方程与不等式题型分析和复习策略doc
“解决问题能力”是数学考查的主要内容,关注数学与生活的联系，培养学生应用与解决问题的能力是新课标所倡导的基本理念之一。体现在应用题比例普遍较大，保持了较高分值，涉及的知识面较广,背景广泛、取材丰富,重视考查学生从简单的实际问题中抽象出数学模型的能力与应用意识。突出了试题的教育价值而且具有较好的信度和效度。
一、新课标下的“方程与不等式”分析
1．考点课标要求：
（1)根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
(2)经历用观察、画图或计算器手段估计方程解的过程。
（3)会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）
（4)理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
降低的方面:(1）没有可化为一元二次方程的分式方程，可化一元一次的有要求(分式不超过2个);（２）没有高次方程、根式方程、二元二次方程组;（３)没有韦达定理；(4）没有用求根法分解二次三项式．
不等式与不等式组
加强的方面:(1）重视对不等式意义的理解——根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义；（２)重视不等式基本性质的探索过程;（３）重视用数轴确定解集．
在每年的中考中都会出现一些让人耳目一新的题,它们精巧的构思、生机盎然的呈现形式让人注目。这些题常中见拙，拙中见巧,为不同程度的学生提供了展示自己才华的平台。
（2００8年贵阳市)利用图象解一元二次方程 时,我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线ｙ=x2和直线y＝-x＋3,两图象交点的横坐标就是该方程的解.
降低的方面:(1）一元一次不等式组限２个不等式;（２)对不等式的整数解没有明确要求,但解决实际问题中要用到.
3.考法分析：
方程与不等式的综合应用是中考数学重点考查的内容之一，新课程在数与代数领域的一个亮点就是加强了知识之间的内在联系的研究,方程与不等式是紧密联系的数学知识，复习时，要站在知识整体的高度把握方程式和不等式的知识内容。对本章的考法可以归纳为三个层面:(１）考方程和不等式的有关概念和解法；（２)考查列方程和不等式的能力;（3）以考查“方程和不等式”的运用为基础,进而实现对“方程思想”的考查。
(１）填空:利用图象解一元二次方程 ，也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线ｙ＝和直线y=-x,其交点的横坐标就是该方程的解.
(２)已知函数 的图象（如图所示）,利用图象求方程 的近似解（结果保留两个有效数字）.
评析:本题是方程与函数的结合的一道非常新颖的试题,它以崭新的方式考查了学生自学新知的能力,看似复杂其实简单。这样的题目突出要求学生具有如下的能力：第一迅速而较强的数学理解能力;第二对“新方法”的运用能力,有效的考查学生的数学学习能力。
（5)能根据具体问题的实际意义，检验结果是否正确。ﻩ
(6）一元一次不等式（组)的有关概念、解法和应用，题型多以填空、选择为主,难度不大,另外关于列一元一次不等式（组)解决实际问题的考题在中考中出现的几率也较大。
2.加强与减弱的方面
方程与方程组
加强的方面：(1）重视模型思想——根据具体问题中的数量关系，建立数学模型,列出方程或方程组，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；（２)重视估算——用观察、画图或计算器等手段估计方程的解；（３)明确配方法的名称及意义；（4）重视根据问题的实际意义检验结果的合理性．
（２０0８年绵阳)A、B两地相距176 km，其间一处因山体滑坡导致连接这两地的公路受阻.甲、乙两个工程队接到指令,要求于早上8时，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡点疏通公路.１0时，甲队赶到立即开始作业，半小时后乙队赶到，并迅速投入“战斗”与甲队共同作业，此时甲队已完成了工程量的 .
(1)若滑坡受损公路长１km,甲队行进的速度是乙队的 倍多５km,求甲、乙两队赶路的速度；
方程与不等式题型分析和复习策略.dｏｃ
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新课标中考对“方程与不等式”的
考查方式研究及复习对策
江油中学实验学校初三数学组任晓梅
在课程改革和新课标理念的指导下，中考命题出现了能力立意和题型创新的新局试题，在遵循课程标准要求的同时，更加注重了对考生学习潜能的考查，并注意为初中数学教学、全面落实素质教育导向。今天我仅针对“方程与不等式”从中考试题的分析中谈谈教学和复习策略。
（２）假设下午4点时两队就完成公路疏通任务胜利会师．那么若只由乙工程队疏通这段公路时,需要多少时间能完成任务?
评析:本题看似复杂，实际是方程问题中非常典型的相遇问题与工程问题,解题的关键是将现实问题转化为方程模型来解决。。方程模型可以帮助人们从数量关系上更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。
３．注重开放，考查探究能力与创新能力
（1）（200６年绵阳）解不等式组:
（２）（2007年绵阳）(教材变式八下52页例４)、.若A（ａ1,ｂ1),B(a2,ｂ2）是反比例函数 图象上的两个点,且a1<ａ2，则ｂ1与ｂ2的大小关系是
A.b１<b2B.b1=ｂ2Ｃ．b1＞ｂ2D.大小不确定
评析:此两题突出重点知识,充分体现“三基”,源于课本又有创新。前一题中并未直接考查概念与性质，但由于解方程(组)和不等式（组）是重要的数学技能,其过程具有很强的程序性，这种考题也反映了解方程和不等式(组)类问题的根本特性，是常见考题。第二题对双基较好的学生根据反比例函数的性质也能立刻能得出结论,对三基较差的学生还可以通过代值或通过画图继续算下去，也能得出结果,这完全体现了新课标下“不同的人有不同的收获”的理念，激励不同层次的学生努力学习。
二、考查方式的研究——典型考题分析
1、注重基础，深挖教材，重视对数学核心内容的考查
按照教育部«命题指导»的精神，各地的中考数学命题在注重考查“三基”（即基础知识、基本技能、基本的数学思想方法)方面注意了以下几点；(1)精选知识点保证适度的覆盖面；(２)在基础题的命题中避免直接考查概念、法则、性质、定理的机械识记，突出考查其蕴涵的基础知识、基本技能中的数学思想和数学方法。在基础题的设计中注重试题的公平性、趣味性、多样性和基础试题的创新。
初一数学 方程、方程组、不等式专题 经典复习教案 含习题和答案
专题三 方程、方程组与不等式★重点 一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）一．中考要求1．了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数字系数）2．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．3．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系数人能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性． 4．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关系．5．了解解二元一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想．6. 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．7．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质．8．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想． 9．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 10．初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别．二、重要概念1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组） 2、分类：二.解方程的依据—等式性质 1．a=b ←→a+c=b+c2．a=b ←→ac=bc (c ≠0) 三.解法1．一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2． 二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法 四.一元二次方程1．定义及一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列. 2．解法：⑴直接开方法（2）配方法（注意步骤和推导求根公式）二次方程 一次方程 高次方程 整式方程 分式方程 有理方程 无理方程方程(3)公式法：)04(24222,1≥--±-=ac b aac b b x(4)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。
方程与不等式教学复习建议
方程与不等式教学复习建议首先，在复习方程与不等式之前，学生们应该回顾一下相关的基本知识和概念。
包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、一元一次不等式和一元二次不等式的定义、性质和解法。
这些基础知识是学习方程与不等式的基础，是深入理解和应用方程与不等式的前提。
其次，在复习方程与不等式的解法时，学生们可以采用多种方法进行巩固。
比如，可以通过代入法、消元法、配方法等来解一元一次方程；通过公式法、配方法等来解一元二次方程；通过加减消元法、代入法等来解二元一次方程；通过分析法、套值法等来解一元一次不等式；通过图像法、套值法等来解一元二次不等式。
通过练习不同的解法，学生们可以更灵活地运用方程与不等式的解法，增加解题的思路和方法。
接下来，学生们可以通过大量的例题进行巩固。
在解题过程中，学生们应注意先理解题意，将问题转化为方程或不等式，然后运用相应的解法来求解。
并注意求解过程中的合理性和解的判定条件。
通过解题，学生们可以增加对方程与不等式的熟悉程度，掌握题型的套路和解题的技巧。
此外，学生们应该注重分析问题和归纳总结。
在解题过程中，学生们应该注意思考解题的思路和步骤，总结规律和特点。
通过分析问题，学生们可以更好地理解方程与不等式的含义和应用场景。
通过归纳总结，学生们可以总结解题方法和技巧，为以后的学习和应用打下基础。
最后，做好习题和试卷的复习是巩固和提高的重要方式。
学生们可以针对方程与不等式的知识点，选择一些经典的习题和试题进行练习。
可以选择一些基础的题目进行巩固，也可以选择一些较难的题目进行拓展。
通过做题，学生们可以更全面地巩固和应用方程与不等式的知识，发现和解决问题，提高解题和思考的能力。
总之，方程与不等式是高中数学中的重要内容，学生们在复习时应该注意巩固基础知识，多种解法的掌握，大量习题的练习，问题的分析和总结。
通过不断地复习和实践，学生们可以更好地理解和应用方程与不等式，提高解题和思维的能力。
希望以上建议能对学生们的方程与不等式的复习有所帮助。
专题2：方程和不等式(组)常见题型和解题方法(终稿)
2017—2018学年度第二学期初三数学中考复习专题2：方程和不等式（组）常见题型和解题方法一、热点再练：1. 方程36x =的解为 .2. 关于x 的方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）有一个根为1，则a +b +c = . 3．方程0532=++px x 的一个根为5，另一个根为______、p =_______.4．如果关于x 的方程(m –2)x 2–2x +1=0有解，则m 的取值范围是_______.5．已知关于x 的方程a (1–x 2)+2bx +c (1+x 2)=0有两个相等的实数根且a 、b 、c 均为正数，以a 、b 、c 为边围成一个三角形，则该三角形是________三角形.6．方程)2()2(2-=-x x 的根是________.方程组⎩⎨⎧=+=-1435y x y x 的解为________. 7．若关于x 的一元一次不等式组0122x a x x ->⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是________. 8．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是【 】A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩， C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩， D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩， 9．下列方程中，两实数根之和是2的是【 】A ．x 2–2x +5=0B ．x 2+2x –5=0C ．x 2+2x +5=0D ．x 2–2x –5=010．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且10x <，2130x x -<，则 【 】A ．1,2m n >⎧⎨>⎩B ．1,2m n >⎧⎨<⎩C ．1,2m n <⎧⎨>⎩D ．1,2m n <⎧⎨<⎩11．已知直线y =2x －b 经过点（－2，0），则关于x 的不等式2x －b ≥0的解集为__________．12．设一元二次方程(x －1)(x －2)＝m (m >0)的两根分别为α、β，且a <β，则a ，β满足 【 】A ．1<a <β<2B ．1<a <2<βC ．a <1<β<2D ．a <1且β>2（第9题）13．关于x 、y 的二元一次方程组5323x y x y p +=⎧⎨+=⎩的解是正整数，则整数p 的值为__________． 14．解分式方程225103x x x x-=+-．二、规律剖析例1. 解不等式组：331213(1)8x x x x-⎧+>+⎪⎨⎪---⎩，≤并在数轴上把解集表示出来．例2.已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数，求k 的取值范围．例3. 已知关于x 的一元二次方程mx 2－（3m ＋1）x ＋2m ＋2＝0的两实根为x 1，x 2．（1）请用含m 的代数式表示x 1，x 2；（2）且n ＝x 2－x 1－1，求在直角坐标系xOy 中动点P （m ，n ）所形成的曲线解析式．三、变式训练1. 若关于x 的不等式组10,233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．2. 若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是 ．3．已知关于x 的一元二次方程2(41)330mx m x m -+++=的两个实数根分别为1x ，2x ，212n x x =--，设点A （1，a ），B （b ，2）两点在动点P （m ，n ）所形成的曲线上，求直线AB 的解析式．四、分层作业1．一元二次方程(2x －1)2＝(3－x )2的解是 ．2． 关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是【 】A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23． 甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 张．4． 设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝ ． 5. 下列关于x 的方程有实数根的是【 】A ．x 2－x ＋1＝0B ．x 2＋x ＋1＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝0D ．(x －1)2＋1＝06．若关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0有两个相等的实数根，则m = ．7．下列一元二次方程两实数根和为－4的是【 】A ．x 2＋2x －4=0B ．x 2－4x ＋4=0C ．x 2＋4x ＋10=0D ．x 2＋4x －5=08．已知关于x 的一元二次方程x 2＋x ＋m =0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【 】A ．－2B ．0C ．1D ．29．若关于x 的一元一次不等式组10,0x x a -<⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ＞1C ．a ≤－1D ．a ＜－1 10．关于x 的不等式x －b ＞0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是（ ）A ．―3＜b ＜―2B ．―3＜b ≤―2C ．―3≤b ≤―2D ．―3≤b ＜―211．求不等式组364,213(1)x x x x --⎧⎨+>-⎩≥的解集，并写出它的整数解．12.已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．13. 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？14. 关于x的一元二次方程ax2－3x＋1＝0的两个不相等的实数根都在0和1之间（不包括0和1），求a的取值范围．★15.已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，求整数a的值．★16.已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．。
含参数的方程、不等式的问题解题策略
含参数的方程、不等式的问题解题策略含参数的方程、不等式的问题是历年高考常考的题型，由于含有参数对很多同学来说感到困难重重，一重困难是选择什么样的解题方法（如2012年山东卷第12题)，二重困难是含参数问题涉及到的分类讨论(如2017年全国卷1第21题)，根据我多年的研究发现，（1）这类题目解题方法有规可循，基本方法有：分离参数构建函数，不分离参数构建函数，半分离参数构建函数，总之，如何构建函数是解题的关键。
（2）很多求参数取值范围的问题，其实有时可以避开分类讨论这个陷阱。
本文就结合实例谈谈这类问题的求解策略。
一、分离参数构建函数：若方程或不等式中的参数容易分离出来，即参数分离 在方程或不等式的一边，另一边是关于自变量的函数，分离后的函数不复杂，容易求出导函数，容易研究函数的性质，就选择分离参数法构建函数。
例1（2017年全国高考卷1第21题）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+-- 若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.分析：2f(x)=ae (-2)e x x a x +-有两个零点，转化为方程2(2)0x x ae a e x +--=有两个根先分离参数22a x x x e x e e +=+，令222(1)(21)()g ()(1)x x x x x x x e x e x e g x x e e e e +-+-+'==++，设1x h x -+（x)=-e ，则()h x 递减，(0)0h =当(,0)x ∈-∞时()0h x > ()0g x '∴>()g x ∴递增，当(0,)x ∈+∞时，()0,()0,()h x g x g x '<∴<∴递减，所以当x →+∞时()0g x →,当x →-∞时，g(x)-→∞如图01a ∴<<评析：查阅高考评分标准，看出对参数a>0共分了三种情况讨论：（1）a=1（2）a>1（3）0<a<1，其中0<a<1时，要用函数零点的判定定理，找区间端点时非常困难，绝大多数同学完成不了。
方程与不等式复习策略
方程与不等式的复习策略北门乡中心校胡文明一.考点分析1.不等式与不等式组这节，最近几年在南充中考中考题的难度适中，多数是以列方程（组）或不等式解决实际问题出现的，重点考查利用等量关系或不等式关系建立方程（组）或不等式的数学建模思想的应用能力。
2.一元一次方程与二元一次方程组这部分内容近几年在南充中考中难度不大，一般是基础题，多数是作为分式方程、一元二次方程的解法基础出现的，单独又以应用题、一元一次不等式的综合应用出现次数居多。
3.一元二次方程这章近几年的南充中考题中一般是选择、解答题型，考查一元二次方程及其解法，重点考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，分值约占8%~11%二.复习的策略与方法1. 宏观把握，整体规划对课程内容的宏观把握上，要依纲（数学课程标准）靠本（教材），熟悉课程理念，明确课程目标及内容要求.对中考考试的宏观把握上，要认真研究中考说明，明确考试的范围、侧重点、每一个考点的具体要求，做到：①以中考考试说明为指导，以近年来中考命题的稳定性风格为导向；②以课标为大纲，以教材为依据，又不拘泥于教材；③以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年中考试题为基本素材.2. 构建网络，加强联系(1) 加强数学知识内容之间的联系数与式之间的联系. 数与形之间的联系.方程、不等式、函数之间的联系.(2) 加强知识、方法与数学观念及数学能力之间的联系(3) 加强数学知识与现实生活的联系在中考复习中，要充分利用已有的生活经验和熟知的生活实例，通过比较、分析、猜想、归纳、综合等思维训练，使之完成各知识之间的正迁移；通过抽象、概括、数学建模来增强应用数学的意识，提高分析问题和解决问题的能力.3. 夯实双基，凸现思想方法中考试卷重视“双基”的考查，更重视数学核心知识和基本能力考查，因此，必须重视“双基”的复习。
那种盲目地做大量的综合题而忽视“双基”的行为是不可取案例1. 一元一次不等式（组）单元的“双基”复习第一环节，出示问题1：关于一元一次不等式（组）这一单元的内容，你还记得哪些？学生先回顾、交流，再对照课本整理，然后师生构建知识网络，使学生储存的知识条理化、系统化.第二环节，出示问题2：你还记得以这一单元知识为载体的例习题的类型吗（不等式的基本性质、不等式的解集、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式（组）的应用）？完成具有代表性的例题，并解决相应的变式练习.教师针对学生完成的情况进行有针对性的讲评,突出易错点.第三环节，出示问题3：在不等式这一单元学习中，你积累了哪些经验？你认为有哪些注意事项？你感到困难的问题是什么？学生自我反思、总结.第四环节，出示问题4：编拟有典型性、代表性、覆盖面广（要求有一元一次不等式（组）的应用题——突破难点，增强应用意识，提高解决问题的能力）的测试题，与同伴们互测互批，教师查阅评价，反馈矫正，夯实双基.数学思想方法是数学的精髓，初中“数与代数”部分蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化的思想、待定系数法、配方法、消元法等.在中考复习中，结合基础训练，显化数学思想方法，突出数学思想方法的运用，把学生的经验积累上升为思想方法并内化.4. 合作探究，提高综合素质复习课的总目标是通过学生的再认识、再实践，进一步提高学生的学习能力、解决问题的能力及综合素质。
方程与不等式复习建议
方程与不等式复习建议一、考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，其中配方法还可用于考察非负性4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用二、考点及考题形式分析：近四年资阳市的中考试题中，考查方程与不等式知识的分值平均占到15%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法，以选择题为主；分式方程的解法一般作为解答题，一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用，常见题型为选择题和填空题，难度一般不大；一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主（重后者）；方程和方程组的应用主要有两个方面：一是建立方程模型解直角三角形，二是列二元一次方程组及一元一次不等式组解方案设计类及决策类问题．方程，不等式贯穿在函数知识的考察中作解答题（难点）。
三、易错点分析：1、一元二次方程的取值范围（二次项系数不为0）例：已知关于x 的二次方程（1－2K ）x 2－201=-x k 有实数根，则K 的取值范围是 解析：此题有两处易错，一是：忽视二次项系数1－2K ≠0，二是：有实数根是ac b 42-≥0，而不是ac b 42-＞0. 答案：2110≠≤≤k k 且 2、关于一元一次不等式组有解无解的条件或已知整数解求字母系数的取值范围（考虑是否相等）.例：如果一元一次不等式组3x x a>⎧⎨>⎩的解集为3x >.则a 的取值范围是: （ ）A .3a >B .3≥aC .3≤aD .3 a解析:利用同大取大可以得到a <3易忽视a =3时解集也为3x >这种情况，导致错选D 答案：C3、解分式方程（验根） 例：解方程x x-=-22482 解析：解分式方程时易忘记检验，导致结论出错.答案：两边同时乘以（4－x 2）并整理得8=2（2+x ），解之得x =2经检验x =2是增根，原方程无解.4、换元法、用整体代入解方程或不等式（理解整体的非负性或整体是否有解）. 例：已知5)3)(1(2222=-+++y x y x , 则22y x +的值等于解析：学生解题时易直接换元令a y x =+22，解得42=-=a a 或然后直接填答案，易忽视a 不能为负数这个隐含条件.答案：45、方程的解、函数的性质、函数图象、不等式的解集之间的转换（理清联系，多用图形分析法）。
[精品]华东版《方程与不等式》复习建议.doc
《方程与不等式》复习建议“方程与不等式”是初屮数学最重要的内容之一，是贯穿初屮数学教学的一条主线，是学生解决实际问题的一种工具。
在近年屮考屮考察该部分知识约占20-30分。
一、课程标准的要求（1）方程与方稈组%1能够根据具体问题屮的数量关系，列出方稈，体会方程是刻慚现实世界的一个有效的数学模型。
%1经历用观察、tai图或计算器等手段佔计方程解的过程。
%1会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。
%1理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方稈。
%1能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
（2）不等式与不等式组%1能够根据具体问题屮的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基木性质。
%1会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
会解由两个一元一次不等式成的不等式组，并会用数轴上确定解集。
%1能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题。
二、考试标准的要求知识要点知识技能目标过稈性目标了解理解掌握灵活运用经历体验探索根据具体问题屮的数最关系出列出方程（组）7估计方程的解V7解一元一次方稈7解简单的二元一次方程（组）7解可化为一元一次方程的分式方程7配方法7用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程V列方程（组）解应用题，要检验结果是否合理7解分式方程必须验根7不等式的意义7不等式的基木性质77解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集7解由两个一元一次不等式成的不等式组7根据具体问题屮的数量关系，列出一元一次不等式（组）7三、复习重点能正确、熟练的解一元一次方稈、简单的二元一次方程组，理解配方法，并熟练的用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；掌握简单分式方程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程屮的分式不超过两个）并会验根；能根据具体问题屮的数量关系，列出方程（组），并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解
中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解方程和不等式是数学中的重要内容，也是中考数学考试中经常出现的题型。
掌握方程和不等式的解法和应用，对于提高中考数学成绩至关重要。
下面将对方程和不等式的知识进行讲解，帮助同学们更好地复习和理解。
一、一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的基本步骤如下：1. 移项：将方程中的常数项移到方程的另一侧，得到ax = -b。
2.化简：将方程中的系数和常数进行运算和化简，得到x的系数为1，b的相反数为其常数项。
3.消元：将方程两边同时除以系数a，得到x=-b/a。
二、一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b 和 c 是已知数，x 是未知数。
解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式D = b² - 4ac。
2.判断解的情况：a.当D>0时，方程有两个不相等的实根。
b.当D=0时，方程有两个相等的实根。
c.当D<0时，方程没有实数解。
3.求解实根：根据判别式的情况，应用二次根式公式x=(-b±√D)/2a求得方程的实根。
三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a、b 是已知数，x 是未知数。
解一元一次不等式的基本步骤如下：1.移项：根据不等式的符号，将常数项移到不等式的另一侧。
2.化简：将不等式中的系数进行运算和化简。
3.计算不等号的符号：根据不等式的规则，计算出x的取值范围。
四、一元一次不等式组一元一次不等式组是形如{ax + by > 0, cx + dy < 0}的不等式组，其中a、b、c、d 是已知数，x、y 是未知数。
解一元一次不等式组的基本步骤如下：1.分别解出两个不等式的解集。
2.将解集进行交集操作，得到不等式组的解集。
版高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略
版高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略高考数学一轮总复习解方程与不等式的技巧与策略在高考数学中，解方程与不等式是一项重要的内容，也是考查学生解决实际问题能力和逻辑思维能力的常见方式。
本文将为大家介绍一些解方程与不等式的常用技巧与策略，希望能够帮助大家提高解题效率。
一、解一元一次方程一元一次方程是高考数学中最基础的方程类型，其求解过程相对简单。
一般可以通过正反合理性检验或代数解法来求解。
1. 正反合理性检验法正反合理性检验法是一种常用的解一元一次方程的方法。
具体步骤如下：（1）设定未知数，列出方程；（2）解出未知数的值；（3）将解代入原方程，检验是否满足。
例如，解方程3x + 5 = 20，我们可以按照以下步骤进行求解：（1）设定未知数x，列出方程3x + 5 = 20；（2）解出未知数的值x = (20 - 5) / 3 = 5；（3）将解代入原方程3 * 5 + 5 = 20，满足方程，因此解为x = 5。
2. 代数解法代数解法是通过代数运算的方式求解一元一次方程。
常用的代数解法包括等式两侧运算、两侧消元法等，具体策略根据方程的形式灵活运用。
二、解一元二次方程一元二次方程是高考数学中较为复杂的方程类型，其求解过程需要运用二次根式的求解方法。
1. 求解一元二次方程的基本步骤（1）设定未知数，列出方程；（2）通过配方法化简等方式，将方程化为标准形式（即去掉二次项系数）；（3）利用求根公式或配方法求解方程；（4）检验解的合理性。
需要注意的是，在应用求根公式求解一元二次方程的过程中，注意判别式的正负与根的关系，以及特殊情况下解的形式。
2. 化简方程的配方法对于一些无法直接利用求根公式求解的一元二次方程，可以通过配方法进行化简。
常见的配方法包括完全平方公式、提取公因式法等。
具体策略根据方程的具体形式采用。
三、解一元二次不等式一元二次不等式是高考数学中较为复杂的不等式类型，其求解过程需要利用一元二次函数的图像性质和不等式的性质。
专题06 方程与不等式的实际运用【考点巩固】(解析版)
专题06 方程与不等式的实际运用题型1：工程问题1．九龙坡区某工程公司积极参与“精美城市，幸福九龙坡建设，该工程公司下属的甲工程队、乙工程队别 承包了杨家坪地区的A 工程、B 工程，甲工程队晴天需要14天完成，雨天工作效率下降30%，乙工程队晴 天需15天完成，雨天工作效率下降20%，实际上两个工程队同时开工，同时完工．两工程队各工作了 天．【分析】根据题意找出两个等量关系：①甲工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量；①乙工程队晴天所做的工程量+雨天所做的工程量＝总工程量．设工程总量为1，则甲工程队晴天工作效率为114，雨天工作效率为1−30%14；乙工程队晴天工作效率为115，雨天工作效率为1−20%15，根据等量关系列出方程组求解即可．【详解】解：设两工程队各工作了x 天，在施工期间有y 天有雨，由题意得：{114(x −y)+1−30%14y =1115(x −y)+1−20%15y =1， 解得：{x =17y =10．即两工程队各工作了17天． 故答案为：17．2．（2021·湖南中考真题）为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的1330． （1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）0.85千米． 【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为x 千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为1330x 千米/分钟，再根据“路程=速度⨯时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工y 千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为x 千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为1330x 千米/分钟，由题意得：1360164030x x ⨯-=， 解得4x =，则16464⨯=（千米），1313606041043030x ⨯=⨯⨯=（千米）， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米； （2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为7647794010⨯=+（千米）， 乙工程队每天对其施工的长度9649794010⨯=+（千米）， 设甲工程队后期每天施工y 千米， 则979(4053)()64()5101010y --+≥-+⨯， 解得1720y ≥， 即0.85y ≥，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米． 题型2：行程问题3．某体育场的环形跑道长400m ，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔 30s 相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s 乙就追上甲一次．则甲的速度是 m /s ．【分析】设甲的速度为xm /s ，乙的速度为ym /s ，根据“某体育场的环形跑道长400m ，如果反向而行，他们每隔30s 相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s 乙就追上甲一次”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲的速度为xm /s ，乙的速度为ym /s ， 依题意，得：{30x +30y =40080y −80x =400，解得：{x =256y =556．故答案为：256．4．（2021·山西中考真题）太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线．游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太输路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间．【答案】25分钟 【分析】设走路线一到达太原机场需要x 分钟，用含x 的式子表示路线一、二的速度，再根据路线二平均速度是路线一的53倍列等式计算即可． 【详解】解：设走路线一到达太原机场需要x 分钟． 根据题意，得5253037x x ⨯=-．解得：25x =．经检验，25x =是原方程的解．答：走路线一到达太原机场需要25分钟．5．（2021·湖南岳阳市·中考真题）星期天，小明与妈妈到离家16km 的洞庭湖博物馆参观．小明从家骑自行车先走，1h 后妈妈开车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达．已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度．【答案】妈妈开车的平均速度是48km/h ． 【分析】设妈妈开车的平均速度为x km/h ，根据小明行驶的时间比妈妈多用1小时列出方程，求解并检验可得结论． 【详解】解：设妈妈开车的平均速度为x km/h ，则小明的速度为4xkm/h ，根据题意得， 161614x x -= 解得，48x =经检验，48x =是原方程的根， 答：妈妈开车的平均速度是48km/h ．题型3：历史文献问题6．（2021·甘肃武威市·中考真题）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何?”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少?设共有x 人，y 辆车，则可列方程组为（ ） A ．3(2)29y xy x-=⎧⎨-=⎩B ．3(2)29y xy x+=⎧⎨+=⎩C ．3(2)29y xy x-=⎧⎨+=⎩D ．3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩【答案】C 【分析】设共有x 人，y 辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得()32,y x -= 由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得：29,y x += 从而可得答案． 【详解】解：设共有x 人，y 辆车，则3(2)29y xy x -=⎧⎨+=⎩故选：.C7．（2021·浙江绍兴市·中考真题）我国明代数学读本《算法统宗》有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，则差8两，银子共有_______两．（注：明代时1斤=16两） 【答案】46 【分析】题目中分银子的人数和银子的总数不变，有两种分法，根据银子的总数一样建立等式，进行求解． 【详解】解：设有x 人一起分银子，根据题意建立等式得，7498x x +=-，解得：6x =，∴银子共有：67446⨯+=（两）故答案是：46．8．（2021·湖南邵阳市·中考真题）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价值是多少？该问题中物品的价值是______钱． 【答案】53 【分析】设人数为x ，再根据两种付费的总钱数一样即可求解． 【详解】 解：设一共有x 人 由题意得：8374x x -=+ 解得：7x =所以价值为：78353⨯-=（钱） 故答案是：53． 题型4：数字问题9．（2021·山西中考真题）2021年7日1日建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】5 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为x ． 根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）． 答：这个最小数为5．题型5：增长率问题10．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()50712833.6x += B ．()50721833.6x ⨯+=C ．()25071833.6x += D ．()()250750715071833.6x x ++++=【答案】C 【分析】根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程． 【详解】设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x ，2018年我国快递业务量为：507亿件，2019年我国快递业务量为：507507x +=507(1)x +亿件， 2020年我国快递业务量为：507(1)x ++2507(1)=507(1)x x x ++， 根据题意，得：()25071833.6x += 故选C ．11．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x ，则可列方程__________．【答案】()26521960x += 【分析】根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解． 【详解】解：根据题意，第一季度地区生产总值(1⨯+平均增长率2)=第三季度地区生产总值列方程得：()26521960x +=， 故答案为：()26521960x +=．题型6：几何图形问题12．在一幅长50cm ，宽40cm 的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm 2，设边框的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．（50﹣2x ）（40﹣2x ）＝3000B ．（50+2x ）（40+2x ）＝3000C ．（50﹣x ）（40﹣x ）＝3000D ．（50+x ）（40+x ）＝3000【答案】B【详解】解：设边框的宽为x cm，所以整个挂画的长为（50+2x）cm，宽为（40+2x）cm，根据题意，得：（50+2x）（40+2x）=3000，故选：B．13．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长35m，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．【答案】（1）养鸡场的宽是10m，长为15m；（2）围成养鸡场的面积不能达到200m2，见解析【详解】解：（1）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，35﹣2x＝15＜18，当x2＝7.5时35﹣2x＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（2）设养鸡场的宽为x m，根据题意得：x（35﹣2x）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，①＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．题型7：方案问题14．（2021·江苏无锡市·中考真题）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4①3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为8543m-件，根据4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，即可得到答案．【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，由题意得：60012756002543x x-+=，解得：x=15，经检验：x=15是方程的解，且符合题意，①15×4=60（元），15×3=45（元），答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为127560854453m m--=件，①4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，①m=4，7，10，答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．15．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件 【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x 万元，购进1件乙种农机具需y 万元，根据题意可直接列出二元一次方程组求解即可；（2）在（1）的基础之上，结合题意，建立关于m 的一元一次不等式组，求解即可得到m 的范围，从而根据实际意义确定出m 的取值，即可确定不同的方案，最后再结合一次函数的性质确定最小值即可； （3）结合（2）的结论，直接求出可节省的资金，然后确定降价后的单价，再建立二元一次方程，并结合实际意义进行求解即可． 【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x 万元，购进1件乙种农机具需y 万元．根据题意，得2 3.533x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 1.50.5x y =⎧⎨=⎩，答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元． （2）根据题意，得 1.50.5(10)9.81.50.5(10)12m m m m +-≥⎧⎨+-≤⎩，解得：4.87m ≤≤， ①m 为整数， ①m 可取5、6、7， ①有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为W 万元，则()1.50.5105W m m m =+-=+，①10k =>，①W 随m 的增大而增大，①当5m =时，5510W =+=最小（万元），①方案一需要资金最少，最少资金是10万元．（3）由（2）可知，购买甲种农机具5件，乙种农机具5件时，费用最小，根据题意，此时，节省的费用为50.750.2 4.5⨯+⨯=（万元），降价后的单价分别为：甲种0.8万元，乙种0.3万元，设节省的资金可购买a 台甲种，b 台乙种，则：0.80.3 4.5a b +=，由题意，a ，b 均为非负整数，①满足条件的解为：015a b =⎧⎨=⎩或37a b =⎧⎨=⎩， ①节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．16．（2021·黑龙江中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．【分析】（1）设购进1件甲种农机具需x 万元，购进1件乙种农机具需y 万元，然后根据题意可得2 3.533x y x y +=⎧⎨+=⎩，进而求解即可；（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m ）件，则可列不等式组为()9.8 1.50.51012m m ≤+-≤，然后求解即可；（3）设购买农机具所需资金为w 万元，则由（2）可得5w m =+，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．【详解】解：（1）设购进1件甲种农机具需x 万元，购进1件乙种农机具需y 万元，由题意得：2 3.533x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得： 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， 答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m ）件，①()9.8 1.50.51012m m ≤+-≤，解得：4.87m ≤≤，①m 为正整数，①m 的值为5、6、7，①共有三种购买方案：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．（3）设购买农机具所需资金为w 万元，则由（2）可得5w m =+，①1＞0，①w 随m 的增大而增大，①当m =5时，w 的值最小，最小值为w=5+5=10，答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．题型8：利润问题17．（2021·四川遂宁市·中考真题）某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30） （300-10x ）＝3360解得：x 1＝2，x 2＝18①要尽可能减少库存，①x 2＝18不合题意，故舍去①T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x --+①当x ＝10时，M 最大值＝4000元①销售单价：40＋10＝50元①当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．18．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；（2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？【答案】（1）20%；（2）①798万元，①当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元【分析】（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，则四月份的游客为()41x +人，五月份的游客为()241x +人，再列方程，解方程可得答案；（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；①设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，再列出W 与m 的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．【详解】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x ，由题意，得24(1) 5.76x += ()21 1.44,x ∴+=解这个方程，得120.2, 2.2x x ==-（舍去）答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：购买丙种门票的人数增加：0.6+0.4=1（万人），购买甲种门票的人数为：20.6 1.4-=（万人），购买乙种门票的人数为：30.4 2.6-=（万人），所以：门票收入问； ()()100 1.480 2.61601021⨯+⨯+-⨯+798=（万元）答：景区六月份的门票总收入为798万元．①设丙种门票价格降低m 元，景区六月份的门票总收人为W 万元，由题意，得()()()()10020.068030.0416020.060.04W m m m m m =-+-+-++化简，得20.1(24)817.6W m =--+，0.10-<，①当24m =时，W 取最大值，为817.6万元．答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元．题型9：一般问题19．（2021·辽宁本溪市·中考真题）某班计划购买两种毕业纪念册，已知购买1本手绘纪念册和4本图片纪念册共需135元，购买5本手绘纪念册和2本图片纪念册共需225元．（1）求每本手绘纪念册和每本图片纪念册的价格分别为多少元？（2）该班计划购买手绘纪念册和图片纪念册共40本，总费用不超过1100元，那么最多能购买手绘纪念册多少本？【答案】（1）每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）最多能购买手绘纪念册10本．【分析】（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意列出不等式，求解不等式即可．【详解】解：（1）设每本手绘纪念册x 元，每本图片纪念册y 元，根据题意可得：413552225x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得3525x y =⎧⎨=⎩，答：每本手绘纪念册35元，每本图片纪念册25元；（2）设购买手绘纪念册a 本，则购买图片纪念册()40a -本，根据题意可得：()3525401100a a +-≤，解得10a ≤，①最多能购买手绘纪念册10本．20．（2021·江苏常州市·中考真题）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【分析】设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨， 由题意得：202052x x-=，解得：x =2， 经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．21．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润．（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？【答案】（1）1050元；（2）50元【详解】解：（1）(4530)[80(4540)2]1050-⨯--⨯=（元）．答：每天的销售利润为1050元．（2）设每件工艺品售价为x 元，则每天的销售量是[802(40)]x --件，依题意，得(30)[802(40)]1200x x ---=，整理，得2x 110x 30000-+=，解得1250,60x x ==（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为50元．题型10：分段收费22．为建设资源节约型社会，醴陵市自2012年以来就对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180度及（含180度）以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180度以上到450度时（含450度时）的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450度时的部分，执行市场调节价格．经统计，我市小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元．（1）请根据小军家的用电量和电费情况，求出第一档的电价和第二档的电价分别是多少元/度．（2）已知小军同学家今年4、5月份的家庭用电量分别为160度和230度，请问小军家4、5月份的电费分别为多少元？【分析】（1）设第一档的电价为x 元/度，第二档的电价为y 元/度，根据“小军同学家今年2月份用电200度，电费为119元，3月份用电210度时，电费为125.4元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用小军家4月份的电费＝第一档电价×4月份的用电量和小军家5月份的电费＝第一档电价×180+第二档电价×（5月份的用电量﹣180），即可求出结论．【解答】解：（1）设第一档的电价为x 元/度，第二档的电价为y 元/度，依题意，得：{180x +(200−180)y =119180x +(210−180)y =125.4， 解得：{x =0.59y =0.64． 答：第一档电价为0.59元/度，第二档的电价为0.64元/度．（2）0.59×160＝94.4（元），0.59×180+0.64×（230﹣180）＝138.2（元）．答：小军家4月份的电费为94.4元，5月份的电费为138.2元．23．为鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息，请解答：自来水销售价格每户每月用水量单位：元/吨 15吨及以下a 超过15吨但不超过25吨的部分b 超过25吨的部分 5（1）小王家今年3月份用水20吨，要交水费 元；（用a ，b 的代数式表示）（2）小王家今年4月份用水21吨，交水费48元；邻居小李家4月份用水27吨，交水费70元，求a ，b 的值．（3）在第（2）题的条件下，小王家5月份用水量与4月份用水量相同，却发现要比4月份多交9.6元钱水费，小李告诉小王说：“水价调整了，表中表示单位的a ，b 的值分别上调了整数角钱（没超过1元），其他都没变．”到底上调了多少角钱呢？请你帮小王求出符合条件的所有可能情况．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列方程组，即可得到结论；。