不等式(十年全国高考数学真题分类汇编 (文科) )
各省历年高考文科数学试题及答案汇编六不等式与线性规划
各省历年高考文科数学试题及答案汇编六不等式和线规划安徽省（试题）1、11．（5分）（2008安徽）若A 为不等式组表示的平面区域，则当a 从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A ．B ．1C ．D ．22、3．（5分）（2009安徽）不等式组，所表示的平面区域的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．3、8．（5分）（2010安徽）设x,y 满足约束条件则目标函数z=x+y 的最大值是A3 B 4 C 6 ）84、6．（5分）（2011安徽）设变量x ，y 满足，则x+2y 的最大值和最小值分别为（ ）A ．1，﹣1B ．2，﹣2C ．1，﹣2D ．2，﹣15、8．（5分）（2012安徽）若x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣y 的最小值是（ ） A ． ﹣3 B ． 0 C ．D ． 3 6、12．（5分）（2013安徽）若非负数变量x 、y 满足约束条件，则x+y 的最大值为 ． 7、13．（5分）（2014安徽）不等式组表示的平面区域的面积为 ． 8、5．（5分）（2015安徽）已知x ，y 满足约束条件，则z=﹣2x+y 的最大值是（ ）260,260,0,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩A ． ﹣1B ． ﹣2C ． ﹣5D ． 1北京市（试题） 1、6．（5分）（2008北京）若实数x ，y 满足则z=3x+2y 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．D ．92、8．（5分）（2009北京）设D 是正△P 1P 2P 3及其内部的点构成的集合，点P 0是△P 1P 2P 3的中心，若集合S={P|P ∈D ，|PP 0|≤|PP i |，i=1，2，3}，则集合S 表示的平面区域是（ ）A ．三角形区域B ．四边形区域C ．五边形区域D ．六边形区域3、11．（5分）（2009北京）（文）若实数x ，y 满足则s=x+y的最大值为． 4、12．（5分）（2013北京）设D 为不等式组表示的平面区域，区域D 上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为 ．5、（13）若x 、y 满足11010y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则z y =+的最小值为 .6、13．（5分）（2015北京）如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P （x ，y ）为D 中任意一点，则z=2x+3y 的最大值为 ．7、7．（5分）（2016北京）已知A （2，5），B （4，1）．若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x ﹣y 的最大值为（ ）A．﹣1 B．3 C．7 D．88、4．（5分）（2017北京）若,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为A 1B 3C 5D 9福建省（试题）1、10．（5分）（2008福建）若实数x、y满足则的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）C．（2，+∞）D．[，+∞）2、9．（5分）（2009福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5 B．1 C．2 D．33、10．（5分）（2012福建）若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1C．D．24、5．（5分）（2010福建）设x，y∈R且，则z=x+2y的最小值等于（）A．2 B．3 C．5 D．95、6．（5分）（2013福建）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（）A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和06、11．（5分）（2014福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5B．29 C．37 D．497、10．（5分）（2015福建）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2广东省（试题）1、12．（5分）（2008广东）若变量x，y满足，则z=3x+2y的最大值是．2、19．（12分）（2010广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？3、6．（5分）（2011广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．44、5．（5分）（2012广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．3B．1C．﹣5 D．﹣65、13．（5分）（2013广东）已知变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．6、4．（5分）（2014广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）A．7B．8C．10 D．117、4．（5分）（2015广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10海南省（试题）1、10．（5分）（2008海南）点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）A．[0，5] B．[0，10] C．[5，10] D．[5，15]2、6．（5分）（2009宁夏）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值3、11．（5分）（2010新课标）已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z=2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）湖北省(试题）1、8．（5分）（2009湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元2、12．（5分）（2010湖北）已知z=2x﹣y，式中变量x，y满足约束条件，则z 的最大值为．3、8．（5分）（2011湖北）直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个4、14．（5分）（2012湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值是．5、9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（）A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元6、4．（5分）（2014湖北）若变量x，y满足约束条件，则2x+y的最大值是（）A．2B．4C．7D．87、12．（3分）（2015湖北）设变量x，y满足约束条件，则3x+y的最大值为．湖南省（试题）1、3．（5分）（2008湖南）已条变量x，y满足，则x+y的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．12、14．（5分）（2011湖南）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为．3、13．（5分）（2014湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．4、4．（5分）（2015湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2辽宁省（试题）1、9．（5分）（2008辽宁）已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．4 B．2 C．1 D．﹣42、15．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是．（答案用区间表示）3、9．（5分）（2012辽宁）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20 B．35 C．45 D．554、14．（5分）（2014辽宁）已知x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最大值为．山东省（试题）（2008山东）设x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为．（4分）1、16．2、16．（4分）（2009山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元．3、7．（5分）（2011山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）A．11 B．10 C．9 D．8.54、6．（5分）（2012山东）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y 的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．5、14．（4分）（2013山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线|OM|的最小值为．6、10．（5分）（2014山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．27、12．（5分）（2015山东）若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为．8、4．（5分）（2016山东）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．10 D．129、3．（5分）（2017山东）已知x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．310、陕西省（试题）1、14．（4分）（2009陕西）设x，y满足约束条件，则x+2y的最小值是，最大值是．2、14．（5分）（2010陕西）设x，y满足约束条件件，则目标函数z=x﹣y的最小值为．3、12．（5分）（2011陕西）如图，点（x，y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x ﹣y的最小值为．4、7. （5分）（2013陕西）若点()x,y 位于曲线y x =与2y =所围成的封闭区域,则2x y -的最小值为 ( ).A. －6B. －2C. 0D. 2 5、11．（5分）（2015陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A 、B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）甲 乙 原料限额A （吨） 3 2 12B （吨） 1 2 8A ． 12万元B ． 16万元C ． 17万元D ． 18万元上海市（试题）1、11．（4分）（2008上海）在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．如果P （x ，y ）是△ABC 围成的区域（含边界）上的点，那么当ω=xy 取到最大值时，点P 的坐标是 ．2、7．（4分）（2009上海）已知实数x 、y 满足则目标函数z=x ﹣2y 的最小值是 ．3、15．（5分）（2010上海）满足线性约束条件，的目标函数z=x+y 的最大值是（ ）A ．1B ．C ．2D ．34、9．（4分）（2011上海）若变量x ，y 满足条件，则z=x+y 得最大值为 ．5、10．（4分）（2012上海）满足约束条件|x|+2|y|≤2的目标函数z=y ﹣x 的最小值是 ．6、9. （4分）（2015上海）若x、y满足0,2,0,x yx yy-⎧⎪+⎨⎪⎩则目标函数2z x y=+的最大值为____.7、7．（4分）（2016上海）若x，y满足，则x﹣2y 的最大值为．四川省（试题）1、10．（5分）（2009四川）某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元2、8．（5分）（2010四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B 产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱3、10．（5分）（2011四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只能送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡需配1名工人；每送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元4、8．（5分）（2012四川）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+4y的最大值是（）A．12 B．26 C．28 D．335、8．（5分）（2013四川）若变量x，y满足约束条件且z=5y﹣x的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值是（）A．48 B．30 C．24 D．166、9．（5分）（2015四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16天津市（试题）1、2．（5分）（2008天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．52、2．（5分）（2009天津）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．233、2．（5分）（2010天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．24、2．（5分）（2011天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）A．﹣4 B．0 C．D．45、2．（5分）（2012天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣2y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．36、2．（5分）（2013天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A．﹣7 B．﹣4 C．1D．27、2．（5分）（2014天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．58、2．（5分）（2015天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14浙江省（试题）1、10．（5分）（2008浙江）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积是（）A．B．C．1 D．2、13．（4分）（2009浙江）若实数x，y满足不等式组，则2x+3y的最小值是．3、7．（5分）（2010浙江）若实数x，y满足不等式组合，则x+y的最大值为（）A．9 B．C．1 D．4、3．（5分）（2011浙江）若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）A．13 B．15 C．20 D．285、14．（4分）（2012浙江）设z=x+2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是．6、15．（4分）（2013浙江）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k= ．7、12．（4分）（2014浙江）若实数x，y满足，则x+y的取值范围是．8、14．（4分）（2015浙江）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．9、4．（4分）（2016浙江）若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A．B．C．D．重庆市（试题）1、7．（5分）（2010重庆）设变量x，y满足约束条件则z=3x﹣2y的最大值为（）A．0 B．2 C．4 D．32、10．（5分）（2015重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3安徽省（答案）1、解：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C．2、解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为（1，1）．又B、C两点的坐标为（0，4），（0，）．故S△ABC=（4﹣）×1=．故选C．=+ 3、解：不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y 在(6,0)取最大值6，故选C4、解：满足的平面区域如下图所示：由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2故选B5、解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．6、解：画出可行域如图阴影部分，其中，可得A（4，0）目标函数z=x+y可以变形为y=﹣x+z，可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大=4+0=4故答案为：47、解：由不等式组作平面区域如图，由图可知A（2，0），C（0，2），联立，解得：B（8，﹣2）．∴|BC|=．点A到直线x+2y﹣4=0的距离为d=．∴．故答案为：4．8、解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．北京市（答案）1、解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B2、解：如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，若|PP0|=|PP i|当i=1时，P点落在P1P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为ED；当i=2时，P点落在P2P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为AF；当i=3时，P点落在P3P0的垂直平分线上，又由P∈D，故P点的轨迹为BC；故满足条件集合S={P|P∈D，|PP0|≤|PP i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是六边形ABCDEF，故选D3、解：满足约束条件的可行域，如图中阴影所示，由图易得：当x=4，y=5时，s=x+y=4+5=9为最大值．故答案为：9．4、解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点A（1，0）到直线2x﹣y=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值等于．故答案为：．5、解：画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线y x z +=3可得，当直线经过两条直线1=y 与01=-+y x 的交点(0,1)时，z 取得最小值1.6、解：由z=2x+3y ，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A 时，直线y=的截距最大，此时z 最大． 即A （2，1）．此时z 的最大值为z=2×2+3×1=7， 故答案为：7．7、解：如图A （2，5），B （4，1）．若点P （x ，y ）在线段AB 上， 令z=2x ﹣y ，则平行y=2x ﹣z 当直线经过B 时截距最小，Z 取得最大值， 可得2x ﹣y 的最大值为：2×4﹣1=7． 故选：C ．8、解：如图，画出可行域，2z x y=+表示斜率为12-的一组平行线，当过点()3,3C时，目标函数取得最大值max 3239z=+⨯=，故选D.福建省（答案）1、解：不等式组，当取得点（2，3）时，取得最小值为，所以答案为[，+∞），故选D．2、解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．3、解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选B．4、解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线Z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，故选B．5、解：满足约束条件的可行域如下图所示在坐标系中画出可行域平移直线2x+y=0，经过点N（1，0）时，2x+y最小，最小值为：2，则目标函数z=2x+y的最小值为2．经过点M（2，0）时，2x+y最大，最大值为：4，则目标函数z=2x+y的最大值为：4．故选B．6、解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：C7、解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．广东省（答案）1、解：画出可行域，如图所示解得B（10，20）则直线z=3x+2y过点B时z最大，所以z max=3×10+2×20=70．故答案为70．2、解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．3、解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B4、解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（﹣1，﹣2），代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×（﹣2）=﹣5．即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．故选：C．5、解：画出可行域如图阴影部分，由得A（1，4）目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线，其纵截距越大z越大，由图数形结合可得当动直线过点A（1，4）时，z最大=1+4=5．故答案为：5．6、解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C7、解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．海南省答案）1、解析：因x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P（x，y）在所确定的区域内，且原点也在这个区域内．又点P（x，y）在直线4x+3y=0上，，解得A（﹣6，8）．，解得B（3，﹣4）．P到坐标原点的距离的最小值为0，又|AO|=10，|BO|=5，故最大值为10．∴其取值范围是[0，10]．故选B．2、解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B3、解：由已知条件得⇒D（0，﹣4），由z=2x﹣5y得y=，平移直线当直线经过点B（3，4）时，﹣最大，即z取最小为﹣14；当直线经过点D（0，﹣4）时，﹣最小，即z取最大为20，又由于点（x，y）在四边形的内部，故z∈（﹣14，20）．如图：故选B．湖北省（答案）1、解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．2、解：依题意，画出可行域（如图示），则对于目标函数y=2x﹣z，当直线经过A（2，﹣1）时，z取到最大值，Z max=5．故答案为：5．3、解：画出不等式组表示的平面区域如下作出直线2x+y﹣10=0，由图得到2x+y﹣10=0与可行域只有一个公共点（5，0）故选B4、解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：2x+3y=0，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小由可得B（1，0），此时Z=2故答案为：25、解;先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z =1600x +2400y ，则约束条件为3660900,21,7,,,x y x y y x x y +⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪∈⎩N 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点（5,12）时，有最小值()min 36800.z =元 故选C6、解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：∵目标函数Z=2x+y ， ∴Z O =0，Z A =4，Z B =7，Z C =4， 故2x+y 的最大值是7， 故选：C7、解：作出不等式对应的平面区域如图， 由z=3x+y ，得y=﹣3x+z ，平移直线y=﹣3x+z ，由图象可知当直线y=﹣3x+z ，经过点C 时，直线y=﹣3x+z 的截距最大，此时z最大．由得．即C（3，1），此时z的最大值为z=3×3+1=10，故答案为：10．湖南省（答案）1、解析：如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为（1，1），（1，2），（2，2），代入验证知在点（1，1）时，x+y最小值是1+1=2．故选C．2、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：目标函数z=x+5y可看做斜率为﹣的动直线，其纵截距越大z越大，由可得A点（，）当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3．故答案为：3．3、解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=2×3+1=7，故答案为：7．4、解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．辽宁省（答案）1、解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．2、解：画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=2x﹣3y，当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，目标函数有最小值z=2×3﹣3×1=3；当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8．z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．故答案为：（3，8）．3、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z=2x+3y可得y=，则为直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y=0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x=5，y=15，此时z=55故选D4、解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，∴C（2，3）．化目标函数z=3x+4y为直线方程的斜截式，得：．由图可知，当直线过点C时，直线在y轴上的截距最大，即z最大．∴z max=3×2+4×3=18．故答案为：18．山东省（答案）1、解：先根据约束条件画出可行域，易知可行域为一个四角形，其四个顶点分别为（0，0），（0，2），（2，0），（3，5），设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过直线x﹣y+2=0与直线5x﹣y﹣10=0的交点A（3，5）时，z最大，故填：11．2、解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，则目标函数为z=200x+300y．作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．3、解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y 轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B4、解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A5、解：如图可行域为阴影部分，由其几何意义为点O（0，0）到直线x+y﹣2=0距离，即为所求，由点到直线的距离公式得：d==，则|OM|的最小值等于．故答案为：．6、解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．7、解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，由可得A（1，2），z=x+3y，将直线进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=1+2×3=7．故答案为：78、解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．9、解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x+2y经过可行域的A 时，目标函数取得最大值，由：解得A（﹣1，2），目标函数的最大值为：﹣1+2×2=3．故选：D．陕西省（答案）1、解：设z=x+2y，z为该直线纵截距2倍，可行域如图三角形ABC，令Z=0得直线l：x+2y=0，平移l过点C（1，0）时z有最小值1，过点A（3，4）点时有最大值11，故答案为最小值1，最大值11．2、解：根据题意，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x﹣y过点A（﹣2，0）时，在y轴上截距最小，此时z取得最小值﹣1．故填﹣1．3、解：结合已知的四边形ABCD的图形，我们将四边形的各个顶点坐标依次代入可得：当x=1，y=1时，2x﹣y=1当x=，y=时，2x﹣y=当x=，y=1时，2x﹣y=2﹣1＞1当x=1，y=0时，2x﹣y=2＞1故2x﹣y的最小值为 1故答案为：14、答案:A解:曲线2y x ,y ==所围成的封闭区域如图阴影部分所示， 当直线l :2y x =向左平移时，()2x y -的值在逐渐变小， 当l 通过点A (-2,2)时，min (2) 6.x y -=-5、解：设每天生产甲乙两种产品分别为x ，y 顿，利润为z 元，则，目标函数为 z=3x+4y ．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域． 由z=3x+4y 得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B 时，直线y=﹣x+的截距最大， 此时z 最大， 解方程组，解得，即B 的坐标为x=2，y=3， ∴z max =3x+4y=6+12=18．即每天生产甲乙两种产品分别为2，3顿，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元， 故选：D ．上海市（答案）1、解：∵点A，B，C的坐标分别为（0，1），（4，2），（2，6）．∴△ABC围成的区域（含边界）如下图示：由图可知：当ω=xy取到最大值时，点P在线段BC上，由线段BC上的点满足：y=﹣2x+10，x∈[2，4]，∴ω=xy=x（﹣2x+10），故当时，ω取到最大值．故答案为：2、解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由z=x﹣2y，得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点A，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，由得点A（3，6），当x=3，y=6时，z=x﹣2y取最小值，为﹣9．故答案为：﹣93、解：先根据约束条件画出可行域，当直线z=x+y过点B（1，1）时，z最大值为2．故选C．4、解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图分析，当x=，y=时，z=x+y取最大值，故答案为．5、解：作出约束条件对应的平面区域，如图所示由于z=y ﹣x 可得y=x+z ，则z 为直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越小 结合图形可知，当直线y=x+z 过C 时z 最小，由可得C （2，0），此时Z=﹣2最小故答案为：﹣26、答案：3解：由题意约束条件所形成的线性区域的三个交点为(0,0)，(2,0)，(1,1)；且目标函数可转化为22x zy =-+，可见在点(1,1)时函数的截距最大，此时z 取得最大值即23z x y =+=.7、解：画出可行域（如图），设z=x ﹣2y ⇒y=x ﹣z ， 由图可知，当直线l 经过点A （0，1）时，z 最大，且最大值为z max =0﹣2×1=﹣2． 故答案为：﹣2．四川省（答案）1、解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），∴z的最大值为z=5×3+3×4=27（万元）．故选D．2、解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z=280x+200y结合图象可得：当x=15，y=55时z最大．故选B．3、解：设派x辆甲卡车，y辆乙卡车，利润为z，由题意得：z=450x+350y由题意得x，y满足下列条件：上述条件作出可行域，如图所示：由图可知，当x=7，y=5时，450x+350y有最大值4900故选C4、解：作出约束条件，所示的平面区域，作直线3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点C时z最大由可得C（4，4），此时z=28故选C。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{|4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【考点】1E ：交集及其运算 【专题】11：计算题【分析】由题意可得{|22}A x x =-剟，{0B =，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求 【解答】解：{|||2}{|22}A x x x x ==-剟?{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A ，B ，属于基础试题2．（5分）平面向量,a b ，已知(4,3)a =，2(3,18)a b +=，则,a b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．865-C ．1665D ．1665-【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角【分析】先设出b 的坐标，根据(4,3)a =，2(3,18)a b +=，求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦 【解答】解：设(,)b x y =， (4,3)a =，2(3,18)a b +=，∴(5,12)b =-2036cos 513θ-+∴=⨯1665=，【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z =，则||(z = )A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】5A ：复数的运算 【专题】11：计算题【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得4iZ =+，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得13213iZ i+===-+1(3)(13)12323224(13)(13)i i i ii i +--=-=-=-++-，故1||2z =， 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】1：常规题型；11：计算题【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点(1,0)在曲线上321y x x =-+，232y x '=-，所以1|1x k y -='=，得切线的斜率为1，所以1k =； 所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为： 01(1)y x -=⨯-，即1y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A BC D 【考点】KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】先求渐近线斜率，再用222c a b =+求离心率． 【解答】解：渐近线的方程是by x a =±，24ba∴=，12b a =，2a b =，c =，c e a ==． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d ，于是可以排除答案A ，D ， 再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R 满足22(2)6R a =，代入球的表面积公式，24S R π=球，即可得到答案． 【解答】解：根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2246S R a ππ==球． 故选：B ．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入5N =，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56【考点】EF ：程序框图 【专题】28：操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：D ．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，则{|(2)0}(x f x ->= ) A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x >【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】11：计算题【分析】由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-， 则|2|(2)(|2|)24x f x f x --=-=-，要使(|2|)0f x ->，只需|2|240x -->，|2|2x -> 解得4x >，或0x <． 应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 10．（5分）若cos 45α=-，α是第三象限的角，则sin()(4πα+= )A ．BC ．D 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；GP ：两角和与差的三角函数 【专题】11：计算题【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin α的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：α是第三象限的角3sin 5α∴==-，所以324s i()445ππααα+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( ) A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-【考点】7C ：简单线性规划 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D 的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒-， 由25z x y =-得255z y x =-，平移直线当直线经过点(3,4)B 时，5z-最大， 即z 取最小为14-；当直线经过点(0,4)D -时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-． 如图：故选B ．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；3B ：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H ：对数的运算性质；4N ：对数函数的图象与性质 【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合【分析】画出函数的图象，根据f （a ）f =（b ）f =（c ），不妨a b c <<，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象如图， 不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<则(10,12)abc c =∈． 故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 222x y += ． 【考点】1J ：圆的标准方程；9J ：直线与圆的位置关系【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r =，所求圆的方程为222x y +=．故答案为：222x y +=【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数()y f x =为区间(0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x 剟，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个），区间(0，1]上的均匀随机数1x ，2x ，⋯，n x 和1y ，2y ，⋯，n y ，由此得到N 个点(x ，)(1y i -，2⋯，)N ．再数出其中满足1()(1y f x i =…，2⋯，)N 的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为1N N． 【考点】CE ：模拟方法估计概率；CF ：几何概型【分析】由题意知本题是求10()f x dx ⎰，而它的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，积分得到结果． 【解答】解：1()f x dx ⎰的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，∴根据几何概型易知110()N f x dx N≈⎰．故答案为：1N N． 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】7L ：简单空间图形的三视图 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项． 【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形； 故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=︒．若AC ，则BD = 2【考点】HR ：余弦定理【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB ，AC ，把已知条件代入整理，根据3BC BD =推断出2C D B D =，进而整理2222AC CD CD =+- 得22424AC BD BD =+-把AC ，代入整理，最后联立方程消去AB 求得BD 的方程求得BD ．【解答】用余弦定理求得2222cos135AB BD AD AD BD =+-︒ 2222cos45AC CD AD AD CD =+-︒即2222AB BD BD =++①2222AC CD CD =+-② 又3BC BD = 所以2CD BD =所以 由（2）得22424AC BD BD =+-（3）因为 A C A B所以 由（3）得222424AB BD BD =+- （4） （4）2-（1） 2410BD BD --=求得2BD =故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和【分析】（1）设出首项和公差，根据35a =，109a =-，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{}n a 的前n 项和，整理成关于n 的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由1(1)n a a n d =+-及35a =，109a =-得 199a d +=-，125a d +=解得2d =-，19a =，数列{}n a 的通项公式为112n a n =- （2）由（1）知21(1)102n n n S na d n n -=+=-． 因为2(5)25n S n =--+． 所以5n =时，n S 取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若AB 60APB ADB ∠=∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY ：平面与平面垂直 【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想【分析】（Ⅰ）要证平面PAC ⊥平面PBD ，只需证明平面PAC 内的直线AC ，垂直平面PBD 内的两条相交直线PH ，BD 即可．（Ⅱ）AB 60APB ADB ∠=∠=︒，计算等腰梯形ABCD 的面积，PH 是棱锥的高，然后求四棱锥P ABCD -的体积． 【解答】解：（1）因为PH 是四棱锥P ABCD -的高．所以AC PH ⊥，又AC BD ⊥，PH ，BD 都在平PHD 内，且PH BD H =．所以AC ⊥平面PBD ．故平面PAC ⊥平面PBD （6分）（2）因为ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，AB =所以HA HB = 因为60APB ADB ∠=∠=︒所以PA PB ==1HD HC ==．可得PH =．等腰梯形ABCD 的面积为122S ACxBD ==+9分）所以四棱锥的体积为1(23V=⨯+．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【考点】BL：独立性检验【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求2K的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=（2）2K的观测值2500(4027030160)9.96720030070430k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为9.967 6.635>，且2( 6.635)0.01P K=…，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E相交于A 、B 两点，且2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列． （Ⅰ）求||AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题【分析】（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++=，再由2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列，能够求出||AB 的值．（2）L 的方程式为y x c =+，其中c ，设1(A x ，1)y ，1(B x ，1)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x cy x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b 的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++= 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =（2）L 的方程式为y x c =+，其中c =设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩．，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．则2121222212,11c b x x x x b b --+==++． 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-即214|3x x =-． 则224212122222284(1)4(12)8()49(1)1(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得b ． 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数2()(1)x f x x e ax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x …时()0f x …，求a 的取值范围． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】()I 求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；()()(1)x II f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，分类讨论，确定()g x 的正负，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：1()2I a =时，21()(1)2x f x x e x =--，()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+ 令()0f x '>，可得1x <-或0x >；令()0f x '<，可得10x -<<；∴函数的单调增区间是(,1)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为(1,0)-；()()(1)x II f x x e ax =--．令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-．若1a …，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 而(0)0g =，从而当0x …时()0g x …，即()0f x …． 若1a >，则当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 而(0)0g =，从而当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <． 综合得a 的取值范围为(-∞，1]． 另解：当0x =时，()0f x =成立；当0x >，可得10xe ax --…，即有1x e a x-…的最小值，由1x y e x =--的导数为1x y e '=-，当0x >时，函数y 递增；0x <时，函数递减， 可得函数y 取得最小值0，即10x e x --…，0x >时，可得11x e x-…， 则1a …．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE BCD ∠=∠． （Ⅱ）2BC BE CD =．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明；NB ：弦切角 【专题】14：证明题【分析】()I 先根据题中条件：“AC BD =”，得BCD ABC ∠=∠．再根据EC 是圆的切线，得到ACE ABC ∠=∠，从而即可得出结论． ()II 欲证2BC BE = x CD ．即证BC CDBE BC=．故只须证明~BDC ECB ∆∆即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为AC BD =， 所以BCD ABC ∠=∠． 又因为EC 与圆相切于点C ， 故ACE ABC ∠=∠所以ACE BCD ∠=∠．（5分）（Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠， 所以~BDC ECB ∆∆， 故BC CDBE BC=． 即2BC BE CD =⨯．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线11cos (sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），2cos (sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），（Ⅰ）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】3J ：轨迹方程；JE ：直线和圆的方程的应用；4Q ：简单曲线的极坐标方程；QJ ：直线的参数方程；QK ：圆的参数方程 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 先消去参数将曲线1C 与2C 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，()II 设(,)P x y ，利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得1C 与2C 的交点为(1，10)(,2．（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=①． 则OA 的方程为cos sin 0x y αα+=②， 联立①②可得2sin x α=，cos sin y αα=-；A 点坐标为2(sin α，cos sin )αα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21212x sin y sin cos αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程2211()416x y -+=．故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数()|24|1f x x =-+． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图象：（Ⅱ）若不等式()f x ax …的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；7E ：其他不等式的解法；5R ：绝对值不等式的解法【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】()I 先讨论x 的范围，将函数()f x 写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；()II 根据函数()y f x =与函数y ax =的图象可知先寻找满足()f x ax …的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…，函数()y f x =的图象如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，极小值在点(2,1) 当且仅当2a <-或12a …时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点．故不等式()f x ax …的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[2-∞-，)+∞．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
十年(2012-2021)高考数学真题分项汇编(全国通用)-专题16 选修4-5不等式选讲(学生版)
专题16 选修4-5不等式选讲【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数()3f x x a x =-++．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集;（2）若()f x a >-，求a 的取值范围．2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ．4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知()11f x x ax =+--. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））设函数()52f x x a x =-+--. （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.9．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )=|x +1|−|2x −3|.（Ⅰ）画出y =f (x )的图象；（Ⅰ）求不等式|f (x )|>1的解集．14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集. （Ⅰ）求M ； （Ⅰ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+.15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）当a=2时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围.16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））选修4-5不等式选讲设a b c d ,,,均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >>；（Ⅰ>是a b c d -<-的充要条件．18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且 （I ）求的最小值； （II ）是否存在，使得？并说明理由.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅰ卷））设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝|2x －1|＋|2x ＋a|，g （x ）＝x ＋3．（1）当a ＝－2时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集；（2）设a ＞－1，且当xⅠ1,22a ⎛⎫-⎪⎝⎭时，f （x ）≤g （x ），求a 的取值范围．21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅰ）2221a b c b c a++≥.22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数()f x =2x a x ++-. (Ⅰ)当3a =-时，求不等式()f x ≥3的解集；(Ⅰ) 若()f x ≤4x -的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.。
十年真题(2010)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)
历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1文科23解答题2018 综合测试题2018年新课标1文科23解答题2017 综合测试题2017年新课标1文科23解答题2016 综合测试题2016年新课标1文科24解答题2015 综合测试题2015年新课标1文科24解答题2014 综合测试题2014年新课标1文科24解答题2013 综合测试题2013年新课标1文科24解答题2012 综合测试题2012年新课标1文科24解答题2011 综合测试题2011年新课标1文科24解答题2010 综合测试题2010年新课标1文科24历年高考真题汇编十年真题（2010）高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文（含解析）1．【2019年新课标1文科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．【2018年新课标1文科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，由f（x）＞1，∴或，解得x，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x，∴a∵2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．【2017年新课标1文科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．【2016年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，即有﹣1＜x或1＜x；当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．【2015年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣a|，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A（，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．6．【2014年新课标1文科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，∴2，∴ab≥2，当且仅当a＝b时取等号．∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．7．【2013年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[，]都成立．故a﹣2，解得a，故a的取值范围为（﹣1，]．8．【2012年新课标1文科24】已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．9．【2011年新课标1文科24】设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1，故a＝210．【2010年新课标1文科24】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x），函数y ＝f （x ）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y ＝f （x ）与函数y ＝ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a ＜﹣2或a 时，函数y ＝f （x ）与函数y ＝ax 的图象有交点．故不等式f （x ）≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题 1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈.（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】 解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩， 解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. （2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-，由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解， 所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）.2．已知()221f x x x =-++．（1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤．【答案】(1) ()1,3- (2)见证明【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解， 综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-；（2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =，∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=，∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥，∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤．3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>.（1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2【解析】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解 当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当12x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x -≥，此时112x -≤<- 综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立所以()min |2||1|3t t ++-= 因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m -+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 332m ∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,24．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >.（1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c a a b c++≥. 【答案】（1）2m =（2）见证明【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x m m x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x m m x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤-2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++= 由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥ 三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c+++++≥++ 222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥ 5．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x a =+++（1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-， 当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤； 当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤. 综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<， 而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-，（当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立）由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<，解得实数a 的取值范围是24a <<.6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.【答案】（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]-【解析】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥. 当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥；当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解； 当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-； 综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*）当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤ 即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+．（1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 【答案】（1）()0,2；（2）11,23⎛⎤-⎥⎝⎦ 【解析】（1）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---< 当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤ 当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤ 当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x <<综上，原不等式的解集为()0,2（2）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+，解得：13a ≤ 又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（II ）(,1)-∞【解析】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++，当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立．∵，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号．∴330a ->，即1a <．所以实数a 的取值范围是(,1)-∞．9．已知函数()123f x x x =-+-．（Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()2,1-. 【解析】解：（I ）当1x ≤时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故1x =．当13x <<时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故13x <<1＜x ＜3，当3x ≥时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得113x ≤，故1133x ≤≤． 综上，不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （II ）由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立．又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩，故()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增， ∴()f x 的最小值为()32f =．∴22m m +<，解得21m -<<．即m 的最值范围是()2,1-．10．已知函数()211f x x x =-++.（Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值.【答案】（Ⅰ）{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）914. 【解析】 （Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩， 所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32, 所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立. 所以222a b c ++的最小值为914. 11．已知函数()12f x x a x =+++.（Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值.【答案】（Ⅰ）[3,0]-；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤综上可得解集[3,0]-. （Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值；当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-=当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-=综上：当1a <-时，()f x 无最小值；当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ；当1a >时， min ()(2)1f x f =-=；12．选修4-5：不等式选讲已知函数()|23||1|f x x x =--+.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤；(2)见解析.【解析】 （1）()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时，46x -+≤ ，得2x -≥ ，故21x -≤<-； 当312x -≤≤时，326x -+≤ ，得43x ≥- ，故312x -≤<； 当32x > 时，46x -≤ ，得10x ≤ ，故3102x <≤； 综上，不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-，当且仅当(23)(1)0x x -+≤，即213x -≤≤ 时等号成立，故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤， 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-， 即228(1)(1)3a b ---≤. 13．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()31f x x m x m =----（1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤ 【解析】（1）()141f x x x =---<， 所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或 解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞.(2) 当131,2m m m +>>-时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以1231,3m m ≥+∴≤，所以1123m -<≤， 当131,2m m m +==-时，不等式恒成立， 当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合， 由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解. 综上，1123m -≤≤. 14．已知()21f x x x =+-．（1）证明()1f x x +≥；（2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <．【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 【解析】 （1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立（2）∵333333311131333333234444abc abc abc abc m a b c a b c abc abc +++≥+=+≥⋅==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。
专题08 不等式-高考数学(文)十年真题(2010-2019)分类汇编(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题08不等式历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2017年新课标1文科07】设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．32．【2014年新课标1文科11】设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5 B．3 C．﹣5或3 D．5或﹣33．【2012年新课标1文科05】已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z＝﹣x+y的取值范围是（）A．（1，2）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，1）4．【2010年新课标1文科11】已知▱ABCD的三个顶点为A（﹣1，2），B（3，4），C（4，﹣2），点（x，y）在▱ABCD的内部，则z＝2x﹣5y的取值范围是（）A．（﹣14，16）B．（﹣14，20）C．（﹣12，18）D．（﹣12，20）5．【2018年新课标1文科14】若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．6．【2016年新课标1文科16】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 7．【2015年新课标1文科15】若x ，y 满足约束条件，则z ＝3x +y 的最大值为 ．8．【2013年新课标1文科14】设x ，y 满足约束条件，则z ＝2x ﹣y 的最大值为 ．9．【2011年新课标1文科14】若变量x ，y 满足约束条件，则z ＝x +2y 的最小值为 ．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：不等关系与不等式，一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点一元二次不等式及其解法，二元一次不等式组与简单的线性规划问题，基本不等式及其应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是（ ） A ．82,2⎡⎤⎣⎦B ．81,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．72,2⎡⎤⎣⎦D ．71,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知点()2,1A ，动点(),B x y 的坐标满足不等式组2023603260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，设z 为向量OB 在向量OA 方向上的投影，则z 的取值范围为（ ）A．,55⎡⎢⎣⎦ B．55⎡⎢⎣⎦C ．[]2,18D ．[]4,183．已知实数x ，y ，满足约束条件13260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若2z x y =-+的最大值为（ ）A ．-6B ．-4C ．2D ．34．若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[]0,2C ．[]2,1-D ．(]2,2-5．已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．106．设0.231log 0.6,log 20.6m n ==，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+D ．m n m n mn +>->7．若x ，y 满足约束条件42y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．8B ．4C ．2D ．68．“2a =”是“0x ∀>，1x a x+≥成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()ln(1)f x x =-，若f （a ）＝f （b ），则a+2b 的取值范围为（ ） A ．（4，+∞）B．[3)++∞C ．[6，+∞）D．(4,3+10．已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m 、a n ，使得a m a n =16a 12，则1m +9n的最小值为（ ） A ．32B ．83C ．114D ．不存在11．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A．3+B．3C．2+D．312．若实数满足，则的最大值是（）A．-4B．-2C．2D．413．已知，则取到最小值时（）A．B．C．D．14．已知函数，若，则的最小值为（）A．B．C．D．15．在平面直角坐标系中，分别是轴正半轴和图像上的两个动点，且，则的最大值是A．B．C．4 D．16．定义：区间的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，17．关于的不等式的解集为，则的取值范围为（）A．B．C．D．18．若关于x的不等式上恒成立，则实数a的取值范围是A．B．C．D．19．已知函数的导函数为的解集为,若的极小值等于-98,则a的值是（）A ．-B ．C ．2D ．520．在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．11a -<<B ．1322a -<< C ．3122a -<< D ．02a <<21．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对边的长，S 为ABC ∆的面积．若不等式22233kS b c a ≤+-恒成立，则实数k 的最大值为______．22．已知实数,x y 满足约束条件2020x y x y x a +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若2(0)z ax y a =->的最大值为1-，则实数a 的值是______23．已知实数,x y 满足不等式组201030y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y x 的取值范围为__________．24．若x ，y 均为正实数，则221(2)x y x y+++的最小值为_______.25．点(),M x y 在曲线C ：224210x x y -+-=上运动，22+1212150t x y x y a =+---，且t 的最大值为b ，若,a b R +∈，则111a b++的最小值为_____. 26．已知实数,x y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则3x z y =-+的最大值为_____27．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值是__________．28．设x ,y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的值是最大值为12,则23a b+的最小值为______．29．若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．30．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b ab c ++=，且ABC ∆，则ab最小值为_______．。
不等式选讲-2010-2019年高考文科数学真题专题分类汇编训练
专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲答案部分 2019年1.解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---. 当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----. 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.2.解析 （1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 3.解析（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43.（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤-+-+-⎣⎦„，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-…，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +…，解得3a -„或1a -…．2010-2018年1．【解析】(1)当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.--⎧⎪=-<<⎨⎪⎩≤≥x f x x x x故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0≤a ，则当(0,1)x ∈时|1|1-≥ax ； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21≥a，故02<≤a ． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2．【解析】(1)当1=a 时，24,1,()2,12,26, 2.+-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤x x f x x x x可得()0≥f x 的解集为{|23}-≤≤x x ．(2)()1≤f x等价于|||2|4++-≥x a x．而|||2||2|++-+≥x a x a，且当2=x时等号成立．故()1≤f x等价于|2|4+≥a．由|2|4+≥a可得6-≤a或2≥a，所以a的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U．3．【解析】(1)13,,21()2,1,23, 1.x xf x x xx x⎧-<-⎪⎪⎪=+-<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥()y f x=的图像如图所示．(2)由(1)知，()y f x=的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a≥且2b≥时，()f x ax b+≤在[0,)+∞成立，因此a b+的最小值为5．4．D．【证明】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z++++++≥．因为22=6x y z++，所以2224x y z++≥，当且仅当122x y z==时，不等式取等号，此时244333x y z===，，，所以222x y z++的最小值为4．5．【解析】（1）当1a=时，不等式()()f xg x≥等价于2|1||1|40x x x x-+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x < 所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥． 又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．6．【解析】（1）556556()()a b a b a ab a b b ++=+++3323344()2()a b a b ab a b =+-++ 2224()ab a b =+-4≥（2）∵33223()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++ 23()2()4a b a b +++≤33()24a b +=+，所以3()8a b +≤，因此2a b +≤．7．【解析】（1）3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩≤≤，当1x <-时，()f x 1≥无解；当x -12≤≤时，由()fx 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ． 所以()f x 1≥的解集为{}x x 1≥．（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2355=--+244≤且当32x =时，2512=4x x x x +---+． 故m 的取值范围为5-，4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦．8．【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +++≤，因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤. 9．【解析】(1)如图所示：(2)()4133212342x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥，()1f x >．当1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <，1x -∴≤． 当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <， 113x -<<∴或312x <<，当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332x <∴≤或5x >，综上，13x <或13x <<或5x >，()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，． 10．【解析】（I ）当12x <-时，()11222f x x x x =---=-，若112x -<<-；当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()2f x x =，若()2f x <，112x <<．综上可得，{}|11M x x =-<<．（Ⅱ）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->， 即22221a b a b +>+，则2222212a b ab a ab b +++>++， 则()()221ab a b +>+， 即1a b ab +<+，证毕．11．【解析】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+.解不等式|22|26x -+„，得13x -剟.因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x-剟.（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a -+-+…|1|a a =-+，当12x =时等号成立， 所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+…. ① 当1a „时，①等价于13a a -+…，无解. 当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …. 所以a 的取值范围是[2,)+∞.12．【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为|1|2|1|10x x +--->，当1x -≤时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得213x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x <≤．所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<． （Ⅱ）有题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩≤≤，所以函数()f x 图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0),(21,0),(,1)3a A B a C a a -++，ABC ∆的面积为22(1)3a +．有题设得22(1)63a +>，故2a >．所以a 的取值范围为(2,)+∞． 13．【解析】（Ⅰ）∵2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >得22>．>（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-， 即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>>则22>，即a b c d ++>++ 因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-． 因此||||a b c d -<-，>||||a b c d -<-的充要条件．14．【解析】（I11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故33ab+≥a b ==时取等号．所以33ab +的最小值为（II ）由（I）知，23a b +≥≥．由于6>，从而不存在,a b ， 使得236a b +=．15．【解析】（I ）由0a >，有()f x 111()2x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥． 所以()f x ≥2. （Ⅱ）1(3)33f a a=++-. 当时a ＞3时，(3)f =1a a+，由(3)f ＜5得3＜a＜52+．当0＜a ≤3时，(3)f =16a a-+，由(3)f ＜5＜a ≤3．综上，a）． 16．【解析】(Ⅰ)当a =-2时，不等式()f x ＜()g x 化为|21||22|30x x x -+---<，设函数y =|21||22|3x x x -+---，y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x ∈时，y ＜0，∴原不等式解集是{|02}x x <<．（Ⅱ）当x ∈[2a -，12)时，()f x =1a +，不等式()f x ≤()g x 化为13a x ++≤， ∴2x a -≥对x ∈[2a -，12)都成立，故2a-≥2a -，即a ≤43，∴a 的取值范围为(-1，43]．17．【解析】（Ⅰ）2222222,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222a b c ab bc ca ++≥++由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．所以()31ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥ ∴222()2()a b c a b c a b c b c a+++++≥++ 即222a b c a b c b c a++≥++ ∴2221a b c b c a++≥ 18．【解析】(1)当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-厖2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩„…或23323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩…或3323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩…… 1x ⇔„或4x …．(2)原命题()4f x x ⇔-„在[1,2]上恒成立24x a x x ⇔++--„在[1,2]上恒成立 22x a x ⇔---剟在[1,2]上恒成立30a⇔-剟．19．【解析】（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得 3x ≥或1x ≤-．故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩，即4x a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤或2x aa x ⎧⎪⎨-⎪⎩≤≤，因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-，由题设可得2a-=1-，故2a =．专题十五 不等式选讲第三十五讲 不等式选讲2019年1.（2019全国II 文23）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.2.（2019全国1文23）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．3.(2019全国III 文23）设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 2010-2018年解答题1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|f x x ax =+--．(1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集；(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|=-+--f x x a x ．(1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集；(2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()|21||1|f x x x =++-．(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．4．(2018江苏)D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．5．（2017新课标Ⅰ）已知函数2()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-．(1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．6．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)55()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．7．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--．(1)求不等式()1f x ≥的解集；(2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．8．（2017江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +≤．9．（2016年全国I 高考）已知函数()|1||23|f x x x =+--．（I ）在图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式|()|1f x >的解集．10．（2016年全国II ）已知函数()1122f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （I ）求M ；（II ）证明：当a ，b M ∈时，1a b ab +<+．11．（2016年全国III 高考）已知函数()|2|f x x a a =-+（Ⅰ）当a =2时，求不等式()6f x ≤的解集；（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-，当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．12．（2015新课标1）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >． （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．13．（2015新课标2）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab >cd a b c d >a b c d >||||a b c d -<- 的充要条件．14．（2014新课标1）若0,0a b >>，且11ab a b+=．(Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由．15．（2014新课标2）设函数()f x =1(0)x x a a a++-> （Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围．16．（2013新课标1）已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +.（Ⅰ）当a =-2时，求不等式()f x ＜()g x 的解集；（Ⅱ）设a ＞-1,且当x ∈[2a -，12)时，()f x ≤()g x ,求a 的取值范围. 17．（2013新课标2）设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明： （Ⅰ）13ab bc ca ++≤ （Ⅱ）2221a b c b c a++≥ 18．（2012新课标）已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式()3f x …的解集；（Ⅱ）若()|4|f x x -„的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．19．（2011新课标）设函数()3f x x a x =-+,其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤- ，求a 的值．。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题19 不等式选讲 (含答案)
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围. 8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4; (2)a+b ≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围.12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b , 证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a +1b=√ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈[-a2,12)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤1;(2)a 2b +b2c+c2a≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题19不等式选讲1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2;(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.【解析】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca=ab+bc+caabc =1a+1b+1c.所以1+1+1≤a2+b2+c2.(2)因为a,b,c为正数且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3√(a+b)3(b+c)3(a+c)33=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24.所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞).3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z ∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1. 【解析】(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a≤-3或a≥-1.4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即f(x)={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f(x)>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时, f(x)={2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x ≤3}. (2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.故f(x)≤1等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;(2)当x ∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b 的最小值.【解析】(1)f(x)={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.(2)由(1)知,y=f(x)的图像与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1; 当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x≤-1+√172. 所以f(x)≥g(x)的解集为{x |-1≤x ≤-1+√172}. (2)当x ∈[-1,1]时,g(x)=2.所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[-1,1].8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x 2-x+m 的解集非空,求m 的取值范围. 【解析】(1)f(x)={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2;当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}. (2)由f(x)≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x| =-(|x |-3)2+5≤5,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54.故m 的取值范围为(-∞,54]. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a 3+b 3=2.证明: (1)(a+b)(a 5+b 5)≥4;(2)a+b ≤2.【解析】(1)(a+b)(a 5+b 5)=a 6+ab 5+a 5b+b 6=(a 3+b 3)2-2a 3b 3+ab(a 4+b 4) =4+ab(a 2-b 2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b )2(a+b)=2+3(a+b )34,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)f(x)={x -4,x ≤-1,3x -2,-1<x ≤32,-x +4,x >32,y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)=1时, 可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=13或x=5, 故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}; f(x)<-1的解集为{x |x <13或x >5}. 所以|f(x)|>1的解集为 {x |x <1或1<x <3或x >5}.11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.① (分类讨论)当a ≤1时,①等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,①等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x -12|+|x +12|,M 为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;(2)证明:当a,b ∈M 时,|a+b|<|1+ab|. 【解析】(1)f(x)={-2x ,x ≤-12,1,-1<x <1,2x ,x ≥12.当x≤-1时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-12<x<12时,f(x)<2;当x≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)由(1)知,当a,b ∈M 时,-1<a<1,-1<b<1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a 2+b 2-a 2b 2-1 =(a 2-1)(1-b 2)<0. 因此|a+b|<|1+ab|.13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0. 当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解; 当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1; 当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2. 所以f(x)>1的解集为{x |23<x <2}. (2)由题设可得f(x)={x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A (2a -13,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞). 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.【解析】证明(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd , 由题设a+b=c+d,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2. 因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得√a +√b >√c +√d . ②若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2, 即a+b+2√ab >c+d+2√cd . 因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2. 因此|a-b|<|c-d|.综上,√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1a +1b , 证明: (1)a+b ≥2;(2)a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.【解析】证明由a+b=1a +1b =a+b ab ,a>0,b>0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2√ab =2,即a+b ≥2.(2)假设a 2+a<2与b 2+b<2同时成立,则由a 2+a<2及a>0得0<a<1;同理,0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故a 2+a<2与b 2+b<2不可能同时成立.16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且1a +1b =√ab .(1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由√ab =1a +1b ≥√ab ,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立.故a 3+b 3≥2√a 3b 3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立.所以a 3+b 3的最小值为4√2.(2)由(1)知,2a+3b≥2√6√ab ≥4√3. 由于4√3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x +1a |+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a 的取值范围.【解析】(1)证明由a>0,有f(x)=|x +1|+|x-a|≥|x +1-(x -a )|=1+a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)=|3+1a |+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5,得3<a<5+√21.当0<a≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5,得1+√52<a≤3.综上,a 的取值范围是(1+√52,5+√212). 18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x 2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f(x)+x[f(x)]2≤14.【解析】(1)解f(x)={3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤43,故1≤x≤43;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M={x |0≤x ≤43}.(2)证明由g(x)=16x 2-8x+1≤4,得16(x -14)2≤4,解得-1≤x≤3.因此N={x |-14≤x ≤34}.故M ∩N={x |0≤x ≤34}.当x ∈M ∩N 时,f(x)=1-x,于是x 2f(x)+x ·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x ·f(x)=x(1-x)=14−(x -12)2≤14.19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x ∈[-a 2,12)时,f(x)≤g(x),求a 的取值范围.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y={-5x ,x <12,-x -2,12≤x ≤1,3x -6,x >1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x ∈[-a 2,12)时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a -2对x ∈[-a 2,12)都成立.故-a 2≥a -2,即a≤43.从而a 的取值范围是(-1,43].20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤1;(2)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.【解析】证明(1)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca,得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤13.(2)因为a 2b +b≥2a,b2c +c≥2b,c 2a +a≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b2c +c 2a ≥a+b+c .所以a 2b +b2c +c 2a ≥1.21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a 的取值范围.【解析】(1)当a=-3时,f(x)={-2x +5,x ≤2,1,2<x <3,2x -5,x ≥3.当x ≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x ≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x ≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x ≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x ≤1}∪{x|x ≥4}.(2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x ∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a ≤x ≤2-a. 由条件得-2-a ≤1且2-a ≥2,即-3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[-3,0].22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x ≤-1},求a 的值.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x ≥3或x ≤-1}.(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x ≤0.此不等式化为不等式组{x ≥a ,x -a +3x ≤0或{x ≤a ,a -x +3x ≤0,即{x ≥a ,x ≤a 4或{x ≤a ,x ≤-a 2.因为a>0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a 2}.由题设可得-a 2=-1,故a=2.23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1.(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)若不等式f(x)≤ax 的解集非空,求a 的取值范围.【解析】(1)由于f(x)={-2x +5,x <2,2x -3,x ≥2,则函数y=f(x)的图象如图所示.(2)(图象应用)由函数y=f(x)与函数y=ax 的图象可知,当且仅当a≥12或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax 的图象有交点.故不等式f(x)≤ax 的解集非空时,a 的取值范围为(-∞,-2)∪[12,+∞).。
2010年高考大纲全国卷 II文科数学试题及答案 (云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)
2010年高考大纲全国卷 II 理科数学试题及答案文科数学(必修+选修)(云南、贵州、甘肃、青海、新疆、内蒙古)一、选择题（1）设全集{}*U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()AB =ð（ ）（A ）{}1,4 （B ）{}1,5 （C ）{}2,4 （D ）{}2,5【解析】 C ：本题考查了集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.∵ A={1,3}。
B={3,5}，∴ {1,3,5}AB =，∴(){2,4}UC A B =故选 C .（2）不等式32x x -+＜0的解集为（A ）{}23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}3x x >【解析】A ：本题考查了不等式的解法∵302x x -<+，∴ 23x -<<，故选A （3）已知2sin 3α=，则cos(2)x α-=（A）3-B ）19-（C ）19（D）3【解析】B ：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，∴21cos(2)cos 2(12sin )9πααα-=-=--=-（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是 （A ）y=1x e +-1(x>0) (B) y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D ）y=1x e -+1 (x ∈R)【解析】D ：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵函数Y=1+LN （X-1）(X>1)，∴ 11ln(1)1,1,1y x x y x ey e ---=--==+另法（一点定乾坤――反函数选择题最快捷的方法）：原函数过点(11e -+,0)，反函数必过点(0,11e -+),符合条件的只有选项D.(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则z=2x+y 的最大值为（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。
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2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 （文科）
不等式（原卷版）
一、选择题
1．(2021年全国高考乙卷文科)若,x y 满足约束条件4,2,3,x y x y y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
则3z x y =+的最小值为 ( )
A ．18
B ．10
C ．6
D ．4
2．(2019年高考数学课标Ⅰ卷文科)已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则() ( )
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
3．(2017年高考数学课标Ⅲ卷文科)设满足约束条件,则的取值范围是
( )
4．(2017年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x 、y 满足约束条件．则的最小值是
( )
A ．
B ．
C ． D
5．(2017年高考数学课标Ⅰ卷文科)设满足约束条件则的最大值为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．(2014年高考数学课标Ⅱ卷文科)设x ，y 满足约束条件1010330x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-+⎩
≥≤≥，则2z x y =+的最大值为
( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
7．(2014年高考数学课标Ⅰ卷文科)设x ，y 满足约束条件,
1,
x y a x y +≥⎧⎨
-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =
( )
A ．-5
B ．3
x y ，32600
0x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
z x y =-.A [3,0].B [3,2].C 0,2.D 0,32330233030x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
= 2 z x y +15-9-19,x y 33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
z x y =+
C ．-5或3
D ．5或-3
8．(2013年高考数学课标Ⅱ卷文科)设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是
( )
A ．7-
B ．6-
C ．5-
D ．3- 9．(2012年高考数学课标卷文科)已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(,)
x y 在ABC ∆内部，则z x y =-+的取值范围是 ( )
A
．(1- B ．(0,2) C
．1,2)
D
．(0,1+
二、填空题
10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件220,
10,10,x y x y y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪+≥⎩
则z =x +7y 的最大值为
______________．
11．(2020年高考数学课标Ⅱ卷文科)若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y =+的最大值是__________．
12．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)若x ，y 满足约束条件0,201,x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
， ，则z =3x +2y 的最大值为_________．
13．(2019年高考数学课标Ⅱ卷文科)若变量,x y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪
⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，
则3z x y =-的最大值是
___________.
14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷文科)若变量x y ，满足约束条件23024020.
x y x y x ++⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥，
≥，≤则13z x y =+的最大值是
________．
15．(2018年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤ 则z x y =+的最大值为
__________．
16．(2018年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤，则32z x y =+的最大值为
________．
17．(2016年高考数学课标Ⅲ卷文科)设x y ，满足约束条件210,210,1,x y x y x -+⎧⎪
--⎨⎪⎩
≥≤≤ 则235z x y =+-的最小值为
______．
18．(2016年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =-的最小值为
__________．
19．(2016年高考数学课标Ⅰ卷文科)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一
件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，
用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料
150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．
20．(2015年高考数学课标Ⅱ卷文科)若,x y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
,则2z x y =+的最大值
为 ．
21．(2015年高考数学课标Ⅰ卷文科)若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
则3z x y =+的最大值为
_________________．
22．(2013年高考数学课标Ⅰ卷文科)设,x y 满足约束条件 13,
10x x y ≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩
，则2z x y =-的最大值为
______．。