2019年上海市高三二模数学分类汇编—数列

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2019届上海市青浦区高三二模数学试题及答案

2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题及答案2019届上海市青浦区⾼三⼆模数学试题⼀、单选题1．已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【】根据函数与的值域得到和，再求交集即可得出结果.因为，，所以.故选B【】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．已知是斜三⾓形，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分⼜不必要条件【答案】C【】根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若，则”与“若，则”的真假，即可得出结果.当时，若均为锐⾓，则，此时；若为钝⾓，则为锐⾓，，则，此时，综上：“”是“”的充分条件；当时，若均为锐⾓，则，此时；若为钝⾓，则为锐⾓，，则，满⾜条件；综上“”是“”的必要条件.所以，“”是“”的充要条件.【】本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与必要条件的概念等即可，属于常考题型. 3．已知曲线（是参数），过点作直线与曲线有且仅有⼀个公共点，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【】先由曲线的参数⽅程消去参数，化为普通⽅程，再判断定点与曲线关系，进⽽可得出结果.由消去参数可得；⼜，因此点在双曲线右⽀的内部，由双曲线的特征可知，当直线分别与双曲线的两条渐近线平⾏时，满⾜直线与双曲线只有⼀个公共点，因此，这样的直线只有2条.故选B【】本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.4．等差数列,满⾜，则（）A．的最⼤值为50 B．的最⼩值为50C．的最⼤值为51 D．的最⼩值为51【答案】A【】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.为等差数列，因为，所以中的项⼀定满⾜或，且项数为偶数，设，等差数列的公差为，⾸项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，⽽，所以，故.故选A【】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常考题型.⼆、填空题5．不等式的解集是________【答案】【】先移项通分得到，进⽽可求出结果.因为，所以，即，解得.故答案为【】本题主要考查分式不等式的解法，⼀般需要先移项再通分，进⽽求解，属于常考题型. 6．已知复数满⾜（其中为虚数单位），则________【答案】【】先由复数的除法运算求出，再根据模的计算公式即可求出结果.因为，所以，因此.故答案为【】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则、以及模的计算公式即可，属于基础题型.7．在平⾯直⾓坐标系中，在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________【答案】【】先由题中条件得到，再依题意设所求的单位向量坐标为，根据模为1，即可求出结果.因为在轴、y轴正⽅向上的投影分别是、4，所以；由题意设所求的单位向量坐标为，则，所以，因此所求向量的坐标为.故答案为【】本题主要考查向量的坐标表⽰、以及向量共线问题，熟记概念及公式即可，属于基础题型.8．在的⼆项展开式中，含有项的系数为________（结果⽤数值表⽰）【答案】【】先由⼆项展开式的通项公式得到，令，即可得出结果.因为的⼆项展开式的通项为，要求含有项的系数，只需令，所求系数为.故答案为【】本题主要考查指定项的系数，熟记⼆项式定理即可，属于基础题型.9．在平⾯直⾓坐标系中，若双曲线经过抛物线（）的焦点，则________【答案】【】根据双曲线的⼏何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），所以，，.双曲线中，a＝2，b＝1，c＝，双曲线与抛物线的共同焦点为（，0），所以，，故答案为：【】这个题⽬考查了抛物线和双曲线的⼏何意义，较为简单. ⼀般和抛物线有关的⼩题，很多时可以应⽤结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应⽤。

(完整版)2019上海高中数学二模中档题汇编

高中数学上海19届二模真题中档题汇编姓名：年级：宝山区1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是2。

方程sec 301sin x x-=的解集为3。

如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧 AB 上异于A 、B 的点,且PQ OB ⊥交OB 于Q 点,当 △POQ 的面积大于38时,POQ ∠的大小范围为 4. 一个口袋中有9个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1，2,⋅⋅⋅，9,随机摸出两个球,则两个球的编号之和大于9的概率是（结果用分数表示）5. 设点12(,)A a a ，12(,)B b b ，12(,)C c c 均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的( ） A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件C 。

充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（ )A. ||b k a >B. ||b k a < C 。

||c k a > D. ||c k a<7。

已知21()cos cos 2f x x x x =-+。

（1）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围；（2）设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ,周长1，若1()2f B =-，求△ABC 面积最大值。

8. 对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数。

如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利。

（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和;（精确到0.1万元）; （2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）杨浦区1。

2019年上海高考数学拓展学习2 数列

2019年高中数学·拓展学习数列一、单调性：1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n nS b n =⋅*()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是2、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4α：数列{}2n a 是递增数列．其中真命题的是3、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =. (1）设对任意正整数n ，有1()n b f n =．若不等式12226log (1)35n n n b b b x +++++>+对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．二、新定义型：1、（运算型）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为2、（方法型）设1210x x x ，，，为1210，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（）（A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）643、（运算型）已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8)D.4、（运算型）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+∆=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-∆=∆-∆．若数列{}n a 的通项13n n a -=，则2122232na a a a ∆+∆+∆++∆=5、（运算型）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以()2,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以()nm,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以nm为分母组成不属于121,,,n A A A -⋅⋅⋅的分数集合n A ，其所有元素和为n a ；则12n a a a ⋅⋅⋅+++=________.6、（概念型）已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足： ① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素；② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +⋅<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n nab a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于7、（概念型）设)2(log 1+=+n a n n )(*∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希望数”的个数为8、（匹配型）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，则k n =________9、（定义型）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1122n na a +≤≤ *()n N ∈，则称{}n a 是“紧密数列”；（1）若11a =，232a =，3a x =，44a =，求x 的取值范围；（2）若{}n a 为等差数列，首项1a ，公差d ，且10d a <≤，判断{}n a 是否为“紧密数列”；（3）设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，若数列{}n a 与{}n S 都是“紧密数列”，求q 的取值范围；10、（定义型）由()2m m ≥个不同的数构成的数列12,,n a a a 中，若1i j n ≤<≤时，j i a a <（即后面的项j a 小于前面项i a ），则称i a 与j a 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数成为该数列的逆序数，如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，111,,248--的逆序数为4.（1）计算数列()*2191100,n a n n n N =-+≤≤∈的逆序数；（2）计算数列()*1,31,,1nn n a n k n N n n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭=≤≤∈⎨⎪-⎪+⎩为奇数为偶数的逆序数；（3）已知数列12,,n a a a 的逆序数为a ，求11,,n n a a a -的逆序数.11、（定义型）对于数列{}n a ，称122311()()1k kkPaa a a aaa k -=-+-++--（其中2,k k N ≥∈）为数列{}n a 的前k 项“波动均值”.若对任意的2,k k N ≥∈，都有1()()k k P a P a +<，则称数列{}n a 为“趋稳数列”．（1）若数列1，x ，2为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比(0,1)q ∈，求证：{}n b 是“趋稳数列”；（3）已知数列{}n a 的首项为1，各项均为整数，前k 项的和为k S . 且对任意2,k k N ≥∈，都有3()2()k k P S P a =，试计算：()()()23232(1)nn n n n C P a C P a n C P a +++- （2,n n N ≥∈）．12、（周期型）在数列}{n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*N ∈n 满足n T n a a =+，则称}{n a 是周期数列，T 叫做它的周期．已知数列}{n x 满足11=x ，a x =2（1≤a ），||12n n n x x x -=++，当数列}{n x 的周期为3时，则}{n x 的前2013项的和=2013S _________13、（定义型）若数列{}n A 对任意的*n N ∈，都有1k n n A A +=(0)k ≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=+且112a =，试判断数列{}21n a +是否为“2级创新数列”，并说明理由；（2）已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积n T ；（3）设α、β是方程210x x --=的两个实根()αβ>，令k βα=，在（2）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅，求证：21n n n c c c ++=+，*n N ∈.三、存在型：1、（存在型）已知数列}{n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有33231221)(n n a a a a a a +++=+++ ．（1）当3=n 时，求所有满足条件的三项组成的数列1a 、2a 、3a ；（2）试求出数列}{n a 的任一项n a 与它的前一项1-n a 间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列}{n a ，使得20122013-=a ？若存在，求出这样的无穷数列}{n a 的一个通项公式；若不存在，说明理由．2、（探究型）已知数列{}n a 满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ=（其中0λ≠且1λ≠-，n N *∈）．n S 为数列{}n a 的前n 项和．(1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值；(2) 求数列{}n a 的通项公式n a ； (3) 当13λ=时，数列{}n a 中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，说明理由．3、（存在型）数列{}n a 中，已知()12121,,n n n a a a a k a a ++===+对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S .（这里,a k 均为实数）（1）若{}n a 是等差数列，求k ；（2）若11,2a k ==-，求n S ; （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由.4、已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1，a 3；（2）求证：数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n n a b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足a a =1 (3≠a )，n n n S a 31+=+，设n n n S b 3-=，*∈N n ．（1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若1+n a ≥n a ，*∈N n ，求实数a 的最小值；（3）当4=a 时，给出一个新数列{}n e ，其中⎩⎨⎧≥==2,1,3n b n e n n ，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成pt (*∈N p t ,且1,1>>p t )的形式，则称n C 为“指数型和”．问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．6、给定数列}{n a ，若满足a a =1（0>a 且1≠a ），对于任意的*,N ∈m n ，都有m n m n a a a ⋅=+，则称数列}{n a 为指数数列．（1）已知数列}{n a ，}{n b 的通项公式分别为123-⋅=n n a ，n n b 3=，试判断}{n a ，}{n b 是不是指数数列（需说明理由）；（2）若数列}{n a 满足：21=a ，42=a ，n n n a a a 2312-=++，证明：}{n a 是指数数列；（3）若数列}{n a 是指数数列，431++=t t a （*N ∈t ），证明：数列}{n a 中任意三项都不能构成等差数列．四、衍生数列及子数列：1、已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项;(3)设10a λ=<,(*)nn b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2).Mm∈-2、对于项数为m 的有穷数列}{n a ，记),,2,1}(,,,max{21m k a a a b k k ==，即k b 为k a a a ,,,21 中的最大值，并称数列}{n b 是}{n a 是控制数列，如5,5,2,3,1的控制数列是.5,5,3,3,1（1）若各项均为正整数的数列}{n a 的控制数列为,5,5,4,3,2写出所有的}{n a ；（2）设}{n b 是}{n a 的控制数列，满足C C b a k m k (1=++-为常数，).,,2,1m k =求证：),,2,1(m k a b k k ==；（3）设100=m ，常数)1,21(∈a 。

上海市青浦区2019届高三高三第二次学业质量调研(二模)数学试题(含解析)

2019年上海市青浦区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）不等式的解集是．2．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，则的单位向量是．4．（4分）在（1﹣x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为（结果用数值表示）．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则p＝．6．（4分）已知E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，则P（F）＝．7．（5分）函数y＝|sin x+arcsin x|的最大值为．8．（5分）若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为．9．（5分）已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是．10．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为．11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），在区间（﹣1，1）内有两个零点，则a2﹣2b的取值范围是．12．（5分）已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．{2}D．{（4，2）} 14．（5分）已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（5分）已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条16．（5分）等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为51三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．18．（14分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．19．（14分）已知a∈R，函数．（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若a≥0且对任意x∈R都成立，求a的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2＝36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG 的重心，求△EFG的面积．21．（18分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），且不等式|f（x）|≤2019|2x﹣x2|对任意的x∈[0，10]都成立，数列{a n}是以7+a为首项，公差为1的等差数列（n∈N*）．（1）当x∈[0，10]时，写出方程2x﹣x2＝0的解，并写出数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n}满足对任意的m，n∈N*都成立，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．2019年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）不等式的解集是．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．【解答】解：原不等式等价于等价于x（2x﹣1）＜0解得故答案为（）【点评】本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．2．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1+i）＝2+4i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，则的单位向量是±．【分析】在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，可得＝（﹣3，4），可得的单位向量＝．【解答】解：∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，∴＝（﹣3，4），||＝＝5．则的单位向量＝＝±．故答案为：±．【点评】本题考查了向量数量积性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）在（1﹣x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为﹣20（结果用数值表示）．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3得到r的值，代入通项求出含x3项的系数，得到结果．【解答】解：写出二项式的通项，通项T r+1＝C6r（﹣x）r＝（﹣1）r C6r x r，令r＝3得x3项的系数是（﹣1）3C63＝﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则p＝4．【分析】求出双曲线的顶点，得到抛物线的焦点坐标，即可求解P即可、【解答】解：双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，可得双曲线的顶点坐标（2，0），所以，解得p＝4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．（4分）已知E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，则P（F）＝0.6．【分析】由E、F是互斥事件，得到P（F）＝P（E∪F）﹣P（E），由此能求出结果．【解答】解：∵E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，∴P（F）＝P（E∪F）﹣P（E）＝0.8﹣0.2＝0.6．故答案为：0.6．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）函数y＝|sin x+arcsin x|的最大值为．【分析】由三角函数的单调性、奇偶性得：f（x）在[﹣1，1]为单调递增的奇函数，所以﹣sin1﹣≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，得解．【解答】解：设f（x）＝sin x+arcsin x，则函数定义域为[﹣1，1]，则f（x）在[﹣1，1]为单调递增的奇函数，所以﹣sin1﹣≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，故答案为：sin1+．【点评】本题考查了三角函数的单调性、奇偶性，属中档题．8．（5分）若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为．【分析】根据条件画出可行域，z＝x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点P到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：根据实数x、y满足条件画出可行域，z＝x2+y2，表示可行域内点P到原点距离的平方，当z是点Q到直线x+y﹣1＝0的距离的平方时，z最小，最小值为d2＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．9．（5分）已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是{0}．【分析】由题意可得，函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y＝在（a，c）内有意义，可得c＝0，则答案可求．【解答】解：函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），即函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；则需y＝的值域包含（﹣∞，a2），结合函数y＝在（a，c）内有意义，则c＝0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．10．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO＝1，OD＝2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形，求解三角形得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO＝1，OD＝2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形．则最长棱为PC＝．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），在区间（﹣1，1）内有两个零点，则a2﹣2b的取值范围是（0，2）．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）＝x2+ax+b在区间（﹣1，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a＝0，b＝0时，a2﹣2b取最小值0，当a＝﹣2，b＝1时，a2﹣2b取最大值2，所以a2﹣2b的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．12．（5分）已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为．【分析】由平面向量的坐标运算、向量相等得：因为∠ABC＝，所以，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则＝（1﹣x，﹣y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），因为，所以，解得：，由重要不等式得：因为点B在圆x2+y2＝1上，所以λμ＝，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，得解【解答】解：设△ABC的外接圆半径为1，以点O为原点建立坐标系，因为∠ABC＝，所以，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则＝（1﹣x，﹣y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），因为，所以，解得：，因为点B在圆x2+y2＝1上，所以λμ＝，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，即λ+μ的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等及重要不等式，属难度较大的题型．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．{2}D．{（4，2）}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵＝{y|y≥0}，B＝{y|y＝log2x}＝R，∴A∩B＝{y|y≥0}＝[0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据充要条件的定义，结合正切函数的图象和性质，分析：“A＞B”⇒“|tan A|＞|tan B|”和“|tan A|＞|tan B|”⇒“A＞B”的真假后，可得答案．【解答】解：当A＞B时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，若A为钝角，则π﹣A为锐角，B＜π﹣A，则tan（π﹣A）＝﹣tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，综上：当A＞B时，“|tan A|＞|tan B|”．当“|tan A|＞|tan B|”时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时tan A＞tan B，即A＞B，若A为钝角，满足条件，若B为钝角，则tan（π﹣B）＝﹣tan B＜tan A，即π﹣B＜A，A+B＞π，故B不可能为钝角，综上，当“|tan A|＞|tan B|”时，“A＞B”，故“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，是一道基础题，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．15．（5分）已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】将曲线的参数方程化成普通方程为双曲线方程，结合图象可知，当过P的直线与双曲线的渐近线平行时，满足题．【解答】解：由消去参数θ可得﹣y2＝1，如图所示：经过P（6，2）且与双曲线的两条渐近线平行的直线满足题意．故选：B．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．16．（5分）等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为51【分析】首先数列{a n}中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n的最大值．【解答】解：{a n}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|，＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|，则：数列{a n}中的项一定有正有负，不妨设a1＜0，d＞0，因为|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019为定值，故设，且得d＞3．若a i＜0，且a i+1＜0，则|a i|﹣|a i+1|＝1，同理若a i≥0，则|a i+1|﹣|a i|＝1，所以＝＝k，所以数列{a n}的项数为2k．所以：|a1|+|a2|+..+|a n|＝﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣a k+a k+1+a k+2+…+a2k，＝﹣2（a1+a2+a3+…+a k）+（a1+a2+a3+…+a k+a k+1+…+a2k）＝﹣2（ka1+d）+（2ka1+），＝k2d＝2019，由于：d＞3，所以：k2d＝2019＞3k2，解得：k2＜673，故：k≤25，n≤50．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．【分析】（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA＝a，A1A＝b，由体积公式分别求出三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积，作比得答案；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA＝AA1＝2，然后求解三角形得答案．【解答】解：（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA＝a，A1A＝b，则，，∴；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA＝AA1＝2，则，OM＝，OC＝2，∵点C是弧AB的中点，∴OC⊥平面ABO1，则OC⊥OM，在Rt△MOC中，有MC＝，∴cos∠OMC＝，则异面直线CM与BO1所成角的大小为．【点评】本题考查棱锥与圆柱体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18．（14分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．【分析】（1）由tan∠BAN＝，∠BCN＝，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4＝20（万元）．方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，则总铺设费用为2AP+4BP＝8﹣+＝8+6•．设f（θ）＝，则f′（θ）＝＝，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】（本题满分为14分）解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝，所以AD＝BD，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，所以CD＝BD．则AC＝AD﹣CD＝BD﹣BD＝BD＝1，即BD＝3，所以CD＝3，AD＝4，由勾股定理得，AB＝＝5（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，在Rt △BDP 中，DP ＝＝，BP ＝＝，所以AP ＝4﹣DP ＝4﹣．则总铺设费用为2AP +4BP ＝8﹣+＝8+6•．…（8分）设f （θ）＝，则f ′（θ）＝＝，令f '（θ）＝0，得θ＝，列表如下：，），所以f （θ）的最小值为f （）＝．所以方案②的总铺设费用最小为8+6（万元），此时AP ＝4﹣． …（12分）而8+6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向（4﹣）km 处，总铺设费用最低．…（14分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．19．（14分）已知a ∈R ，函数．（1）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；（2）若a ≥0且对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的定义与性质，利用f （0）＝0求得a 的值，再验证求得a 的值时，f （x ）是奇函数；（2）根据题意把不等式化为a2+a＞（5﹣a）•2x，要使不等式对任意x∈R都成立，得出5﹣a≤0即可．【解答】解：（1）函数为奇函数，即f（0）＝＝0，解得a＝1，∴f（x）＝，定义域为R，且满足f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；即a＝1时，f（x）为定义域R上的奇函数；（2）不等式f（x）＜化为＜，a≥0时，2x+a＞0，所以不等式化为3（2x﹣a）＜（a﹣2）（2x+a），即a2+a＞（5﹣a）•2x；要使该不等式对任意x∈R都成立，由a≥0且2x＞0，所以5﹣a≤0，即a≥5即可；所以a的取值范围是a≥5．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化问题，是中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2＝36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG 的重心，求△EFG的面积．【分析】（1）把伸缩变换代入x′2+y′2＝1，得到36λ2x2+36μ2y2＝36，与4x2+9 y2＝36比较求得λ＝，μ＝，则答案可求；（2）以OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设A （a ，0），B （b ，c ），求出经平面直角坐标系中的伸缩变换后得到的A ′（λa ，0），B ′（λb ，μc ），再分别求出S 与S '，作比得答案；（3）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 3，y 3），由△EFG 重心是原点，得x 3＝﹣（x 1+x 2），y 3＝﹣（y 1+y 2），然后分类求解得答案．【解答】（1）解：伸缩变换为（λ＞0，μ＞0），代入x ′2+y ′2＝1，得到（λx ）2+（μy ）2＝1，即36λ2x 2+36μ2y 2＝36，①将①式与4x 2+9 y 2＝36比较，得λ＝，μ＝，故所求的伸缩变换为；（2）证明：以OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设A （a ，0），B （b ，c ），则，经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0），得到A （λa ，0），B（λb ，μc ）．∴，∴＝；（3）解：设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 3，y 3），∵△EFG 重心是原点，∴，，∴x 3＝﹣（x 1+x 2），y 3＝﹣（y 1+y 2），当直线EF 的斜率不存在时，E （﹣，），F （﹣，﹣），G （a ，0），或E （，），F （，﹣），G （﹣a ，0），此时S △EFG ＝；当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx +m ，由，得（b 2+a 2k 2）x 2+2a 2kmx +a 2m 2﹣a 2b 2＝0．，，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m ＝＝，∴x 3＝，，∵G （x 3，y 3）在椭圆上，∴，∴4m 2＝b 2+a 2k 2，∵|EF |＝＝＝．点G （x 3，y 3）到直线AB 的距离d ＝＝，∴S △EFG ＝|EF |d ＝．综上所述，△ABC 的面积是定值．【点评】本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ），且不等式|f （x ）|≤2019|2x ﹣x 2|对任意的x ∈[0，10]都成立，数列{a n }是以7+a 为首项，公差为1的等差数列（n ∈N *）．（1）当x ∈[0，10]时，写出方程2x ﹣x 2＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n }满足对任意的m ，n ∈N *都成立，求证：数列{b n }是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．【分析】（1）令f（2）＝0，f（4）＝0计算a，b的值，从而得出出数列{a n}的通项公式；（2）由条件可知b n+m﹣b m﹣b n＝0，令m＝1可得结论；（3）利用放缩法得出最小值，根据递减数列得出最大值．【解答】解：（1）当x∈[0，10]时，方程2x﹣x2＝0的解为：x＝2，x＝4．不等式|f（x）|≤2019|2x﹣x2|对任意的x∈[0，10]都成立，∴|f（2）|≤0，|f（4）|≤0，化为：4+2a+b＝0，16+4a+b＝0，解得a＝﹣6，b＝8．∴a n＝1+n﹣1＝n．（2）＝＞0，∵＝对任意的m，n∈N*都成立，∴|b n+m﹣b m﹣b n|≤0，又|b n+m﹣b m﹣b n|≥0，∴b n+m﹣b m﹣b n＝0，即b n+m＝b m+b n，令m＝1可得b n+1＝b n+b1，∴b n+1﹣b n＝b1．∴数列{b n}是等差数列．（3）由（1）可得：＝（n∈N*），∴＝（++……+），显然{}是递减数列，故≤S1＝．∵＞n，∴S n＞1+2+3+…+n＝，∴＞+．∴的取值范围是．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2019年最新上海市普陀区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为（结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos si n =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 .8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2+⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαt an t an ≠”成立的……………………………………（）)A (充分非必要条件()B 必要非充分条件()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα//()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值. （1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值；（2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.1A1B1C1D BDA CEF19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元）（1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值；（3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k ,1=，求∆A O B 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值；（2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c 21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.xyo高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,11FB……2分所以1FB =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01B ,25==……5分故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=C A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1DE……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan=ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分（2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分（2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3,，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，333max =+=k 所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω 答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。

2019-2020年高三二模数学(文)试题分类汇编5：数列含答案

2019-2020年高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列含答案一、填空题1 ．（上海市闸北区xx 高三第二学期期中考试数学(文)试卷）设,,,则数列的通项公式_______.2 ．（上海市徐汇、松江、金山xx 高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,对正方形纸片进行如下操作:第一步,过点任作一条直线与边相交于点,记;第二步,作的平分线交边于点,记;第三步,作的平分线交边于点,记;按此作法从第二步起重复以上步骤,得到 ,则用和表示的递推关系式是____________.α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCB A α1α3第14题图3 ．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若表示阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第行、第列的元素,其中第行的元素均为,第列的元素为,且(、),则____________.4 ．（上海市浦东区xx 高考二模数学（文）试题）数列满足().①存在可以生成的数列是常数数列;②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件; ③若为单调递增数列,则的取值范围是; ④只要,其中,则一定存在;其中正确命题的序号为__________.5 ．（上海市闵行区xx 高三4月质量调研考试数学(文)试题）公差为,各项均为正整数的等差数列中,若,则的最小值等于_________________.6 ．（上海市黄浦区xx4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）等差数列的前10项和为,则_____.7 ．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）设,称为整数的为“希望数”,则在内所有“希望数”的个数为_____________.8 ．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）数列的通项,前项和为,则____________.9 ．（上海市奉贤区xx高考二模数学（文）试题）设正项数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则________10．（上海市长宁、嘉定区xx高考二模数学（文）试题）(文)设数列是公差不为零的等差数列,,若自然数满足,且是等比数列,则=_______________.二、解答题11．（上海市闸北区xx高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列与满足:对任意,都有,.其中为数列的前项和.(1)当时,求的通项公式,进而求出的通项公式;(2)当时,求数列的通项以及前项和.12．（上海市徐汇、松江、金山xx高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,对任意的正整数,将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为,求;(3)对(2)题中的,设,,动点满足,点的轨迹是函数的图像,其中是以为周期的周期函数,且当时, ,动点的轨迹是函数的图像,求.13．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”:①; ②存在实数,使得成立. (1)数列、中,、(),判断、是否具有“性质”;(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,,求证:数列具有“性质”; (3)数列的通项公式().对于任意且,数列具有“性质”,求实数的取值范围.14．（上海市浦东区xx 高考二模数学（文）试题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知直角的三边长,满足(1)在之间插入xx 个数,使这xx 个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求的最小值.(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,求n n n S S S S T )1(321-++-+-= ().(3)已知成等比数列,()n nn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 15．（上海市闵行区xx 高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点,过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线,交轴于点,交于点;如此下去.又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q ，，，，，L L 的长分别为,数列的前项的和为. (1)求;(2)求,;(3)设,数列的前项和为,若正整数成等差数列,且,试比较与的大小.解:16．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区xx 高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列的前项和为,且,.从中抽出部分项 ,组成的数列是等比数列,设该等比数列的公比为, 其中. (1)求的值;(2)当取最小时,求的通项公式; (3)求的值.17．（上海市黄浦区xx4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数n,当为偶数时,;当为奇数时,.(1)若,求数列的通项公式;(2)若成等差数列,求的值;(3)设(且N),数列的前n项和为,求证:.黄浦区xx高考模拟考数学试18．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）已知复数,其中,,,是虚数单位,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求和:①;②.19．（上海市奉贤区xx高考二模数学（文）试题）已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”.(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,(2)若正数列,使得是“Z数列”;(3)若数列是“Z数列”,设求证20．（上海市长宁、嘉定区xx高考二模数学（文）试题）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(文)已知数列的前项和为,且对于任意,总有.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.上海市16区xx 高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列参考答案一、填空题 1. 2. 3. 4. ①④. 5. ; 6. 12; 7. 9; 8. 7; 9. 10. (文) 二、解答题11.解:由题意知,且两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即 ① (1)当时,由①知于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅又,所以是首项为1,公比为2的等比数列.故知,, 再由,得. (2)当时,由①得1111122222n n n n n a ba b b+++-⋅=+-⋅-- 若,, 若,, 若,数列是以为首项,以为公比的等比数列,故12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a , ()[]122221--+-=n n n b b b a()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b b b b S时,符合上式所以,当时,12.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分8分.解: (1)由条件得,即所以(2) 由(1)可知,所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅,2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅ 222144(2)21515k k k b +=-=⋅由及得依次成递增的等差数列,所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅= (3)由(2)得,即当33(1)()m x m m Z <≤+∈时,,由是以为周期的周期函数得,()(3)lg(3)g x g x m x m =-=-, 即(333())m x m m Z <≤+∈设是函数图象上的任意点,并设点的坐标为,则而(333())N m x m m Z <≤+∈, 于是,(3133())m x m m Z <+≤+∈, 所以,(3132())m x m m Z -<≤+∈13.解:(1)在数列中,取,则,不满足条件①,所以数列不具有“性质”;在数列中,,,,,,则,,,所以满足条件①;()满足条件②,所以数列具有“性质” (2)由于数列是各项为正数的等比数列,则公比,将代入得,,解得或(舍去) 所以,,对于任意的,122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ,且所以数列满足条件①和②,所以数列具有“性质”(3)由于,则,由于任意且,数列具有“性质”,所以即,化简得,,即对于任意且恒成立,所以①1121)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =由于及①,所以即时,数列是单调递增数列,所以最大项的值为满则条件②只需即可,所以这样的存在② 所以即可14.解:(1)是等差数列,∴,即所以,的最小值为; (2)设的公差为,则, 设三角形的三边长为,面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,, 当为偶数时,)4321(622222321n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=n n n 33)4321(62+=++++++= ;当为奇数时,n n n n n S T T n n n 336)1(3)1(32221--=--+-=-=-; 综上,(3)证明:因为成等比数列,由于为直角三角形的三边长,知,,()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nn n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X,则有)222+=故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形15. [解] (1)如图,由是边长为的等边三角形,得点的坐标为,又在抛物线上,所以,得同理在抛物线上,得(2)如图,法1:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线的方程为或,因此,点的坐标满足消去得 , 所以又,故从而 ① 由①有 ②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=,又,于是所以是以为首项、为公差的等差数, (文)1()1(1)23n n a a n S n n +==+ 文2分法2:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，, 所以直线的方程为或因此,点的坐标满足消去得, 又,所以,从而 ① 以下各步同法1 法3:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以, 又在抛物线上,得即以下各步同法1(3)(文)因为2(1)231323n n n nb aa b a++==,所以数列是正项等比数列,且公比,首项, 因正整数成等差数列,且,设其公差为,则为正整数,所以,, 则,,,=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p db q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- 而23200000000()()(1)(1)p dp d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d dq q q q q q =--=---因为,所以,又为正整数,所以与同号, 故,所以,(第(3)问只写出正确结论的,给1分)16.本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.解:(1)令得,即;又(2)由和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na n n n +=--⇒+, 所以数列是以2为首项,为公差的等差数列,所以.解法一:数列是正项递增等差数列,故数列的公比,若,则由得,此时,由解得,所以,同理;若,则由得,此时组成等比数列,所以,,对任何正整数,只要取,即是数列的第项.最小的公比.所以.解法二: 数列是正项递增等差数列,故数列的公比,设存在组成的数列是等比数列,则,即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为所以必有因数,即可设,当数列的公比最小时,即,最小的公比.所以.(3)由(2)可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列,其中,那么的公比是,其中由解法二可得. )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k , 所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n17.本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.(1)由,可得,,,,,,,,即的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0故数列的通项公式为72(17,)0,(8,)n n n n a n n -⎧≤≤∈=⎨≥∈⎩, N N (2)若时,,,由成等差数列,可知即,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;∴的值为(3)由(),可得,,,若,则是奇数,从而1112112122t t k k a a -+---===-, 可得当时,成立又,,故当时,;当时,故对于给定的,的最大值为1231(23)(22)(21)(21)(21)m m m m ---=-+-+-+-++- 1211(2222)325m m m m m m --+=++++--=--,故18.解:(1),,. 由得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列,,(2)由(1)知,. ①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ②令n n n b a b a b a S +++= 2211,)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n (Ⅰ)将(Ⅰ)式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n (Ⅱ)将(Ⅰ)减(Ⅱ)得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n .)22(322+-+-=-n S n n ,19.解:(1)设等差数列的首项,公差,0)1(22)2(211111=----+++=-+-+d n a d n a nd a a a a n n n所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”或者根据等差数列的性质:所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”(2)假设是等比数列,则是“Z 数列”,所以,所以不可能是等比数列,等比数列()1,0111≠<⋅=-q c q c c n n 只要首项公比其他的也可以:等比数列的首项,公比,通项公式112111122---+⋅-⋅+⋅=-+n n n n n n q c q c q c c c c ()()0112221221<-⋅⋅=+-⋅=--q q c q q q c n n 恒成立, 补充说明:分析:,根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以(3)因为,,,,项一共1211211+---+---+++=-++-+-=-s t s t t s s t t t t s t b b b a a a a a a a a 同理:项一共1211211+-+-+-++++-+-+-+++++++=-++-+-=-s t m s m t m t m s m s t m t m m t m t m s m t b b b a a a a a a a a因为数列满足对任意的所以,,,,2211s m s m t t m t t b b b b b b >>>+-+--+-20. (文)(1)当时,由已知,得.当时,由,,两式相减得,即,所以是首项为,公比为的等比数列.所以,()(2)由题意,,故,即,因为,所以,即,解得,所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项所以这个等差数列所有项的和所以,,(3)由(1)知,所以n n m m n m n n n 22log log 2)2(222⋅=⋅=⋅=⋅由题意,,即对任意成立,所以对任意成立因为在上是单调递增的,所以的最小值为.所以.由得的取值范围是.所以,当时,数列是单调递减数列。

2019上海高中数学二模中档题汇编

高中数学上海19届二模真题中档题汇编姓名：年级：宝山区1. 将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么，这个大铅球的表面积是2.方程sec 01x =的解集为3. 如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧 AB 上异于A 、B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于Q 点，当△POQPOQ ∠的大小范围为 4. 一个口袋中有9个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，⋅⋅⋅，9，随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是（结果用分数表示）5. 设点12(,)A a a ，12(,)B b b ，12(,)C c c 均非原点，则“OC 能表示成OA 和OB 的线性组合”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线22221x y a b-=（0a b >>）的右焦点为(,0)F c ，直线()y k x c =-与双曲线的右支有两个交点，则（） A. ||b k a >B. ||b k a <C. ||c k a >D. ||c k a< 7.已知21()cos cos 2f x x x x =-+. （1）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围；（2）设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，周长1，若1()2f B =-，求△ABC 面积最大值. 8. 对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数.如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）；（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）杨浦区1. 函数arcsin 211xx y =-的值域是2. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如835=+，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是（用分数表示）3. 若定义域为(,0)(0,)-∞+∞的函数120()20x x x f x m x -⎧->=⎨+<⎩是奇函数，则实数m 的值为4. 古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点(,0)A a -，(,0)B a ，动点P 满足||||PA PB λ=（其中a 和λ是正常数，且1λ≠），则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为5. 已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的（） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件6. 对于正三角形T ，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T 是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和），n S 是前n 次挖去的所有三角形的面积之和，则lim n n S →∞=（）A.B. C. D. 127. 上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分字）满足：220t ≤≤，t ∈N ，经测算，地铁载客量()p t 与发车时间间隔t 满足2120010(10)210()12001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩，其中t ∈N . （1）请你说明(5)p 的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.8. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱. （1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵111ABC A B C -中，如图2，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B AAC C -的体积最大时，求二面角11C A B C --的大小.奉贤区1. 设等比数列{}n a 中，首项10a <，若{}n a 是递增数列，则公比q 的取值范围是2. 双曲线的右焦点恰好是24y x =的焦点，它的两条渐近线的夹角为2π，则双曲线的标准方程为3. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞单调递减，当2019x y +=时，恒有()(2019)()f x f f y +>成立，则x 的取值范围是4. 随机选取集合{地铁5号线，BRT ，莘南线}的非空子集A 和B 且A B ≠∅的概率是5. 如图的后母戊鼎（原称司母戊鼎）是迄今为止世界上出土最大、最重的青铜礼器，有“镇国之宝”的美誉，后母戊鼎双耳立，折沿宽缘，直壁，深腹，平底，下承中空“柱足”，造型厚重端庄，气势恢宏，是中国青铜时代辉煌文明的见证，右图为鼎足近似模型的三视图（单位：cm ），经该鼎青铜密度为a （单位：3/kg cm ），则根据三视图信息可得一个柱足的重量约为（重量 = 体积×密度，单位：kg ）（）A. 1250a πB. 5000a πC.3750a πD. 15000a π 6. 已知△ABC 的周长为12，(0,2)B -，(0,2)C ，则顶点A 的轨迹方程为（）A.2211216x y +=(0)x ≠ B. 2211216x y += (0)y ≠ C.2211612x y += (0)x ≠ D. 2211612x y +=(0)y ≠7. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PD ⊥，PA PD =，AD 的中点是E ，PE ⊥面ABCD ，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小；（2）求面PDC 与平面PAB 所成二面角的大小.8. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，该函数近似模型如下：20.33()47.4202()254.2710.182x a x x f x ex -⎧-+≤<⎪=⎨⎪+≥⎩，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）虹口区1. 若函数()||4f x x x a =--（a ∈R ）有3个零点，则实数a 的取值范围是2. 若函数3()log (91)x f x kx =++（k ∈R ）为偶函数，则k 的值为3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为4. 在平面直角坐标系xOy 中，边长为1的正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ，如图所示，双曲线Γ是以C 、F 为焦点的，且经过正六边形的顶点A 、B 、D 、E ，则双曲线Γ的方程为5. 钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =，则AC 等于（） A. 1 B. 2C. D. 56. 已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当||AB 最小时，直线l 的方程为（）A. 20y -=B. 40x y -+=C. 20x y +-=D. 32130x y +-=7. 如图，在多面体111ABCA B C 中，1AA 、1BB 、1CC 均垂直于平面ABC ，14AA =，13CC =，12BB AB AC ===，120BAC ∠=︒.（1）求1AB 与111A B C 所成角的大小；（2）求二面角111A A B C --的大小.8. 如图，一块长方形区域ABCD ，1AB =，2AD =，在边AD 的中点O 处有一个可转动的探照灯，其照射角EOF ∠始终为4π，设AOE α∠=，探照灯照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S .（1）求S 关于α的函数关系式；（2）当04πα≤≤时，求S 的最大值.普陀区1. 设x 、y 均为非负实数，且满足526x y x y +≤⎧⎨+≤⎩，则68x y +的最大值为2. 甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为3. 设实数a 、b 、c 满足1a ≥，1b ≥，1c ≥，且10abc =，lg lg lg 10a b c a b c ⋅⋅≥，则a b c ++=4. 在四棱锥P ABCD -中，设向量(4,2,3)AB =-，(4,1,0)AD =-，(6,2,8)AP =--，则顶点P 到底面ABCD 的距离为5. 在△ABC 中，设三个内角A 、B 、C 的对边依次为a 、b 、c ，则“2{,}33C ππ∈”是“222a b c ab +=+”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 6. 某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：① 中位数为800元；② 平均数为 1373元；③ 众数为700元，其中判断正确的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 设函数2()sin()cos 34f x x x x π=+⋅-+. （1）当x ∈R 时，求函数()f x 的最小正周期；（2）设44x ππ-≤≤，求函数()f x 的值域及零点.8. 某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x （0x ≥）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为2x（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为20100kx +（k 为常数）万元，记y 为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和.（1）求k 的值，并建立y 关于x 的函数关系式；（2）求y 的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积.徐汇区1. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是2. 已知点(0,0)O ，(2,0)A ，(1,B -，P 是曲线y =则OP BA ⋅ 的取值范围是3. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为（结果用数值表示）4. 已知函数4()1f x x x =+-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈使得 121()()()()n n f x f x f x f x -++⋅⋅⋅+=，则正整数n 的最大值是5. 设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件6. 已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，则抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（） A.3716 B. 115 C. 2 D. 747. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，1BC 与底面ABCD 所成角的大小为arctan2，M 是1DD 的中心，N 是BD 上的一动点，设DN DB λ=（01λ<<）. （1）当12λ=时，证明：MN 与平面11ABC D 平行；（2）若点N 到平面BCM 的距离为d ，试用λ表示d ，并求出d 的取值范围.8. 2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A 、B 两个信号源相距10米，O 是AB 的中点，过O 点的直线l 与直线AB 的夹角为45°，机器猫在直线l 上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚08v 秒（注：信号每秒传播0v 米），在时刻0t 时，测得机器鼠距离O 点为4米.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻0t 时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l 不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？青浦区1. 函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为2. 若实数x 、y 满足条件110220x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的最小值为3. 已知a 、b 、c 都是实数，若函数2()1x x a f x b a x c x⎧≤⎪=⎨+<<⎪⎩的反函数的定义域是(,)-∞+∞，则c 的所有取值构成的集合是4. 已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为5. 已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件6. 已知曲线3sec :tan x y θθ=⎧Γ⎨=⎩（θ是参数），过点(6,2)P 作直线l 与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l 有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A 、B 两地，A 处位于东西方向的直线MN 上的陆地处，B 处位于海上一个灯塔处，在A 处用测角器测得3tan 4BAN ∠=，在A 处正西方向1km 的点C 处，用测角器测得tan 1BCN ∠=，现有两种铺设方案：① 沿线段AB 在水下铺设；② 在岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km ，4万元/km .（1）求A 、B 两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.8. 已知a ∈R ，函数2()2x x a f x a-=+. （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若0a ≥且2()3a f x -<对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围.黄浦区1. 若等比数列{}n a 的前n 项和32n n S a =⨯+，则实数a =2. 在2)n x的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 3. 若函数221()lg ||1x x f x x m x ⎧-≤=⎨->⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为4. 设[0,2)θπ∈，若圆222(cos )(sin )x y r θθ-+-=（0r >）与直线2100x y --=有交点，则r 的最小值为5. 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，设1A B e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、D 中的两个点，若对平面中任意的非零向量a ，都可以唯一表示为1e 、2e 的线性组合，那么2e 的个数为（）A. 6B. 8C. 10D. 126. 在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（）A. 12PPB. 121PP- C. 12(1)P P - D. 12(1)(1)P P --7. 经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T （元）关于每次订货x （单位）的函数关系为()2Bx AC T x x =+，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.（1）若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；（2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？8. 已知函数()sin f x x =.（1）设a ∈R ，判断函数()()()2g x a f x f x π=⋅++的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()2()F x f x =-b ∈R ，求()y F x =在区间[,10]b b π+上零点个数的所有可能值.长宁嘉定区1. 设函数()f x =a 为常数）的反函数为1()f x -，若函数1()f x -的图像经过点(0,1)，则方程1()2f x -=解为________2. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________（结果用数值表示）3. 已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(,2)m ，则线段AB 的长为________4. 在△ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足49CP mCA CB =+，若△ABC 3ACB π∠=，则||CP 的最小值为________5. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率,工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.根据上述信息，下列结论中正确的是（）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，过点(2,0)M -且与x 轴不重合的直线l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间，过点M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分7. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期，及函数()f x 在[0,]2π上的递减区间.8. 为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为6万元/毫米厚，且每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x （毫米）满足关系： 40()35H x x =+（010x ≤≤），设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）解释(0)H 的实际意义，并求()f x 的表达式；（2）求隔热层喷涂多厚时，业主的所付总费用()f x 最小？并计算与不建隔热层比较，业主节省多少钱？崇明区1. 已知直线1:(3)(4)10l a x a y -+-+=与2:2(3)230l a x y --+=平行，则a =2.，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的侧面积为 3. 已知n S 是公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*k ∈N ，都有1lim()n k k n S S a +→∞-=成立，则q = 4. 甲、乙、丙、丁4名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志愿者，则甲、乙两人在同一路口的概率为（用数字作答）5. 对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. 已知线段AB 上有一动点D （D 异于A 、B ），线段CD AB ⊥，且满足2CD AD BD λ=⋅ （λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分7. 已知函数12lg 6()564a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩. （1）已知(6)3f =，求实数a 的值；（2）判断并证明函数在区间[7,8]上的单调性.8. 某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A 、B 分别在圆周上，观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，23PAB QBA π∠=∠=，且AB 、PQ 在点O 的同侧，为保证视听效果，、要求观众席内每一个观众到舞台中心O 处的距离都不超过60米（即要求60PO ≤），设OAB α∠=，(0,)3πα∈. （1）当6πα=时，求舞台表演区域的面积；（2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？浦东新区1. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点的双曲线的标准方程为2. 已知无穷数列{}n a 满足11201831201921n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞= 3. 二项式61(2)2x x-展开式的常数项为第项 4. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为（精确到小数点后一位）5. 点(2,0)P 到直线1423x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离为（） A. 35 B. 45 C. 65 D. 1156. 已知点(,)P x y 满足约束条件5025200040x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =-的最小值为（）A. 40B. 40-C. 30D. 30-7. 已知向量(2sin ,cos 2)m x x ωω=，(3cos ,1)n x ω=，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在△ABC 中，若()2fB =-，BC =sin B A =，求BA BC ⋅的值.8. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.（1）求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程；（2）若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O（其中a、b分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L，称该直线的斜率k为“变轨系数”，求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）松江区1.若2(2nx 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 为 2. 设不等式组6020360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的可行域为Ω，若指数函数x y a =的图像与Ω有公共点，则a 的取值范围是3.若函数2()sin cos f x x x x ωωω=的图像关于直线3x π=对称，则正数ω的最小值为4. 在正方体1111ABCD A B C D -的所有棱中，任取其中三条，则它们所在的直线两两异面的概率为5. 过点(1,0)与双曲线2214x y -=仅有一个公共点的直线有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条6. 十七世纪，法国数学家费马提出猜想；“当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年英国数学家安德鲁⋅怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则下面命题正确的是（）① 对任意正整数n ，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解； ② 当整数2n >时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解； ③ 当正整数2n ≤时，关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解； ④ 若关于x 、y 、z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解，则正整数2n ≤； A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 7. 已知复数z满足||z =，2z 的虚部为2. （1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.8. 国内某知名企业为适应发展的需要，计划加大对研发的投入，据了解，该企业原有100 名技术人员，年人均投入m 万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x 名（*x ∈N 且[45,60]x ∈），调整后研发人员的年人均投入增加2x %，技术人员的年人均投入调整为3()50xm a -万元. （1）要使这100x -名研发人员的年总投入恰好与调整前100名技术人员的年总投入相同，求调整后的技术人员的人数；（2）是否存在这样的实数a ，使得调整后，在技术人员的年人均投入不减少的情况下，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入？若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由.金山区1. 方程213x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，t ∈R ）所对应曲线的普通方程为2. 在Rt △ABC 中，90C ︒∠=，4AC =，则AB AC ⋅=3. 若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、 0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是（结果用小数表示）4. 已知函数x x f sin )(=和()g x =[,]ππ-，则它们的图像围成的区域面积是5. 在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等．根据祖暅原理，“两几何体A 、B 的体积不相等” 是“A 、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要6. 设1F 、2F 是双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，P 是C 上一点，若12||||6PF PF a +=，12PF F ∠是△12PF F 的最小内角，且1230PF F ︒∠=，则双曲线C 的渐近线方程是（）A. 0x =B.0y ±= C. 20x y ±= D. 20x y ±=7. 如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱1OO 的侧面积为16π，2OA =，120AOP ︒∠=.（1）求三棱锥1A APB -的体积；（2）求直线1A P 与底面PAB 所成角的大小.8. 从金山区走出去的陈驰博士，在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位．已知某种树木的高度()f t (单位：米)与生长年限t （单位：年，t ∈N *）满足如下的逻辑斯蒂函数：0.526()1e t f t -+=+，其中e 为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. （1）需要经过多少年，该树的高度才能超过5米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？参考答案宝山区：1. 13123π⋅ 2. {|,}3x x k k ππ=-+∈Z 3. (,)63ππ 4. 595. B6. A7.（1）1[,1]2-；（2）max 34S =-. 8.（1）6%5n A e =⋅，当10n =时，9.1A =万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 杨浦区： 1. 14[,]22ππ-+ 2. 23 3. 1- 4. 22|1|a λλ- 5. A 6. A 7.（1）发车间隔为5，载客量为950；（2）6t =，max 120Q =. 8.（1）2；（2）43V =，（或1arccos 3）.奉贤区：1. (0,1)2. 2211122x y -= 3. (,0)-∞ 4.3749 5. C 6. A 7.（1）；（2）2π.8.（1）喝1瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是47.42；（2）喝1瓶啤酒后342分钟后才可以驾车. 虹口区：1. (4,)+∞2. 1a =-3. 434.221-= 5. C 6. D 7.（1）；（2）8.（1）[0,)4πα∈，tan 11tan()224S απα=---；[,)42ππα∈，111()32tan tan()4S παα=+-； 3[,]24ππα∈，1131tan()tan()2224S ππαα=----；（2）122(1tan )221tan S αα=-++≤+普陀区：1. 402. 0.33. 124. 25. B6. C7.（1）1sin(2)23y x π=-，T π=；（2）值域11[,]24-，零点6x π= 8.（1）2400k =，180052xy x =++；（2）55x =时，min 57.5y = 徐汇区： 1. 1(2,0)(0,]4- 2. [2,4]- 3. 0.75 4. 6 5. A 6. C7.（1）证明略；（2）d =，d ∈.8.（1）(4,0)；（2） 1.52d =>，没有“被抓“风险. 青浦区：1.sin12π+ 2.123. {0}4.5. C6. B7.（1）5；（2）4AP =，最低费用8+8.（1）1；（2）5a ≥ 黄浦区：1. 3-2. 1123. 910m ≤ 4. 1 5. B 6. D 7.（1）15000000()60T x x x=+，(300)68000T =；（2）500x =，min 60000T = 8.（1）0a =，偶函数；0a ≠，非奇非偶函数；（2）10或11 长宁嘉定区： 1. 1x = 2.710 3. 8 4. 435. C6. C 7．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为02πα<<，且sin 2α=，所以cos 2α==， ………………3分所以()11(22222f α=+-= ………………6分（2）()21sin cos cos 2f x x x x =+-11sin 2cos 222x x =+ ………………1分)24x π=+ ………………3分所以()f x 的最小正周期为π ………………5分当02x π≤≤时，52444x πππ≤+≤，再由52244x πππ≤+≤得，82x ππ≤≤，函数()f x 在[]0,π上的递减区间为[,]82ππ………………7分 8．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）解：（1）()08H =表示不喷涂隔热材料时该房屋能源消耗费用为每年8万元．……2分设隔热层建造厚度为x 毫米，则()40800()20660103535f x x x x x x =⨯+=+≤≤++ ………………………7分（2）()800(610)10107035f x x x =++-≥=+ …………………3分当80061035x x =++，即5x =时取等号所以当隔热层厚度为5cm 时总费用最小70万元. …………………5分如果不建隔热层，20年业主将付能源费208160⨯=万元，所以业主节省90万元. …………………7分崇明区：1. 3或52. 2π3. 12 4. 165. A6. B7.（1）203；（2）单调递增8.（1）4003π；（2）1600)36003πα++<，均能符合要求浦东区：1. 22154x y -= 2. 0 3. 4 4. 12.3 5. D 6. B 7.（1）()2sin(2)6f x x πω=+，1ω=；（2）23B π=，32- 8.（1）2222120001600x y +=；（2）( 1.8,1.1)- 松江区：1. 52. (1,2]3.144. 2555. D6. D7.（1）1i z =+，1i z =--；（2）2-8.（1）(12%)(100)100x x m m +-=，50x =；（2）23[,5]5金山区：1. 222y x x =-++ 2. 16 3. 0.9702 4.32π 5. A 6. B7．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1) 由题意，1216S AA =2π⋅⋅=π侧，解得14AA =，……………………………2分在△AOP 中，2OA OP ==，120AOP ∠=︒，所以32=AP ，在△BOP 中，2OB OP ==，60BOP ∠=︒ ，所以2=BP ， ………………4分111124332APB V S AA ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯= ……………………………7分(2) 因为1AA ⊥底面PAB ，所以1APA ∠是直线1A P 与底面PAB 所成的角，…9分在Rt △1APA 中，11tan 3AA APA AP ∠===，332arctan 1=∠APA …13分即直线1A P 与底面PAB 所成角的大小为14分8．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 解：(1) 令25.0e 16)(+-+=t t f ≥5，解得42ln57.2t ≥+≈，…………………………5分即需要经过8年，该树的高度才能超过5米；……………………………………7分 (2) 当t ∈N *时，2)1(5.025.0e 16e 16)1()(+--+-+-+=--t t t f t f )e 1)(e 1()1e (e 65.25.025.05.025.0+-+-+-++-=t t t ……………………9分设0.52t eu -+=，则2](0,u e ∈，0.50.56()(1))(1)(1)(1e uu e f t f t u -++--=. 令0.5(1)(1())u u u e g u ++=，则0.50.5(111))(g u e u e u+++=. 上式当且仅当0.51e u u=时，()g u 取得最大值.………………………………………11分此时，0.25u e-=，即0.520.25t e e -+-=，解得 4.5t =.由于要求t 为正整数，故树木长高最快的t 可能值为4或5，……………………13分又0.56(4)(3)31f f e -=-+，0.50.566(5)(4)3311f f e e --=-=-++，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快．……………………………………14分。

上海市虹口区2019届高三数学二模试题(含解析)

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．- 21 -。

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二模真题汇编-数列一、填空题1.（2019宝山二模11）已知无穷等比数列…123,,,a a a 各项和为92,且2=2a -,若49||102n S --<,则n 的最小值为_____.【答案】10【解析】题意可得122191299402a q q q a a q ⎧=⎪-⇒--=⎨⎪==-⎩则1241,33q q ==-（舍去前者）16a =则44416(1())99913||101010122231()3nn n S -----⎫⎛-<⇒-<⇒< ⎪⎝⎭--,得到n 最小为102.（2019闵行松江二模4）4．已知等比数列的首项为,公比为，表示的前项和,则．【答案】．【解析】因为，所以=．3.（2019崇明二模9）9.已知是公比为的等比数列的前项和，若对于任意的，都有成立，则=______________.n a 112n S n a n lim nnS 231q 1lim 1nna S q 23n S q {}n a n *∈N k k k n n a S S =-+∞→)(lim 1q【答案】【解析】，该式有极限，则且极限于0，则等价于，整理得，解得4.（2019奉贤二模7）7. 设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是【答案】【解析】由题意有，即，因为，可解得5.（2019黄浦二模3）计算：【答案】【解析】 6. （2019黄浦二模7）若等比数列的前项和，则实数【答案】【解析】，，所以，21-5q q a q a q q a q q a S S n k k n k n --=-----=-+++11)1(1)1(111111110<<q nq a 111111-+==-k k k q a a q q a 012=-+q q 21-5=q {}n a 10a <{}n a q )1,0(⎩⎨⎧>>2312a a a a ⎩⎨⎧>>q a q a aq a 1211110a <10<<q 222lim 31n n n n →∞--=+3122222222222lim 33131n n n n n n n n n n n n →∞----==++{}n a n 32nn S a =⨯+a =3-a a +=6112,632==a a 3122a a a •=31-=a7. （2019浦东新区二模8）已知无穷数列满足则_________。

【答案】【解析】8.（2019徐汇二模7）设无穷等比数列的公比为，若的各项和等于，则首项的取值范围是 _________。

【答案】【解析】9. （2019徐汇二模12）函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则 _________。

【答案】【解析】函数的对称轴为可知，又因为是等腰直角三角形，令，等价于可得：，则，因此 {}n a ,2019,12120181,31⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤=n n n a n =∞→n n a lim 0=∞→n n a lim 0121lim =+∞→n n {}n a q {}n a q 1a 1(2,0)0,4⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦]41,0()0,2(),1,0()0,1(),1(,111 -∈-∈-==-a q q q a q q a ()sin f x x ω=0ω>y 123,,,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅{}n A k A i A p A k i p A A A ω{}n ω2019ω=40372πx A x f ωsin )(=)2(1ππωk x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=-1)1(),2(1k k k A ππωp l k A A A ∆p l k <<,)1()1()1(,2,4p l k p k pk l A A -=-=-+==))(12(,4)(1+∈-=-=-N m m l p k p πωπωπω212212-=⇒-=n m n 240372019πω=10. （2019长宁嘉定二模11）已知有穷数列{a n }共有m 项，记数列{a n }所有项的和为S (1)，第二及以后所有项的和为S (2)，...，第n (1≤n ≤m )及以后所有项的和为S (n )；若S (n )是首项为1公差为2的等差数列前n 项的和，则当1≤n <m 时，a n =_____ 【答案】-2n -1 【解析】S (n )=(1+2n -1)⋅n2=n 2，由题意可知：S(n)=a n +a n+1+⋅⋅⋅+a m ，S(n +1)=a n+1+a n+2+⋅⋅⋅+a m ，∴1≤n <m 时，a n =S(n)-S(n +1)=n 2-(n +1)2=-2n -1.二、选择题1.（2019宝山二模13）13.用数学归纳法证明21211n n nn ->++对任意的,(,)n k n k N ≥∈自然数都成立,则k 的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】试探法得到3k ≥，选择C2.（2019闵行松江二模16）16．如图所示，直角坐标系平面被两坐标轴和两条直线等分程八个区域（不含边界），已知数列，表示数列的前项的和，对任意的正整数，均有，当时，点（）【A 】只能在区域②y x =±{}n a n S {}n a n n ()21n n n a S a -=0n a >()1,n n n P a a +【B 】只能在区域②和④【C 】在区域①②③④均可出现【D 】当为奇数时，在区域②或④，当为偶数时，在区域①或③ 【答案】B【解析】所以因为，所以若使此时)又，所以当时，，此时的，此时位于区域②当时，，此时位于区域④．3.（2019青浦二模16）16.等差数列（，）满足，则（）【A 】的最大值为50 【B 】的最小值为50 【C 】的最大值为51 【D 】的最小值为51n n P n n P ()21n n n a S a -=⇒()11(2)1n n n n n S S S S S ----+=2211n n S S -⇒-=2n S n =⇒n S =1(n 2)n n n a S S -=-≥0n a >n a =n a =0n a >n S 11n n n a S S ++=-1n a +=10n a +>1n a +=1n n a a +<10n a +<1n a +=1n n a a +>12,,,n a a a ⋅⋅⋅3n ≥*n N ∈121|||||||1|n a a a a ++⋅⋅⋅+=+2|1|a ++|1|n a +⋅⋅⋅++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+⋅⋅⋅+-=n n n n【答案】A【解析】由题意,构造函数，可知方程至少有三个解，所以该绝对值函数为平底型，所以为偶数，且，不妨设，所以均为负，均为正，所以，，，4.（2019奉贤一模16）16. 设有△，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个新的三角形△，再作△的内切圆，得到的三个切点又确定一个新的三角形△，以此类推，一次一次不停地作下去可以得到一个三角形序列△（），它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 与原三角形相似D. 以上均不对【答案】A【解析】，，如右图，所以，在利用在同圆中，同一弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得：，以此类推，当时，，故为等边三角形.|)1(|||||)(d n x d x x x f -+++++= 2019)(=x f 21111-+a a a 、、n 3≥d *,2N k k n ∈=k a a a ,,21k k k a a a 221,, ++k k n a a a a a a a 22121||||| +----=+++｜dk d d k a a a a k k k 2019,3,2019)()(22211=∴≥==-++-+ 25≤k 502≤=k n 000A B C 111A B C 111A B C 222A B C n n n A B C 1,2,3,n =⋅⋅⋅n n n C B OA ⊥+1n n n C B OC ⊥+1π=∠+∠++11n n n OC A B 2)2190(2190219010001-+∠--=∠-=∠n n n B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-+=∠-120)21()21()21(190n n B 0002)1()21(1602)1(B B n n n n n -+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-++∞→n 060→∠n B5.（2019虹口二模16）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（） A.B. C. D. 【答案】【解析】①为奇数时，，易证单调递减，且，所以；②为偶数时，，易证单调递增，且，所以；所以的最大值为，最小值为，考虑到在上单调递增，所以，所以的最小值为，选. 6. （2019杨浦二模15）对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的{}n a 13-n n S *n ∈N 13n nA SB S ≤-≤B A -7294114136B ()1121133311122313⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎝⎭===-⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭n n n n a q S qn 331223⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭nn S n S 3lim 2→∞=n n S 1322<≤=n S S n 331223⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭nn S n S 3lim 2→∞=n n S 24332=≤<n S S n S 24313=-y t t()0，+∞min 14113334343⎛⎫≤-=⋅-=⎪⎝⎭n n A S S max 111133222⎛⎫≥-=⋅-= ⎪⎝⎭n n B S S -B A 11139244-=B T过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（）A.B. C. D. 【答案】A【解析】由题意，，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，选A ．三、解答题1. （2019宝山二模19）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）．T n A n 1A 2A n S n lim n n S →∞=12134n n A A +={}nA 11144T A S =⋅==34116lim 3114n n A S q →∞===--对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数；如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利.（1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）.【答案】（1）9.1万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 【解析】（1）由题意：6%6%55n n Ae A e -=⇒=⋅；当10n =时，本利和为6%100.6559.1A e e ⋅=⋅=⋅≈（万元）；（2）由题意：2B =；设n 年后共有本利和超过一百万元，则n 年后：第一年年初的投资所得的为：6%12n A e =⋅；第二年年初的投资所得的为：()6%-122n A e =⋅；以此类推：第n 年年初的投资所得的为：6%2n A e =⋅；则满n 年后，基金共有本利和：()()6%6%16%6%6%126%122221nn n n e A A A e ee e e --+++=⋅+⋅++⋅=⋅⋅-；由题意：()6%6%6%6%6%6%150502100log 122.71n e ee en n ee -⎛⎫-⋅⋅⋅>⇒>-⇒> ⎪-⎝⎭；故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.2.（2019松江二模21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分无穷数列满足：，，，记{}{}{},,n n n a b c 1n n n a b c +=-1n n n b c a +=-1n n n c a b +=-{}max ,,n n n n d a b c =（表示三个实数中的最大的数）.（1）若，求数列的前项和；（2）若，当时，求满足条件的的取值范围；（3）证明：对于任意正整数，必存在正整数，使得．【答案】（1）；（2）；（3）略.【解析】（1）可求，，；，，；，，（）；所以，，，（）所以.（2），，，，{}max ,,n n n a b c ,,n n n a b c 111=8,4,2a b c =={}n d n n S 111=-1,1,a b c x ==x R ∈23d d =x 111,,a b c k 111=,,k k k k k k a a b b c c +++==2942125n n n n S n n ⎧-+≤=⎨+≥⎩{}1,1-22a =26b =24c =32a =32b =3c 4=2n a =2n b =0n c =4n ≥18d =26d =34d =2n d =4n ≥2942125n n n n S n n ⎧-+≤=⎨+≥⎩21a x =-21b x =+22c =21121111x x d x x x +≥⎧⎪⇒=-<<⎨⎪-+≤-⎩312a x =+-312b x =--311c x x =--+所以满足条件的的取值范围为．（3）先证：存在，满足或或反证：若任意，、、均不为零，由题意可得、、均大于零，设，即则，即又是递减数列又，这是不可能的，故至少存在，满足或或再证：不妨设，，则，[](]()()[][)310,1,323,11,311,03,x x d x x x ⎧+∈-∞-⎪⇒=∈--⎨⎪-∈-+∞⎩23d d =x {}1,1-k N *∈2k ≥0k a =0k b =0k c =k N *∈k a k b k c k a k b k c {}{}max ,,k k k k a b c a =k kk kb ac a ≤⎧⎨≤⎩{}1max ,k k k k k k a b c b c a +=-<≤1k k a a +<1k k k k k k b a c a c a +=-=-<1k k k k k k c a b a b a +=-=-<1k k k d a d +∴<={}k d ∴k N *∈0k d ≥k d N *∈∴k N *∈2k ≥0k a =0k b =0k c =0k N *∈00k a =00k k b c=00k a =即存在，同时存在满足．3.（2019青浦二模21）(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.已知函数（），且不等式对任意的都成立，数列是以为首项，公差为1的等差数列（）.（1）当时，写出方程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列满足对任意的都成立，求证：数列是等差数列；0011k k b c --∴=0000001111k k k k k k b a c a b c ----∴=-=-=00k a =()0k N *∈00k k b c =000010k k k k a b c a +=-==00001k k k k b a c c +=-=00001k k k k c a b b +=-=∴0k N *∈000000111k k k k k k a a b b c c +++⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2()f x x ax b =++,a b R ∈2|()|2019|2|x f x x ≤-[0,10]x ∈{}n a 7a +*n N ∈[0,10]x ∈220x x -={}n a {}n b 1||n m m n m nb b b a a +--<+*,m n N ∈{}n b（3）若），数列的前项和为，对任意的，求的取值范围.【答案】（1），，，；（2）略；（3）【解析】（1）可得，得到（2），当时，，则故数列是等差数列（3）可得，，……，，则有，，显然另一方面，单调递减，可得. 4.（2019崇明二模21）已知数列是公差为（）的等差数列，如果数列，，...，（）满足，则称数列，，...，是“可等距划分数列”。