质点运动学
质点运动学的总结和归纳
质点运动学的总结和归纳质点运动学是物理学中研究质点在空间中运动规律和性质的学科。
通过对质点在直线运动和曲线运动中的速度、加速度等物理量进行分析，可以揭示质点运动的规律和特性。
本文将对质点运动学的相关概念、公式和应用进行总结和归纳，以帮助读者更好地理解质点运动学的基本原理。
一、质点运动学的基本概念质点是指物体在运动过程中无视其自身大小和形状，只考虑其位置坐标和质量的理想化模型。
在质点运动学中，我们假设质点可以沿直线或曲线轨迹运动，通过对质点位置、速度和加速度等物理量的描述，来分析质点的运动规律。
二、质点直线运动质点在直线上的运动可以以时间为自变量，通过位移、速度和加速度等物理量来进行描述。
其中，位移表示质点从初始位置到最终位置的位移量，速度是质点在单位时间内位移的变化率，而加速度则是速度在单位时间内的变化率。
质点直线运动的关键公式有以下几个：1. 位移公式：s = s0 + vt，其中s表示位移，s0表示初始位置，v表示速度，t表示时间；2. 平均速度公式：v = Δs/Δt，其中Δs表示位移变化量，Δt表示时间变化量；3. 瞬时速度公式：v = ds/dt，其中ds表示极小位移，dt表示极小时间间隔；4. 加速度公式：a = Δv/Δt = dv/dt，其中Δv表示速度变化量，dv表示极小速度变化量。
三、质点曲线运动质点在曲线上的运动相对复杂，需要通过坐标系和向量运算进行描述。
常见的曲线运动包括匀速圆周运动和抛体运动。
1. 匀速圆周运动：质点在同心圆轨道上以恒定的速度做圆周运动。
此时，我们需要通过极坐标系来描述质点的位置，以及角速度、角加速度等物理量。
2. 抛体运动：质点在重力作用下以抛体轨迹运动，实际上是由于自由落体运动和水平匀速运动的合成。
此时，我们需要通过平面直角坐标系来描述质点的运动，并使用矢量分解和运动学公式进行计算。
四、应用举例质点运动学在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用举例：1. 射击运动：通过研究质点在飞行过程中的速度和角度等参数，可以计算出射击运动的弹道和飞行轨迹，实现精确的打靶。
大学物理第1章质点运动学
大学物理第1章质点运动学质点运动学是物理学中研究物体运动的学科，它是物理学的一个重要分支，是学习物理的基础之一。
一、质点运动学的概念质点运动学是研究质点运动的学科，它把物体看作质点，即把物体看成一个点，而不考虑其体积大小。
质点运动学的主要研究内容包括：位置、速度、加速度等运动量的描述，以及运动的曲线形状、动量、能量等方面的分析。
二、质点的运动质点的运动可以分为匀速运动和非匀速运动两种情况。
1.匀速运动匀速运动是指质点在单位时间内沿着同一直线等距离地移动的运动。
匀速运动的速度大小是恒定的，可以用速度公式v=d/t来计算。
2.非匀速运动非匀速运动是指质点在单位时间内沿任意曲线路径移动的运动。
非匀速运动中质点的速度大小是变化的，需要用微积分的方法进行分析和计算。
三、质点运动中的基本物理量在质点运动中，需要描述质点的运动状态和变化情况。
主要的量包括：1.位置位置是指质点在空间中所处的位置，通常使用坐标表示。
我们可以通过坐标系建立一个参照系，来描述质点的位置。
2.位移位移是指质点从一个位置到另一个位置的距离和方向，通常用符号Δr表示。
位移的大小可以用位移公式Δr=r2-r1来计算。
3.速度速度是指质点在单位时间内所改变的位置，通常用符号v 表示。
速度的大小可以用速度公式v=Δr/Δt来计算。
4.加速度加速度是指质点在单位时间内速度所改变的量，通常用符号a表示。
加速度的大小可以用加速度公式a=Δv/Δt来计算。
四、质点的曲线运动在质点运动中，一些运动路径可能是曲线运动。
曲线运动的路径通常可以用弧长s、曲率半径r、圆心角等来表征。
1.弧长弧长是指质点在曲线路径上所走过的曲线长度，通常用符号s表示。
弧长的大小可以用弧长公式s=rθ来计算。
2.曲率半径曲率半径是指曲线在任一点上的曲率半径，通常用符号r 表示。
曲率半径可以根据曲线的形状计算得出。
3.圆心角圆心角是指质点所在的路径所对应的圆所对应的圆心角度数，通常用符号θ表示。
第1章 质点运动学
由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动
第一章 质点运动学
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j
第一章_质点运动学
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角
质点运动学
例1-1 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost ,y R sin t 。 式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任意时刻的位矢、 速度和加速度；(3)质点在 t1 0 到 t2 3 2 时间内的位移。
解：(1) 由运动方程消去时间参量，可得质点轨迹方程
O
y
x
s
p2
p1
r
r1 r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
s : 路程即弧线 p1p 2
路程s是标量
| r |
|r| || r2| |r1| |
图中 s | r | |r|
平均速度
平均速率
r v t
v2
2 ac tan
vy vx
(3)求加速度 a
3 y
2 1 a a
dv d a (2 i 2t j ) 2 j dt dt
a
2
-1
-2 -3
a
4
x
沿y轴负方向 矢量有两个重要特征： 大小 方向
a a
例1-2 汽车在半径 R 300.0m 的轨道上加速运动，其路程与时间的关系是 s 5.0t 2 0.1t 3 m ，求时 t 1.0s ，汽车的加速度大小。
(
v x i v y j vz k
dt
dt
( xi yj zk )
dt
i
dt
j
dt
k
r (t )
O
v
v | v |
2 2 2 vx v y vz
大学物理第1章质点运动学ppt课件
大学物理第1章质点运动学ppt课件•质点运动学基本概念•直线运动中质点运动规律•曲线运动中质点运动规律•相对运动中质点运动规律目录•质点运动学在日常生活和工程技术中应用•总结回顾与拓展延伸质点运动学基本概念01质点定义及其意义质点定义用来代替物体的有质量的点，是一个理想化模型。
质点意义突出物体具有质量这一要素，忽略物体的大小和形状等次要因素，使问题得到简化。
参考系与坐标系选择参考系定义为了研究物体的运动而选作标准的物体或物体系。
坐标系选择为了定量描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系等。
位置矢量与位移矢量位置矢量定义从坐标原点指向质点的矢量，用r表示。
位移矢量定义质点从初位置指向末位置的有向线段，用Δr表示。
质点在某时刻的位置矢量对时间的变化率，即单位时间内质点位移的矢量，用v 表示。
速度定义加速度定义速度与加速度关系质点在某时刻的速度矢量对时间的变化率，即单位时间内质点速度的变化量，用a 表示。
加速度是速度变化的原因，速度变化快慢与加速度大小成正比，方向与加速度方向相同。
速度加速度定义及关系直线运动中质点运动02规律匀速直线运动特点及应用特点质点在直线运动中，速度大小和方向均保持不变。
应用描述物体在不受外力或所受合外力为零的情况下的运动状态。
匀变速直线运动规律探究定义质点在直线运动中，加速度大小和方向均保持不变。
运动学公式包括速度公式、位移公式和速度位移关系式，用于描述匀变速直线运动的基本规律。
定义物体在重力的作用下从静止开始下落的运动。
运动学公式包括位移公式、速度公式和速度位移关系式，用于描述自由落体运动的基本规律。
运动特点初速度为零，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
自由落体运动分析竖直上抛运动过程剖析定义物体以一定的初速度竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。
运动特点具有竖直向上的初速度，加速度为重力加速度，方向竖直向下。
质点运动学
质点运动学简介质点运动学是研究物体运动的一门学科，它研究的对象是不考虑物体内部结构和力的作用下，描述物体运动状态的一系列物理量。
质点运动学主要研究质点的位置、速度和加速度等与运动有关的基本概念和关系，为进一步研究物体的力学性质和运动规律提供了基础。
质点质点是运动学中研究的基本对象之一。
它是一个理想化的模型，将物体的体积和形状等因素抽象化，仅考虑物体的质量和位置。
质点可以被描述为一个在空间中具有一定质量的点，在研究物体的运动时，可以用质点来近似地代替物体。
质点的位置通常用坐标来表示，如在二维空间中，可以用水平方向的x坐标和竖直方向的y坐标来描述质点的位置。
在三维空间中，需要使用x、y和z三个坐标来表示质点的位置。
位置、速度和加速度质点运动学关注物体的位置、速度和加速度等运动状态。
下面分别介绍这些概念：位置位置是物体在空间中相对于参考点的位置。
我们通常使用坐标系来描述质点的位置，如直角坐标系、极坐标系等。
在直角坐标系中，质点的位置可以用一组坐标来表示。
例如，一个位于原点的质点，其位置可以表示为(0, 0)。
速度速度是物体在单位时间内位移的大小与方向的矢量量。
它描述了质点在单位时间内改变位置的快慢和方向。
速度可以分为瞬时速度和平均速度。
瞬时速度是在某一时刻的瞬时位置与前一时刻的瞬时位置之间的位移与时间间隔的比值。
平均速度是在一段时间内的位移与时间间隔的比值。
加速度加速度是物体在单位时间内速度变化的大小与方向的矢量量。
它描述了质点在单位时间内改变速度的快慢和方向。
加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度。
瞬时加速度是在某一时刻的瞬时速度与前一时刻的瞬时速度之间的速度变化与时间间隔的比值。
平均加速度是在一段时间内的速度变化与时间间隔的比值。
运动方程运动方程是质点运动学中描述质点运动规律的方程。
在一维运动中，质点只在一个方向上运动，可以用以下方程描述：•位移公式：s = vt•速度公式：v = v0 + at•加速度公式：a = (v - v0) / t在二维运动中，质点在平面上运动，可以用两个方向的运动方程来描述。
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第二章 牛顿运动定律及其应用教学基本要求1、掌握牛顿运动定律及其适用条件。
2、掌握质点动力学的第一类问题，理解第二类问题。
3、了解非惯性系和惯性力教学内容提要1 牛顿运动定律（1）第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体对它作用的力迫使它改变这种状态为止。
（2）第二定律 m =F a（3）第三定律 当物体A 以力F 作用于物体B 时，物体B 也同时以'F 作用于物体A 上，力F 和力'F 总是大小相等，方向相反，且在同一条直线上。
2.适用条件（1）质点 （2）低速 （3）惯性系3 惯性力为了使牛顿第二定律在非惯性系中成立而引进的一个虚拟的力00m =-F a0a 为非惯性系的加速度教学重点难点分析动力学的主要任务是揭示运动状态变化与外界作用的联系，反映这个联系的规律就是牛顿运动定律。
牛顿三大定律涉及到力的溉念，因此在学习动力学时应抓住力的概念和力的规律这两条线索进行复习。
又因牛顿定律研究的对象是质点。
在应用牛顿定律研究力学问题时，必须用隔离体法把研究对象隔离开来进行受力分析。
注意牛顿定律只在惯性系中成立，其解题一般步骤如下：1.确定对象，受力分析。
认真分析题意，确定研究对象。
采用“隔离体法”对研究对象进行正确的受力分析，并画出受力分析图。
2.明确关系，运动分析。
弄清物理过程，明确物理关系，进行运动分析。
主要分析加速度相对于什么参考系以及它的方向。
若有两个以上质点的运动，要找出他们的加速度间的关系。
3.选定坐标，列出方程。
依据题目具体条件选定坐标系。
在此基础上，对研究对象列出牛顿第二定律的分量式和其他必要的辅助性方程，所列方程的总数与未知量的数目要相等。
4.解出方程，讨论结果。
解方程时，一般先进行文字运算，然后将已知量统一单位制后代入，求得结果。
最后讨论结果的物理意义，判断其是否合理和正确。
本章的主要内容都是以力为核心的，正确的分析物体受力情况将是关键，在分析受力情况时，请同学们注意以下几个问题：（1）遗漏某些作用力分析力时可能产生的错误之一是遗漏某些作用力。
为了防止这种错误，应当注意掌握力的特性。
在力学中经常遇到的只有以下几种类型的力：万有引力、重力、弹力和摩擦力。
前两者是场力、后两者是接触力。
在分析某一物体的受力情况时，应先标出重力等非接触力，其次只需注意该物体与那些物体相接触。
只有在它与其他物体相接触的地方才有可能受到其他物体的作用力，这样就能有效的防止遗漏某些作用力。
（2）误列入一些多余的力如上所述，接触力是物体之间相互接触才可能产生的作用力。
然而并非相互接触的两个物体之间就一定有接触力存在。
例如在水平面与倾斜面之间有一静止着的球，如图（见王济民P30）所示，此球只受到重力P 和水平面对它的支持力N ，倾斜面虽然与球相接触，但它对小球没有作用力。
因为如果倾斜面对小球也有一作用力'N ，那么小球就会在力的作用下向右运动，这就与已知条件相矛盾。
为了使问题更加明显，我们不妨设想去掉这个倾斜面，看看情况会因此而有些什么不同。
显然，去掉倾斜面，小球仍能保持静止于水平面上，情况与原先没有什么不同。
这里虽有斜面，但斜面与小球之间并非紧密接触，二者没有互相挤压的趋势，因此不会发生形变，自然也就不会出现弹性力。
所以在分析接触力时，要注意到弹性形变是产生弹性力的先决条件，有相对运动或具有相对运动的趋势是产生摩擦力的先决条件。
为了防止误列入类似上述情况的多余力，通常采用以下办法加以简单判断。
这种判断方法是：为了研究某一物体的力学作用，常常不妨先设想它不存在，考察在此情况下有些什么不同。
除此之外，同学们还可能误列入一些其他的多余力，例如，将m a 作为一个力，并将它与其他力放在一起同等对待。
又如，在有的问题中，质点具有初速度，就认为“质点具有向前的冲击力”。
还有人将力和它所起的作用混为一谈，且一并计入。
如圆周运动中，考虑了所有力之后，还有加上一个向心力等。
只要认真地考虑一下力的概念，就不致犯这一类错误，力既然是物体之间的相互作用，那么，在谈到力时，只要追问一下它是哪一物体施于这个质点的，找不到施力物体，这类凭空引入的多余力就会暴露出来。
（3）被动力与物体的运动状态有关力具有相互作用性，作用力与反作用力总是同时存在，同时消失，它们之间无先后之别，而有主动与被动之分。
万有引力、重力、弹簧的弹性力、静电力等力具有其“独立自主”的方向和大小，这类力称之为主动力，主动力与物体的运动状态无关。
摩擦力、张力和正压力等力的大小和方向则取决于物体所受到的主动力及物体的运动状态。
这类随外加主动力及物体的运动状态而被动调节其大小和方向的力称为被动力。
在力学中被动力往往是作为未知力出现的，在确定被动力的大小时，特别要注意它与物体运动状态之间的关系。
例如悬线上的张力与悬挂质点的运动状态密切相关，单摆与圆锥摆两种情况下悬线上张力的表达式是不同的 。
物体对支承物的正压力也与支承物的运动状态有关，它并不恒等于重力或重力的一个分量。
例题分析2-1 质量分别为1m 和2m 的量物体用轻细绳相连接后，悬挂在一个固定在电梯内的定滑轮的两边。
滑轮和绳的质量以及所以摩擦均不计。
当电梯以02g a 的加速度下降时，试求1m ，2m 的加速度和绳中的张力。
解 解法一 以地面为参照系，使Y 轴竖直向下。
物体的受力情况如图所示，物体1m 和2m 的运动方程为111m g T m a -= （1）222m g T m a -= （2）考虑到绳不可伸长，所以1020y y y y -+-=常数（即绳长） （3）式（3）对时间求二阶导数，得出12m ,m 和滑轮中心'O 点对地面的加速度之间的关系 1202a a a += （4）联立（1）、（2）、（4）三式，并根据已知条件02a g =，解得111222121212m a g m m m a g m m m m T g m m =+=+=+ 解法二 以滑轮转轴'O 为非惯性参照系，''O Y 轴竖直向下。
这时1m 和2m 分别受到惯性力10m a -和20m a -。
假定1m 在非惯性系中的加速度为'a ，则2m 的加速度为'a -。
于是，在非惯性系中，1m 和2m 的运动方程为101'm (g a )T m a --= （5）202'm (g a )T m a --=- （6）由（5）、（6）两式解得12012'm m a (g a )m m -=-+ （7） 120122m m T (g a )m m =-+ （8） 这里'a 是1m 相对于电梯的加速度，由加速度合成公式可得，1m 和2m 相对于地面的加速度分别为11012'm a a a g m m =+=+ 22012'm a a a g m m =-+=+2-2 有一条单位长度质量为λ的细绳，开始时盘绕在光滑的水平桌面上（其所占的体积可忽略不计）。
试求：现以一恒定的加速度a 竖直向上提绳，当提起y 高度时，作用在绳端上的力为多少？若以一恒定速度v 竖直向上提绳时，当提起y 高度时，作用在绳端上的力又为多少？解 取坐标OY ，如图所示，以已提起的高度为y 的细绳为研究对象，由牛顿运动定律，有 d(yv )F yg dtλλ-=（1） 即 2F yg v ya λλλ=++ （2）当a 为恒量时，由dv dv dy dv a v dt dy dt dy==⋅=及00y v ==时，可得 22v ay = （3）将式（3）代入式（2）得123F yg ya ya (g a )y λλλλ=++=+当v 为恒量时，0a =，代入式（2）得222F yg v (yg v )λλλ=+=+2-3 质量为m 的质点在X-Y 平面上按x =A sin ωt ，y =B cos ωt 规律运动，其中A ，B ，ω均为常量，求作用于质点的力。
解 本题知r ，求F ，属动力学第一类问题，用“微分法”求解。
x y ma ma =+F i j而 t A tx a x ωωsin d d 222-== t B ty a y ωωcos d d 222-== 所以22m (Asin t B cos t )m ωωωω=-+=-F i j r其中，x y Asin Bcos t ωω=+=+r i j i j 为位矢2-4 质量为m 的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速度为0v ，设水的阻力与轮船的速度成正比，比例系数为k ，求轮船的发动机停机后所能前进的最大距离。
解 本题 知力（速度v 的函数）及初始条件（t =0时，v =0v ）求坐标，属第二类问题，可用“积分法”求解。
选船为研究对象，其合外力为阻力F =－kv ，其运动为减速运动，其动力学方程为tx k kv t v md d d d -=-= 故 kv m x d d -= ⎰⎰-=max 000d d x v kv m x k mv x 0max =例2.5 某电动列车行驶时每千克质量所受的阻力N 10)5.05.2(22-⨯+=v F 式中，v 为列车速度，以m/s 计，当车速达到25m/s 时，关掉电门，向运行多少路程后列车减至10m/s ？ 解 本题已知力（速度的函数）及初始条件（t =0时，v =251s m -⋅）求路程（坐标），属第二类问题，用“积分法”求解。
选列车为研究对象，其动力学方程为d d d dv()d d d d v v xF v m mv t x t x ===对上式分离变量得()mvdx dv F v =考虑初始条件后对上式两边积分10025()x mv dx dv F v =⎰⎰将22()(2.50.5)10N F v v -=-+⨯，m=1kg 代入上式得1022025(2.50.5)10x v dx dv v -=-+⨯⎰⎰即2225.05.2)5.05.2(d 102510d v v x x o ++⎰⨯⎰-=)(1791025)5.05.2ln(1022m v x =+⨯=。