基于等效残差的方差_协方差分量估计
基于等价方差—协方差阵的稳健最小二乘估计理论研究
基于等价方差—协方差阵的稳健最小二乘估计理论研究本文的主要目的是研究基于等价方差协方差阵的稳健最小二乘估计理论。
第一章概述了稳健估计的基本概念，讨论了有关这些估计的优缺点，以及它们与经典最小二乘估计相比的差异。
第二章详细介绍了基于等价方差协方差阵估计理论的基本原理和方法，讨论了它如何构建稳健估计。
本文的研究结果表明，基于等价方差协方差阵的稳健估计可以有效地应对缺失数据和外头样本的问题，而且在估计准确性和估计偏差方面也表现出很高的效率。
第一引言部分对稳健估计的概念进行了详细的阐述，指出了有关稳健估计的优缺点，并将它们与经典的最小二乘估计进行了对比。
与普通的最小二乘法相比，稳健估计可以有效地避免将样本分布假设为正态分布，从而忽略异常值影响，可以有效地处理外头样本，并有效减少估计偏差。
等价方差协方差阵稳健估计尤其适用于复杂的数据结构情况，例如，大小不同的层次结构，以及混合型数据（例如，连续变量和类别变量）。
第二章详细介绍了基于等价方差协方差阵的稳健估计理论的基本原理和方法，重点讨论了基于这种理论如何构建稳健估计。
在基本原理方面，稳健估计可以通过引入等价方差协方差阵（ECC）来替代经典的最小二乘估计方法。
具体方法上，基于ECC的最小二乘估计可以用最小化损失函数的方法，例如广义线性模型（GLM）的模型，来计算稳健估计的估计量。
本文对基于等价方差协方差阵的稳健估计理论的研究结果表明，与普通的最小二乘法相比，基于等价方差协方差阵的稳健估计可以更好地应对缺失数据和外头样本的问题。
同时，稳健估计还可以在估计准确性和估计偏差上发挥出更好的效果。
此外，稳健估计还可以对混合型数据具有很强的适应性，可以更有效地处理大小不同的层次结构等复杂的数据结构情况。
综上所述，本文介绍了基于等价方差协方差阵的稳健估计理论，并对这一理论的适用性进行了研究。
研究结果表明，基于等价方差协方差阵的稳健估计可以有效地解决缺失数据和外头样本的问题，并在估计准确性和估计偏差方面也表现出较高的效率。
基于等效残差的方差_协方差分量估计
; Ou 也给出了一种极大似
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xb. sinomaps. com
然 VCE 算法并证明他的算法与 H elmert 和 Koch 的极大似然迭代算法是等价的, 他还将该算法推广 到条件平差模型[ 13] ; Grodecki 给出了不需要先验 信息的极大似然估计 VCE 公式 ; Yu 同样从概 括平差模型出发, 导出了极大似然 VCE 的通用公 式
) FT = E ( uuT ) , 其中, E ( ∃ ) 是数学期
望。实际计算中, 去掉数学期望符号, 由等效残差 u 建立 VCE 基本方程 F y FT = uuT ( 10) 假设有 m 个方差 协方差元素待估, 建立它们与 协方差阵的线性模型
近年来vce再次成为测量数据处理的研究热点teunissen等系统地论述了最小二乘vcexu等讨论了方差分量的可估性问题并明确了最多只有r其中r是多余观测数26yang等在高程系统转换的collocation模型中利用vce方法求解自适应因子从而平衡了观测值和信号对参数估值的贡该方法还被成功地应用于gis误差纠正本文首先利用正交分解提取出等效残差建立vce的基本方程在给定初值的情况下导出了helmert最小二乘和minquevce的估计公式明了基于等效残差的vce公式与已有公式等价
1 n% r 1 r% r T T
S
S 2 n% t ,
V=
V 1 n% r
V 2 n% t ,
=
0
( 7) 将式 ( 6) 和式( 7) 代入式( 3) 并顾及 S- 1 = ST , 得 S1 v= 1 V1 y = 至此 , 得到了 r 个等效残差 式中, F= u= Fy = F 1 V , u 的协方差为
方差-协方差分量估计
方差-协方差分量估计**协方差与方差部分量估计**在数据分析中，变量之间的关系可以通过协方差和方差部分量估计来衡量。
一般来说，两个变量之间的关系可以通过这两种技术来测量。
本文重点介绍协方差与方差部分量估计的内容。
协方差是一种用于多维空间的统计表示，它可以衡量两个变量之间的相关性。
它是一个以均值除以标准差作为边际估计量的统计量，它可以帮助我们估计两个变量的差异，即定性贴紧的相关系数。
如果协方差为正，则表明两个变量之间有正相关性，反之则表明有负相关性。
另一方面，方差分量估计是一种测量一个变量与另一个变量之间关系的技术，它可以帮助我们确定一个变量对另一个变量的影响。
方差分量估计可以测量变量的可变性，并提供另一变量的信息。
方差分量估计表明，两个变量之间相关性的程度，它表示一个变量中另一个变量的部分可变性。
总之，协方差与方差部分量估计都是通过测量两个变量之间相关性来衡量变量之间关系的有用工具。
其中，协方差可以衡量两个变量之间相关性的强弱，而方差分量估计可以衡量一个变量在另一个变量中所占的可变量。
尽管协方差与方差部分量估计有不同之处，但它们都是重要的数据分析工具，可以有效地测量变量之间的关系。
另外，根据结果，还有必要进行合理的解释，并研究变量之间的关系，以更好地理解数据分析的过程。
最后，可以总结的是，协方差与方差部分量估计可以有效地帮助我们衡量变量之间的关系，其中协方差可以衡量变量之间相关性的强弱，而方差分量估计可以衡量一个变量在另一个变量中所占部分可变量。
这些工具可以帮助我们对数据进行有效的分析，最终达到统计推断的目的。
联合平差中的方差分量估计问题的探讨
联合平差中的方差分量估计问题的探讨摘要：联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。
然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。
本文通过对方差分量的概念和估计方法的分析，提出了一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证了该方法的有效性。
关键词：联合平差；方差分量；加权方差分量估计一、引言联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。
联合平差的基本思想是将各种测量数据联合起来，通过最小二乘法求解所有未知参数，从而达到数据处理的最优化。
然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。
本文将对方差分量的概念和估计方法进行探讨，提出一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证其有效性。
二、方差分量的概念在联合平差中，方差分量是指各种测量数据误差的方差或协方差。
方差分量是测量数据精度的一个重要指标，直接影响到联合平差结果的精度和可靠性。
在联合平差中，方差分量通常分为内部方差分量和外部方差分量两类。
内部方差分量是指同一种测量数据的误差方差或协方差，例如，水准测量中的同一测高仪的读数误差方差。
内部方差分量是由测量仪器和人为误差引起的，可以通过实验和理论分析进行估计。
外部方差分量是指不同种测量数据之间的误差方差或协方差，例如，水准测量中的高差测量和距离测量之间的误差协方差。
外部方差分量是由地形和气象等自然因素引起的，通常无法通过实验和理论分析进行估计，只能通过实际测量数据进行估计。
三、方差分量的估计方法在联合平差中，方差分量的估计方法有很多种，常用的有最小二乘估计法、极大似然估计法、加权最小二乘估计法等。
最小二乘估计法是指在满足最小二乘原理的前提下，对方差分量进行估计。
最小二乘估计法的优点在于简单易行，但是对于外部方差分量的估计存在一定的困难。
XX方差分量估计
P 0 1 R = 1 0 0
Q 0 U = 1 1 0 0
0 P 12 R = 2 0 P 12
0 0 R = 3 0 P 2
0 0 U3 = 00 12
j=1
3
型方差－ 二、Helemrt型方差－协方差分量估计 型方差
E TRiV ==∑ (GTRiG j )σ2 (V ) tr U j
j=1 3
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
tr(GT RGU ) tr(GT RGU2) tr(GT RGU3)σ1 VT RV ˆ2 1 1 1 1 1 2 T T T T ˆ 2 1 2 2 2 tr(G R GU ) tr(G R GU2) tr(G R GU3)σ2 = V RV tr(GT RGU ) tr(GT RGU2) tr(GT RGU3)σ3 VT RV ˆ 2 3 1 3 3 3
满足： 满足：
ˆ E(X) = X
tr(QX ) = m in ˆ
ˆ X 为最优线性无偏估计量
一、概述（续） 概述（
最小二乘估计的最优性及其条件 函数模型误差不显 著 随机模型误差不显 著 无异常误差
参数最小二乘估值是最 优线性无偏估计量 单位权方差的估值具有 无偏性和渐进最优性。 无偏性和渐进最优性。
解为： 解为：
ˆ σ 2 = S−1W V
三、Helemrt型方差分量估计 型方差分量估计
K类观测情形 类观测情形
k×k k× 1
ˆ 2 =W Sσ V
k× 1
ˆ ˆ σ = [σ
2
T 2 2 2
2 01
ˆ σ
2 02
ˆ L σ
2 T 0k
方差分量估计方法对比分析
} V1 = B1 X^ - L1
V2 = B2 X^ - L2
(3)
摇 摇 且有下列关系式
L
=
éëêê
L1 L2
ùûúú
,V
=
éëêê
V1 V2
ùûúú
,B
=
éëêê
B1 B2
ùûúú
,P
=
éëêê
P1 0
0 P2
ùûúúபைடு நூலகம்
N = BT PB = B1T P1 B1 + B2T P2 B2 = N1 + N2 W = BT PL = B1T P1 L1 + B2T P2 L2 = W1 + W2 (4)
Zheng Rong1 摇 He Siyuan2
摇 摇 摘摇 要摇 模拟一个边角网的观测数据,对比 Helmert 方差分量估计严密方法及其两种简化算法、最 小范数二次无偏估计( MINQUE) 、基于最小二乘残差方程的方差分量估计算法( LS-MINQUE) 和 L 算法 在计算效率及精度方面的差别。 结果表明,方差分量的估计结果具有随机性,但是从统计结果来看, 6 种方法的统计结果与模拟精度一致,从计算效率来看,Hels2( Helmert 第 2 种简化算法) 相较于 Helmert 严密算法和 MINQUE 的计算时间提高率为 55% ~ 75% ,表明在迭代阈值相同时,Helmert 方差分量估计 的第二种简化算法计算效率最优,计算精度与严密方法相当。
摇 摇 推导得到方差-协方差分量估计的通用公式为
摇 摇 式中
S q^
2伊2 2伊1
=
Wq
2伊1
(5)
S=
éên1 - 2tr( N -1 N1 ) + tr( N -1 N1 ) 2 ,tr( N -1 N1 N -1 N2 ) ùú
国内外概化理论的研究成果与现状
国内外概化理论的研究成果与现状严芳李伟明一、从经典测量理论(CTT)到概化理论(GT)概化理论( Generalizability Theory，GT)作为现代测量理论之一，是对经典测量理论(Classical Test Theory，CTT)的扬弃。
概化理论以其独特的概念体系和理论构想，对测验信度进行了崭新的诠释。
众所周知，传统的CTT对测验误差的分析是粗糙的，CTT的真分数线性模型为X=T+E(观察分数X等于真分数T与误差E之和)，该模型最突出的弱点是无法区分复杂的测验情境中的各类误差，在误差E中包含了类似评定者、测题、测验环境等影响实际测量目标的各种因素；也由于CTT对随机误差的笼统界定，CTT只能获得单一测验条件下的真分数方差在观察分数方差中所占的比例，即一种测量情境下的信度；其次，CTT的测验信度是建立在严格平行测验假设基础上的，即两测验是以相同的程度测量同一心理特质。
该平行性可用下列代数式来表示：X=T+EX'=T+E'E(X) = E(X')σ2 (X)= σ2 (X')其中，X和X'是假设的严格平行测验，两测验观察分数的期望(E)相同，方差(σ2 )也相同。
然而，这一理论假设在实际的测验情境中却难以满足。
上述弱点限制了经典测量理论的应用。
鉴于CTT存在的不足，测量的理论界和实践领域都呼唤一个全新的测量理论。
正是在这样的理论背景之下，20世纪60年代在Cronbach等学者的研究下( Cronbach， Gleser，& Rajaratnam， 1963； Cronbach， Gleser， Nanda，& Rajaratnam， 1972)，概化理论应运而生，开拓出测量理论的一片新天地。
概化理论针对CTT混淆误差的缺点，借鉴试验设计和分析、方差分量模型的统计工具将测验情境中的各类误差进行分解，相对于CTT，GT最大的改进为：辨明测量情境中的不同误差来源，并实施分解和控制( Shavelson， & Webb,1991)，因此概化理论又称为方差分量模型(variance component model)(Brennan, 2000b)。
两类统计模型中方差和协方差分量的Bayes估计的开题报告
两类统计模型中方差和协方差分量的Bayes估计的开题报告一、研究背景统计模型中方差和协方差的估计是统计学中的基本问题。
对于单一变量的方差，通常可以使用最大似然估计或贝叶斯估计获得。
但是对于多个变量的协方差结构，最大似然估计可能会存在某些问题，例如需要满足特定的假设和分布形式等。
因此，贝叶斯估计成为了一个更加灵活和可行的方法。
二、研究目的本文旨在探讨两类统计模型中方差和协方差分量的贝叶斯估计方法，分别为线性混合效应模型和高斯过程模型。
通过对这两种模型的比较分析，探讨它们在不同数据情况下的表现和适用性，并给出具体的实例应用。
三、研究方法本文将分别介绍线性混合效应模型和高斯过程模型，并阐述它们的贝叶斯估计方法。
其中，线性混合效应模型将采用较为简单的Gibbs采样算法进行估计，而高斯过程模型将基于Markov Chain Monte Carlo方法进行估计。
为了比较这两种方法在实际应用中的效果，我们将使用两组不同的真实数据进行实验并比较它们的表现。
四、预期结果我们期望本文将能够提供一个全面的贝叶斯估计方差和协方差分量的方法比较和分析，有助于在实际应用中选择合适的方法。
具体而言，我们将会比较两种方法的计算效率、稳定性和适应性，并给出实际应用中的具体示例。
最终，我们希望该研究能够为统计建模和实际问题解决提供参考。
五、结论通过本文的研究，我们预计将获得以下结论：1. 两种方法在不同数据情况下的表现可能存在差异。
考虑到实际应用中的需求和资源，我们将会根据不同的数据和模型选择最佳的方法，使其能够更好地适应应用需求。
2. 两种方法的计算效率和稳定性也可能存在差异。
我们将会对它们进行性能分析，找到最优的方法并给出合理的建议。
3. 本文的研究成果将对于贝叶斯统计的实际应用具有参考意义。
实际应用中的数据模型、模型选择以及贝叶斯估计方法等方面都将受到启发。
综上所述，本研究的目标是为统计学家和应用者提供一个全面的统计模型中方差和协方差分量的贝叶斯估计方法比较和分析，为实际问题解决提供参考。
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测
绘
学
报
Acta Geoda etica et Ca rtographica Sinica
Vol. 39, No. 4 Aug. , 2010
文章编号 : 1001 1595 ( 2010) 04 0349 06
基于等效残差的方差 协方差分量估计
李博峰1 , 沈云中1, 2 , 楼立志 1,
[26] [ 22 23]
=
- 1 y
R
( 5)
rk( R) = t r ( R) = r 式中 , r = n- t 为多余观测数 ; rk ( ∃ ) 和 t r ( ∃ ) 分 别为求矩阵的秩和迹算子。由于 R 的秩为 r , 所 以式 ( 3) 中只有 r 个残差独立。对 R 正交分解 , R= S VT ( 6) 式中 , S 和 V 是正交矩阵 , 满足 SS = VV = En ; En 为 n 维单位阵; 是对角阵且只有 r 个非零元 素, 即 S=
1 n% r 1 r% r T T
S
S 2 n% t ,
V=
V 1 n% r
V 2 n% t ,
=
0
( 7) 将式 ( 6) 和式( 7) 代入式( 3) 并顾及 S- 1 = ST , 得 S1 v= 1 V1 y = 至此 , 得到了 r 个等效残差 式中, F= u= Fy = F 1 V , u 的协方差为
立 VCE 的基本方程 , 在此基础上阐述 VCE 算法的局部最优特性和可 能出现负定 协方差阵 估计结果等 两大问题 , 并分 析 可能的解决方案及其复杂性 ; 导出初值给定的 Helmert、 最小二 乘和 MINQUE VCE 的线性 逼近估 计公式 , 证明 基于等 效 残差的估计公式与已有 VCE 公式等价 , 各种估计方法在本质上是一致的 ; 最后 , 用两个算例 验证本文的观点 。 关键词 : 方差 协方差分量估计 ; 正交分解 ; Helmert 方差分量估计 ; 最小范数二次无偏估计 ; 全 局最优化 中图分类号 : P207 文献标识码 : A 基金项目 : 国家自然科学基金 ( 40674003 , 40874016 ) ; 现代工程测量国家测绘局重点实验室开放课题 ( TJES0809)
T 1 T T 1
V1
T
( 8)
( 9) u = F y F 。利用
T
R 与 A 正交 , 易证明 F 与 A 正交, 可理解为观测 值除了能够计算参数估值外, 还能且 FE (
T
; Yang 等在高程系统
转换的 Collocation 模型中, 利用 VCE 方法求解自适 应因子从而平衡了观测值和信号对参数估值的贡 献[ 27] , 该方法还被成功地应用于 GIS 误差纠正[ 28] 。 本文首先利用正交分解提取出等效残差, 建立 VCE 的基本方程, 在给定初 值的情况下, 导 出了 Helmert、 最小二乘和 MINQUE VCE 的估计公式, 证 明了基于等效残差的 VCE 公式与已有公式等价。
; Ou 也给出了一种极大似
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然 VCE 算法并证明他的算法与 H elmert 和 Koch 的极大似然迭代算法是等价的, 他还将该算法推广 到条件平差模型[ 13] ; Grodecki 给出了不需要先验 信息的极大似然估计 VCE 公式 ; Yu 同样从概 括平差模型出发, 导出了极大似然 VCE 的通用公 式
1. Department of Surveying a nd Geo informatics Engi neering, Tongji University, Sha ngha i 200092, China; 2. Key La bora tory of A dva nced Surveying Engineeri ng of SBSM, Shangha i 200092, China
Abstract : The development of the variance covaria nce component esti mation ( VCE) theory i s firstly synopti cally reviewed in this paper. Then the equivalent residual s are extracted by usi ng orthogonal decomposi ti on and the fundamental equa tions for VCE are established. B a sed on that the two profound a nd unresolvable problems for VCE theory, namely regi onal optimal ity a nd negative definiti on for estimated covariance matrix, are explored and the correspondi ng possible resolvable schemes and thei r compl exi ty are anal ysed. Thirdly, we derive out the Hel mert, least squares and M INQUE VCE formulae based on the fundamental equations with the given ini ti al values, and additionally we also prove their equival ence with the existi ng VCE formulae. The procedure of derivati on i s benefici al for us to understand the essence of VCE tha t al l VCE for mulae are identi cal. Finally, two examples a re performed to verify the proposed viewpoi nts. Key words : vari ance cova riance component estima tion; orthogonal decompositi on; Helmert VCE; MINQUE; global opti mali ty 摘 要 : 首先概括性地阐述方差 协方差分量 估计( VCE) 理论的发展历史 与研究现 状 ; 利用 正交分解 提取出等效 残差 , 建
[ 12] [ 10] [ 7] [ 6] [ 4]
最优的参数估计和合理的精度评定都以正确 的观测值随机模型( 协方差阵 ) 为前提, 方差 协方 差分量估计 ( VCE) 就是确定合理的 观测向量协 方差矩阵。事实上, 观测值本身包含了它的一阶 和二阶统计量信息 , 即 n 个观测值除了提取用于 估计 t 个参数的信息外, 还能且最多只能提取 r = n- t 个观测值间的闭合差信息 , VCE 的本质就是 利用观测值的闭合差来估计它的二阶统计量。换 句话讲 , 参数估计对应观测值的一 阶统计量, 而 VCE 对应观测值的二阶统计量 , 因此 , VCE 在测 量数据处理中占有与参数估计同等重要的地位。 从 H elmert 在间 接平差模 型下导出 利用残 差估计分类观测数据 方差分量的无 偏估计公式 起, 许多学者对 VCE 理 论作了深入的 研究[ 1 2] 。 针对 H elmert 方法 , Ebner 和 F rst ner 在确保最
T - 1 y T - 1 - 1 T - 1 y - 1 y
A ) - 1 AT
- 1 y
y
( 2) ( 3) ( 4)
, 并指明 Kubik 与 Koch 的极大似然估计公式
只是他的特例。此外, Koch 和 Ou 在间接平差模型 下导出了方差分量的近似和严密的贝叶斯估计和 贝叶斯置信区间[ 16 19] 。 在应用方面 , VCE 已经被广泛地应用于测量 数据处理的各个领域 , 尤其是在过去的十多年里, VCE 成功地应用于 GP S 数据处理方面, 并取得 了良好的效果。Euler 和 Goad 提出了根据卫星 高度角定权 模型[ 20] ; Wang 等在 GP S 基线 解算 中, 采用 M INQU E 方法同时估计协方差阵 , 改善 了基线结果[ 21] ; 李博峰等先后采用超短基线和中 长基线 GP S 数据, 分析了不同接收机的不同类观 测值精度及其与高度角的关系, 时间相关性以及不 同类观测值之间的交叉相关性 ; 何海波和杨元 喜提出了一种基于移动窗口实时估计双差观测值 先验协方差阵的方法, 改善了动态定位结果[ 24] 。 综上所述, VCE 的理论与应用发展可总结为: 类似于参数估计, 根据不同的准则导出估计公 式; ! 从不同的函数模型出发导出相应的估计公 式; ∀ 根据协方差阵与待估元素的特点, 研究简化 的估计算法 ; # VCE 应用主要是针对不同的研究 对象直接利用已有的算法, 很少涉及 VCE 理论问 题。近年来 , VCE 再次成为测量数据处理的研究 热点, Teunissen 等系统地论述了最小二乘 VCE 的 优越性[ 25] ; Xu 等讨论了方差分量的可估性问题, 并明确了最多只有 r ( r + 1) / 2 个方差 协方差元素 可估, 其中 r 是多余观测数
1
引
言
终估值无偏的前提下 , 给出了两种简化的迭代算 法[ 3] ; Graf arend 将 H elmert 公式推 广到 条件平 差模 型 ; Yu 从 概 括 平 差 模 型 出 发, 导 出 了 H elmert VCE 的通用公式[ 5] 。Rao 在方差 协方 差估值满足无偏性和不变性的前提下 , 以估值与 理论值之差的二次范数最小为准则导出了著名的 最小范数 二次无偏估计 ( M INQUE ) ; Ko ch 在 同样的约束条件下 , 提出了以方差最小为目标的 最优不变二次无偏 估计 ( BIQU E) ; Sj berg 将 MINQU E 推广到条件平差和附有参数的条件平 差模 型 [ 8] , 他 还给 出 了 BIQU E 的 一 种 迭代 算 法[ 9] ; Crocet to 等在每组观测值有多个方差的假设 下, 给出了一种简便的 BIQUE 算法 。当观测误 差服从正态分布时, Kubik 采用附有参数的条件平 差模型导出了极大似然 VCE 公式, 并采用牛顿迭 代法计算[ 11] ; Koch 给出了间接平差模型下的极大 似然 VCE 估计公式