全称量词命题与存在量词命题的否定(新版教材)

全称量词命题与存在量词命题的否定

基础知识

1．命题的否定

(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“?p”，读作“非p”或“p的否定”．

(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．2．存在量词命题的否定

1．命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)

A．?x∈R，|x|＋x2<0

B．?x∈R，|x|＋x2≤0

C．?x∈R，|x|＋x2<0

D．?x∈R，|x|＋x2≥0

解析：命题“?x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是?x∈R，|x|＋x2<0.

2．“?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(C)

A．?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020

B．?m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020

C．?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020

D．以上都不对

解析：命题“?m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是?m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020.

3．设命题p：?x∈(－1,1)，|x|<1，则?p为(B)

A．?x∈(－1,1)，|x|<1B．?x∈(－1,1)，|x|≥1

C．?x∈(－1,1)，|x|≥1D．?x?(－1,1)，|x|≥1

解析：命题p是全称量词命题，其否定?p为?x∈(－1,1)，|x|≥1.

4．设命题p ：有些三角形是直角三角形，则?p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p 是存在量词命题，?p 为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“?x <1使得x 2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)

类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■

典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0； (2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋1

4<0；

(3)r ：有些分数不是有理数．

思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x ∈R,2x ＋1<0，为假命题． (2)任意x ∈R ，x 2－x ＋1

4

≥0.

因为x 2－x ＋14＝(x －1

2)2≥0，是真命题．

(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤

(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．

(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断

存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■

1．将本例(2)改为：q ：存在x ∈R ，x 2－x －1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x ∈R ，x 2－x －1≥0.

因为x 2－x －1＝(x －12)2－5

4，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．

类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■

典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)?a ∈R ，方程x 2＋ax ＋2＝0有实数根；

(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)?n∈N，n2≤2n.

思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论．

解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)?a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．

(3)?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)?n∈N，n2>2n.

归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤

(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．

(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．

2．全称量词命题否定的真假判断方法

全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．

┃┃对点训练__■

2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：

(1)p：?x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；

(2)q：?x∈R，x3＋1≠0；

(3)r：所有分数都是有理数．

解析：(1)?p：?x∈{－2，－1,0,1,2}，

|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，?p是真命题．

(2)?q：?x∈R，x3＋1＝0.

例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以?q是真命题．

(3)?r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知?r是假命题．

易混易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词

┃┃典例剖析__■

典例3写出下列命题的否定：

(1)可以被5整除的数，末位数字是0；

(2)能被3整除的数，也能被4整除．

错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此

命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”．解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.

(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“?x∈M，?p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．

学科核心素养全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题

┃┃典例剖析__■

已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为?p是真命题后，再求参数的值或取值范围．

(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．

(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．

典例4已知命题p：“?x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．

思路探究：命题p的否定?p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．

解析：方法一：?p：?x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，

即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，

设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，

当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，

即实数m的取值范围是(1，＋∞)．

方法二：?p：?x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，

设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，

只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．

课堂检测·固双基

1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(C)

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．

2．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3>0”的否定为(A)

A．存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0

B．对任意x∈R，都有x2＋2x＋3≤0

C．存在x∈R，使得x2＋2x＋3>0

D．不存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0

解析：命题的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0”．

3．“?x>0，x2＋1>|x＋1|”的否定是__?x>0，使x2＋1≤|x＋1|__.

解析：根据含有量词的命题的否定的规则，可以写出：?x>0，使x2＋1≤|x＋1|.

4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，命题“对于任意a>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上”的否定是__存在一个a>0，使二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下__. 5．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)p：不论m取何实数，方程3x2－2x＋m＝0必有实数根；

(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；

(3)r：等圆的面积相等，周长相等．

解析：(1)全称量词命题p：?m∈R，方程3x2－2x＋m＝0有实数根，该命题的否定是存在量词命题，?p：?m∈R，使得方程3x2－2x＋m＝0没有实数根．

当Δ<0，即m>1

3

时，方程没有实数根，所以?p是真命题．

(2)命题q的否定是全称量词命题?q：?x∈R，x2＋x＋1>0.

易知(x＋1

2)2＋3

4>0恒成立，所以?q是一个真命题．

(3)命题r的否定是?r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知?r是一个假命题．

A级基础巩固

一、单选题(每小题5分，共25分)

1．命题“对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|≥3”的否定为(A)

A．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3

B ．对任意x ∈R ，都有|x ＋1|＋|x －2|<3

C ．存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|≥3

D ．不存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3

解析：命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3”．

2．已知全集U ＝R ，A ?U ，B ?U ，如果p ：a ∈(A ∪B )，那么“?p ”是( D ) A ．a ∈A B ．a ∈?U B

C ．a ?(A ∩B )

D ．a ∈[(?U A )∩(?U B )]

解析：“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，所以“a ∈(A ∪B )”的否定为“a ?A 且a ?B ”，即“a ∈[(?U A )∩(?U B )]”．

3．命题“?x ∈R ，?n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定是( D ) A ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n <2x ＋1 B ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n <2x ＋1 C ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n <2x ＋1 D ．?x ∈R ，?n ∈N *，使得n <2x ＋1

解析：将“?x ∈R ”改为“?x ∈R ”，“?n ∈N *”改为“?n ∈N *”，“ n ≥2x ＋1”改为“n <2x ＋1”即可．

4．若x 是不为零的实数，则命题?m ∈[0,1]，x ＋1

x ≥2m 的否定形式是( D )

A ．?m ∈[0,1]，x ＋1

x <2m

B ．?m ∈[0,1]，x ＋1

x

≥2m

C ．?m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1

x ≥2m

D ．?m ∈[0,1]，x ＋1

x

<2m

解析：?m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定是?m ∈[0,1]，x ＋1

x <2m ，全称量词命题的否定是换量词，

否结论，不改变条件．故选D ．

5．若命题“?x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1,2]

D ．(－1,2)

解析：依题意得：?x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2≥0，Δ＝(2m )2

－4(m ＋2)≤0

解得：－1≤m ≤2，即m ∈[－1,2]． 二、填空题(每小题5分，共15分)

6．“?x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0”的否定是__?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0__.

解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为?x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.

7．静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“?x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“?x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m 的取值范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)

解析：原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m 的取值范围是一致的．

8．已知非空集合M ，P ，则下列条件中，能得到命题“M ?P ”是假命题的是__④__. ①?x ∈M ，x ?P ； ②?x ∈P ，x ∈M ；

③?x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2?P ； ④?x ∈M ，x ?P .

解析：M ?P 等价于?x ∈M ，x ∈P ，因为“M ?P ”是假命题，所以其否定为?x ∈M ，x ?P ，它是真命题，故能得到“M ?P ”是假命题的条件是?x ∈M ，x ?P .故只有④符合条件． 三、解答题(共20分)

9．(10分)命题p ：存在x >a ，使得2x ＋a <3.若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：命题p 为假命题，则?p ：任意的x >a ，都有2x ＋a ≥3为真命题．由此可得2a ＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．

10．(10分)命题p 是“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”．其中a ，b 是常数． (1)写出命题p 的否定；

(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？

解析：(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，?p ：?x ∈R ， 满足x －a ≤0且x －b >0.

(2)由?

????

x －a ≤0，x －b >0，得b

所以当a >b 时，命题p 的否定为真．