材料力学基本概念

第一章 绪论第一节 材料力学的任务与研究对象1、 组成机械与结构的零、构件，统称为构件。

构件尺寸与形状的变化称为变形。

2、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或残余变形。

3、 在一定外力作用下，构件突然发生不能保持其原有平衡形式的现象，称为失稳。

4、 保证构件正常或安全工作的基本要求：a 强度，即抵抗破坏的能力；b 刚度，即抵抗变形的能力；c 稳定性，即保持原有平衡形式的能力。

5、 材料力学的研究对象：a 一个方向的尺寸远大于其它两个方向的尺寸的构件，称为杆件；b 一个方向的尺寸远小于其它两个方向尺寸的构件，成为板件，平分板件厚度的几何面，称为中面，中面为平面的板件称为板，中面为曲面的板件称为壳。

6、 研究构件在外力作用下的变形、受力与破坏的规律，为合理设计构件提供强度、刚度和稳定性分析的基本理论与方法。

第二节 材料力学的基本假设1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。

2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。

第三节 内力与外力1、 外力：⑴按作用方式分①表面力②体积力⑵按作用时间分①动载荷②静载荷2、 内力：构件内部相连个部分之间有力的作用。

3、 内力的求法：截面法4、 内力的分类：轴力N F ；剪力S F ；扭矩X M ；弯矩Y M ，Z M5、 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力第四节 应力1、 K 点的应力：0limA Fp A ∆→∆=∆；正应力：N 0lim A F A σ∆→∆=∆；切应力：S 0lim A F Aτ∆→∆=∆；22p στ=+2、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。

第五节 应变1、 正应变：0limab ababε→∆=。

正应变是无量纲量，在同一点不同方向正应变一般不同。

2、 切应变：tan γγ≈。

切应变为无量纲量，切应变单位为rad 。

第六节 胡克定律1、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量2、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能第一节 引言1、 杆件受力特点：轴向载荷，即外力或其合力沿杆件轴线2、 杆件变形特点：轴向拉伸或压缩 第二节 拉压杆的内力、应力分析1、 轴力符号规定：拉为正，压为负2、 轴力图（两要素为大小、符号）3、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。

即，横截面上没有切应变，正应变沿横截面均匀分布NF Aσ=4、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方程：E σε=即应力应变关系③静力学方程：N A F σ⋅=即内力构成关系5、 NF Aσ=适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域6、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 7、 拉压杆斜截面上的应力：0cos /cos N NF F p A A αασαα===；20cos cos p αασασα==，0sin sin 22p αασταα==；0o α=，max 0σσ=；45o α=，0max 2στ=第三节 材料拉伸时的力学性能1、 圆截面试件，标距l=10d 或l=5d ；矩形截面试件，标距11.3l A =或 5.65l A =2、 材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段3、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹性极限4、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出现滑移线；s σ为屈服极限5、 硬化阶段：使材料继续变形需要增大应力；b σ为强度极限6、 缩颈阶段：现象是缩颈、断裂7、 冷作硬化：预加塑性变形使材料的比例极限或弹性极限提高的现象（考虑材料卸载再加载的σε-图）8、 材料的塑性或延性：材料能经受较大的塑性变形而不被破坏的能力；延展率：100%l lδ∆=⨯，延展率大于5%的材料为塑性材料 9、 断面收缩率1100%A A Aψ-=⨯，1A 是断裂后断口的横截面面积 10、e ε为塑性形变，p ε为弹性形变第四节 材料拉压力学性能的进一步研究1、 条件屈服极限0.2σ：对于没有明显屈服极限的材料，工程上常以卸载后产生残余应变为0.2%的应力作为屈服强度，叫做名义屈服极限。

2、 脆性材料拉伸的应力—应变曲线：断口与轴线垂直3、 塑性材料在压缩时的力学性能（低碳钢）：越压越扁4、 脆性材料在压缩时的力学性能（灰口铸铁）：压裂，断口与轴线成45度角；可以看出脆性材料的压缩强度极限远高于拉伸强度极限第五节 应力集中与材料疲劳1、 实际应力与应力集中因数：maxnK σσ=，其中，max σ为最大局部应力，n σ为名义应力2、 疲劳破坏：在交变应力的作用下，构件产生可见裂纹或完全断裂的现象1灰口铸铁拉伸力学性能3、 疲劳破坏与①应力大小②循环特征③循环次数有关；S —N 图，r σ为持久极限4、 应力集中对构件强度的影响：⑴静载荷，对于脆性材料，在max σ=b σ处首先被破坏；对于塑性材料，应力分布均匀化⑵疲劳强度问题：应力集中对材料疲劳强度影响极大第六节 失效、许用应力与强度条件1、 失效：断裂，屈服或明显的塑性变形2、 工作应力：构件实际承载所引起的应力3、 许用应力：构件工作应力最大的允许值[]σ，[]unσσ＝，其中n 为安全因数，n 〉1，一般的，s n 取1.5—2.2，b n 取3.0—5.0，u σ为极限应力（强度极限或屈服极限） 4、 强度条件：[]N max maxA F σσ⎛⎫≤⎪⎝⎭＝ 5、 工程设计当中的等强度原则第七节 连接部分的强度计算1、 剪切强度条件：[]sF Aτ≤，对受拉铆钉，A dh π= 2、 挤压强度条件：[]bbs,max bs bsF A σσ=≤，受压面为圆柱面时，A d δ=即圆柱面的投影面积第三章 轴向拉压变形3低碳钢的压缩力学性能 2灰口铸铁的压缩力学性能第一节 拉压杆的变形与叠加原理1、 拉压杆的轴向变形与胡克定律：N F F A A σ==，ll ε∆=，E σε=⇒NF l l EA ∆= 2、 EA 为拉压刚度3、 拉压杆的横向形变：1b b b ∆=-，bbε∆'=，一般为负 4、 泊松比：εμε'=-，对于各向同性材料，00.5μ≤≤，特殊情况是铜泡沫，0.39μ=-5、 ()21EG μ=+，也就是说，各向同性材料独立的弹性常数只有两个6、 叠加原理：⑴分段叠加：①分段求轴力②分段求变形③求代数和Ni i i iF l l E A⋅∆=⋅∑⑵分载荷叠加：几组载荷同时作用的总效果，等于各组载荷单独作用产生效果的总合。

7、 叠加原理适用范围：①线弹性（物理线形，即应力与应变之间的关系）②小变形（几何线形，即用原尺寸进行受力分析）第二节 桁架节点位移分析步骤：①平衡方程求各杆轴力②物理方程求各杆变形③切线代圆弧，求节点位移第三节 拉压与剪切应变能1、 在外载荷作用下，构件发生变形，载荷在相应位移上作了功，构件变形因此而储存了能量，且遵循能量守恒2、 轴向拉压应变能2F W ∆⋅=（缓慢加载），222N N F l F l V W EA ε∆⋅===。

注意：对于非线弹性材料，以上不成立。

3、 单向受力情况：22dxdz dydV dxdydz εσεσε⋅==，拉伸应变能密度为2v εσε=。

纯剪切情况：22dxdz dydV dxdydz ετγτγ⋅==，剪切应变能密度为2v ετγ=4、 用应变能解题：①不用通过画变形图来确定节点位移②只能求解沿载荷作用线方向的位移③同时作用多个载荷时，无法求载荷的相应位移第四节 简单拉压静不定问题1、 静定问题是由平衡条件即可解出全部未知力的问题；静不定度=未知力数—有效平衡方程数2、 静不定问题的求解方法：补充变形协调方程3、 关于变形图的画法：①若能直接判断出真实变形趋势，则按此画变形图②若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形图即可③对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可设各杆都是拉伸变形，即内力为正（设正法），若计算结果为负，则说明真实方向与所设方向相反第五节 热应力和预应力1、 热应力：因温度变化在构件内部产生的应力2、 预应力：由于实际杆长与设计尺寸不同，当结构不受外力时已经存在的应力第四章 扭转第一节 引言1、 内力分析仍用截面法，扭矩矢量离开截面为正2、 轴的动力传递：P M ω=，kW N mr /min9549P M n ⋅=第二节 圆轴扭转横截面上的应力1、 扭转应力问题是静不定问题2、 变形几何方程：d dxρϕγρ=，其中，ρ是距轴线的径向距离，ργ是楔形微体在ρ处的矩形平面的切应变，是个角度，d ϕ是角bO2b ’ 3、 物理方程：横截面上ρ处的切应力为d dxG G ρρτγϕρ== 4、 静力学方面：圆轴扭转切应力一般公式PT I ρρτ=，P I 为极惯性矩2P AI dA ρ=⎰5、 最大扭转切应力：max /P P TR TI I R τ==，定义抗扭截面系数P P I W R= ，max PTW τ=6、 适用范围：①因推导公式时用到了剪切胡克定律，故材料必须在比例极限范围内②只能用于圆截面轴，因为别的形状刚性平面假设不成立 7、 关于极惯性矩和抗扭截面系数：442222232()Dd p AdA d I D d ρρπρρπ==⋅-=⎰⎰，44216(/)p p D W D d DI π-==，或者有时提出一个D ，令dDα=第三节 圆轴扭转破坏与强度条件1、 扭转极限应力u τ对脆性材料来说是扭转强度极限b τ，对塑性材料而言是扭转屈服应力s τ 2、 许用切应力[]unττ=，工作应力：max maxP T W τ⎛⎫=⎪⎝⎭，强度条件：max max[]P T W ττ⎛⎫=≤⎪⎝⎭ 第四节 圆轴扭转变形与刚度条件1、P d T dx GI ϕ=，PT d dx GI ϕ=，对于常扭矩等截面圆轴，相差l 距离的两截面的相对扭转角PTlGI ϕ=，定义圆轴截面扭转刚度P GI 2、 许用扭转角变化率[]θ，工作时扭转角变化率Pd Tdx GI ϕ=，刚度条件为[]maxp T GI θ⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭，注意，一般[]θ单位为度/米 第五节 扭转静不定问题（找出变形协调条件） 第六节 非圆截面轴扭转（只讨论自由扭转）1、 非圆截面轴，截面不保持平面，γ和ρ不成正比，平面假设不适用2、 矩形截面轴的扭转⑴①τ平行于截面周边②角点处0τ=③截面长边中点有max τ⑵max 2t T T W hbτα==，h 和b 分别代表矩形的长边和短边，短边中点处的切应力1max τγτ=，3t Tl Tl GI G hbϕβ==，其中α，γ，β与/h b 有关，查表4-1⑶当/h b 10≥时，α和β均接近1/3，max 23Thbτ=，33TlGhb ϕ=3、 椭圆等非圆截面杆max t T W τ=，tTl GI ϕ=，t W 和t I 与圆截面杆的量纲相同，可查附录第七节 薄壁杆扭转（自由扭转）1、 闭口薄壁杆的扭转应力：①切应力的方向与中心线平行，且沿壁厚均布②T dT ds ρτδ==⎰⎰蜒，ρ是该点离形心的距离，δ为壁厚，ds 为线微元③所围面积2ds ρΩ=⎰Ñ，2Tτδ=Ω，则max min 2T τδ=Ω④扭转变形t Tl GI ϕ=，t TlI dsδ=⎰Ñ 2、 开口薄壁杆扭转概念①切应力沿截面周边形成环流②maxmax 313ni ii T h δτδ==∑，313ni i i Tl G h ϕδ==∑③开口薄壁杆抗扭性能很差，截面产生明显翘曲第五章 弯曲应力第一节 引言1、 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲2、 受力特征是力或力矩矢量垂直于轴线，变形特征是轴线变弯3、 以弯曲为主要变形形式的杆——梁 第二节 梁的约束与类型可动铰支，提供一个方向的力；固定铰支提供两个方向的力；固定端提供两个方向上的力以及弯矩第三节 剪力、弯矩方程及剪力、弯矩图1、 截面法，求得剪力S F ，使分离体顺时针转为正；弯矩M 使分离体完成凹形为正2、 ①求支反力②建立坐标③建立剪力、弯矩方程（截面法）④画出剪力、弯矩图3、 在集中力作用处（包括支座）剪力有突变；在集中力偶作用处（包括支座），弯矩有突变4、 刚架的内力分析：刚架受轴力、剪力和弯矩作用，轴力、剪力符号同前，弯矩符号没有明确规定，画在受压一侧，分析方法还是用截面法 5、 平面曲杆内力分析，同前，但是一般用极坐标表示 第四节 剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系1、 q 为载荷集度，S d d F q x =，S d d MF x=，22d d M q x =说明剪力图某点的切线斜率等于该点处载荷集度的大小，弯矩图某点的切线斜率就等于该点处的剪力大小，该截面处载荷集度的正负决定弯矩图某点的凹凸性，如图所示2、 q 向上为正，x 轴方向向右为正3、 在集中力作用处，弯矩连续，剪力突变；在集中力偶作用处，剪力连续，弯矩突变4、 求特征点剪力、弯矩的方法：⑴截面法是基本方法⑵面积法（积分法）由()SdF q x dx=有0()x S F q x dx C =+⎰，即x 左边分布载荷的面积加x 左边的集中载荷（包括支反力），q 、F 向上为正；由S dMF dx=有0x S M F dx D =+⎰，即x 左边剪力图的面积加x 左边集中力偶（包括支反力偶），M 顺时针为正5、 利用微分关系快速画剪力、弯矩图口诀：剪力图口诀“跟着箭头走——先求支反力，从左往右去”，弯矩图口诀“根据剪力图，两点对一段；若遇到力偶，顺上逆下走”第六章 弯曲内力第一节 引言1、 横截面上内力与应力的关系：AM ydA σ=⋅⎰2、 中性层和中性轴的概念3、 几何方程：yd y dx d θερθρ∆=== 4、 物理方程：yE Eσερ==5、 静力学方程：由Ay dA M σ=⎰有2AEy dA M ρ=⎰，定义2z AI y dA =⎰，可确定中性层的曲率半径1zMEI ρ=6、 由上得z My I σ=，则有max max max/z z My MI I y σ==，定义抗弯截面系数z z I W y=，则max z M W σ=7、 两种典型的抗弯截面系数：矩形截面26z bh W =，圆截面332z d W π=第二节 极惯性矩与惯性矩1、 静矩：面积对轴的矩，z AS ydA =⎰，y AS zdA =⎰，对于均质等厚的板，z c S y A =⋅，y c S z A =⋅，即面积乘形心到轴的距离2、 组合截面的静矩与形心：zS 231123c c c y A y A y A =⋅+⋅+⋅，11innic iz i i c SyA Sy AAA==⋅===∑∑；对于缺口截面，()()整孔z z z S S S =-，()()()()整孔整孔z z c S S y A A -=-3、 （轴）惯性矩：2z AI y dA =⎰，2y AI z dA =⎰4、 惯性矩的平行轴定理：z I 20z I a A =+5、 组合截面的惯性矩：z I 1ni z i I==∑，0211()n ni i z z z i i i i I I Ia A ====+∑∑6、 极惯性矩：截面对某点的矩2=⎰P I A dA ρ；对圆截面432=P d I π，对空心圆截面44132=-()P D I πα，对薄壁圆截面302=P I R πδ第三节 弯曲切应力1、 梁在非纯弯曲段，横截面上的弯曲切应力平行于侧边或剪力，沿宽度均匀分布2、 ⋅=⋅()()S z z F S y I bωτ，其中=⎰()z ydA S ωω代表y 处横线一侧的部分截面（面积为ω）对z 轴的静矩，对于矩形截面，()z S ω2224=-()b h y ，312=z bh I ，223412=-()()S F y y bh h τ，则3322==max S SF F bh Aτ 3、 工字梁的弯曲切应力分布如图。