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课件《完全平方公式》实用PPT课件_人教版1
(1) (a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2=a2-2ab+b2
解： (y- )2=
（a+b)2=
.
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)=
4x2 y2 4xy 1
.
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a-b)2=a2-2ab+b2
(2) (y- )2.
(a+b)2=a2+2ab+b2
比较 ：(a+b)2 与 a2+b2
运用完全平方公式计算：
(1)(4m2－3n)2 ；
(2) (a-b)2与(b-a)2相等吗?
例1 运用完全平方公式计算：
（a+b)2=
.
1、第一天有a个男孩一起去老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
(1)(4m+n)2；
例3 运用完全平方公式计算：
a
(1)(4m2－3n)2 ；
例1 运用完全平方公式计算：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
例2、运用完全平方公式计算：
(4)(-2m-1)2
(a-b)2=a2-2ab+b2
例1 运用完全平方公式计算：
(4)(-2m-1)2
解： (y- )2=
(a +b)2 = a2 + 2 a b + b2
(2)(－2xy－1) ； (4)(-2m-1)2
2
(1)(4m2－3n)2 ；
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应
解：原式＝(2xy) 2 • 2xy •1 (1) 解：(y- )2=
完全平方公式(课件)八年级数学上册(人教版)
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍. (简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.2完全平方公式
复习引入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5)
=x2 ＋5x ＋3x ＋15
=x2 ＋8x ＋15.
一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种
植不同的新品种.
p2+2p+1
P2-2p+1
m2-4m+4
(3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4)
(m-2)2=_________.
计算：(a+b)2，(a-b)2.
(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
=1002-2×100×1+12
=10000+400+4
=10000-200+1
=10404
=9801
利用完全平方公式简便计算：
课件《完全平方公式》优质PPT课件_人教版2
（1）（p+1）=_p__+_1_+__2_p_；（m+ 例1 运用完全平方公式计算:
(2)(a+b+c) 2. 例2 运用完全平方公式计算:
22
2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
灵活应用完全平方公式进行计算.
(a+b)2= a2 +2ab+b2
灵活应用完全平方公式进行计算.
（2）（p-1）=__p__+_1_-_2_p_；（m-2）=_4_m___+_4_-_4_m__. (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
计算：(1)(x+2y)2. 另外两个长方形的长都是a，宽都是b，所以每个长方形的面积都是ab；
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
= [(a+b)+c]2
例1 运用完全平方公式计算:
其中两项为两数的平方和；
(2)(－3m－4n)2；
例1 运用完全平方公式计算:
例2 运用完全平方公式计算:
化简（x+1)2+2(1-x)-x2.
= 10 000 +400 +4 = 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2×100 × 1+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.
针对训练 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
探究 计算下列多项式的积. （1）（p+1）2 =_p_2_+_1_+__2_p_；（m+2）2 =_4_m__2+__4_+_4_m__；
人教版初二数学上册优质课《完全平方公式PPT精品优秀课件》
自己做
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
(2) (3) .
做题时要边念边写： 第一数 的平方,
减去 第一数与第二数乘积 的2倍,
加上 第二数 的平方.
随堂练习
1.下面各式的计算错在哪里？应怎样改正？ (1). (a+b)2=a2+b2 (2). (a-b)2=a2-b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
歌声像气势飞鸿的激水，不断从声源 扩大到 可远可 近的周 遭。被 沉睡中 人们的 闹钟似 得扰闹 着；刺 饶着早 起人们 的进行 曲一样 ；持续 着喜宴 人们的 激奋曲 。不同 生活宿 命的人 们，被 秋意带 动着不 同的变 迁。如 同悠扬 持续的 歌声， 唤示着 一种缔 结与生 命奥义 相关的 一种联 系或者 价值。 我也曾数十次地感受着秋意带来生活 特别的 感触， 以及带 来了生 活不同 的意义 。在过 去二十 二载的 秋季之 时，不 曾以笔 绘秋， 以文摹 凉。秋 季带给 除了童 年时候 与伙伴 一起嬉 戏的情 景，不 曾认真 的感受 秋真正 的面貌 和内涵 。 我就在电脑前，听着一曲《简单爱》 。凝思 举笔， 灵慧泼 墨。于 秋的感 触中， 牵引的 情绪， 以及秋 的哲学 意义是 怎么样 ？我不 知道怎 样继续 ，才能 构成秋 的一曲 歌谣， 一首诗 颂，一 纸佳b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
14.2.2第1课时完全平方公式 课件 2024-—2025学年人教版数学八年级上册
课堂训练
4.（2021•台湾）利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ C ）
A．2482+248×52+522=3002 B．2482-248×48-482=2002 C．2482+2×248×52+522=3002 D．2482-2×248×48-482=2002
课堂训练
5.（2021•衡水模拟）若（2x+4y）2=4x2-2（m-1）xy+16y2，则m的值 为 -7 ． 【解析】（2x+4y）2=4x2+16xy+16y2，∴-2（m-1）=16，解得m=-7.故
2
解：原式=x2-6x+9+x2-9+4x-2x2
=-2x.
当x=
1 2
时，原式=-2×（
1 2
）=1．
课堂训练
8.利用乘法公式计算：982-101×99.
解：原式=(100-2)2-(100+1)(100-1) =1002-400+4-1002+1 =-395.
课堂训练
9.(1)已知x+y=8，xy=12，求x2-xy+y2的值． 解：∵x+y=8，xy=12，x2-xy+y2=（x+y）2-3xy ∴x2-xy+y2=82-3×12=64-36=28．
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式及其结构特征.（重点） 2.理解完全平方公式的探索及推导过程，灵活应用完全平方公 式进行计算和解决实际问题.（难点）
课件《完全平方公式》精品ppt课件_人教版2
随堂演练
1.(1)若(x-5)2=x2+kx+25，则k= -10 ； (2)若4x2+mx+9是完全平方式，则m= ±12.
解析：（1）∵(x-5)2=x2-10x+25=x2+kx+25， ∴k=-10. （2）∵4x2+mx+9是完全平方式， ∴4x2+mx+9=(2x±3)2，∴m=±12.
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 =x2-(4y2-12y+9)
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项
= x2-4y2+12y-9.
(2)计算(a+b+c)2时可将 = x2-4y2+12y-9.
当作的完全符平方号式中与的a原，把来的当作符完全号平方相式中反的b．.
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） ［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］
=(x2+y2)2
∵5+5+2与5+（5+2）的值相等；
1、我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
2) a+b-c=a+(____) （2）∵4x2+mx+9是完全平方式，
为［x+(2y-3)］［x-(2y-3)］ ； (2)计算(a+b+c) 时 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
在下列括号内填上适当的项，使等式成立。
课件《完全平方公式》完美版_人教版1
小结:当所给的二项式 中两项符号相同时,一 般选用“和”的完全 平方公式;
当所给的二项式 中两项的符号相反时, 一般选用“差”的完 全平方差公式.
（a+b)2 与（-a-b)2相等吗？ 相等 （a-b)2与（b-a)2相等吗？ 相等 （a-b)2 与 a2-b2相等吗？ 不相等
解题时常用结论：
(-a-b)2 =(a+b)2
动脑筋
的证明
完全平方公式
想一想 (a+b)2=a2+2ab+b2 ;
(a−b)2= a2 −2ab+b2.
(1) 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
(2) 小颖写出了如下的算式: (a−b)2= [a+(−b)]2
她是怎么想的? 你能继续做下去吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b)=a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+b2;
利用两数和的
(a−b)2= [a+(−b)]2
完全平方公式 推证公式
= a 2 + 2 a (−b) +(−b) 2 = a2 − 2ab + b2.
(a+b)2= a2 +2ab+b2 公式特点： (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符
()
1.(a-b)(a+b)(a +b ) (-a-b)2 =(a+b)2
(a-b)2=
(a-b)2 =(b-a)2 .
22
=16m2+8mn+n2
《完全平方公式》人教版数学八年级上册PPT课件
多项式乘以多项式相乘知识点回顾
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
项,再把所得的积相加。
(a+b)•(m+n)= am
an+
bm
+bn
探索完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律：
1） (x + 1)2 =(x+1)(x+1)= 2+ ++1 = 2 +2x+1
2） (m + 2)2 =(m+2)(m+2)=2+2+2+4= 2 +4m+4
3） (2x + 2)2 =(2x+2)(2x+2)=4 2+2+2+1= 4 2 +4x+1
4） (a + b)2 =(a+b)(a+b)= 2 + ab + ab+= 22 +2ab+ 2
∴a−b=−1，a−c=−2，b−c=−1，
∴2 + 2 + 2 − − − ,
1
= 2 (22 + 22 + 2 2 − 2 − 2 − 2),
1
= 2 (2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 )
1
各项都变号.
遇“加”不变，遇“减”都变
探索添括号法则
请同学们完成下列运算并探索添括号法则．
（1）4+5+3
（2）4-5-3
（3）a+b+c
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诊断
小华解的有误吗？
( 3y1)2 9y2 6y1
错误
首项和中间项的符号错了
应改为: (3y−1)2＝(3y)2−2•(3y )•1+12=9y2+6y+1
注意：首项，未项的符号都是正的，中间项的 符号与前面运算符号一致
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完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
即：两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍。
公式的结构特征：
1、左边是一个二项式的完全平方的形式， 2、公式右边是一个三项式，
结构是:“首平方，尾平方，首尾积的二倍放中央”
3、公式右边的符号特征：平方项的符号都是正的， 中间一项的符号与左边运算符号一致。
例1: 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+5)2 解: (4m+5)2 = (4m)2 +2•(4m) •5 +52
(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 =16m2 +40m +25
(2) (x − 2y)2 解：(x − 2y)2 =x2 − 2•x •(2y) +(2y)2
(-a+b)2 __=_(b-a)2 ___(a-b)2
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=
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例2: 计算：(1) 10022 ; (2) 9992 .
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ±2ab+b2
把10022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
(a − b)2= a2 − 2 ab + b2
=x2 − 4xy +4y2
(3) (− 3m+9)2 解: (− 3m+9)2 = (− 3m)2 +2•(− 3m) •9 +92
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 =9m2 − 54m +81
(4) (-3y-7)2 解：(-3y-7)2 =(-3y)2 -2•(-3y) •7 +72
(a±b)2 =a2±2ab+b2
“想一想”：
有一个财主家有一块边长为(a+b)的 正方形土地，阿凡提有三块土地，一块 是边长为 a 的正方形土地，一块是边长 为b的正方形土地，一块是长为a、宽为 b 的长方形土地，阿凡提提出愿意用三 块土地换财主的一块土地，财主一听， 大喜过望。”请问：财主真的占了便宜 吗？
b²
(a+b)²
=a2+2ab+b2 a a² ab
你能用多项式的乘法法则来 进行证明吗？
ab
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a−b)2=?
证明方法一：
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
财b 主 土 地a
a
b
阿
凡 提
a2
土
b2
地
ab
b
a
财主 多ab
a
b
财主土地
a2
ab
b2
阿凡提土地
通过比较得知:
财主土地面积:S财 = S阿 + ab= a2+ab+b2+ab = a2+2ab+b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
(a+b)2= a2+ab+ab+b2
b
ab
活动三：
① (2m+3n)2= 4m2 +12mn +9n2 ② (-2m-3n)2= (-2m)2 -2•(-2m)•(3n) +(3n)2
= 4m2+12mn+9n2 ③ (2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2 ④ (-2m+3n)2= (-2m)2+2•(-2m)•(3n)+(3n)2
=4m2-12mn+9n2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =9y2+42y +49
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随堂练习(1)
1.运用完全平方公式计算： (1) (x − 3)2 =x2 − 2•x•3+9
=x2 − 6x+9
(2) (− 2a+1)2=(− 2a)2+2•(− 2a)•1+1 =4a2 − 4a+1
证明方法二：
(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
图形法验证
两数差的完全平方公式：
b ab b² a
a² ab
a
b
a
b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 a 2 a b b(a b)
a 2 2ab b 2
错误
第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2;
应改为: (-2a +３)2＝ (-2a)2+2•(-2a)•３+９ =4a2-12a+1
注意：首项，未项平方要添括号
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诊断
小亮解的有误吗？
（2）(2m5)24m225
错误
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2m+5)2＝ (2m)2+2•(2m)•5 +25 =4m2+20m+25
注意：完全平方公式右边有三项，别忘了间 项，“首尾乘积的２倍”
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观察 & 思考
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议一议
你能用语言来描述我们发现的规律吗？ 当所给的二项式的符号相同时，就用 两数和的完全平方公式 (-a-b)2 _=__(a+b)2 当所给的二项式的符号相反时，就用
两数差的完全平方公式
(3) (2m+3)2 = 4m2 +12m+9
(4) (− 3y − 1)2 =(− 3y)2−2 •(− 3y)•1+1 =9y2+6y+1
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小明解的有误吗？
（１）( 2 a3)2 2 a 2 1a2 9
a、b怎样确定？
(1) 10022 = (1000+2)2 =1000000+4000+4 =1004004
小华解的有误吗？
( 3y1)2 9y2 6y1
错误
首项和中间项的符号错了
应改为: (3y−1)2＝(3y)2−2•(3y )•1+12=9y2+6y+1
注意：首项，未项的符号都是正的，中间项的 符号与前面运算符号一致
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完全平方公式:
(a+b)2= a2 + 2ab + b2 (a-b)2= a2 - 2ab + b 2
即：两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍。
两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍。
公式的结构特征：
1、左边是一个二项式的完全平方的形式， 2、公式右边是一个三项式，
结构是:“首平方，尾平方，首尾积的二倍放中央”
3、公式右边的符号特征：平方项的符号都是正的， 中间一项的符号与左边运算符号一致。
例1: 运用完全平方公式计算：
(1) (4m+5)2 解: (4m+5)2 = (4m)2 +2•(4m) •5 +52
(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 =16m2 +40m +25
(2) (x − 2y)2 解：(x − 2y)2 =x2 − 2•x •(2y) +(2y)2
(-a+b)2 __=_(b-a)2 ___(a-b)2
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=
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例2: 计算：(1) 10022 ; (2) 9992 .
观察 & 思考
完全平方公式(a ±b)2=a2 ±2ab+b2
把10022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ?
(a − b)2= a2 − 2 ab + b2
=x2 − 4xy +4y2
(3) (− 3m+9)2 解: (− 3m+9)2 = (− 3m)2 +2•(− 3m) •9 +92
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 =9m2 − 54m +81
(4) (-3y-7)2 解：(-3y-7)2 =(-3y)2 -2•(-3y) •7 +72
(a±b)2 =a2±2ab+b2
“想一想”：
有一个财主家有一块边长为(a+b)的 正方形土地，阿凡提有三块土地，一块 是边长为 a 的正方形土地，一块是边长 为b的正方形土地，一块是长为a、宽为 b 的长方形土地，阿凡提提出愿意用三 块土地换财主的一块土地，财主一听， 大喜过望。”请问：财主真的占了便宜 吗？
b²
(a+b)²
=a2+2ab+b2 a a² ab
你能用多项式的乘法法则来 进行证明吗？
ab
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
(a−b)2=?
证明方法一：
(a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
财b 主 土 地a
a
b
阿
凡 提
a2
土
b2
地
ab
b
a
财主 多ab
a
b
财主土地
a2
ab
b2
阿凡提土地
通过比较得知:
财主土地面积:S财 = S阿 + ab= a2+ab+b2+ab = a2+2ab+b2
(a+b)2 = a2+2ab+b2
两数和的完全平方公式
(a+b)2= a2+ab+ab+b2
b
ab
活动三：
① (2m+3n)2= 4m2 +12mn +9n2 ② (-2m-3n)2= (-2m)2 -2•(-2m)•(3n) +(3n)2
= 4m2+12mn+9n2 ③ (2m-3n)2= 4m2-12mn+9n2 ④ (-2m+3n)2= (-2m)2+2•(-2m)•(3n)+(3n)2
=4m2-12mn+9n2
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2 =9y2+42y +49
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随堂练习(1)
1.运用完全平方公式计算： (1) (x − 3)2 =x2 − 2•x•3+9
=x2 − 6x+9
(2) (− 2a+1)2=(− 2a)2+2•(− 2a)•1+1 =4a2 − 4a+1
证明方法二：
(a-b)2 = [(a+(-b)]2 = a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2
图形法验证
两数差的完全平方公式：
b ab b² a
a² ab
a
b
a
b
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
(a b)2 a 2 a b b(a b)
a 2 2ab b 2
错误
第一数被平方时, 未添括号; 第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2;
应改为: (-2a +３)2＝ (-2a)2+2•(-2a)•３+９ =4a2-12a+1
注意：首项，未项平方要添括号
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诊断
小亮解的有误吗？
（2）(2m5)24m225
错误
少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2m+5)2＝ (2m)2+2•(2m)•5 +25 =4m2+20m+25
注意：完全平方公式右边有三项，别忘了间 项，“首尾乘积的２倍”
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观察 & 思考
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议一议
你能用语言来描述我们发现的规律吗？ 当所给的二项式的符号相同时，就用 两数和的完全平方公式 (-a-b)2 _=__(a+b)2 当所给的二项式的符号相反时，就用
两数差的完全平方公式
(3) (2m+3)2 = 4m2 +12m+9
(4) (− 3y − 1)2 =(− 3y)2−2 •(− 3y)•1+1 =9y2+6y+1
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小明解的有误吗？
（１）( 2 a3)2 2 a 2 1a2 9
a、b怎样确定？
(1) 10022 = (1000+2)2 =1000000+4000+4 =1004004