演算 进行描述，将符号的形式和其含义分开。 使得演算从很大程度上取决与符号 的组合 规律，而与其含义无关。
第1章 命题逻辑
命题逻辑研究的是以原子命题为基本 单位的推理演算，其特征在于，研究和考 查逻辑形式时，我们把一个命题只分析到 其中所含的原子命题成分为止。通过这样 的分析可以显示出一些重要的逻辑形式， 这种形式和有关的逻辑规律就属于命题逻 辑。
第1章 命题逻辑
内容提要：
1. 命题逻辑的基本概念、命题联结词 2. 命题公式、自然语言的形式化 3. 命题公式的等值和蕴含 4. 范式 5. 联结词的完备集 6. 推理理论 7. 命题逻辑在计算机科学中的应用
数理逻辑的博士
数理逻辑的博士数理逻辑，一门探讨数学与逻辑之间关系的学科，它在现代科学领域中具有重要地位。
作为一名数理逻辑博士，不仅需要具备扎实的理论基础，还要具备深入的研究能力和创新精神。
本文将介绍数理逻辑的基本概念、应用领域、成为数理逻辑博士的要求以及职业前景。
1.数理逻辑简介数理逻辑起源于19世纪末，它主要研究数学形式系统，如集合论、命题逻辑、谓词逻辑等。
这门学科在哲学、计算机科学、数学、逻辑学等领域具有广泛的应用。
它帮助我们理解数学结构的合理性，以及证明数学定理的可靠性。
2.数理逻辑的应用领域数理逻辑在多个领域具有广泛的应用，如计算机科学中的形式化方法、人工智能、程序验证、逻辑编程等。
此外，数理逻辑还应用于数学中的模型理论、拓扑学、代数几何等分支。
在哲学领域，数理逻辑为知识论、语言哲学、心灵哲学等提供了理论支持。
3.成为数理逻辑博士的要求要想成为一名数理逻辑博士，首先需要具备扎实的数学和逻辑基础。
在本科阶段，可以选择数学、逻辑等专业进行学习。
此外，还需掌握相关领域的知识，如计算机科学、哲学等。
在研究生阶段，可以选择数理逻辑、数学哲学等方向进行深入研究。
在此过程中，要阅读大量经典和前沿的学术论文，培养自己的研究能力和创新精神。
4.数理逻辑博士的职业前景数理逻辑博士在学术界、工业界和政府部门都有广泛的就业前景。
他们可以在高校、研究机构担任教职或研究员，也可以在企业从事研发工作。
此外，他们还可以在政府部门担任顾问或政策制定者，为我国数理逻辑领域的发展提供支持。
5.我国数理逻辑教育与发展我国在数理逻辑领域具有悠久的历史和丰富的成果。
近年来，随着计算机科学、人工智能等领域的快速发展，数理逻辑在国内的研究水平不断提高。
众多高校和研究机构为数理逻辑研究提供了良好的平台。
在国家政策的支持下，我国数理逻辑教育与发展正逐步走向国际化，为培养更多优秀的数理逻辑人才做出贡献。
总之，数理逻辑作为一门跨学科的领域，具有广泛的应用前景和重要的理论价值。
数理逻辑总结
数理逻辑总结数理逻辑总结一、概念数理逻辑（mathematical logic）是一门根据数学的思维模式和方法在表述语言和推理思维上进行分析和作用的逻辑学课程。
它是一门用来研究和分析与计算机科学有关的严谨思维和验证的逻辑学科。
数理逻辑从宏观意义上讲，是指用符号抽象的方法来描述，定义，表示和理解各种基础数学系统的知识，以及这些系统中定理的证明等。
二、历史数理逻辑（mathematical logic）由古典逻辑演化而来，它最早由古希腊的哲学家亚里士多德（Aristotle）创立，但是由于他的古典逻辑只涉及到了辩论中的质问和概括推理，并未涉及到像数学中的严谨性，所以不能科学地处理逻辑问题。
直到二十世纪中期，数理逻辑才发展到其现在的状态。
首先，德国数学家彼得拉多斯（Petr Lusitr）提出了系统性的作为符号逻辑学的主要著作被称为《符号逻辑学》。
随后，德国数学家卡尔·贝尔（Carl Brel）提出了一种新的逻辑秩序，用以把命题逻辑系统中的各个命题放置于命题结构之中，称为贝尔结构，他也提出了用来支持贝尔结构的证明系统。
在二十世纪五十年代，英国数学家霍华德·劳夫（Howard Lawford）引入了前言逻辑系统，并从多种角度改进了古典逻辑，使其变成一种非常完善的数学系统。
三、特点数理逻辑有它独特的特点，其一是抽象性。
数理逻辑采用抽象方法，把问题表达为一系列标准的符号，然后用逻辑证明的方法求解。
抽象的好处是可以把问题简化，可以有效地发现和解决复杂的问题。
其次，数理逻辑有其严谨性。
数理逻辑用符号语言来描述和表达问题，采用公理-定理的方法证明结果，使得结果更加准确可靠。
最后，它有其实用性。
数理逻辑可以被看作是一种被证明准确可靠的结构性思维规范，它可以用于描述，定义，表示，理解多种数学系统，以及证明系统中的定理，实际上也被广泛应用于计算机科学领域，极大地推动了计算机技术的发展。
四、应用数理逻辑在计算机科学中有着重要的应用。
数理逻辑(Mathematical Logic)
数理逻辑（MathematicalLogic）数理逻辑(Mathematical logic)是用数学方法研究诸如推理的有效性、证明的真实性、数学的真理性和计算的可行性等这类现象中的逻辑问题的一门学问。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
数理逻辑的研究范围是逻辑中可被数学模式化的部分。
以前称为符号逻辑（相对于哲学逻辑），又称元数学，后者的使用现已局限于证明论的某些方面。
历史背景“数理逻辑”的名称由皮亚诺首先给出，又称为符号逻辑。
数理逻辑在本质上依然是亚里士多德的逻辑学，但从记号学的观点来讲，它是用抽象代数来记述的。
某些哲学倾向浓厚的数学家对用符号或代数方法来处理形式逻辑作过一些尝试，比如说莱布尼兹和朗伯（Johann Heinrich Lambert）；但他们的工作鲜为人知，后继无人。
直到19世纪中叶，乔治·布尔和其后的奥古斯都·德·摩根才提出了一种处理逻辑问题的系统性的数学方法（当然不是定量性的）。
亚里士多德以来的传统逻辑得到改革和完成，由此也得到了研究数学基本概念的合适工具。
虽然这并不意味着1900年至1925年间的有关数学基础的争论已有了定论，但这“新”逻辑在很大程度上澄清了有关数学的哲学问题。
在整个20世纪里，逻辑中的大量工作已经集中于逻辑系统的形式化以及在研究逻辑系统的完全性和协调性的问题上。
本身这种逻辑系统的形式化的研究就是采用数学逻辑的方法.传统的逻辑研究（参见逻辑论题列表）较偏重于“论证的形式”，而当代数理逻辑的态度也许可以被总结为对于内容的组合研究。
它同时包括“语法”（例如，从一形式语言把一个文字串传送给一编译器程序，从而转写为机器指令）和“语义”（在模型论中构造特定模型或全部模型的集合）。
数理逻辑的重要著作有戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）的《概念文字》（Begriffsschrift）、伯特兰·罗素的《数学原理》（Principia Mathematica）等。
数学的数理逻辑
数学的数理逻辑数学是人类智慧的结晶，是一门令人又爱又恨的学科。
它的美妙之处不仅在于数学公式、定理的推导，更体现在数理逻辑的严密性和精确性上。
数理逻辑是数学的基石，通过逻辑推理和符号运算，帮助我们理解、表达并解决各种数学问题。
本文将深入探讨数学的数理逻辑及其应用。
一、数理逻辑的基础数理逻辑是研究命题、谓词和推理规则的学科，它通过严谨的符号化方法，纯粹地探讨命题之间的逻辑关系。
数理逻辑的基础是命题逻辑和谓词逻辑。
1. 命题逻辑命题逻辑是研究命题和推理规则的数理逻辑分支。
命题是陈述性句子，要么是真，要么是假。
通过逻辑操作符（如非、与、或、蕴含等），可以对命题进行组合，并推导出新的结论。
命题逻辑是数理逻辑的起点，为其他相关逻辑学科提供了坚实的理论基础。
2. 谓词逻辑谓词逻辑是研究谓词、量词和推理规则的数理逻辑分支。
谓词是陈述性函数，它包含变量和常量，并且可以是真或假的。
通过量词和逻辑操作符，可以对谓词进行组合，从而进行推理。
谓词逻辑拓展了命题逻辑的范畴，并能够更加准确地描述数学问题。
二、数理逻辑的应用数理逻辑在数学的各个领域中都有广泛的应用，从数论到代数、几何，甚至物理、计算机科学等。
1. 数论中的应用在数论中，数理逻辑帮助我们证明数学中的重要定理和猜想。
例如，费马大定理的证明就运用了数理逻辑的方法。
通过命题逻辑和谓词逻辑，可以推导出各种数论命题的真假，并最终得到定理的证明。
2. 代数和几何中的应用在代数和几何中，数理逻辑可以帮助我们构建严密的证明体系，推导各种重要结果。
对于代数方程式和几何问题，数理逻辑提供了切实可行的逻辑推理方法，使我们能够正确地解决问题。
3. 物理和计算机科学中的应用在物理学和计算机科学中，数理逻辑起到了重要的作用。
通过建立逻辑模型，可以对物理现象进行描述和解释。
在计算机科学中，数理逻辑是计算机程序设计和算法研究的基础，它帮助我们确保程序的正确性和有效性。
三、数理逻辑的重要性数理逻辑对于培养人们的逻辑思维能力和分析问题的能力起到了重要的作用。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
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数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。
数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分。
虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，是之更为精确和便于演算。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
简而言之，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
新的时代将是数学大发展的时代，而数理逻辑在其中将会起到很关键的作用。
逻辑是探索、阐述和确立有效推理原则的学科，最早由古希腊学者亚里士多德创建的。
用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑。
也叫做符号逻辑。
数理逻辑的产生
利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在十七世纪就有人提出过。
莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
数理逻辑的内容
数理逻辑包括哪些内容呢？这里我们先介绍它的两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。
命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。
如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑连接词看作运算符号，就象代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复和命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，也就是命题的演算。
这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。
例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等等。
利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复和命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同等等。
命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。
逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑费，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。
逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截至等现象完全一样，都只有两种不同的状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。
利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑成和逻辑非的门电路，就是逻辑元件。
还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络，这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。
因此，在自动控制方面有重要的应用。
谓词演算也叫做命题涵项演算。
在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。
常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。
命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。
如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。
命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。
数理逻辑的发展
数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。
比如，非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。
集合论的产生是近代数学发展的重大事件，但是在集合论的研究过程中，出现了一次称作数学史上的第三次大危机。
这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。
什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。
集合论本来是论证很严格的一个分支，被公认为是数学的基础。
1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”，这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。
罗素悖论中有许多例子，其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”：某乡村有一位理发师，有一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。
那么就产生了一个问题：理发师究竟给不给自己刮胡子？如果
他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他又不该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他又应该给自己刮胡子。
这就产生了矛盾。
悖论的提出，促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，从而产生了数理逻辑的一个重要分支—公理集合论。
非欧几何的产生和集合论的悖论的发现，说明数学本身还存在许多问题，为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑的另一个分支—证明论。
数理逻辑新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等。
第归论主要研究可计算性的理论，他和计算机的发展和应用有密切的关系。
模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。
数理逻辑近年来发展特别迅速，主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。
反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。
正因为它是以门新近兴起而又发展很快的学科，所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。
现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题进行研究。
总之，这门学科的重要性已经十分明显，它已经引起了更多人的关心和重视。
数理逻辑论的体系
数理逻辑的主要分支包括：模型论、证明论、递归论和公理化集合论。
数理逻辑和计算机科学有许多重合之处，这是因为许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家，如阿兰·图灵、邱奇等。
程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来，而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。
柯里－霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性，这一结果与证明论有关，直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。
λ演算和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。
计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献，比如说自动定理证明和逻辑编程。
一些基本结果
▲一阶公式的普遍有效性的推定证明可用算法来检查有效性。
用技术语言来说，证明集合是原始递归的。
实质上，这就是哥德尔完备性定理，虽然那个定理的通常陈述使它与算法之间的关系不明显。
▲有效的一阶公式的集合是不可计算的，也就是说，不存在检测普遍有效性的算法。
尽管以下算法存在：对此算法输入一个一阶公式，如果这个一阶公式是普遍有效的，那么算法将在某一时刻停机，如果不是普
遍有效的，那么算法将会永远不停地计算下去。
然而，即使算法已经运行了亿万年，公式是否有效仍是未知数。
换句话说，这一集合是“递归枚举的”，用更通俗的话来讲，是“半可判定的”。
▲普遍有效的二阶公式的集合甚至不是递归可枚举的。
这是哥德尔不完备定理的一个结果。
▲勒文海姆-斯科伦定理。
▲相继式演算中的切消定理。
▲保罗·科恩（Paul Cohen）在1963年证明的连续统假设的独立性。
计算机科学
当逻辑代数的逻辑状态多于2种时（如0、1、2或更多状态时），其通用模型的基本逻辑有2个。
一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑，是一个一元逻辑；
另外一种是两种状态中按照某种规则（比如比较大小）有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑，这是一个二元逻辑。
依据这两种逻辑，可以表达任意多状态的任意逻辑关系，即最小表达式。
即任意多状态的逻辑是完备的。
当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。
任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达：加减法和比较大小。