在复杂振荡器网络和智能电网中的同步性

在复杂振荡器网络和智能电网中的同步性

在很多科学领域，耦合振子网络出现同步是一个很吸引人的话题。一个耦合振子网络是以一个不均匀的振子集合和一个图来描述它们之间的交互关系为特征。众所周知，一个强耦合和充分均匀的网络同步，但是从不同步到同步的确切阈值是不知道的。在这里我们展现一个新颖的，简洁的并且封闭式的条件适用于完全非线性，不平衡，并且动态的网络的同步。我们的同步条件可以别描述成关于网络拓扑和系数或者等价于关于直观的，线性和静止的辅助系统。我们的结果很大的改进目前的存在行条件，他们对于很多有趣的网络拓扑和系被别证明很准确，从统计意义上讲，他们对于几乎全部的网络都是正确的，并且他们可以同样的被用于物理和生物学上的同步现象和工程振子网络比如说电力网络。我们解释我们结果的在复杂网络和智能电网应用中的有效性，准确性，和实用性。

科学计算耦合振荡器同步的兴趣可以追溯到惠更斯的开创性工作“一个奇怪的一种同情”之间的耦合摆钟[1]，并且它至今继续使科学团体着迷[2,3]. 耦合振子网络的机械模拟图1中所示，由一组约束旋转一圈一圈的颗粒，并假设移动至不碰撞。每一个振子有一个相角i θ和一个优先的自然旋转频率i ω。一对相互作用的振子i 和j 通过系数为ij a 的弹簧耦合。直观地，弱耦合的振子网络但是有强的不均匀的自然频率i ω不展现一致性行为，但是一个强耦合网络有很均匀的自然频率是可以一致性的。这两种定性的不同结构在图1中解释。 形式上，相角振子直接的交互的模型是一个连通图G(V; E;A)，有n 个节点{1,...,}V n =，边v v ε??，正的权ij a >0对于每一个无向边{,}i j ε∈。对于没有交互的振子i 和j ，耦合系数ij a 为0.我们假设节点集合分割为12v v v =?，考虑下嘛广义的耦合振子模型：

11sin(),n i i i ij i j j M D a i v θ

θωθθ=+=--∈∑ 21sin(),n i i i ij i j j D a i v θωθθ==--∈∑ [1]

耦合振子模型[1]包含二阶振子1v 利用牛顿动力学，惯性系数i M ，阻尼i D 。剩下的振子2v 特点是一阶动力学，时间常数是i D 。耦合振子模型[1]的经典电子模拟是经典的结构保留功率网络模型[4]。一阶和二阶动力学对应负载和发电机，右手边描述功率输入i ω和功率流sin()ij i j a θθ-在传输线路上。

耦合振子模型多样的的动力学行为从每一个振子趋势的竞争到和它的自然频率i ω以及同步耦合系数sin()ij i j a θθ-的平衡。缺乏前面的内容，耦合振子动力学[1]衰落到一个不重要的相角同步平衡，其中全部的角度i θ是均衡的。不同的自然频率i ω，另一方面，驱使振子网络远离全部均衡的平衡点。并且，即使耦合振子模型[1]同步，它仍旧有可能使角位移和在功率网络中从发电机到负载的电子功率不稳定。这篇论文的好的地方是，尽管上述飞复杂问题，一个好的标准表示非线性和非平衡点的动力学振子网络的同步。

振子网络的同步回顾

耦合振子模型[1]统一各种模型在文献包括电力网的动态模型。补充信息详细地讨论电力网络。对于2v φ=，耦合振子模型[1]出现在动物群体行为[5]的同步现象中，萤火虫群落

[6]，在伦敦千年桥的人群同步[7]，和惠更斯摆钟[8]。对于1v φ=，耦合振子模型[1]变成著名的Kuramoto 模型[9]，出现在耦合约瑟夫森结[10]，；粒子协调[11]，自旋转玻璃模型

[12,13]，神经系统[14]，深部脑刺激[15]，化学振荡[16]，生物运动[17]，有节奏的鼓掌

[18]，和无数其他的同步现象[19,20,21]。最后耦合振子模型在形式[1]也作为典型的例子在复杂网络研究[22,23]。

耦合振子动力学[1]特点是图G(V ，E ，A)描述的耦合同步影响和不同的自然频率i ω除去同步影响。复杂网络团体问问题的形式是“什么是耦合和不同的比如一个同步行为出现？”相似的问题出现在上述提及的应用中，例如，在大规模电力系统。由于同步是普遍的在互联的电力网的运行中，中心问题是“在什么样网络系数和拓扑的条件下，在现在的负载和发电量，是否存在一个同步工作点[24,25]，什么时候最优[26],什么时候稳定[27,28]，鲁棒性怎么样[29,37,31,32]？”一个局部同步损失能引发连锁故障并且可能导致大规模停电。面对未来智能电网的复杂性和一体化的挑战所带来的可再生能源，更深入的了解同步变得越来越重要。

尽管很多科学兴趣，寻找耦合振子模型[1]清晰，简洁和封闭形式的同步条件的寻找至今是徒劳的。宽松的讲，同步发生在当耦合控制不同。很多条件被提出量化

[21,32,28,33,22,23,31,34]。耦合通常是定量节点度或者图G 的代数连通性和不同通过大小或者自然频率i ω的延伸。有时候，这些条件仅仅在数字上评价，由于它们依靠网络状态

[32,31]或者产生非平凡的线性化过程，不如Master 稳定函数形式[22,23]。至今,确切的同步条件仅仅作为简单的耦合拓扑[17,21,35,36]。作为任意的拓扑仅仅知道充分条件

[32,28,33,31]。并且对于随机网络只有数值研究[37,38,39]。仿真研究表明已知道的充分条件非常保守的估计了从不一致到同步的阈值。字面上讲，每一篇文献综述关于同步结论强调对于确切的同步条件对于任意的网络拓扑和系数的探索[20,21,19,22,23]。在这篇文章中，我们展现一个简洁深刻的同步条件有很好的图论和物理解释。

新的同步条件

对于耦合振子模型[1]和它的应用，下面的同步概念是恰当的。首先，一个解决方案有同步频率如果全部的频率θ 是统一到一个固定值sync ω。如果同步解决方案存在，那么同步频率是11/n n sync k k k k D ωω===∑∑，并且，通过选择参考系，可以假设0sync ω=。第二，一个解决方案有紧密结合的相角如果每一对连接的振子有相角距离小于某一角度

[0,/2]γπ∈，即是，||i j θθγ-<对于每一边{,}i j ε∈。

基于一个对于同步问题的新颖的分析方法，我们提出下面的同步条件对于耦合振子模型

[1]：

同步条件：耦合振子模型[1]有一个唯一的并且稳定的点*

θ为同步频率并且紧密结合的相角**||/2i j θθγπ-≤<对于每一对连接的振子{,}i j ε∈如果?|||sin()L ωγ≤[2]

其中?

L 是Laplacian 矩阵L 的伪逆，,{,}|||max ||i j i j x x x εε∞∈=-是最坏情况不同对于1(,...,)n x x x =。

我们建立了广泛的适用性提出条件[2]通过分析和统计方法在下一节中，不同类别的网络。在此之前，我们提供一些等效配方条件[2]，以发展更深层次的直觉和获得精辟的结论。

复杂网络解释：令人惊讶的是，拓扑或谱的连通测量比如说节点度或代数连通，不是同步的关键。事实上，这些提倡连通性测量证明是对同步条件[2]的保守估计。这陈述可以通过介绍矩阵U 的标准正交向量是Laplacian 矩阵L 有相应的特征值0=12...n λλλ<≤≤。通

过谱观点，条件[2]能等价的写成2|(0,1/,...,1/)()||sin()T n Udiag U λλωγ?≤[3]

自然频率ω投射到网络模式U ，权为逆Laplacian 特征值，,||||ε∞?评估最坏的情况权投影的不同。一个充分条件对于不等式[3]是正确的当代数连通度2,||||sin()ελωγ∞≥ 。同

样的，一个必要条件对于不等式[3]是,2deg()||||sin()n G ελωγ∞≥≥

，其中deg()G 是图(,,)G A νε最大的节点度。当与[3]相比，这个充分条件和必要条件只用了n-1个非0Laplacian 特征值的一个，并且太保守了。

Kuramoto 振子观点：在极限limit /2γπ→，条件[2]表明存在一个稳定的同步点如果

?,||||1L εω∞<[4] 对于经典的Kuramoto 振子耦合在一个完全图有统一的权/ij a K n =，同步条件[4]变成条件,{1,...,}max ||i j n i j K ωω∈>-，是经典的Kuramoto 模型[21]。

电力网观点：在电力系统工程中，耦合振子模型[1]的平衡等式，为

1sin()

n i ij i j j a ωθθ==-∑，关于交流电力流等式，通过线性化估计

[29,30,31,32]1()n i ij i j j a ωθθ==-∑，是直流电力流等式。在向量记法，直流电力流等式

改为L ωθ=，它们的解决方法满足?,,max ||||||i j i j L εεθθω∈∞-=，根据条件[2]，最坏的

相角距离

?,||||L εω∞获得通过直流电力流等式比sin()γ小，比如交流电力流等式满足,max ||i j i j εθθγ∈-<。因此，我们的条件扩展了直流电力流近似从极小的角度1γ 到大的角度[0,/2]γπ∈。

辅助线性观点：如上一段详述，关键点?

L ω在条件[2]等于相角差值获得通过线性

Laplacian 等式L ωθ=。线性解释不仅深刻而且很实际因为条件[2]能很快的别评估通过数字上解决稀疏线性系统L ωθ=。尽管这个线性解释，我们强调条件[2]的导数不是基于任何线性化参数。

能级相图观点：条件[2]也能解释为关于吸引人的能级相图。耦合振子模型[1]是一个粒子系统旨在最小化能量函数{,}1()(1cos())n ij i j i i i j i E a εθθθωθ∈==---∑∑ ，

前一部分是粒子之间的成对的非线性吸引，第二部分代表外部力驱使振子远离全部均衡的状态。由于能量函数()E θ研究起来很困难，很自然的去寻找二阶近似的最小值20{,}1()()/2n ij i j i i i j i E a εθθθωθ∈==--∑∑ ，其中前一部分对应于胡克潜能。条件[2]重新描述如下：()E θ特点是相互作用粒子的相角结合最小分别远于γ如果0()E θ的特点最小的相互作用粒子远于sin()γ，如图2 解释

分析和统计结果

我们的对于同步问题的分析方法是基于代数图论。我们提出了一个等效的重新同步的问题，揭示了在图中的周期和割集的关键作用，并最终导致同步条件[2]。特别的，我们分析建立同步条件[2]用于下面6个有趣的情形：

分析结果：同步条件[2]是充分和必要的对于（i ）稀疏的和（ii ）稠密的网络拓扑(,,)G A νε，（iii ）最好的和（iv ）最差的自然频率（v ）对于环拓扑长度严格小于5（vi ）对于任意的环有均匀的系数（vii ）一个连接网络组合，每一个满足（i ）-（vi ）中的一个。详细的和严格的数学推导和描述关于上面的分析结果可以在补充信息中找到。

通过分析建立的条件[2]对于各种各样的特别的网络拓扑和系数，我们建立它的正确想和对于任意网络的预测能力。大量的仿真研究导致这样的结论，提出的同步条件[2]在统计上是正确的。为了验证假设，我们做了Monte Carlo 仿真研究包括很大范围的自然频率i ω，网络规模n ，耦合权系数ij a ，和不同程度的稀疏和随机在不同的随机图模型中。总之，我

们构造6

1.210 个随机网络的例子，每一个有一连通图(,,)G A νε，自然频率ω满足?,||||sin()L εωγ∞≤对于某一/2γπ<。详细结果在补充内容中，允许我们建立如下概率结果自信度至少99%，准确率至少99%；

统计结果：对于一个标称网络，有99.97%的概率，条件[2]保证存在一个唯一的并且稳

定的点*θ为同步频率，对于每一对连接的振子{,}i j ε∈，相角紧密结合为**||i j θθγ-≤。

从这些统计结果，我们推断出提出的同步条件[2]适用于几乎全部的网络拓扑和系数。确实，我们也展示存在可能的拓扑和系数的薄集条件[2]不充分严格。我们指出对于一个明确的仔细设计的和退化的反例系列。总的来说，我们的分析和统计结果验证了提出的条件[4]的正确性。

确定条件[2]的统计正确性之后，我们研究对于任意网络的预测能力。由于我们分析建

立条件[2]是充分小的成对的相角差||1i j θθ- ，现在研究另一个极端，

{,}max ||/2i j i j εθθπ∈-=。为了测试相应的条件[4]在一个低维系数空间，我们一个Kuramoto 振子的复杂网络

1()i ij i j j K a θωθθ==--∑ {1,...,}i n ∈[5]

其中全部的耦合权系数ij a 或者为0或者为1，耦合增益K>0作为控制系数。如果：

是相应的无权的Laplacian 矩阵，条件[4]变为?,||||critical K K L εω∞> 。当然，条件

critical K K >仅仅是充分，临界耦合或许比critical K 要小。

为了测试条件critical K K >的准确性，我们数字上找到最小的K 值会同步有相角结合/2π。

图报告我们的研究结果为各种规模的网络，连接随机图模型，样本分布的自然频率。补充内容里有详细的仿真步骤。首先，注意子图（a ），（b ），（c ），（d ）和（e ）条件[4]对于稀疏图很准确，即，对于小的P 和n ，正如我们的分析结果。其次，对于一个稠密图1p ≈,子图（a ），（b ），（c ），（d ）和（e ）证实了经典Kuramoto 振子的结果[21]：对于一个双极性分布条件[4]是准确的说，对于一个均匀分布得到一个小的临界耦合。第三，子图（c ）和（d ）展示条件[4]一个Watts-Strogatz 小世界无标度网络即，它有一个几乎不变的准确度对于不同的n 和p 值。第四，条件[4]总是有一个确切的临界耦合固定常数，然而其他的提出的条件[32,28,33,22,23]关于节点度或者网络规模n 代数连通的可扩展性差。

电力网中的应用

我么可以想象条件[2]可以应用去迅速评价同步和鲁棒在电力网在不稳定的操作条件下。由于真实世界的电力网是仔细的设计的系统有特别的网络拓扑和系数，我们不推断统计结果从前面的部分到电网。然而，我们讨论10种广泛确定的IEEE 电力网测试案例在[40,41]中提供。

在额定运行工况下，发电量最佳的去满足预估的要求，遵守交流功率流定律和不能超过每一个线路上的发热限制。发热限制约束完全等效相角同步的要求。为了测试同步条件[2]在一个不稳定的智能电网情形我们做额定网络的如下改变1、我们假设波动需要和随机50%负载偏离预测值。2、假设电网里有很多新能源有严重的波动功率输出，例如，风或者太阳能农场，随机全部发电单元的33%偏离额定的预定发电量3、根据智能电网的智能操作的范例[42]，波动能被缓和通过快速调整发电量，比如快速响应蓄能装置包括电池和飞轮，可控负载，比如大规模的服务器农场或者混合动力电车。假设装备10%的快速响应发电机和10%可控负载，功率不平衡是一致的分摊给这些可调节的功率源。对于这10种测试情形中的每一个，构建1000个随机实现情形在上面的1、2、3，我们数字上检查同步解决范甘迪存在性，比较提出的同步条件[2]的数字结果。结果在表格2，详细的描述仿真步骤在补充内容里。可以得到，条件[2]预测正确的相机聚集程度||i j θθ-在全部的传输线{,}i j ε∈有非常高的准确不即使对于大规模网络有2383个节点。

作为最后测试，我们证实同步条件[2]在一个应力电力网络中研究。考虑到IEEE 可靠性

测试系统96在图中解释。假设下面的偶然发生，我们显示剩余的安全裕度。首先，假设发电机323分离，可能由于维护或者故障。第二，考虑羡慕不平衡的电力调度情形：东南地区的功率需要在每一负载偏离额定的预估的要求一个统一的正的量，结果功率不足补偿通过统一的增加发电量在西北地区。这些不平衡可以增加，例如由于预测负载的减少和可再生能源发电。相应的，功率从西北到东南流动通过传输线{121,325}和{223,318}。在正常的工作条件下，RTS96功率网络是充分鲁棒以至于可以忍受每一个单个的偶然事件，但是安全裕度最小当两个偶然的事故在一起发生，同步条件[2]表明传输线的发热限制{121,325}达到额外负载的22.20%。确实，动态仿真情形确定了这个预测的准确性。能观察到，同步失去而且负载的22.33%，并且地区通过传输线分开{121，325}。这个分离引发一系列问题，比如传输线上的损耗{223,318}，电网在途中断电。如果发电机323不分离并且没有发热限制，通过增加负载，我们发现经典同步损失通过鞍结分岔。并且这个分叉点可以通过我们的结果准确的预测。

综上所述，本节中的结果确认的有效性，适用性，同步条件[2]在复杂的电力网络的情况下的准确性。

讨论与结论

在这篇文章中我们研究了科学文献中提出的很多类的耦合振子模型同步现象。提出一个很简单的条件它准确的预知同步作为一个基本网络的系数和拓扑结构的函数。我们的结果，用物理的和图论解释，很大的改进了现存的在文献中同步的测试方法。我们的同步条件的正确性确定通过分析不同有趣网络拓扑和通过Monte Carlo仿真在很大范围的通用网络上。我们验证了我们的理论结果复杂的Kuramoto振荡器网络以及智能电网应用。

我们的研究结果同样回答尽可能多他们构成的问题。其中重要的理论要解决的问题是一

个表征集所有网络的拓扑结构和参数，我们提出的同步条件

?

,

||||1

Lε

ω∞<

不是充分严厉。

我们推测这个集合在一个适当的系数空间是薄的。我们的结果得出对于任意网络的同步的确

切条件的形式是

?

,

||||

L c

ε

ω∞<

，我们的推断常数c是严格正的，有上界，并且接近于1。

然而，在本文中没有解决的另一个重要问题的同步解决方案，是关于区域对于同步的吸引。我们推测，后者取决于所提出的同步条件的差别中。在应用程序方面，我们设想，我们的同步条件使出现的智能电网应用，如功率流稳定约束优化问题，故障度量的距离，和控制策略的设计，以避免连锁故障。