专题36 圆锥曲线中的双曲线问题-备战2017年高考高三数

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第36讲圆锥曲线中必考的双曲线问题考纲要求:1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．基础知识回顾:一、双曲线的标准方程和几何性质a x -≤或R y a x ∈≥, a y -≤或R x a y ∈≥, 坐标轴 坐标轴 原点 原点 )0,(a ±),0(a ± x a b y ±= x bay ±= a c ),1(+∞ 22b a + 21A A a 2 21B B b 2a b ab 22 二、双曲线的定义:平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0}． (1)当a<c 时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当a=c 时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当a>c 时，P 点不存在．应用举例:类型一、利用定义解决焦点三角形问题例1．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( )A ．28B ．14－8 2C ．14＋8 2D ．8 2例2、已知12F F 、是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 4MF F ∠=，则双曲线E 的离心率为（ ） A．3B ．53 C.2 D ．3解析：由题意可知，21b MF a =，所以2212122221sin 242b MF b aMF F b MF a b a a∠====++，即2232b a =，2223()2c a a -=，2235c a =，所以2225,3c e e a === A.例3、已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（）A．点评： 在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k ＝b a ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1. 类型二、求渐近线方程 1、利用离心率求渐近线方程例4．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：由题意，知椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为e 2＝a 2＋b 2a.因为e 1·e 2＝32，所以a 2－b 2a 2＋b 2a2＝32，即a 2－b 2a 2＋b 2a4＝34，整理可得a ＝2b .又双曲线C 2的渐近线方程为bx ±ay ＝0，所以bx ±2by ＝0，即x ±2y ＝0.2、利用几何性质求渐近线方程例5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与抛物线28y x =有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为P ，若||5PF =，则双曲线的渐进线方程为（ ）A ．0x =B ．20x y ±=C 0y ±=D ．20x y ±=解析：由题意得22222223242,253,241,P P Pa b PF x x y a b+==+=⇒==⇒-=解得221363a ==或（舍），b ，因此双曲线的渐进线方程为2222220013x y x y y a b -=⇒-=⇒=，选C. 3、利用双曲线方程求渐近线方程例6．设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则双曲线C 的渐近线方程为________．解析：根据题意，可设双曲线C ：y 24－x 2＝λ，将(2,2)代入双曲线C 的方程得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1.渐近线方程为y ＝±2x .点评：求曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb＝0.类型三、求离心率的值或范围． 1、利用离心率定义求离心率例7. 已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点，若存在直线l 过点F交双曲线C 的右支于A ，B 两点，使0OA OB ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是 ．2、利用渐近线方程求离心率例8、设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．解析：联立直线方程x －3y ＋m ＝0与双曲线渐近线方程y ＝±b ax 可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB＝13，由|PA |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am 3b －a ＋－am3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝a 2＋b 2a 2＝52。

点评：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．类型四、求双曲线的方程 1.利用双曲线的定义求其方程例9. 已知定点A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，求另一焦点F 的轨迹方程．2、利用渐近线方程求双曲线方程例10、已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．221128x y -=解析：,22e c a =⇒==，渐近线方程222202x y x b b -=⇒=±，因此左顶点23a b =⇒==，即该双曲线的标准方程为22184x y -=，选A. 点评：1．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． 2.双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性． 方法、规律归纳: 1．求双曲线离心率的值（1）直接求出c a ,，求解e ：已知标准方程或a ，c 易求时，可利用离心率公式e ＝ca求解； （2）变用公式，整体求e ：如利用e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2，e ＝c 2c 2－b 2＝11－b 2c2；2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得b a 的值，于是e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，因此可求出离心率e 的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即ba＝e 2－1.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解． 实战演练:1．已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．-22．已知双曲线221259x y -=的左右焦点分别为12,F F ，若双曲线左支上有一点M 到右焦点2F 距离为18，N 为2F 中点，O 为坐标原点，则1NO 等于（ ） A ．23B ．1 C. 2 D ．4 解析:由双曲线的定义可得1012=-MF MF ,即10181=-MF ,则81=MF ；又2MF 的中点为N ,故由三角形的中位线定理可得1NO 4821=⨯=,应选D. 3．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左焦点，,A B 分别为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，且PF x ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，直线 BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则 Γ的离心率为 （ ） A ．3 B ．2 C.32 D ．434．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于2c e a ====2.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 解析：因为.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，所以焦点到渐近线和距离为1b =，又c e a ====2a =，所以双曲线方程为2214y x -=，故选C. 5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9解析：由渐近线方程3x －2y ＝0，知b a ＝32.又b 2＝9，所以a ＝2，从而|PF 2|＝7，故选C.6．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+（λ，R μ∈），116λμ=，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．3D ．27．已知F 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点，过原点的直线l 与双曲线交于,M N 两点，且0,MF NF MNF =∆的面积为ab ，则该双曲线的离心率为 ．解析：因为0MF NF ⋅=，所以MF NF ⊥．设双曲线的左焦点为F '，则由双曲线的对称性知四边形F MFN '为矩形，则有||||,||2MF NF MN c '==．由双曲线的定义知，||NF '－||NF ＝2a ，所以||||2MF NF a -=．因为1||||2MNF S MF NF ab ∆==，所以||||MF NF ＝2ab ．在Rt MNF ∆中，222||||||MF NF MN +=，即2(||||)2||||MF NF MF NF -+＝2||MN ，所以22(2)22(2)a ab c +⋅=，把222c a b =+代入，并整理，得1b a =，所以c e a=＝=8．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为3，其渐近线与圆2260x y y m +-+=相切，则m = ．解析:因双曲线的渐近线为0=±ay bx ,圆的标准方程为m y x -=-+9)3(22,故圆心m r C -=9),3,0(.又a b a c a c22,33==⇒=,由题设可得13322==+c a ba a ,即19=-m ,解之得8=m ,故应填答案8.9．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在 第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8，求双曲线方程． 解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ， 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b .∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4.∴a 2＝b 2＝2. ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1.∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c .∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c .代入双曲线方程得34c 2a －14c 2b ＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0，∵e ＞1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.。