平面向量的线性运算以及坐标运算
平面向量的线性运算知识点总结
平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。
本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。
一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。
具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。
即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。
具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。
数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。
2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。
3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。
4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。
具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。
2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。
高考数学(文)《平面向量》专题复习
第1节 平面向量的概念及线性运算、 平面向量基本定理
600分基础 考点&考法
❖考点29 平面向量的基本概念及线性运算 ❖考点30 平面向量的坐标运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
❖考法1 平面向量的有关概念 ❖考法2 平面向量的线性运算
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考点29 平面向量的基本概念及线性运算
【注意】①向量数乘的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当a＝0时，λa＝0.②实数和向量可 以求积，但不能求和、求差．③正确区分向量数量积与向量数乘的运算律．
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考法2 平面向量的线性运算
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考点30 平面向量的坐标运算
❖考法3 平面向量基本定理的应用 ❖考法4 平面向量的共线问题 ❖考法5 平面向量的坐标表示与运算
1.向量的有关概念
2.向量的线性运算
考法1 平面向量的有关概念
解决平面向量的有关概念的问题时，应注意以下两点： 1．应正确理解向量的概念 ①向量既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以 判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；②大小与方向是向 量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；③向量可以自 由平移，任一组平行向量都可以移到同一直线上． 2．正确理解共线向量与平行向量 共线向量就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反， 当然向量所在直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不 同于平面几何中“共线”的含义．
(2)b在a方向上的投影是 一个数量，当0°≤θ＜ 90°时为正；当90°＜θ ≤180°时为负；当θ＝ 90°时为0.
考点31 平面向量的数量积
【注意】x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
平面向量的线性运算以及坐标运算
一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量) 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加（减）法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．3、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。
（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量AB 与向量BA 的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；baCBAa b C C-=A -AB =B（8）向量就是有向线段；（9）非零向量a 的单位向量是a a；（10）若//a b ，则a b =；（11）若a b =，则a b =；（12）若a b =，则//a b ；（13）若a b =，则a b =。
例2、给出下列几个命题：（1） 若//, //a b b c ，则//a c ；（2） 若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； （3） 在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； （4） 若, m n n k ==，则m k =。
高考数学 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 高考真题
专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。
考点10 平面向量(核心考点讲与练)-2023年高考数学核心考点讲与练(新高考专用)(解析版)
①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.
②模：|a|＝ ＝ .
③夹角：cosθ＝ ＝ .
④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ · .
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
3.（2021年全国高考甲卷）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是 ＋ ＋ ＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则 ＋ ＝2 ；
(3)对于平面上的任一点O， ， 不共线，满足 ＝x ＋y (x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
【答案】D
【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.
【详解】 ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，A正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0，B正确；
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，C正确；
＋ ＋ ＝ ＋0＝ ＝ ≠ ，D错误，
故选：D．
2.（2020内蒙古鄂尔多斯市第一中学）下列结论正确的是
A．若向量 ， 共线，则向量 ， 的方向相同
高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)
平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。
23 平面向量的线性运算和坐标表示
23 平面向量的线性运算和坐标表示改编：周海军一、知识要点1．向量的概念：（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量（2）特定大小或特定关系的向量：零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量 表示法：①几何法：画有向线段表示，记为AB 或a②坐标法：),(y x y x AB =+=j i ；),(1212y y x x AB --=，其中),(),,(2211y x B y x A2．向量的运算和坐标表示（1）加减法及几何意义（2）实数与向量的积3．平行向量共线定理： ．4．平面向量基本定理： ．5．坐标表示：①设点),(11y x A ，),(22y x B ，则=AB ．设),(11y x a =，),(22y x b =，②则=+b a ，=-b a ，=a λ ． ③若b a ,是非零向量，则⇔b a // ；⇔⊥b a ． ④设),(y x a =，则||a = ；若点),(11y x A ，),(22y x B ，则=||AB ． ⑤与非零向量),(y x a =方向相同的单位向量为 ．二、课前预习1．若)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=c ．（用b a 、来表示）2．如果向量)1,(k a =与)1,6(+=k b 共线且方向相反，那么k 的值为 ．3．已知a 与b 不共线，b a OM +=，b a ON -=3，)(5R t b a t OP ∈-=，若P N M ,,三点共线，则=t ．4．已知a 是以点)1,3(-A 为起点，且与向量)4,3(-=b 平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 ．5．已知)4,3(-=OA ，)3,6(-=OB ，)3,5(m m OC --=，若点C B A ,,能构成三角形，则实数m 满足的条件是 ．6．设P 为ABC ∆内一点，且AC AB AP 5143+=，则ABP ∆的面积与ABC ∆面积之比为 ．三、典例剖析例1．（1）如图，已知2||=OA ，32||=OB ，0=⋅OB OA ，点C 在AB 上，030=∠AOC ，用OA 和OB 来表示向量OC ，则=OC ．（2）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若OB a OA a OC 20141+=，且C B A ,,三点共线（该直线不过原点），则=2014S ．（3）已知菱形ABCD 的边长为2，0120=∠BAD ，点F E ,分别在边DC BC ,上，DC DF BC BE μλ==,，若1=⋅AF AE ，32-=⋅CF CE ，则=+μλ ．例2．设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若D B A ,,三点共线，求k 的值．例3．),10(),5,4(),12,(k PC PB k PA ===（1）当k 为何值时，C B A ,,共线？（2）当k 为何值时，C B A ,,能构成以C ∠为直角的三角形？例4．如图，在ABO ∆中，OA OC 41=，OB OD 21=，AD 与BC 交于点M ，设b OB a OA ==,，试用b a ,表示向量OM ．四、作业反馈1．下面给出4个命题，其中正确命题的序号是 ．①对于实数m 和向量b a ,，恒有b m a m b a m -=-)(②对于实数n m ,和向量a ，恒有a n a m a n m -=-)( ③若)0,(≠∈=m R m b m a m ，则b a = ④若)0(≠=a a n a m ，则n m =2．①)2,1(),0,0(21-==e e ②)7,5(),2,1(21=-=e e ③)10,6(),5,3(21==e e ④)43,21(),3,2(21-=-=e e 以上向量组中，能作为平面内所有向量基底的序号是 ．3．已知5||,8||==AC AB ，则||BC 的取值范围是 ．4．在ABC ∆中，060,3,2=∠==ABC BC AB ，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若BC AB OA μλ+=，则=λ ，=μ ．5．设O 是ABC ∆内部一点，且OB OC OA 2-=+，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 ．6．若)3,2(-=p ，)2,1(=q ，)4,9(=a ，且q n p m a +=，则=m ，=n ．7．已知集合}),4,3()2,1(|{R a a M ∈+==λλ，}),5,4()2,2(|{R a a N ∈+-==λλ，则=N M ．8．已知21,e e 不共线，2121,e k e b e e k a +=+=，当=k 时，b a ,共线．9．设向量)1,3(=OA ，)2,1(-=OB ，且OB OC ⊥，OA BC //，又OC OA OD =+，求OD ．10．如图，在矩形ABCD 中，2=AB ，2=BC ，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2=⋅AF AB ，则BF AE ⋅的值是 ．11．在ABC ∆中，在AC 上取点N ，使得AC AN 31=，在AB 上取点M ，使得AB AM 31=，在BN 的延长线上取点P ，使得BN NP 21=，在CM 的延长线上取点Q ，使CM MQ λ=时，QA AP =，试确定λ的值．12．设b a ,是不共线的两个非零向量．（1）若b a OC b a OB b a OA 3,3,2-=+=-=，求证：C B A ,,三点共线；（2）若b k a +8与b a k 2+共线，求实数k 的值；（3）设b a OP b n ON a m OM βα+===,,，其中βα,,,n m 均为实数，0,0≠≠n m ，若N P M ,,三点共线，求证：1=+n m βα．A B C E F D。
平面向量的坐标表示与线性运算
平面向量的坐标表示与线性运算平面向量是平面上一个有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。
在数学中，可以通过坐标表示来描述平面向量，这种表示方法可使计算和运算更加方便。
一、平面向量的坐标表示平面中的向量可以由两个有序实数对表示，根据坐标轴的方向，通常用(x, y)表示平面向量。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
这种表示方法类似于笛卡尔坐标系中的点的表示方法。
例如，有一个向量a，它的起点在原点(0, 0)，终点在点A(x1, y1)上。
那么这个向量的坐标表示就是(a1, a2) = (x1, y1)。
其中，a1 = x1，a2 =y1。
同样地，对于任意两个平面向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2)和(b1, b2)。
二、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。
1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量相加得到一个新的向量。
加法的运算规则如下：(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)通过向量的加法，可以得到一个新的向量，它的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
这个新的向量叫做"和向量"。
2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
数乘的运算规则如下：k(a1, a2) = (ka1, ka2)通过向量的数乘，可以得到一个新的向量，它的起点与原向量相同，终点在与原向量方向相同（若k>0）或相反（若k<0）的位置。
这个新的向量也叫做"倍数向量"。
三、例题解析假设有向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，我们来进行一些常见的线性运算。
1. 向量的加法a +b = (3, -2) + (1, 4) = (3 + 1, -2 + 4) = (4, 2)2. 向量的数乘2a = 2(3, -2) = (2 * 3, 2 * -2) = (6, -4)-3b = -3(1, 4) = (-3 * 1, -3 * 4) = (-3, -12)通过以上例题可以看出，平面向量的坐标表示和线性运算在数学中有着广泛的应用。
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一、同步知识梳理1、向量：既有大小，又有方向的量．(注意零向量，单位向量) 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加（减）法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．3、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．二、同步例题分析例1、判断下列命题的真假。
（1）零向量是没有方向的；（2）零向量与任一向量共线；（3）零向量的方向是任意的；（4）单位向量都是相等的向量；（5）向量AB 与向量BA 的长度相等；（6）不相等的向量一定不平行；（7）若两个单位向量共线，则必相等；（8）向量就是有向线段；（9）非零向量a 的单位向量是a a；（10）若//a b ，则a b =；（11）若a b =，则a b =；baC BAa b C C-=A -AB =B（12）若a b =，则//a b ；（13）若a b =，则a b =。
例2、给出下列几个命题： （1） 若//, //a b b c ，则//a c ；（2） 若AB DC =，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点； （3） 在平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =； （4） 若, m n n k ==，则m k =。
其中不正确命题的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5例3、如图，在ABCD 中，1, , 3AB a AD b AN AC ===，M 为BC 的中点，则MN =________。
（用, a b 表示）变式：1、化简下列各式：（1）+BC AB ； （2）AB AC BD CD -+-； （3）NQ QP MN MP ++-。
2、已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且=++，那么一定有（ ）A ．AP PB 2= B ．2=C ．PB AP 2=D ．AB PB 2=3、已知R λμ∈、，则在以下各命题中，正确的命题共有 （ ） （1）0, 0a λ<≠时，a λ与a 的方向一定相反； （2）0, 0a λ>≠时，a λ与a 的方向一定相同；M D（3）0, 0a λ≠≠时，a λ与a 是共线向量； （4）0, 0a λμ>≠时，a λ与a μ的方向一定相同； （5）0, 0a λμ<≠时，a λ与a μ的方向一定相反。
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4、已知任意平面四边形ABCD 中，EF 分别为AD 、BC 的中点。
求证：1()2EF AB DC =+5、如图，在五边形ABCDE 中，若ACDE 是平行四边形，且AB a =，AC b =，AE c =，试用, , a b c 表示向量, , , BD BC BE CD 及CE 。
例8、设两个非零向量 a b 、不共线， （1）若, 28, 3()AB a b BC a b CD a b =+=+=-，求证：A 、B 、D 三点共线。
（2）试确定实数k 使得ka b +与a kb +共线。
变式：如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 中点，AE 交BD 于M ，试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点。
BA三、课后作业1、若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则=； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ //，//，则//； ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2、已知下列各式：①CA BC ++AB ； ②OM BO MB +++AB ③CD BD AC -+-AB ④+++ 其中结果为零向量的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3、在ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（ ）A ．=+B ．=-C ．=-D ．=-4、若a 与b 的方向相反，且>a b ，则a+b 的方向与a 的方向 ；此时+a b-b ．5、若8,5,AB AC ==则BC 的取值范围是6、（广东卷）如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =( ) A.12BC BA -+ B. 12BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA +7、在四边形ABCD 中，若||||,,-=+==且,则四边形ABCD 的形状____8、设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e aλ+=与2132e e b+-=共线，则λ=__________________9、设21,e e 是两不共线的向量，若21212133,82,e e CD e e BC e e AB -=+=+=，试证D B A ,,三点共线．ACB图110、如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD ，BC 的中点，求证：→→→2=+EF DC AB思考题：设点O 在△ABC 内部，且有4=++，求三角形ABC 与三角形OBC 的面积之比。
平面向量的基本定理及坐标表示一、知识点梳理1、如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
称不共线的向量e 1、e 2叫做一组基底。
2、已知两个非零向量a 和b ，做, ,OA a OB b ==，则()0180A O B θθ∠=︒≤≤︒叫做向量a 与b 的夹角。
如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b ，记作 。
3、向量的正交分解：4、平面向量的坐标运算 （1）平面向量的坐标：设,i j 是与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，对于平面上任一向量a ，有且只有一对实数,x y ，使得a xi yj =+，记作(),a x y =。
（2）平面向量的坐标运算① ()()1122,, ,a x y b x y ==，则有a b += ， a b -= ， a λ= ， ② 设()()1122,, ,A x y B x y ，则有AB = ； ③ 向量共线的坐标表示：设()()1122,, ,a x y b x y ==，则有a 与b 共线，⇔ ； ④ 中点公式设()()111222,, ,P x y P x y ，P 为12P P 的中点，则对任一点O ，有 ()1212OP OP OP =+，所以点P 的坐标是 。
二、专题经典讲练例1、设12 e e 、是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（ ）A. 1212 e e e e +-,B. 121232 46e e e e --,C. 12122 2e e e e ++,D. 112, e e e +例2、已知x y R ∈、，向量(2,1), (1,)a x b y x ==--，若a b =，求向量(4,)c x y =-。
变式：1、已知(1,5), 34(6,19)a b a b +=-+=-，求, a b 。
2、若(0,1), (1,2), (3,4)A B C ，则2AB BC -=___________。
3、设向量a =(1,－3),b =(－2,4),若表示向量4a 、3b －2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）4、已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10例2、已知点)0,3(),0,0(),1,3(C B A ，设B A C∠的平分线AE 与BC 相交于E ，且→→CE =BC λ，则λ 等于（ ）A.2B.21 C.-3 D. 31-变式：1、O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,A B A CO P O A P A BA Cλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的 （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()()3,1,1,3-B A ，若点C 满足βα+=，其中有R ∈βα,且1=+βα，则点C 的轨迹方程为( )01123)(=-+y x A ()()521)(22=-+-y x B 02)(=-y x C 052)(=-+y x D例3、已知点A(1, －2),若向量AB 与={2,3}同向 =213,则点B 的坐标为 .变式：1、已知向量a =（－2，2），b =（5，k ）.若|a +b |不超过5，则k 的取值范围是 （ ） A ．[－4，6] B ．[－6，4] C ．[－6，2] D ．[－2，6]2、已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16，0D ．4，03、若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是︒180，且53||=，则= A. )6,3(-B. )6,3(-C. )3,6(-D. )3,6(-4、若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________．例4、若向量(1,2), (,1), 2, 2a b x u a b v a b ===+=-，且//u v ，求x 的值。
变式：1、已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （A ）43 （B ）43- （C ）34 （D ）34-2、向量(,12), (4,5), (10,)OA k OB OC k ===，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线。
3、ABC △的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为（ ）(A)6π (B)3π (C) 2π(D) 23π例5、已知三点(2,3), (5,4), (7,10)A B C ，点P 满足()AP AB AC R λλ=+∈（1）λ为何值时，点P 在正比例函数y x =的图像上？（2）设点P 在第三象限，求λ的取值范围。