高二数学等比数列综合测试题答案

A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．1．20×2n-3.提示：q 3=16020=8,q==20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 .. 提示：13=98×（23）n-1,n=4.3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .3.12.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=12+. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______．=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1．a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+b ，∴b =－1．5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a +=.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴5636364324a a ⨯+==. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为31的等比数列，则a n 等于 。

6．23（1－n31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23（1－n 31）。

7.等比数列Λ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .7. 1,,21(2)1a 122n nn a S a a ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≠⎪-⎩，。

提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即21=a 时，;,12n S a n ==当1≠q ，即21≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=.8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.8.2S ；32。

提示：设等比数列的公比为q ，若2S 计算正确，则有2q =，但此时3438,65S S ≠≠，与题设不符,故算错的就是2S ,此时, 由338S =可得32q =,且465S =也正确.二．解答题(本大题共4小题，共54分)9.一个等比数列{}n a 中，701333241=+=+a a a a ，，求这个数列的通项公式。

9．解：由题设知311211133a 70a a q a q q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相除得q =2552或， 代入a a 14133+=，可求得a 1125=或8，∴=⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪--a a n n n n 1252585211或10.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,S 4=1,S 8=17,求通项公式a n .解 设{}n a 的公比为q ，由S 4=1,S 8=17知q ≠1,∴4181a (1)1,1a (1)17,1q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得11152a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或1152a q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩。

∴a n =1215n -或a n =1(1)25n n --⨯。

11.已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，求数列{}n x 的前200项的和。

11.解：由已知，得212log log 1n n x x +-=，12n nx x +∴=， 所以数列{}n x 是以2为公比的等比数列，设{}n x 的前n 项和为S n 。

则S 100=1001x (12)12--=1001x (21)-，S 200=2001x (12)12--=2001x (21)-= S 100()10012+=()10010012⨯+故数列{}n x 的前200项的和等于()10010012⨯+。

12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中0n a ≠，1a 为常数，且1a -、n S 、1n a +成等差数列．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1n n b S =-，问：是否存在1a ，使数列{}n b 为等比数列？若存在，求出1a 的值；若不存在，请说明理由． 12.解：（Ⅰ）依题意，得112n n S a a +=-．于是，当2n ≥时，有111122n n n n S a a S a a +-=-⎧⎨=-⎩．两式相减，得13n n a a +=（2n ≥）．又因为211123a S a a =+=，0n a ≠，所以数列{}n a 是首项为1a 、公比为3的等比数列．因此，113n n a a -=⋅（n *∈N ）；（Ⅱ）因为111(13)1131322n n n a S a a -==⋅--，所以111111322n n n b S a a =-=+-⋅．要使{}n b 为等比数列，当且仅当11102a +=，即12a =-．备选题：1.已知在等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 。

1.12-n 。

提示：由,7,13211=++=a a a a 得21602,2n n q q q a -+-=∴=∴=。

2．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.2.3375±。

提示：610925,q q a a q ===⋅=±。

3.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。

3.解: (Ⅰ)由)1(3111-=a S ,得)1(3111-=a a∴=1a 21- 又)1(3122-=a S ,即)1(31221-=+a a a ,得412=a .(Ⅱ)当n >1时,),1(31)1(3111---=-=--n n n n n a a S S a得,211-=-n n a a 所以{}n a 是首项21-,公比为21-的等比数列.B 组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.正项等比数列{a n }中，S 2=7，S 6=91，则S 4= 。

1．28提示：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，即（S 4－7）2=7（91－S 4），解得S 4=28或－21（舍去）．2.三个不同的实数c b a ,,成等差数列，且b c a ,,成等比数列，则::a b c = _ 。

2、)2(:1:4-。

提示：22222,2,(2),540a c b c b a ab c b a a ab b +==-==--+= ,4,2a b a b c b ≠==-。

3.在等比数列{a n }中，已知n ∈N *，且a 1+a 2+…+a n =2n －1，那么a 12+a 22+…+a n 2等于 。

3. 31（4n －1）。

提示：由S n =2n －1，易求得a n =2n －1，a 1=1，q =2，∴{a n 2}是首项为1，公比为4的等比数列， a 12+a 22+…+a n 2= 31（4n －1）。

4. 设数列{}237n n n a n S a n =+-中前项的和，则n a =________.解析 11111,2374n a S a a ===+-∴=当时1111111112,(237)[23(1)7]2232332(3){3}-34-3=1,23122{}23n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a a a a a a a a a a --------≥=-=+--+--=-+∴=-∴-=--=∴-=⨯=∴=+当时即成等比数列,其首项是公比是数列的通项公式是5.已知函数()cos ,(,3)2f x x x ππ=∈，若方程()f x a =有三个不同的根，且从小到大依次成等比数列，则a = 。

5.12-。

提示：设最小的根为α，结合余弦函数的图像可知则另两根依次为 2,2παπα-+，所以()()222πααπα-=•+， 解得23πα=，21cos32πα==-。

制为6位数能表示十进制中最大的数是 .提示：111:2121217,2121206,2120215,2120204,21213,21202,21121021021021010100写成二进制为进而知⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是631212212121212121:111111654321=--=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯化成十进制为。

二．解答题(本大题共2小题，共36分)7． 数列}{n a 满足：*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++（1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n }是等比数列； （2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n 。

（1）21123,23,11221=-=-∴==a a a a又n n n n a a a a 2121112-=-+++。

n n n n n n d d a a a a 21,211112==--∴++++即故数列2121}{为首项，公比为是以n d 的等比数列. （2）由（1）得n n n n a a d )21(1=-=+1121112211)21(21)21(...)21()21()(...)()(-------=++++=+-++-+-=∴n n n n n n n n a a a a a a a a（3）11)21()23()46(])21(2[)23(23--⋅---=-⋅-=⋅=-=n n n n n n n n n b a c n b 令Θ02112111112[147...(32)][147...(32)]2222111(31)[147...(32)]222n n n S n n n n n --∴=⨯++++--⨯+⨯+⨯++-⋅=--+⨯+⨯++-⨯令1221)23( (2172)141-⨯-++⨯+⨯+=n n n T ① n n n n n T 21)23(21)53(...21721421121132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-② ① －②得12113224383243821)23()21...212121(3121---++--=∴+-=∴--+++++=∴n n n n nn n n n n S n T n T8. 已知关于x 的二次方程)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根βα,满足3626=+-βαβα，且11=a（1）试用n a 表示1+n a （2）求证：}32{-n a 是等比数列 （3）求数列的通项公式n a （4）求数列}{n a 的前n 项和n S 8. 解(1) 是方程βα,Θ)(0112*+∈=+-N n x a x a n n 的两根312102361111+=⇒=--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∴+++n n n n n n n a a a a a a a αββα(2)为等比数列常数}32{2132323121323121111-∴==--⇒-=-⇒+=+++n n n n n n n a a a a a a a (3)令3132,21}{,3211=-=-=a b b a b n n n 首项是等比数列，公比为则 32)21(3132)21(3111+=+=⇒=∴--n n n n b a b(4)n nn n n S )21(32322]211)21(1[3132-+=--+= 备选题：1.数列}{n a 是正项等差数列，若nna a a a b nn ++++++++=ΛΛ32132321，则数列}{n b 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列}{n c ，若n d = ，则数列}{n d 也为等比数列。