P1 模糊推理与模糊逻辑控制

最常用的T-范式算子

交（极小） Tmin (a, b) a b min(a, b)

代数积
有界积 强积
Tap (a , b) a b ab

Tbp (a, b) ab max(0, a b 1)
a b1 Tdp (a, b) a b b a 1 0 others

1.3.1 定义

n元模糊关系是定义在多维空间 X1 X 2 X n 上的模糊集合，可表示为
R( X 1 , X 2 ,, X n ) or R X 1 X 2 X n
1.3.2 二元模糊关系

令X和Y是两个论域，则模糊关系 R( X , Y ) 是 X Y 空间的模糊集合，可表示为：

~ 是函数S的二元算子。这种模糊并算
子被称作T-协范式（协三角范式）或S 范式，满足以下四个基本条件：
S范式

S范式
S(1,1)=1,S(a,0)=S(0,a)=a S(a,b) ≤ S(c,d) a≤ c and b ≤ d S(a,b)=S(b,a) S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c) （有界） （单调性） （交换性） （结合性）
0 0 0 0 0 0 O 0 0 0 0 nm
1 1 E 1
1 1 1 1 1 1 1 nm
1.3.3 模糊关系的合成运算

定义
设X、Y、Z为论域，R是X到Y一个模糊关系， S是Y到Z的一个模糊关系，则R到S的合成T也 是一个模糊关系，记为 T R S ，其隶属度 函数为
最常用的S-范式算子

数学上可以证明
Smax (a, b) Sas (a, b) Sbs (a, b) Sds (a, b)
最常用的S-范式算子
更一般的模糊补的运算

一般的模糊补可以由函数 N : [0,1] [0,1] 来确定，它满足以下基本要求：
N(0)=1,
N(1)=0 N(a) ≥ N(b), if a≤ b N(N(a))=a
R( X ,Y ) {(( x, y ), R ( x, y )) | ( x, y ) X Y }
当论域为离散且为有限集合时， 二元模糊关系可以用矩阵表示。
例

“y比x大得多”的模糊关系
0 1 R ( x, y ) 2 10 1 y x ,x y ,x y
模糊集合的表示方法
A ( x, A ( x )) | x U
A
A ( x)
x
U
N
A
A ( xi )
xi
i 1
例1Βιβλιοθήκη 模糊集合“大苹果”例2
“年轻”和“年老”的隶属度函数
1.1.2 模糊集合的有关名词术语
台集合、支集 As x 截集

A ( x) 0
合成运算

运算被称为sup-star运算。当论域为离 散时，sup运算就变为极大（MAX）运 算。
第一部分
模糊推理与模糊逻辑控制
参考书目
1. 孙增忻 智能控制理论与技术
清华大学出版社
2. 章为国 模糊控制理论与应用
西北工业大学出版社
3. 张曾科 模糊数学在自动化技术中的应用
西安电子科技大学出版社
4. 李人厚 智能控制理论和方法
西安电子科技大学出版社
1 预备知识
1.1 模糊集合的概念
模糊集合的特点
C AB
基本运算（续）

与模糊推理有关的重要运算
直积 A B
AB ( x, y ) min A ( x ), B ( y )
AB ( x, y ) A ( x ) B ( y )
基本运算（续）

相等 A B
A ( x) B ( x)

A ( x, y)
1 1 x 3 y 4
2.5
1.2 模糊集合的运算
1.2.1 基本运算

与模糊推理有关的重要运算
交集
C ( x ) A ( x ) B ( x ) min A ( x ), B ( x )
C A B
并集
C ( x ) A ( x ) B ( x ) max A ( x ), B ( x )
1.1 定义

所谓给定论域 ( 非空集 )U 上的一个模糊集合 A， A ( x ) [0,与之 1] x都有一个数 U 是指对任何 对应，并称之为 x 属于模糊集合 A 的隶属程度； 即指的是映射
A : U [0,1]; x A ( x )

而映射 A ( x )称为A的隶属度函数。
包含 A B
A ( x) B ( x)

空集 A
A 0

补集 B A
B 1 A
交集、并集、补集
图解
1.2.2 基本运算的性质

与模糊推理有关的重要性质
分配律
A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
强 截集 弱 截集
A x A x
A ( x) 0,1 A ( x) 0,1
有关名词术语（续）

正则模糊集合
max A ( x ) 1
x X
核
核( A) x | A ( x) 1
有关名词术语（续）

扩张(Dilation)：k=0.5 dilA ( x) [a ( x)]0.5
人为修正：k为任意值 1.25 plusA ( x ) [ a ( x )]

min usA ( x) [a ( x)]
0.75
1.3 模糊关系
精确关系：二个或二个以上的集合（普 通集合）元素之间关联、交互或互连是 否存在。 模糊关系：二个或二个以上的集合（普 通集合）元素之间关联、交互或互连存 在或不存在的程度。
R S ( x, z ) sup( R ( x, y ) S ( y, z ))
sup

Supremum
– 上确界[数学分析] – 考虑一个实数集合M,如果有一个实数S,使 得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的 一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上 界，就称为M的上确界。 – 一个有界数集有无数个上界和下界，但是 上确界却只有一个。 – 上确界原理：“任何有上界的实数集合必 存在上确界”。

分界点、交叉点
A ( x) 0.5

凸模糊集合
A x1 1 x2 min A ( x1 ), A ( x2 )
x1 , x2 X , 0,1

单点模糊集合
模糊集合的台集合仅为一个点，且 A 1
图解1
图解2
1.1.3 隶属度函数（MF）

一维隶属度函数
三角形
xa 0 x a a x b b a trig( x; a , b, c ) c x b xc c b c x 0
梯形
xa 0 xa a x b b a trap ( x; a , b, c , d 0 1 b xc d x c x d d c dx 0
(有界) (单调性) (对和)
两种常见的模糊补的运算
N s (a ) (1 a ) /(1 sa) s 1 N s (a ) (1 a )1 0
修正运算

一般的修正运算
A [ a ( x )] / x
k X k
常见的修正运算

压缩(Concentrantion)：k=2 conA ( x) [a ( x)]2
高斯型
1 x c 2 ( ) g( x; c , ) e 2
c： 中心
： 宽度
钟形
bell ( x; a , b, c ) 1 xc 1 a
2b
钟形
二维隶属度函数

论域： 积空间 X Y 隶属度函数 A ( x , y ) 类型 ： 复合式 非复合式
结合律
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C )
基本运算的性质(续)

与普通集合不同的性质
x排中律 x矛盾律
A A U A A
1.2.3 其他运算

与模糊推理有关的重要运算
代数积
AB ( x ) A ( x ) B ( x )
几种特殊的模糊关系

零关系
O O ( x, y ) 0

全称关系（universe relation）
E E ( x, y) 1
论域为离散有限集合时 特殊的模糊关系表示
R C RT
1 0 I 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 nn
T-范式（三角范式）算子

~ 是函数T的二元算子。这种模糊交算子被
称作T-范式（三角范式）算子，满足以下 要求：
T(0,0)=0, T(a,1)=T(1,a)=a （有界） T(a,b) ≤ T(c,d) a≤ c and b ≤ d （单调性） T(a,b)=T(b,a) （交换性） T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c) （结合性）

最常用的T-范式算子

数学上可以证明
Tdp (a , b) Tbp (a , b) Tap (a, b) Tmin (a, b)