合振动频率
第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
振动系统的谐振频率和振幅计算
振动系统的谐振频率和振幅计算振动是物体在某一点围绕平衡位置做周期性往复运动的现象。
振动系统是指由质点、弹簧、摆线等组成的系统。
在物理学中，谐振是振幅达到最大值并保持稳定的情况，其频率称为谐振频率。
谐振频率和振幅的计算是研究振动系统的重要内容。
首先，我们来计算谐振频率。
谐振频率与系统的性质有关，即质量、弹性系数和弹簧的劲度。
假设系统中有一个质点质量为m，弹簧的劲度系数为k。
谐振频率的计算公式为：f = 1 / (2π) * sqrt(k/m)，其中f表示谐振频率，π表示圆周率。
例如，假设一个振动系统质量为2kg，弹簧劲度系数为10N/m，我们可以通过代入上述公式计算其谐振频率。
计算过程如下：f = 1 / (2π) * sqrt(10/2)= 1 / (2π) * sqrt(5)≈ 0.446Hz因此，该振动系统的谐振频率为约0.446Hz。
接下来，我们来计算振幅。
振幅是指振动过程中质点离开平衡位置的最大位移。
振幅的计算需要考虑初始条件和振动系统的能量。
对于简谐振动系统，振幅与振动能量之间存在关系。
假设初始状态时，振动系统位于平衡位置，质点的速度为v0，位移为x0。
振动系统的总能量E为E = (1/2)m(v0^2) = (1/2)k(x0^2)。
根据振动能量与振幅之间的关系，我们可以推导得到振幅的计算公式：A =sqrt(2E/m)，其中A表示振幅。
例如，振动系统的质量为2kg，初始状态时速度为4m/s，根据上述公式我们可以计算其振幅。
计算过程如下：E = (1/2)m(v0^2) = (1/2) * 2 * (4^2) = 16JA = sqrt(2E/m) = sqrt((2 * 16) / 2) = sqrt(16) = 4m因此，该振动系统的振幅为4m。
在实际应用中，振动系统的谐振频率和振幅计算对于设计和调整振动系统非常重要。
例如，在建筑物和桥梁的设计中，需要考虑谐振频率，以避免共振现象的发生，从而保证结构的稳定性。
简谐运动应用
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则
则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为
考虑到 ，则
（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。
（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为
因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为
结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。
三、应用
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：kA2/2=mv02/2+kx02/2
解之即得：
2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有
合振动
由于相位差 随时间变化，故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐运动。这里只讨论 ， 的情形，即两个频率相差很小，此时
由于 随时间变化比 要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按 缓慢变化得角频率为 的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
此时，β可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为弛豫时间（relaxation time），τ=1/β，β越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。
4．应用
2．运动方程
如何确定合振动的初相位
如何确定合振动的初相位合振动（或相干振动）是指多个振荡物体的振动具有相同频率和相同相位关系的振动。
确定合振动的初相位是通过观察振动物体的位移、周期和频率等参数来确定的。
下面我将详细介绍如何确定合振动的初相位。
首先要理解合振动的基本概念。
合振动可以看作是由多个振荡物体所组成的一个振动整体。
合振动的频率与最小的频率成整数倍的关系，并且合振动的振幅可以是各个振荡物体的振幅之和。
确定合振动的初相位的步骤如下：1.确定合振动的频率：合振动的频率等于各个振荡物体的最小频率的整数倍。
通过观察振动物体的周期，可以求得各个振荡物体的频率，再找到最小的频率，并对其取整数倍，即为合振动的频率。
2.确定合振动的振幅：合振动的振幅可以通过各个振荡物体的振幅之和来求得。
观察振动物体的振幅，将各个振荡物体的振幅相加，即可得到合振动的振幅。
3.确定合振动的初相位：合振动的初相位是指各个振荡物体在一些时刻的位移相对于一些参考点的相位差。
合振动的初相位可以通过下面两种方式来确定。
方式一：观察振荡物体的位移波形。
首先将各个振荡物体的位移波形绘制成图像，然后找到它们的交叉点位置，即为合振动的初相位。
方式二：观察振荡物体的相位差。
首先选择一些参考点，然后观察各个振荡物体在该时刻的位移相对于参考点的相位差。
根据各个振荡物体的相位差与各自频率的关系，可以计算出合振动的初相位。
需要注意的是，确定合振动的初相位并不是一个简单的过程，需要仔细观察振动物体的各个参数，并进行计算和比较。
此外，合振动的初相位也可能会随着时间的推移而变化，需要不断观察和调整。
综上所述，确定合振动的初相位需要通过观察振动物体的位移、周期和频率等参数，并利用这些参数计算和比较，最终确定合振动的初相位。
《大学物理学》机械振动练习题
《大学物理学》机械振动自主学习材料一、选择题9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ）（A ）222cos()33x t ππ=-；（B ）222cos()33x t ππ=+；（C ）422cos()33x t ππ=-；（D ）422cos()33x t ππ=+。
【考虑在1秒时间内旋转矢量转过3ππ+，有43πω=】9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，1x 的相位比2x 的相位（ ）（A ）落后2π； （B ）超前2π；（C ）落后π； （D ）超前π。
【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2ν； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。
【考虑到动能的表达式为22211sin ()22kE mv kA t ωϕ==+，出现平方项】9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）()A ()B()C()D )s--（A ）32π； （B ）2π； （C ）π； （D ）0。
【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则'/T T 为（ ）（A ）2； （B ）1； （C； （D ）12。
【弹簧串联的弹性系数公式为12111k k k =+串，弹簧对半分割后，其中一根的弹性系数为2k ，两弹簧并联后形成新的弹簧整体，弹性系数为4k ，公式为12k k k =+并，利用ω=2T πω=，所以，'22T T π==】9--2．一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的（ ） （A ）12；（B；（C（D ）34。
振动的合成公式(一)
振动的合成公式(一)
振动的合成公式
1. 角频率和周期的关系
•角频率ω与周期T的关系公式为：
–ω = 2π/T
•例如：
–假设有一个周期为秒的振动，可以通过以上公式计算出该振动的角频率：
•ω = 2π/ = 4π rad/s
2. 周期和频率的关系
•周期T与频率ν的关系公式为：
–T = 1/ν
•例如：
–假设有一个频率为5 Hz的振动，可以通过以上公式计算出该振动的周期：
•T = 1/5 = s
3. 多个振动的合成公式
•当存在两个或多个不同频率的振动时，它们可以通过以下合成公式进行合成：
1.同频振动的叠加（同频振动合成）：
–对于两个频率相同但振幅不同的振动A和B，它们可以通过简单相加来合成：
–合成振动 = A + B
2.不同频率振动的合成（异频振动合成）：
–对于两个频率不同的振动A和B，它们可以通过以下公式进行合成：
–合成振动= A cos(ω1t) + B cos(ω2t)
–其中，ω1和ω2分别为两个振动的角频率，t为时间。
•例如：
–假设有一个频率为3 Hz，振幅为2的振动A，以及一个频率为5 Hz，振幅为4的振动B。
可以通过以上公式计算出
两个振动的合成：
•合成振动 = 2 cos(3t) + 4 cos(5t)
总结
•振动的合成公式包括角频率和周期的关系公式、周期和频率的关系公式，以及同频振动的叠加和不同频率振动的合成公式。
这些公式可以帮助我们计算和理解振动的特性和变化。
大学物理学课件-振动的合成与分解
大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−
()
()
得
−
= ( − )
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
大学物理学
x2 y2
A12 A2 2 cos( t )
振动合成与分解
从数学上讲 任何形式的周期函数都可通过付里叶级数分解 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和； 成一系列不同频率、不同振幅的谐振动之和；而非 周期振动可通过傅里叶积分把它展成无数个频率连 续分布的谐振动。 续分布的谐振动。 将任一周期性振动 x(t +T) = x(t) 按付立叶级数展开 a0 ∞ x (t ) = + ∑ (an cos nω t + bn sin nω t ) 2 n=1 2 π 若周期振动的频率为： 若周期振动的频率为：ν ω =2 = πν T 则各分振动的频率为:ν、2ν、3ν、… 则各分振动的频率为: （基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , …） ） 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。 由于所包含的频率取分立值，这类频谱称为离散谱。
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x2 = Acos(ω2t +ϕ2)
x = x + x2 1
1 1 x = 2 A cos [(ω 2 − ω1 )t + (ϕ 2 − ϕ1 )] ⋅ cos [(ω 2 + ω1 )t + (ϕ 2 + ϕ1 )] 2 2
x = Acos(ω t +ϕ1) 1 1
图(a) 中实线所代表的周期性振动可分解为基频 倍频的两个简谐振动的叠加。 和3倍频的两个简谐振动的叠加。 倍频的两个简谐振动的叠加 而图(b)则是一种“方波”振动信号， 而图 则是一种“方波”振动信号，它所包含 则是一种 的简谐振动成分就多了。 的简谐振动成分就多了。 这里用竖直线段在横坐标上的位置代表所包含 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅， 简谐振动的频率，竖直线高度代表所对应振幅，该 称为振动频谱 图(c)称为振动频谱。 称为振动频谱。
谐振频率计算公式文解释
谐振频率计算公式文解释在物理学和工程学中，谐振频率是一个重要的概念，它用来描述一个系统在受到外部激励时的振动特性。
谐振频率可以用来计算机械系统、电路系统和其他各种系统的振动频率，它对于设计和分析各种工程和科学问题都具有重要意义。
在本文中，我们将对谐振频率的计算公式进行详细的文解释，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
谐振频率的计算公式可以用来计算一个系统在受到外部激励时的振动频率。
在机械系统中，谐振频率可以用来描述弹簧振子、摆锤等系统的振动频率；在电路系统中，谐振频率可以用来描述LC电路、RLC电路等系统的振动频率。
谐振频率的计算公式通常采用简单的数学表达式，它可以帮助工程师和科学家快速准确地计算出系统的振动频率，从而指导实际工程和科学问题的解决。
在物理学和工程学中，谐振频率的计算公式通常采用以下形式：f = 1 / (2π√(LC))。
其中，f表示谐振频率，单位为赫兹（Hz）；L表示系统的电感，单位为亨利（H）；C表示系统的电容，单位为法拉（F）；π表示圆周率，约为3.14159。
这个公式描述了一个简单的LC谐振电路的振动频率。
在这个公式中，谐振频率与系统的电感和电容成反比，与这两个参数的乘积的平方根成正比。
这个公式的推导可以通过对LC谐振电路的微分方程进行求解得到，它是一个经典的物理学问题，也是电路分析中的一个重要内容。
谐振频率的计算公式在实际工程和科学问题中具有广泛的应用。
在机械系统中，谐振频率可以用来指导机械结构的设计和分析，帮助工程师选择合适的材料和尺寸，以避免系统在谐振频率附近发生共振现象；在电路系统中，谐振频率可以用来指导电路的设计和分析，帮助工程师选择合适的元件参数，以满足系统的性能要求。
谐振频率的计算公式还可以用来解释一些实际现象。
例如，在机械系统中，当一个系统的谐振频率与外部激励的频率相等时，系统将发生共振现象，振幅会急剧增大，这可能导致系统的破坏；在电路系统中，当一个系统的谐振频率与输入信号的频率相等时，系统将发生共振现象，电流和电压会急剧增大，这可能导致系统的故障。
同方向不同频率简谐运动合成
因为余弦函数的绝对值以 为周期, 所以
A 2A c1 os 2π源自2 1 t 22A1cos2π
2
2
1 t π
2A1cos 2π
2
1
2
t
1
2 1
即周期为 T 1
2 1
合振幅变化的频率即拍频为
1 T
2 1
四、形成拍的条件
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
二、振幅变化范围，拍
A
2A1cos 2π
2 1
2
t
当 21< < 2 1 时,, AA（（（（t））））————tt呈缓慢周
变化, 时大时小变化范围为期期性性呈呈缓缓慢慢周周期期性性呈缓慢周
0 A 2A1
所以合振动不再是简谐运动. 其振幅周期性变化的现象 称为拍.
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
振动学基础
第7讲 同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
音叉演示拍现象
拍音是如何形成的?形成的条件是什么?
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
一、合振动的表达式
设 A1 A2，1 2 0
x1 A1cos1t A1cos2π1t x2 A2 cos2t A2cos2π2t
合振动的表达式为
x x1 x2 A1cos2π1t A2cos2π2t
2A1cos2π
2
1
2
tcos2π
2
1
2
t
同方向不同频率简谐运动的合成 拍
x 2Ac1 os2π
2 1
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P x
x处分析受力：
m
h L
k
任意 x处分析受力： F
l
M
F
P
P
x o x
P ( M m )g
F k( L l x)
合力=？
F合 （M m ) g k ( L l x ) kx 为简谐振动 d2 x 由 ( M m ) 2 kx 得 dt 2 2 d x d x k 2 为简谐振动 x 0 x 0 即 2 dt 2 M m dt
t
-1
E p Ek 1 2 动 能 Ek mv 2 1 mA 2 2 sin 2 (t ) 2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 2 势 能 E p kx 2 1 kA 2 cos 2 (t ) 2 总 能 E Ek E p
1 1 2 2 m v kx 2 2 1 1 2 kA m ( A ) 2 2 2
例1. 已知：M, m, h, k. （1）证明物m从静止落下与板粘在一起后作简 谐振动，并求周期。 （2）当物m与板相碰时作为记时起点，写出振 动方程。 解：（1）首先选一坐标系，原 m 点放在受力平衡处。
h L
k
M
l
F P
F
x o
Mg kL (m M ) g k ( L l )
第9节 电磁振荡与电磁波
第11章
振动与 波动
第一部分 机械振动
第一节 谐振动
Simple Harmonic Motion 振动与波动是与人类生活和科学技术密切相关的 一种基本运动形式。 问：广义地说什么是振动？ 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移） 机械振动 电磁振动
电磁量（如i 、u、 E、 B）
最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
一、谐振动特征 以弹簧振子为例得出普遍结论： 弹簧振子
动力学特征
由
回复力
k
o
F合 kx
F合 ma kx
运动学特征 k a x 2 x m 微分方程特征
2
F x
N m p x
k m
x可代表任意物理量 d x 2 x 0 2 dt
第四篇
振动与波动
第四篇 振动与波动
Oscillations and Waves 第一部分 机械振动 第二部分 机械波
第三部分 电磁振荡与电磁波
第11章 振动与波动
Oscillations and Waves
第1节 谐振动 (重点1) 第2节 振动的合成和分解 第3节 阻尼振动、受迫振动与共振 第4节 非线性振动与相图法 (自学) 第 5节 第 6节 第 7节 第 8节 机械波 (重点2) 声波 地震波 波的衍射和波的干涉 (重点3) 多普勒效应
t 0 ，位相为
称初位相。
由初始条件决定。 （重点！）
设 t 0 ，位移 x0 ，速度 v 0
x0 A cos
A
v0 A sin
得
2 x0 (v 0 ) 2 v0 tan x 0
简谐振动问题类型： （1）证明为简谐振动，并求周期？ （2）写出振动方程？
x
-0.2
2
4
6
8
10
t
12
E
1 0.8
Ek
Ep
0.6
0.4
守恒！
0.2
-1
-0.5
0.5
x
1
三、描述谐振动的基本量 由 x A cos(t )
A, , .
A
振幅（最大位移的绝对值）。 由初始条件决定。
2 角频率（2秒内振动的次数)。 2 T。
由系统性质决定（故称固有频率）。 2 d x 2 由 x 0 定出 。 2 dt 位相（决定振动状态的物理量）。 (t )
其中
k Mm
Mm T 2 k
2
m
h L k M
l
F P
x
（ 2） t 0
F o o x x P x
2
m 2 gh v0 Mm （注意正负号！）
2
mg x0 l k
2 v mg 2 ghm 代入公式得 A x02 0 k ( M m )k v0 取第3象限值 2kh arctan x arctan ( M m ) g 取第1象限值 0
振动方程为
2 mg 2 ghm 2 k 2 kh x cos t arctan M m ( M m ) g k ( M m )k
讨论：若 x 轴向上为正，写方程有那些变化？
F合 （M m ) g k ( L l x ) kx
例2. 两轮的轴互相平行，相距 2d, 两轮转速相 同而方向相反，将质量为 m 的一匀质薄板搁在两轮 上，板与轮的摩檫系数为 m ，若板的质心 C 起初 距一轮较近（如图）试证明板作简谐振动并求周期。
O
C
双轮
2d
证明：建立坐标系如图， 研究对象：板
板受力： mg N1 N2
f1 f2
F
N1
y
mgx N1 2 d 2
N1
O
x
f1 f 2
N2
d x mg x0 2 dt d
2
c
x
是简谐振动！
2
mg
d
mg
2d
d 2 T mg
例3. 单摆长 l
0
单摆
T
F
（1）证明小角度摆动为简谐振动， 并求周期。 （2）若将摆拉至最大角度 0 放手 为计时起点，写出振动方程。 解：（1）摆沿圆弧运动，只需分 析任意角位移 处切向力：
二、谐振动规律
d2 x 2 解 dt 2 x 0 可得
位移
x A cos(t ) 振动方程
dx A sin(t ) 速度 v dt dv 2 加速度 a A cos(t ) dt
1
x
a
0.5
v
4 6 8 10 12 14
2 -0.5
O
Fy N 1 N 2 mg 0
x
f1 f 2 mN1 mN 2 0
N2
y
x
f1 f 2
N1 N 2 ?
x
c
选O点为转轴
mg
0
0
2d
N 2d N1d mgx 0
N 2d N 1d mgx 0
d x mgx Fx f1 f 2 mN1 mN 2 m d m dt 2