第 7 章 模糊逻辑与模糊推理(7.1.4 模糊运算与模糊推理)
人工智能的模糊推理与模糊逻辑
人工智能的模糊推理与模糊逻辑人工智能的模糊推理与模糊逻辑在当今信息时代发展中扮演着重要的角色。
随着人工智能技术的不断进步，越来越多的领域开始应用模糊推理与模糊逻辑，以解决现实世界中存在的复杂问题。
模糊推理是指基于模糊集合理论的推理方法，能够应对模糊、不确定和不完全信息的推理和决策问题。
而模糊逻辑则是一种扩展了传统逻辑的形式，用于处理模糊概念和模糊语言的推理问题。
模糊推理与模糊逻辑的基础是模糊集合理论。
模糊集合理论是20世纪60年代由日本学者山下丰提出的，用来描述现实世界中存在的模糊、不确定性和不完全性现象。
在模糊集合理论中，每个元素都有一个隶属度，表示其属于该模糊集合的程度。
通过模糊集合的交集、并集和补集等运算，可以对模糊信息进行处理和推理，从而实现对不确定性问题的分析和决策。
在人工智能领域，模糊推理与模糊逻辑的应用范围非常广泛。
其中一个重要的应用领域是模糊控制系统。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是通过清晰明确的数学模型来描述的，但是现实世界中很多系统存在着模糊性和不确定性，这时就需要使用模糊推理和模糊逻辑来构建模糊控制系统。
通过模糊控制系统，可以有效地处理复杂系统的控制问题，提高系统的性能和稳定性。
另一个重要的应用领域是模糊信息检索和决策支持系统。
在信息爆炸的时代，人们需要从海量的数据中获取有用的信息，模糊推理和模糊逻辑可以帮助人们快速、准确地找到他们需要的信息。
通过模糊信息检索和决策支持系统，可以有效地处理模糊查询和不完全信息的检索问题，提高信息检索的效率和准确性。
除了以上两个应用领域外，模糊推理与模糊逻辑还可以应用于模式识别、专家系统、人工智能语音识别等领域。
在模式识别领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统更准确地识别复杂模式和特征，提高模式识别的准确性和鲁棒性。
在专家系统领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统模拟人类专家的知识和推理过程，实现对复杂问题的自动化处理和分析。
在人工智能语音识别领域，模糊推理和模糊逻辑可以帮助系统更好地理解和处理人类语音，提高语音识别的准确性和鲁棒性。
计算智能 模糊逻辑和模糊推理
0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 R = 1 1 1 1 1 小大 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B1 A1 R
小大
0 0 0.5 1 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 = 1 0.4 0.2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
语言是人们进行思维和信息交流的重要工具,是一种 符号系统。 语言可分为两种:自然语言和形式语言,通常的计算 机语言是形式语言。 人们日常所用的语言属自然语言。自然语言的突出 特点在于它具有模糊性,如“ 今天是个好天”,“小 王很年轻”等。 在形式逻辑中，推理有直接推理，演绎推理、归纳 推理以及类比推理等形式。在科学研究工作中，最 常用的推理方法是演绎推理中的假言推理。 基本规则是如果已知命题A (即可以分辨真假的陈述 句)蕴含B,即A → B(或A 则B)，如今确为A1，则可 得结论为B1。
0.1 0.5 0.5 0.1 1 0.6 0.1 0.1 0.1
0.1 0.4 0.4 0.1 C1 =( A1 B1 )T R 0.1 0.5 1 0.1 0.5 0.5 0.1 0.1 0.1 0.4 0.4 0.1 0.1 C1 0.4 0.5 0.1
（3）模糊条件语句" if A and B then C else D, 则模糊关系 R 为：
T T R = ( A B ) C ( A B ) D
合成:Ci ( Ai Bi )T R
模糊聚类分析
模糊关系及推论
模糊逻辑的运算
模糊逻辑中的运算包括模糊与、模糊或、模糊非 等。
这些运算不同于经典逻辑中的与、或、非运算， 它们在处理模糊信息时具有不同的性质和效果。
例如，模糊与运算可以处理两个模糊集合之间的 关系，并得到一个新的模糊集合。
模糊逻辑的性质
01
模糊逻辑具有连续性，这意味着它能够处理连续的变量和 值域。
03 模糊集合
模糊集合的定义
模糊集合是由普通集 合中引入了程度概念 的集合。
模糊集合用数学符号 表示为A，其中A⊆X， X为论域。
模糊集合的元素不再 是确定的，而是属于 集合的程度在0到1之 间。
模糊集合的运算
并集
设A、B为模糊集合，则A∪B表示A和B中所有元素的集合， 其隶属度为max(A(x), B(x))。
交运算
02
03
补运算
表示两个模糊集合的交集，表示 元素属于这两个集合的程度的最 大值。
表示一个模糊集合的补集，表示 元素不属于这个集合的程度的最 大值。
02 模糊推理
模糊推理的定义
模糊推理是一种基于模糊集合理论的推理方法，用于处理具有模糊性的信 息和数据。
它通过将普通集合论中的确定性概念扩展到模糊集合论中的不确定性概念， 使得推理过程能够更好地处理现实世界中的模糊性和不确定性。
02
它还具有非线性，这意味着它能够处理非线性关系和函数。
03
此外，模糊逻辑还具有自反性和对称性等性质，这些性质 使得它在处理模糊信息时具有更强的灵活性和适应性。
05 模糊系统
模糊系统的定义
01
模糊系统是一种基于模糊集合理论的系统，用于处理具有不确 定性、不完全性和模糊性的信息。
02
它通过模糊化输入信号，将确定的输入转化为模糊集合，然后
模糊推理课件
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。
首先求系统的模糊关系矩阵 R
R ( A B) ( A C)
由玛达尼(Mamdani)法得
0.8 A B A B ( x, y ) 0.4 0.1 0 A C AC ( x, y ) 0.5 0.5
0.5 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0 0 0.6 0.6 0.6 0.7
(6) 复原律
(7) 补余律 （模糊逻辑运算不符合） (8) av1=1 av0=a a∧1=a a ∧0=0
模糊逻辑对应于模糊集合论，模糊逻辑运算除了不满
足布尔代数里的补余律外，布尔代数的其它运算性质它都 适用。除此之外，模糊逻辑运算满足De-Morgan代数，即
对于补余运算，De-Morgan代数中是这样定义的：
于是，当x”较小“时的推理结果
B' ( y) A' ( x) R
即：
0 0 B ' ( y ) 1 0.6 0.4 0.2 0 0 0 0 1 0 0.4 0.7 0.7 0 0.3 0.3 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0.7
模糊推理系统
模糊逻辑 模糊命题 模糊推理规则 模糊推理系统
模糊逻辑
语言是一种符号系统，通常包括自然语言和人工 语言两种。自然语言是指人类交流信息时使用的 语言，它可以表示主、客观世界的各种事物、观 念、行为、情感等。自然语言具有相当的不确定 性，其主要特征就是模糊性，这种模糊性主要是 由于自然语言中经常用到大量的模糊词(如黎明、 模范、优美、拥护等)。人工语言主要是指程序设 计语言，如我们熟悉的C语言、汇编语言等。人工 语言的格式是非常严密、且概念十分清晰。
模糊逻辑与模糊推理
第3章模糊逻辑与模糊推理3.1命题与二维逻辑普通命题：二值逻辑中一个意义明确可以分辨真假的陈述句称为命题(举例)。
复命题：用或、与、非、若…则、当且仅当等连接的单命题称为复命题。
注意：P T Q O(PQQ)CAO 1→(01)∪1=10 0→(00)J1=13.2模糊命题与模糊逻辑模糊命题：具有模糊概念的命题称为模糊命题。
例？为一模糊命题，称v(r)=χ∈[o,ι]为模糊命题？的真值。
模糊逻辑：将研究模糊命题的逻辑称为模糊逻辑。
3.3布尔代数与De-Morgan代数布尔代数：格——满足福等律、交换律、结合律、吸收律分配格——还满足分配律再满足复原律、补余律称为布尔代数1=({0,1},v,∕∖,C)表示一个布尔代数。
模糊代数(De-MOrgen代数、模糊软代数)：不满足补余律，且满足De-Morgen律的布尔代数，即1=([0,1],v,人()称为模糊代数。
3.4模糊逻辑公式模糊逻辑公式：设M，居，…，X”为在[0,1]区间中取值的模糊变量，将映射F:[o,ιp→[0,1]称为模规逻辑公式。
模糊逻辑公式/的真值T(∕),称为/的真值函数。
真值函数的运算性质:T(F)=I-T(F)T(F vF)=max(T(F),T(F))T(F A F)=min(T(FXnF))T(F→F)=min(1,I-T(F)+T(F))了真——F 中一切赋值均为T(F)≥J2 /假——尸中一切赋值均为TX 产)<g1 .模糊逻辑函数的分解例：模糊逻辑函数/(x,y,z)=0V 取丫兀由，确定/(x,y,z)在〃=2处于第一级时变量的取值范围。
解：为满足了处于第一级，则Jf(X,y,z)≥6 于是，疝≥%或xyz ≥见或xyz≥a i 则有：x≥i -a↑x≥a↑y≥∖-a[或y≥a↑z≥a 1 [z≤∖-a↑2 .模糊逻辑函数范式——标准型析取形式：∕=∑n/∙»=17=1 合取形式：F=<=1j=1举例：f(x,y,z)=[(xVy)A V[(xvz)A y]=(xvy)v(xvz)v(yvz)3.5 语言变量及其集合描述自然语言：具有模糊性，灵活。
人工智能中的模糊理论与模糊推理
人工智能中的模糊理论与模糊推理人工智能（Artificial Intelligence，AI）是计算机科学的一个重要分支，旨在让机器能够模仿和模拟人类的智能行为。
在AI的发展过程中，模糊理论（Fuzzy Theory）和模糊推理（Fuzzy Reasoning）是扮演着重要角色的两个概念。
模糊理论和模糊推理可以帮助我们解决那些具有不确定性和模糊性的问题，并且在模拟人类的智能过程中起到了关键作用。
本文将详细介绍，并讨论其应用领域。
1. 模糊理论模糊理论是由扎德（Lotfi A. Zadeh）于1965年提出的，它是一种能够处理现实世界中不确定性和模糊性问题的数学工具。
与传统的逻辑学不同，模糊理论引入了“模糊集合”的概念，用来表示不同程度的隶属度。
在传统的二值逻辑中，一个元素只能属于集合或者不属于集合，而在模糊集合中，一个元素可以同时属于多个集合同时也可以部分属于某个集合。
模糊集合的定义通常采用隶属度函数（membership function）来表示，这个函数将每个元素在0到1之间的值来表示其属于程度。
这种思想可以很好地应用到处理模糊性问题的场景中。
例如，当我们描述一个人的高矮时，可以定义一个“高”的模糊集合，然后通过隶属度函数来表示每个人对于“高”的隶属度。
2. 模糊推理模糊推理是一种基于模糊逻辑的推理方法，它是基于模糊集合的运算来实现推理的过程。
模糊推理通过模糊集合之间的关系来表示模糊规则，从而得到推理的结果。
通常，模糊推理过程包括模糊化、模糊规则的匹配、推理方法的选择以及解模糊化等步骤。
在模糊化的过程中，将输入转化为模糊集合，并通过隶属度函数给出每个输入值的隶属度。
在模糊规则的匹配阶段，将输入的模糊集合与模糊规则进行匹配，根据匹配程度得到相应的隶属度。
然后，根据推理方法的选择，确定输出值的隶属度。
最后，通过解模糊化的过程，将模糊输出转化为确定的输出。
模糊推理的一个重要特点是能够处理模糊和不确定性的信息。
模糊推理以及逻辑运算(重点参考第5页后的内容)
对数据要求高
模糊推理需要大量的数据和样本 进行训练和优化，对于数据量较 小的情况可能无法得到理想的结 果。
如何克服模糊推理的局限性
引入人工智能技术
利用人工智能技术如深度学习、强化学习等，可以进一步提高模 糊推理的精度和效果。
结合其他方法
可以将模糊推理与其他方法如概率论、统计方法等相结合，形成混 合模型以提高精度和可靠性。
灵活性高
模糊推理不要求精确的数学模型，可以根据实际需求灵活地调整模 糊集合和隶属度函数。
适用范围广
模糊推理适用于许多领域，如控制、决策、模式识别等，能够解决许 多实际问题。
模糊推理的局限性
主观性较强
模糊推理中的模糊集合和隶属度 函数的定义往往基于专家经验或 主观判断，具有较强的主观性。
精度有限
由于模糊推理的原理，其结果的 精度往往受到一定限制，难以达 到与精确数学模型相当的水平。
根据模糊规则库中的模糊条件 语句和结论语句进行推理，得 出模糊结论。
去模糊化模块
将模糊结论转换为精确值，以 便于输出和决策。
模糊推理系统的设计流程
确定输入输出变量
首先需要确定系统的输入和输出变量， 并了解它们的变化范围和特性。
02
选择隶属度函数
根据输入输出变量的特性，选择合适 的隶属度函数，将输入的精确值转换 为模糊集合中的隶属度值。
01
03
建立模糊规则库
根据实际问题的需求，建立合适的模 糊规则库，包括条件语句和结论语句。
去模糊化处理
将推理得到的模糊结论转换为精确值， 以便于输出和决策。
05
04
设计推理算法
根据模糊规则库，设计合适的推理算 法，实现从输入到输出的映射。
模糊推理系统的应用实例
模糊推理以及逻辑运算(重点参考第5页后的内容)
Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 AB ( x, y) ˆ min[ A ( x), B ( y)] AB ( x, y) ˆ [ A ( x) B ( y)]
这二种计算并不是基于因果关系，是出于计算的简单性， 但保留了因果关系，与传统的命题逻辑推理不符。
x y
(1 2 ) c ( z )
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 3 （规则2 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A1和 y是B1 , then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是C
C1
0
取上界：
B ( y ) 1 min[ 0, A B ( x x, y )] 1
说明二点： 1）对 x x 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定
模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 x x 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。
确逻辑（传统逻辑）的一些概念
命题逻辑、布尔代数、和集合论是同构的。 隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。 组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, 2）析取 Disjunction 3）隐含 Implication
1. 直接 基于模糊规则的推理
• 当模糊推理的输人信息是量化的数值时，可以 直接基于模糊规则作推理，然后把推理结论综 合起来，典型的推理过程可以分为两个阶段， 其中第一阶段又分为三个步骤，表述如下： （1）计算每条模糊规则的结论：①输入量 模糊化，即求出输入量相对于语言变量各定性 值的隶属度；②计算规则前提部分模糊命题的 逻辑组合（合取、析取和取反的组合）；③将 规则前提逻辑组合的隶属程度与结论命题的隶 属函数作min运算，求得结论的模糊程度。
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5）模糊交（二）
假设一个系统有4个输入变量，一个输出变量，每个 变量各有7个语言值，则一个完备的模糊网络将会有 5 7 ＝16 807个中心点。 除非用特定的方法构造模糊网络的输入，否则这些 系统将会遇到所谓的“维数灾难（Curse of Dimensionality）”，这限制了它们用于小维数的建 模与控制问题。
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6）模糊并（二）
图7. 25 模糊输入输出相关关系
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6）模糊并（二）
在图7.25中，在每一个变量上定义了4个三角模糊 集（2阶B样条），代数函数用于实现逻辑运算。 它们产生一个模糊相关关系曲面，在规则中心点之 间是分段线性的，而且从等高线图可以清晰地看出 输入和输出关系的总趋势。
A B( ) S (A( ), B( ))
二元运算S可以表示 A( ) 和 B( ) 的加法。这些模 糊并算子通常被归为T协范式(或S范式)运算符。 T协范式（或S范式）算子是一个二元映射S(· ，· ) ，则它必须满足：
有界性 单调性 交换律 结合律
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5）模糊交（二）
当每一个语句表达式都用单变量B样条和高斯模糊 隶属函数表示时，多变量隶属函数是一个简单的n 维B样条或高斯基函数。 当所有可能的模糊交集都由n个模糊隶属函数集合 得到时，它隐含地在初始输入空间上（多变量模糊 隶属函数也在这个初始输入空间上定义）产生一个 n维网格，如图7.24所示。
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2. 模糊规则与模糊推理
在模糊推理中，经常碰到模糊if-then规则，简称模糊 规则。 1)模糊规则
模糊if-then规则又称模糊隐含或模糊条件语句。 if-then规则语句用以阐明包含模糊逻辑的条件语句。 一个单独的模糊if-then规则形式如下： if x is A then y is B 其中，A和B是由模糊集合分别定义在x，y范围（论域） 上的语言值。
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6）模糊并（二）
当用不同的反模糊化过程执行蕴涵标准化时，在蕴 涵中同样可以使用加法算子，即使它产生的 R ( , y) 值大于1。 所有各相关隶属函数的模糊并，在输入输出空间中 构成一条岭线，它表示各输入输出对是如何相联系 的，并且当给定一个特定的输入测量时，它可用于 推断模糊输出隶属函数。这个过程称为模糊推理。 一个典型的模糊相关关系如图7.25所示。
证：设 则
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.4 0
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模糊集的运算法则（1）
1．幂等律 A∪A=A，A∩A=A
2．交换律
A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
3．结合律
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
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A
B
0 .9 0 .2 0 . 8 0 .5 u1 u2 u3 u4
0 .3 0 . 1 0 .4 0 . 6 u1 u2 u3 u4
求A∪B，A∩B
则
0.9 0.2 0.8 0.6 A B u1 u2 u3 u4
0 .3 0 .1 0 .4 0 .5 A B u1 u2 u3 u4
模糊逻辑与模糊推理
School of Information Science & Technology Dalian Maritime University 2011-10-29
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目录
第7章 模糊逻辑与模糊推理
7.1.1 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 模糊逻辑的历史 模糊集 隶属函数 模糊运算与模糊推理 模糊系统
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例子：模糊补集的互补律 试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成 立： A (u ) A (u ) 1 A (u ) A (u ) 0
A (u ) 0.4 ， A (u) 1 0.4 0.6
A (u) A (u) 0.4 0.6 0.6 1
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 20 AUB
5
3）模糊交（一）
两个模糊集合A和B的“交”为模糊集合C。写成 C=A∩B，或C＝A and B。C与A和B的隶属函数 的关系为
C ( ) min( A ( ), B ( ))
由模糊子集的关系，可以很容易地理解模糊交的 算子为min，即两者取其小。
一个二维的模糊隶属函数由两个三角(2阶B样条)单 变量隶属函数的乘积构成，形状如图7.23所示 。
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5）模糊交（二）
图7. 23 两个三角单变量隶属函数乘积构成的二维模糊隶属函数
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5）模糊交（二）
多变量隶属函数的形状决定于单变量隶属函数的形 状以及三角范式的算子。 用乘法算子构成的多变量隶属函数所保留的信息， 比用min算子实现模糊“AND”时所保留的信息要 多。因为后者仅保留了一段信息，而乘法算子结合 了n段信息。 当完整地定义了一阶导数时，采用乘法算子还允许 将误差信息反向传播回网络中。 一般情况下，其输出结果是一个更平滑的曲面。
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6）模糊并（二）
如果h个多变量模糊输入集合 Ai 映射到q个单变量模 j B 糊输出集合 上，则对hq个逻辑关系，存在hq个相 对应的叠加的n+1维隶属函数。 这hq个逻辑关系被各个隶属函数并(OR)相结合，构 成一个模糊规则库R。该运算定义如下：
R ( , y) i , j r ( , y)
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 21 A∩B
6
4）模糊补
模糊集合A的补表示为－A或 A（非A）。模糊补 的隶属函数定义为
A ( ) 1 A ( )
图7. 19 两个模糊集A与B
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图7. 22 －B
7
例子：模糊交集和并集 设
8．两极律
A∪E=E，A∩E=A
A∪Ф =A，A∩Ф =Ф
12
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模糊交集与T范式
模糊集合A和B的交集可由一个二元映射T指定， 它将两个隶属函数按如下方式结合起来
A B ( ) T ( A ( ), B ( )) 二元运算T可代表 A ( ) 和 B ( ) 的乘积。这些模
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5）模糊交（二）----模糊乘规则
模糊乘规则的前提是由n个单变量语句的模糊交（ AND）构成
(1is Ai ) AND... AND(nis Ai )
1 n
i ... A ) n (1 ,..., n ， 它产生一个新多变量隶属函数 A 记为 A ( ) ，它定义在初始的n维输入空间上，其输
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1. 模糊运算
与经典集合的并、交、补的运算相对应，模糊集合 也有相似的运算。模糊并、模糊交、模糊补 1）模糊子集
当且仅当对所有的ξ，均有 A ( ) B ( ) ，则称模糊集合A被包 含在模糊集合B中，或称A是B的子集，或称模糊集合A小于或 等于模糊集B。记为
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5）模糊交（二）
2
1
图7. 24 由两个三角模糊集构成的二维模糊集
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5）模糊交（二）
在图7.24中，一个完整的二维模糊隶属函数集合由 两个三角单变量模糊集合产生。 图中的实心圆表示其中心，虚线区表示两个单变量 集合如何用交集算子结合起来。 当模糊交集由每一个可能的单变量模糊输入集的结 合得到时，多变量隶属函数的数目是输入变量数目 的指数函数（Exponential Function）。此时称这种 模糊系统是完备的。
推论：
一个明确的集合具有适当的一般性 集合A或B中隶属值的减少不会导致A，B交集中隶属度的 增加 运算符对模糊集合的顺序是无关紧要的 表示可以按任意的顺序对任意多个集合进行模糊交运算
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模糊并与T协范式
模糊并的运算由一个指定的二元映射S产生，即
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模糊集的运算法则（2）
4．吸收律
A∪(A∩B)=A
A∩(A∪B)=A
5．分配律
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C)=(A∩B) ∪(A∩C)
6A A
11
模糊集的运算法则（3）
7．对偶律
A B A B
A B A B
i, j
为一类称为三角协范式的函数。 式中，
三角协范式同样提供了大量的适用函数
max算子 加法算子
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6）模糊并（二）
用max算子可以保证在输入输出空间每一特定的点 上，只有一个规则对输出有作用。 各个作用之和可以保证若干规则影响相关曲面 R ( , y) 。 (Relational Surface） 但是，在理论上用加法不能保证合理性，因为它产 生的输出可能大于1。 当输入输出单变量隶属函数构成单位分解、乘法算 子用于交集和蕴涵，并且规则信度向量归一时，这 就不是什么问题了，因为系统是自标准的。