(完整版)大学物理授课教案第十二章机械振动.doc
大学物理教案机械振动
课程名称：大学物理授课班级：XX级XX班授课时间：2课时教学目标：1. 理解机械振动的概念，掌握简谐振动的特点。
2. 掌握机械振动的基本方程和运动规律。
3. 理解能量守恒原理在机械振动中的应用。
4. 能够分析简单的机械振动问题。
教学重点：1. 简谐振动的定义和特点。
2. 机械振动的基本方程和运动规律。
3. 能量守恒原理在机械振动中的应用。
教学难点：1. 简谐振动方程的推导和应用。
2. 能量守恒原理在复杂机械振动问题中的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中物理中学过的振动和波的基本概念。
2. 提出问题：在物理学中，如何描述一个物体在平衡位置附近做周期性运动？二、新课讲解1. 机械振动的概念：物体在平衡位置附近做周期性运动的现象称为机械振动。
2. 简谐振动的定义和特点：- 定义：物体在回复力作用下，沿着某一方向做周期性运动。
- 特点：振动周期T与振幅A无关，振动方程具有正弦或余弦函数形式。
3. 简谐振动方程的推导：- 根据牛顿第二定律，推导简谐振动的微分方程。
- 解微分方程，得到简谐振动方程。
4. 机械振动的基本方程和运动规律：- 位置方程：x = A cos(ωt + φ)- 速度方程：v = -Aω sin(ωt + φ)- 加速度方程：a = -Aω^2 cos(ωt + φ)三、课堂练习1. 已知一个简谐振动的振幅为5cm，周期为4s，求该振动的频率和角频率。
2. 已知一个简谐振动的位置方程为x = 3cm cos(πt/2)，求该振动的速度和加速度。
四、小结1. 简谐振动的定义和特点。
2. 机械振动的基本方程和运动规律。
第二课时一、复习1. 回顾上节课所学内容，重点强调简谐振动的定义、特点、方程和运动规律。
二、新课讲解1. 能量守恒原理在机械振动中的应用：- 机械振动过程中，总能量保持不变。
- 机械能包括动能和势能，动能和势能之间可以相互转化。
2. 机械振动中能量守恒的推导：- 根据牛顿第二定律和简谐振动方程，推导机械振动中的能量守恒公式。
大学物理教案振动
课程名称：大学物理授课班级：XX级XX班授课时间：2课时教学目标：1. 理解振动的概念，掌握简谐振动的特点。
2. 理解振幅、周期、频率、相位等基本概念。
3. 掌握简谐振动的运动方程和能量关系。
4. 能够分析简单振动问题，解决实际问题。
教学重点：1. 简谐振动的特点。
2. 简谐振动的运动方程和能量关系。
教学难点：1. 简谐振动的能量关系。
2. 复杂振动问题的分析。
教学过程：一、导入1. 引入振动现象，如钟摆、弹簧振子等，让学生观察并描述振动的特点。
2. 提问：什么是振动？振动有哪些特点？二、新课讲解1. 振动的概念- 振动是指物体或系统在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
- 振动可以分为自由振动、受迫振动和阻尼振动。
2. 简谐振动的特点- 简谐振动是指物体在平衡位置附近做正弦（或余弦）函数形式的振动。
- 简谐振动的特点：周期性、正弦（或余弦）函数形式、能量守恒。
3. 简谐振动的运动方程和能量关系- 运动方程：x = A cos(ωt + φ)其中，x为位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
- 能量关系：E = 1/2 k A^2其中，E为能量，k为弹性系数。
4. 复习振幅、周期、频率、相位等基本概念- 振幅：振动过程中物体离开平衡位置的最大距离。
- 周期：振动一次所需的时间。
- 频率：单位时间内振动的次数。
- 相位：描述振动状态的一个物理量。
三、课堂练习1. 计算弹簧振子的振幅、周期、频率和相位。
2. 分析一个简单振动问题，如单摆的振动。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调简谐振动的特点、运动方程和能量关系。
2. 强调振动在物理学中的应用，如机械振动、声学、光学等。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解振动在现实生活中的应用。
教学反思：本节课通过讲解振动的基本概念、特点、运动方程和能量关系，使学生掌握了简谐振动的相关知识。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
大学物理-机械振动
机械振动也会影响交通工具的舒适 度，如火车、汽车等在行驶过程中 产生的振动，会让乘客感到不适。
机械振动在工程中的应用
振动输送
利用振动原理实现物料的输送，如振动筛、振动输送机等。
振动破碎
利用振动产生的冲击力破碎硬物，如破碎机、振动磨等。
振动减震
在建筑、桥梁等工程中，采用减震措施来减小机械振动对结构的影 响，提高结构的稳定性和安全性。
感谢您的观看
THANKS
机械振动理论的发展可以追溯到 古代，如中国的编钟和古代乐器 的制作。
近代发展
随着物理学和工程学的发展，人 们对机械振动的认识不断深入， 应用范围也不断扩大。
未来展望
随着科技的不断进步，机械振动 在新能源、新材料、航空航天等 领域的应用前景将更加广阔。
02
机械振动的类型与模型
简谐振动
总结词
简谐振动是最基本的振动类型，其运动规律可以用正弦函数或余弦函数描述。
机械振动在科研中的应用
振动谱分析
01
通过对物质在不同频率下的振动响应进行分析，可以研究物质
的分子结构和性质。
振动控制
02
通过控制机械振动的参数，实现对机械系统性能的优化和控制，
如振动减震、振动隔离等。
振动实验
03
利用振动实验来研究机械系统的动态特性和响应，如振动台实
验、共振实验等。
05
机械振动的实验与测量
根据实验需求设定振动频率、幅度和波形等 参数。
启动实验
启动振动台和数据采集器，开始记录数据。
数据处理
将采集到的数据导入计算机，进行滤波、去 噪和整理，以便后续分析。
绘制图表
将处理后的数据绘制成图表，如时域波形图、 频谱图等，以便观察和分析。
(完整版)高考物理一轮复习 12.1 机械振动 教学案
【重要知识梳理】一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．振动的特点: ①存在某一中心位置; ②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.产生振动的条件: ①振动物体受到回复力作用; ②阻尼足够小;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力;③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。
“平衡位置”不等于“平衡状态”。
平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。
(如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态)二、简谐振动及其描述物理量1、振动描述的物理量(1)位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．①是矢量,其最大值等于振幅；②始点是平衡位置,所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象．(2)振幅：离开平衡位置的最大距离．①是标量；②表示振动的强弱；(3)周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．①二者都表示振动的快慢；②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫固有频率与固有周期是定值,固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动． ①受力特征：回复力F=—KX 。
②运动特征：加速度a=一kx ／m ，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。
简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
2024版大学物理下册课件第十二章振动和波动
圆环。
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驻波与波的干涉
2024/1/30
驻波
两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成 的特殊波形，表现为波节和波腹的交替出现。
波的干涉
驻波是波的干涉现象的一种特殊表现，其形成与波的叠加原理和相 干条件密切相关。
特点与应用
驻波具有稳定的波形和能量分布，广泛应用于乐器制造、声学测量 等领域。
01
02
03
天文学
通过观测遥远星体发出的 光谱线的多普勒频移，可 以推断出星体的运动速度 和距离。测量风场的速度和方 向，为天气预报提供重要 数据。
军事领域
军事上利用多普勒雷达可 以探测目标的距离、速度 和方位角等信息，实现目 标跟踪和识别。
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2024/1/30
平面简谐波的波函数
针对平面简谐波，其波函数具有 特定的形式和性质，如周期性、 传播方向等。
波函数的物理意义
波函数反映了波在传播过程中的 各种物理量的变化规律，如振幅、 相位、传播速度等。
2024/1/30
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平面简谐波的能量
1 2
波的能量概念
波在传播过程中携带的能量，包括动能和势能两 部分。
平面简谐波的能量密度 表示单位体积内波的能量，与波的振幅平方成正 比。
驻波的特点
驻波具有固定的波形和节点位置，波形不随时间推移而向前传 播。在驻波中，相邻两个节点之间的距离等于半个波长，且节 点处质点的振幅为零。
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平面简谐波
2024/1/30
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平面简谐波的波动方程
01 波动方程的一般形式
描述波动现象的基本方程，表达了波动参量（如 位移、压强、电场强度等）与时间、空间坐标之 间的关系。
机械振动及其特性教案
机械振动及其特性教案一、教学目标1.了解机械振动的基本概念和分类。
2.掌握机械振动的特性。
3.能够运用所学知识在机械设备的运行中进行振动分析。
二、教学重难点1.机械振动的特性。
2.机械振动的分析方法。
三、教学内容1.机械振动基本概念机械振动是指机械系统在运动过程中发生的振动现象。
所有机械系统都会产生振动，振动可能会导致机器的磨损，噪音和性能下降。
机械振动按照振动形式可以分为以下三种：(1)自由振动：当物体受到外部干扰后，自动开始振动，并以自身固有频率进行振动的运动。
(2)强制振动：当外界施加一定频率的周期性作用力时，物体将以该频率进行振动。
(3)共振振动：当机械系统的固有振动频率与外界作用力间频率相同波长相等时，振幅增大并共振发生。
共振振动是机械系统中最危险的一种振动，它会导致机械元件的破坏。
2.机械振动特性机械振动的特性主要包括三个方面：振动的幅值、频率和相位。
(1)振动幅值：机械振动的振幅是指物体挥动的长度或角度。
振幅越大，即物体挥动的范围越大，对机器的损伤就越大。
(2)振动频率：机械振动的频率是指振动中每秒钟重复出现的次数。
它和物体质量、弹性系数、杆长和杆的几何形状等因素有关。
(3)振动相位：指某一时刻两个物体振动的相对位置。
相位关系决定了振动能量的传递方向以及减震和隔音等方法的选择。
3.机械振动分析方法(1)谐波分析法：将周期信号分解成一系列的谐波，根据谐波的幅值和相位值进行分析。
(2)时域分析法：通过对振动信号进行时间域分析，可以得出振幅和幅值等参数。
(3)频域分析法：通过对信号进行傅里叶变换，分析信号中包含的频率成分，得出谱线图，可以判断振动信号中的谐波频率。
(4)相位分析法：利用相位差来判断信号传输时的时间周期，从而确定系统的共振频率。
四、教学方法1.案例分析法：以实例为教学资源，让学生通过对实例的分析，了解振动原理与实际运用。
2.讲授法：通过知识点和案例总结的方式进行讲解，让学生掌握振动的特性和分析方法。
大学物理下册课件第十二章 振动和波动
解： 2 4 s1
T
A
x02
v02 2
2.0 102 m
tg v0 4
x0
3
代入 x Acos(t )
x 2.0 102 cos(4t 4 )
3
18
四.用图示法描述谐振动
为A。若某时刻 t 测得质点的位移 x A ，向Ox轴负 方向运动。求该时刻质点振动的相位。2
解1 旋转矢量法
作旋转矢量图，t 时刻质 点振动的相位
t arccos 1 π
23
解2 解析法
A A 2
cos(t ) 1
2
v0
sin(t ) 0
若坐标原点选在别处，应注意： 1）振动方程中的 x 是对平衡位置而言的，要进行变换 2）初始条件中x0 也是对平衡位置而言，也要进行变换 4、求出 A 、 、 就可写出振动方程。
27
例6例P29 12-13
解:
k
平衡时: mg kl0 0
任意时: mg k(l0 x) mx
A
(3)t=0时
A Acos
2
v0 A sin 0
A
O
X
/2
O
X
2
O X
3 A
21
3
旋转矢量 A 与谐振动的对应关系
旋转矢量
A
简谐振动 符号或表达式
模 角速度 t=0时，A 与ox夹角
旋转周期
t时刻，A与ox夹角
m 0.1
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大学物理_机械振动_教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解机械振动的概念，掌握振动的分类和特点。
（2）掌握简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系。
（3）掌握谐振动的能量、运动学特征和动力学特征。
（4）了解振动合成、频谱分析、阻尼振动和受迫振动等概念。
2. 能力目标：（1）能运用简谐振动的基本理论解决实际问题。
（2）能分析振动系统的稳定性，掌握振动控制方法。
3. 情感目标：（1）激发学生对物理学的兴趣，培养学生严谨的科学态度。
（2）培养学生团队合作精神，提高学生的综合素质。
二、教学内容1. 机械振动的概念及分类2. 简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系3. 简谐振动的能量、运动学特征和动力学特征4. 振动合成5. 频谱分析6. 阻尼振动和受迫振动三、教学过程第一课时1. 导入新课通过生活中的实例，如钟摆、弹簧振子等，引入机械振动的概念。
2. 讲解机械振动的分类及特点（1）机械振动的分类：自由振动、受迫振动、阻尼振动。
（2）自由振动的特点：周期性、等幅性、能量守恒。
3. 讲解简谐振动的基本概念、特征量及其相互关系（1）简谐振动的定义：物体在平衡位置附近作等幅、周期性、有规律的往复运动。
（2）简谐振动的特征量：振幅、周期、频率、相位。
（3）特征量之间的关系：T = 2π/ω，f = 1/T。
4. 讲解简谐振动的能量、运动学特征和动力学特征（1）能量：动能和势能。
（2）运动学特征：速度、加速度。
（3）动力学特征：弹性力、恢复力。
第二课时1. 讲解振动合成（1）同方向同频率谐振动的合成：叠加原理。
（2）同方向不同频率谐振动的合成：矢量合成。
（3）相互垂直的两个振动的合成：平行四边形法则。
2. 讲解频谱分析（1）频谱的定义：将信号分解为不同频率的成分。
（2）频谱分析的方法：傅里叶变换。
3. 讲解阻尼振动和受迫振动（1）阻尼振动：系统受到阻力作用，能量逐渐耗散。
（2）受迫振动：系统受到外部周期性力的作用，产生振动。
第三课时1. 课堂小结回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
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第四篇 振动与波动第十二章机械振动§ 12-1 简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点 O 在 m 平衡位置。
现将 m 略向右移到 A ，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。
在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置 O 时，作用 在 m 上弹性力等于 0，但是由于惯性作用， m 将继续向 O 左边运动，使弹簧压缩。
此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使 m 速率减小，直至物体静止于 B （瞬时静 止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。
图 12-12、简谐振动运动方程由上分析知， m 位移为 x （相对平衡点 O ）时，它受到弹性力为（胡克定律） ：F kx (12-1)式中： 当x 0即位移沿 +x 时，F 沿 -x ，即F 0 当 x即位移沿 -x 时，F 沿+x ，即F 0k为弹簧的倔强系数， “—”号表示力 F 与位移 x （相对 O 点）反向。
定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知，弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知，m加速度为aF kxmm（ m为物体质量）a d 2 xd 2 x k x∵dt 2 ∴ dt 2mk2∵ k、 m均大于 0，∴可令m可有：d 2 x 2 x 0(12-2)dt 2式 (12-2) 是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为x Asin t ' (12-3)或x Acos t (12-4)'2式 (12-3)(12-4) 是简谐振动的运动方程。
因此，我们也可以说位移是时间t 的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。
本书中用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加速度物体位移：xAcos tdxAsin tV(12-5)速度：dtd 2 xa 2 Acos t 2 x加速度：dt 2 (12-6)可知：Vmax A amax 2 Ax t、V t 、 at 曲线如下图12-2图12-3说明：（1）Fkx 是谐振动的动力学特征；（2） a2 x是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。
§ 12-2 谐振动的振幅角频率 位相上节我们得出了谐振动的运动方程x Acost，现在来说明式中各量意义。
1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做 A 。
A 反映了振动的强弱。
2、角频率（圆频率）为了定义角频率。
首先定义周期和频率。
物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用 T 表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用 v表示。
11vT由上可知：T或v∵ T 为周期，∴xAcos tAcos t T∵从 t时刻经过 1 个周期时，物体又首次回到原来 t时刻状态，∴ T 2（余弦函数周期为 2）22 vT 可见： 表示在 2秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）k∵m22mTk ∴v1 k2 m2对于给定的弹簧振子，m、 k都是一定的，所以 T 、 v完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。
因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。
3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当 A 、给定后，物体的位置和速度取决于t， t称为位相（或周相、相位） 。
由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。
是t时的位相，称为初相。
4、 A 、 的确定对于给定的系统， 已知，初始条件给定后可求出 A 、 。
初始条件：t 0时x x由 x 、 v 表达式有v v 0x 0 Acosv 0Asin 即x 0Acosv 0Asintg即x 0arctgv 0x 0A 2v 02x 02值所在象限：1） x 0 0， v0 0 ： 在第Ⅰ象限2） x 0 0 ， v 00 ： 在第Ⅱ象限 3） x 0 0 ， v 0 0 ： 在第Ⅲ象限4）x0，v0 ： 在第Ⅳ象限（ 12-6 ）（ 12-7 ）5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体 1 和 2 的谐振动方程为图 12-4x 1 A 1 cos 1t1x 2A 2 cos2t2任意 t时刻二者位相差为2t21t 121t21：2 的位相比 1 超前：2、1 同位相：2 的位相比 1 落后例 12-1 ：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知k1.60N / m ，m 0.40kg，试求下列情况下 m的振动方程。
（1）将 m从平衡位置向右移到 x 0.10m 处由静止释放；（2）将 m从平衡位置向右移到 x 0.10m 处并给以 m 向左的速率为 0.20m/ s 。
解：（1）m的运动方程为x Acostk1.602 / s由题意知： m 0.40初始条件：t0 时，x0.10m ， v 0 0A 2v 02 20.10m可得：x 0 20.10 0图 12-5arctgv 0 arctg 0x 0∵ x 0 0 ，v 0 0 ，∴x 0.10 cos 2t m2） 初始条件： t0 时， x0 0.10m ， v 00.20m / sA 2 v 02 20.20 2 0.1 2mx 0 20.1022arctg v 0arctg0.20arctg 1x 00.102∵ x 00 ， v 0，∴4x0.1 2 cos 2tm4可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。
例 12-2 ：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。
(1) 证明：当摆角 很小时小球做谐振动；(2) 求小球振动周期。
证：（1）设摆长为 l，小球质量为 m，某时刻小球悬线与铅直线夹角为 ，选悬线在平衡位置右侧时，角位移 为正，由 转动定律：M J有mg sin lml 2d2图 12-6dt 2d 2gsin0 即dt 2 l∵ 很小。
∴sind 2 g 0dt2l∵这是谐振动的微分方程（或与 正比反向）∴小球在做谐振动。
（2）2 2 l T2g gl（注意做谐振动时条件，即 很小）§ 12-3 表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量自 ox 轴的原点 o 作一矢量 A ，其模为简谐振动的振幅 A ，并使 A 在图面内绕 o 点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率 ，矢量 A 称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法图 12-7A（1）旋转矢量 A 的矢端 M 在 x 轴上投影坐标可表示为 x 轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量 A 以角速度 旋转一周，相当于谐振动物体在 x 轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。
（3）t0 时刻，旋转矢量与x 轴夹角为谐振动的初相，t 时刻旋转矢量与x 轴夹角t为 t 时刻谐振动的位相。
说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。
（ 2）必须注意， 旋转矢量本身并不在作谐振动， 而是它矢端在 x 轴上的投影点在 x 轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动 x t 曲线的对应关系（设）图 12-8三、旋转矢量法应用举例例 12-3 ：一物体沿 x 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s 。
t 0时，位移为 0.06m ，且向 x 轴正向运动。
（1）求物体振动方程；（2）设 t1 时刻为物体第一次运动到x0.06m处，试求物体从 t 1时刻运动到平衡位置所用最短时间。
解：（1）设物体谐振动方程为xAcos t由题意知A0.12m2 2 S 1T2?〈方法一〉用数学公式求x 0Acos∵A0.12m , x0.06mcos 123∴ ∵vAsin∴3x 0.12 cos tm3〈方法二〉用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果∴3图 12-9x 0.12 cos tm3由上可见，〈方法二〉简单（2）〈方法一〉用数学式子求t0.06 0.12 cos t1t1 由题意有： 3 （∵t12 43 3 或 3v1 A sin t1 0∵此时 3 t1 23 3∴t1 1s设t2 时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置，0 0.12cos t23有：t2 3（∵t22t23 2 或 2 ∴3v2 A sin t 2 0∵33t2∴3 211t2s11 5t t2t11s6 6〈方法二〉用旋转矢量法求t由题意知，有左图所示结果，M1为t1时刻 A末端位置， M2为t2时刻 A 末端位置。
从t1t2内A转角为t2 t1 M 1OM 2 52 6535 5t t26t16s6显然〈方法二〉简单。
例 12-4 ：图为某质点做谐振动的xt 曲线。
求振动方程。
解：设质点的振动方程为xA cos t由图知： A 10cm2 2 s 1T 2T 2t132∴）2）图12-10图 12-113用旋转矢量法（见上页图）可知，2（或2 ）x 10 cos tcm2例 12-5 ：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动， A 为振幅，t 0时刻情况如图所示。
O 为原点。
试求各种情况下初相。
图 12-12§ 12-4 谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量 E =E k（物体动能） +E p（弹簧势能）已知： 物体位移 xAcos t物体速度vAsin t E E k E p1 mv2 1 kx 2221Asin t2 1t2mk Acos22122 21221 2 mA sint2 kA cost(m2k)kA 2 sin 2 t cos 2t21 kA 2211EkA 2 m 2 A 2 （11-8 ）2 2说明：（ 1）虽然 E k 、E p 均随时间变化，但总能量 E E k E p 且为常数。
原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。
（2）Ek与E p互相转化。
当x0 时， E p，EkEk maxE 。
在 xA处，E k 0 ， E pEp maxE 。
例 12-6 ：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为 A 。
试求 E k 1E p的位置。
2解：设弹簧的倔强系数为 k，系统总能量为E E kE p1kA 221kEp在2 时，有EE k E p3E p 3 1 kx 22 2 23 kx 2 1 kA 2 422xA∴3例 12-7 ：如图所示系统，弹簧的倔强系数k25N / m ，物块m 10.6kg，物块m20.4kg，m1与m2间最大静摩擦系数为0.5，m1与地面间是光滑的。
现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使 m2在振动中不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。