数理统计之大数定理
概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
概率论与数理统计 第五章
Xn ⎯ ⎯→ X 2. 依概率收敛与依分布收敛的关系
依概率收敛 ⇒ 依分布收敛
L
3. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xi }，i = 1, 2, … 相互独 立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列
∑
n
i =1
Xi −
∑ E(X
i =1
n
i
)
∑
n
i =1
D(X i)
所以结论成立。 由此有，若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 ⎧ m1 − np X − np m2 − np ⎫ ⎪ ⎪ < ≤ P{m1 < X ≤ m2 }= P ⎨ ⎬ np(1 − p) np(1 − p) ⎪ ⎪ np(1 − p) ⎩ ⎭
⎧ Yn − np ⎫ ⎪ ⎪ ≤ x ⎬ = Φ( x ) lim P ⎨ n →∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ ⎭
证明：对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 证明：对于任意正整数n Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足独立同分布 中心极限定理条件。即有
切比雪夫不等式的应用 1）估计随机变量落在某个区间内的概率 (P125例5.5.2) 2）估计ε的值, 使 P(│X - E(X)│<ε) ≥ a (0<a<1) 3）证明大数定律。
二. 大数定律 定义： 依概率收敛 设{Xn}是一个随机变量序列，X 是一个随机变量 或常数，若对于任意的ε＞ 0，有 lim P{| X n − X |≥ ε } = 0
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
数理统计定理及公式
数理统计定理及公式数理统计是应用数学的一个分支，研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术。
在数理统计中，有一些重要的定理和公式，用于描述和计算概率、分布、样本统计量和假设检验。
1. 大数定理（Law of Large Numbers）：在重复多次独立实验的情况下，随着实验次数的增多，样本均值会趋近于总体均值。
大数定理是数理统计的基础之一，它是对样本均值的收敛性质的描述。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是来自总体的独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，n是样本大小。
2. 中心极限定理（Central Limit Theorem）：在若干相互独立的随机变量的和的情况下，随着随机变量数量的增大，和的分布趋向于服从正态分布。
中心极限定理是数理统计中非常重要的一个定理，它不仅在理论上解释了为什么正态分布在自然界中具有如此重要的地位，而且提供了许多统计学中方法的理论基础。
数学表达式为：其中，X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，μ是总体的均值，σ是总体的标准差，n是样本大小。
3. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：又称为两点分布，是最简单的概率分布之一、伯努利分布描述了只有两个可能结果的离散随机试验，如抛硬币的结果。
数学表达式为：其中，p表示事件出现的概率，1-p表示事件不出现的概率，X为随机变量。
4. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是统计学中最常见的连续型概率分布之一、正态分布具有钟形曲线，均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
它在自然界中广泛存在，并且许多现实世界中的随机变量都可以近似地服从正态分布。
数学表达式为：其中，μ是均值，σ是标准差，x是随机变量。
5. t分布（Student's t-distribution）：t分布是用于小样本情况下对总体均值进行假设检验的重要工具。
它形状类似于正态分布，但是更扁平，并且具有更重的尾部，以补偿小样本情况下对总体均值的估计不准确性。
大数定律与中心极限定理
的方差存在，且有共同的上界，即
Var( Xi ) c,i 1,2,
则 {Xn} 服从大数定律，即对任意的 0
lim
n
P
1
n i 1
Xi
1 n
n i 1
E( Xi )
1
成立.
定理3 （辛软大数定律）设 X1, X 2,X n , 为一列相互独立且相同分布的随机变量，若
Xi (i 1,2,) 的数学期望存在，则 {X n} 服从大数
例5.2.2 某工厂有 200 台同类型的机器，每台
机器工作时需要 50 kW 的电力。由于功率的原 因，每台机器的开工率为 0.75 ，各台机器是否 工作是相互独立的.问
（1）在任一时刻，恰有 144 至 160 台机器正在 工作的概率为多少？
（2）在任一时刻，需要至少供应多少电力才能 保证“因电力不足而使一些机器停工”的概率小于 0.01？
概率论与数理统计
二、中心极限定理
定理5.2.1 (独立同分布的中心极限定理) 设随机
变量序列 X1, X 2,X n , ，相互独立且服从同一 分布，它们具有相同的数学期望和方差
E Xi Var( X i ) 2 0
n
其中 i = 1,2,3,…, 则前 n 个随机变量之和 Xi 的标 i 1
准化变量
lim P Yn np x Φ(x) n np(1 p)
其中 (x) 为标准正态分布的分布函数.
例3 一个加法器可同时收到 20 个噪声电压 Vk
k 1,2,,20，设它们是相互独立的随机变量，
且都在 0,10 上服从均匀分布，记
20
V Vk k 1
求 P{V 105} 的近似值。
练习 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪
概率论与数理统计 6.1 大数定律
EXi , i 1,2, , 则序列X1, , Xn , 服从大数定律，
即对 0,
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1,
亦即
1
n
n i
Xi
P .
辛钦
辛钦大数定律去掉了方差存在的条件，但增加了iid这一前提， 此定律就是日常生活中经常使用的算术平均值法则的理论依据。
例1：设X1, , Xn , 是i.i.d.r.v.序列，其共同 分布列为
它的一个特例。下面是大数定律的一般形式：
定义：设X1, , Xn , 是一个r.v.序列，若对 0,
均有
lim
n
P
1 n
n i 1
1n X i n i1 EX i
1.
称r.v.序列X1, , Xn , 服从大数定律。
定理3(Khinchin大数定律): 设X1, , Xn , 是i.i.d.r.v.序列，
试验下的客观规律，也为用频率来近似概率提供了理论依据。
注1：如果事件A发生的概率很小，则由贝努利定律，事件A 发生的频率也很小，即事件A很少发生，也就是说，概率很小
的事件在一次试验中几乎是不会发生的，此 即 小概率原理。
注2：这里 X 与p之间任意接近不同于微积分中的极限概念， n
是一种新的收敛概念。
定义：设Y1, ,Yn , ,是r.v.序列，a为常数，若对 0,
lim
n
P ( Yn
a
)
1,
称Yn依概率收敛于a, 记作Yn P a.
贝努利大数定律也可以记为：
X P p. n
定理2 (Chebyshev大数定律) : 设X1, , Xn , 是两两不相关 的r.v.序列，且方差是一致有界的，即存在常数C, 使得
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
大 数 定 律
5
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 定理5.1.1 设 X1, X2, …, Xn…是相互独立的随机变量序列, 具有 数学期望 E( Xn ) , 且存在常数C, 使得方差 D(Xn)<C (n = 1, 2, …), 则随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 服从大数定律,
n
令Yn Xk , 即 k 1
概率论与数理统计
❖ 前言
➢ 在第一章学习概率的概念时，我们已经提出了在随机试 验的大量重复试验中，某一随机事件出现的频率总是稳 定于某一数值就是概率. 也就是说，大量的随机现象往 往呈现几乎必然的规律，其平均结果具有稳定性，这个 规律就是大数定律.
概率论与数理统计
2
❖ 1.基本概念 首先介绍两个常用概念.
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 推论5.1.1表明, 当n充分大时，独立同分布的随机变量序
列的算术平均值
1 n
n i 1
Xi
接近于数学期望 E(Xi) = , 也就
是说n个相互独立同分布随机变量的算术平均值, 当n无
限增大时, 几乎变成了一个常数. 这一结论从理论上说明
了大量观测值的算术平均具有稳定性, 为实际应用提供
概率论与数理统计
12
❖ 2.大数定律 辛钦大数定律
➢ 定理5.1.3 设随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 独立同分布, 具有
有限的数学期 E(Xk) = , 则对任给 >0, 有
➢ 证明从略.
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
➢ 辛钦大数定律表明, 当要测量一个物理量的精确值 时, 若在 相同条件下重复测量n次, 用其算术平均值作为精确值 的近
大数定理与中心极限定理教案
大数定理与中心极限定理教案引言：大数定理与中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它们在实际问题的分析和解决中起到了关键作用。
本教案将重点介绍大数定理与中心极限定理的定义、原理和应用，通过案例分析和实际场景的模拟演示，帮助学生深入理解和掌握这两个定理的核心概念和基本方法。
一、大数定理大数定理是概率论中的一组重要定理，描述了大量独立随机变量的平均值逐渐接近其数学期望的现象。
其核心思想是当样本容量较大时，样本均值的极限接近总体均值。
1. 列维大数定理（弱大数定理）列维大数定理是大数定理中最早被证明的一种形式，其表述如下：对于独立随机变量序列X1, X2,..., Xn，其数学期望μ和方差σ^2有限，那么对于任意正数ε，有：lim(n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≥ ε) = 02. 切比雪夫大数定理（强大数定律）切比雪夫大数定理是对列维大数定理的推广，其表述如下：对于独立随机变量序列X1, X2,..., Xn，其方差有限，那么对于任意正数ε，有：lim(n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| ≥ ε) = 0案例分析：掷硬币实验为了帮助学生理解大数定理的应用，教师可以进行掷硬币实验，并记录正面朝上的次数。
当实验次数逐渐增加时，学生可以观察到正面朝上的频率逐渐接近1/2，这符合大数定理的结论。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中另一组重要定理，描述了独立随机变量的和在适当条件下近似服从正态分布的现象。
其核心思想是当样本容量较大时，样本的平均值的分布趋近于正态分布。
1. 林德伯格-列维中心极限定理林德伯格-列维中心极限定理是中心极限定理中最为常用的形式，其表述如下：对于独立同分布的随机变量X1, X2,..., Xn，其数学期望μ和方差σ^2有限，那么随机变量（X1+X2+...+Xn - nμ）/√(nσ^2)的分布在n趋向于无穷大时，逐渐趋近于标准正态分布。
第五章 数理统计 大数定律与中心极限定理
) 0.999
查正态分布函数表得
(3.1) 0.999
故
N 120 48
≥ 3.1,
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的 概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数
是一个随机变量，设一个学生无家长、 1名家长、名 2 家长来参加会议的概率分别为0.05、.8、.15.若学校 0 0 共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布.
lim P n X np np 1 p x 1 2
x
t
2
e
2
dt x
证明:设 则
第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生
由中心极限定理,结论得证
当 n 充分大时，二项分布 X ~ B n , p 可近似地用正态分布N np , np 1 p 来代替。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
k 1
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理.
5.2
中心极限定理 标准化随机变量
如
意思是:当
时,Xn落在
内的概率越来越大.
a
而
意思是:
,当
几个常用的大数定律
定理5-2 切比雪夫大数定律
，
设{Xi, i=1,2,...}为独立的随机变量序列， 且存在数学期望、方差 E X n nDBiblioteka X n2 nDX
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x
N (0,1)
i 1
近似地
n
或者
n
~
近似地 1 2 X i ~ N ( , / n) n i 1
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1 Xi n i 1
n
近似地
~
N ( , / n)
2
这说明均值为μ，方差为σ2 的独立同分 布的随机变量的算术平均近似服从均值为μ， 方差为σ2 /n的正态分布. 这一结果是数理统计推断中大样本统计推 断的基础.
设X1,X2, …,Xn , …是独立同分布的随机
变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，
i=1,2,…,n，则
x 2 1 X n -t 2 i e dt i 1 - lim P x 2 n n x
根据定理四得
( x ).
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例3 一加法器同时收到20个噪声电压
20 )，设它们是相互独立的随机变 量，且都在区间(0, 10) 上服从均匀分布.记 Vk ( k 1, 2,
20
V Vk ，求 P {V 105} 的近似值.
0 10 解 E (Vk ) 5, 2 2 (10 0) 25 D(Vk ) ( k 1,2, 12 3
成立.
σ P( X μ ε) 2 ε
2
,不等式
σ P( X μ ε) 1 2 ε
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2
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二、大数定律
定理一（契比雪夫定理） 设X1,X2, …是相互独立的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= i ， i=1,2,…,
2
且方差有共同的上界M，则对任给 >0,
P{ X k i } p (1 p) ,
i 1 i
i 0, 1.
E ( X k ) p,
D( X k ) p(1 p) ( k 1,2,, n),
x
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n X k np k 1 n np P lim P x lim n np ( 1 p ) n np ( 1 p )
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研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要 的有两种: 大数定律 与 中心极限定理
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结束
契比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=μ，
2
方差D(X)= ,则对于任意正数
0, 若在第 k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第 k 次试验中 A 发生, k 1, 2,
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显然
nA X 1 X 2 X n ,
因为 X1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的，
且X k 服从以 p 为参数的(0 1) 分布,
x
1 e dt ( x ). 2π
t 2
定理五表明无论各个随机变量服从什么分 布，只要满足定理的条件，那么它们的和当n 很大时，近似服从正态分布. (如实例中射击偏差服从正态分布)
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定理六(棣莫佛－拉普拉斯定理)
设随机变量n ( n 1,2,) 服从参数为 n, p (0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x , 恒有 n np lim P n np术学院
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结束
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？ 在什么条件下极限分布会是正态的呢？
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结束
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身，而考 虑 它的标准化的随机变量 n n X k E ( X k ) k 1 Z n k 1 的分布函数的极限.
2 i
在上式中令n ，并且概率不能大于1, 则
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1 1 lim P{| X i i | } 1 n n i 1 n i 1
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n
n
关于定理一的说明:
当n很大时，随机变量X1,X2,…,Xn的算 术平均接近于数学期望的算术平均值 （这个接近是概率意义下的接近）
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理一相比, 不要求方差存在; (2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.
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例
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,独立同分布,
2
且 E ( X k ) 0, D( X k ) , k 1,2,, 证明对任 n 1 2 2 意正数 有 lim P X k 1. n n k 1
1 2 2 lim P X k 1. n n k 1
n
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三、中心极限定理
中心极限定理的客观背景: 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生的总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
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定理二（伯努利大数定理）
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生 的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任意正数 0, 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n 证明 引入随机变量
解 因为 X1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的， 2 2 2 所以 X 1 , X 2 ,, X n ,也是相互独立的， 2 2 2 由 E ( X k ) 0, 得 E ( X k ) D( X k ) [ E ( X k )] , 由辛钦定理知, 对于任意正数 , 有
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如瞄准时的误差，
空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
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自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见. 观察表明，如果一个量是由大量相互独 立的随机因素的影响所造成，而每一个别因 素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一 般都服从或近似服从正态分布.
若存在正数 , 使得当 n 时, 1
2 Bn 2 E {| X | } 0, k k k 1 n
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则
n n X k k k 1 k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n Bn 2
所以 E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2,.
根据定理一有 1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n nA 即 lim P p 1. n n
D( X k )
k 1
n
可以证明，满足一定的条件，上述极限分 布是标准正态分布. 这就是下面要介绍的
中心极限定理
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在概率论中，习惯于把和的分布收 敛于正态分布这一类定理都叫做中心极 限定理.
我们只讨论几种简单情形.
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定理四（独立同分布的中心极限定理）
由定理四, 知：
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k 1
,20).
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V 20 5 近似 N (0,1) ~ Z k 1 25 25 20 20 3 3 V 20 5 105 20 5 P{V 105} P 25 25 20 20 3 3 V 20 5 P 0.387 25 20 3
i
1 1 lim P{| X i i | } 1 n n i 1 n i 1
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n
n
证明
1 n 1 n 1 n E X i E ( X i )= i n i 1 n i 1 n i 1
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定理三（辛钦定理）
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望E ( X k ) ( k 1,2,),
1 n 则对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
定理六表明正态分布是二项分布的极限 分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计 算二项分布的概率.
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证明
n X k ,
k 1
n
其中 X 1 , X 2 ,, X n 是相互独立的、服从同 一 (0－1) 分布的随机变量 , 分布律为