四点共面证明方法
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
用向量证明四点共面（精选篇）
用向量证明四点共面用向量证明四点共面用向量证明四点共面由n++t=1 , 得 t=1-n- ,代入p=nx+ y +tz，得P=n X +Y +(1-n-)Z, 整理，得P-Z =n(X-Z) +(Y-Z)即ZP =nZX +ZY即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是充要条件。
2如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面A,B,,D,4个点,与另外一点,若A=xB+y+zD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。
另外一向量的坐标为(a,b,)。
如果(x/a)=(y/b)=(z/)=常数，则两向量平行如果ax+by+z=0，则两向量垂直。
答案补充三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点如向量A=ax向量B+bx向量+x向量D，且a+b+=1 则有四点共面答案补充方法已经很详细了呀。
4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如AB 三点，证明共线，证明AB与B的方向向量矢量积为0四点共面：比如ABD三点证明AB,A,AD三者满足先求AB,A的矢量积a，再a和AD数量积为03怎样证明空间任意一点和不共线的三点A，B，，向量P=x向量A+y向量B+z向量且x＋y＋z＝1，则P，A，B，四点共面简明地证明，上的不具体，不要复制!证明：由x+y+z=1→x向量 + y向量 + z向量=向量，且：x向量A+y 向量B+z向量=向量P将上边两式相减得：向量P-向量=x(向量A-向量)+y(向量B-向量) 即：向量P=x向量A+y向量B由x向量A+y向量B所表示的向量必在平面AB内→P点必在平面AB 内。
故：A，B，，P四点共面。
4可以先随便假设其中3点共面(很简单2点确定一条直线，直线和直线外一点可以确定1个平面) 不防设 A B 三点共面只需证明P点在这个平面上即可以下向量符号省去证明： PA=BA-BP=A-B-(P-B)=A-P=A-(a 向量A+b向量B+向量 )=(1-a)A-bB-=(b+)A-bB-=bBA+A到这里因为AB已经确定了一个平面且 PA=bBA+A所以PA平行平面又A在平面内所以P点也在该平面内所以四点共面。
证明四点共面的方法基本定理
证明四点共面的方法基本定理嘿，咱今儿就来聊聊证明四点共面的方法基本定理哈！
你想想看，这四点共面，就好像四个小伙伴要在一个平面上聚会一样。
那怎么知道它们是不是真的在一块儿呢？
咱先说其中一个方法，比如如果有三个点确定了一个平面，那只要看第四个点是不是也在这个平面上就行啦。
这就好比三个人已经在一个房间里玩得火热，咱看看第四个人是不是也能进得去这个房间呀。
要是能进去，那不就四点共面啦！
还有呢，如果这四个点两两连接的线段，它们之间的关系能满足某些特定条件，那也能说明它们共面哟。
这就好像四条线交织在一起，形成了一种特殊的图案，而这种图案就表明它们是在一个平面上的。
再比如说，如果有一条直线和直线外的三点，它们之间存在某种奇妙的关联，那也能证明这四点共面呀。
就好像一条路和路边的三个标志，它们组合起来就有了特殊的意义，能让我们知道它们在一个平面上。
你说这神奇不神奇？证明四点共面，就像是解开一个小小的谜题，每一种方法都是解开谜题的一把钥匙。
咱再想想，生活中是不是也有类似的情况呢？比如说一群朋友要一
起去做一件事，那怎么确定大家都能在一个“平面”上行动呢？是不是
也得看大家的关系、目标是不是一致呀。
在学习数学的过程中，遇到这样的问题，可别头疼呀。
要像侦探一样，仔细去寻找那些线索，那些能证明四点共面的线索。
一旦找到了，那种成就感，可别提多棒啦！
总之呢，证明四点共面的方法基本定理就像是一个神奇的工具，能
帮我们解决很多数学问题。
只要我们用心去理解，去运用，就一定能
掌握好它。
别小看这四点共面，它里面的学问可大着呢！好好去探索吧，你会发现更多有趣的东西哦！。
证明四点共面的方法
证明四点共面的方法方法一：向量法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在向量的线性组合为0向量，即λ1 * AB + λ2 * AC + λ3 * AD = 0其中，AB表示B减去A所得向量，AC表示C减去A所得向量，AD表示D减去A所得向量，λ1、λ2、λ3为实数。
将向量分量展开，得到一个由12个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
方法二：行列式法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则它们所在的三维空间中存在三个向量AB、AC、AD，它们的行列式为0，即x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1 = 0x4 - x1 y4 - y1 z4 - z1其中， A 表示矩阵A的行列式，即其所在行与列的元素乘积之和。
将行列式展开，得到一个以x1、y1、z1为变量的三元二次方程，求解之后判断其解的个数，若为1，则四点共面，否则不共面。
方法三：向量叉积法对于四点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，D(x4,y4,z4)，若它们共面，则向量AB和AC的叉积与向量AD共线，即AB ×AC 与AD 共垂，或者AB ×AD 与AC 共垂，或者AC ×AD 与AB 共垂其中，×表示向量叉积，结果为另一个向量，其大小为两个向量所构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则（即右手四指伸直，从第一个向量转向第二个向量，则大拇指所指方向即为结果所在方向）。
将向量分量展开，得到一个由9个未知数和3个未知量构成的线性方程组，通过高斯消元法求解，若有非零解，则四点共面，否则不共面。
用向量证明四点共面
用向量证明四点共面用向量证明四点共面由n+m+t=1 , 得t=1-n-m ,代入op=nox+ moy +toz，得OP=n OX +mOY +(1-n-m)OZ, 整理，得OP-OZ =n(OX-OZ) +m(OY-OZ)即ZP =nZX +mZY即P、X、Y、Z 四点共面。
以上是充要条件。
2如和通过四点外的一点(空间中)与四点之间的关系来判断折四点共面A,B,C,D,4个点,与另外一点O,若OA=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,四点就共面3设一向量的坐标为(x,y,z)。
另外一向量的坐标为(a,b,c)。
如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。
答案补充三点一定共面,证第四点在该平面内用向量,另取一点O 如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1 则有四点共面答案补充方法已经很详细了呀。
4线平行线: 两条线的方向向量矢量积为0，且两条线没交点面平行线：是线平行面吧，线的方向向量和平面法向量垂直，即线的方向向量和平面法向量数量积为0 ，且线不在平面内三点共面：三点肯定是共面的，我猜你说的是三点共线吧，比如ABC 三点，证明共线，证明AB与BC的方向向量矢量积为0四点共面：比如ABCD三点证明AB,AC,AD三者满足先求AB,AC的矢量积a，再a和AD数量积为03怎样证明空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC且x＋y＋z＝1，则P，A，B，C四点共面简明地证明，网上的不具体，不要复制!证明：由x+y+z=1→x向量OC + y向量OC + z向量OC=向量OC，且：x向量OA+y向量OB+z向量OC=向量OP将上边两式相减得：向量OP-向量OC=x(向量OA-向量OC)+y(向量OB-向量OC)即：向量CP=x向量CA+y向量CB由x向量CA+y向量CB所表示的向量必在平面ABC内→P点必在平面ABC内。
向量四点共面定理等于1
向量四点共面定理等于1（原创版）目录1.引言2.向量四点共面定理的概念3.向量四点共面定理的证明4.向量四点共面定理的应用5.结论正文1.引言在空间几何中，向量四点共面定理是一个重要的定理。
该定理描述了四个点在空间中的位置关系，对于解决一些几何问题具有重要意义。
本文将从向量四点共面定理的概念、证明和应用三个方面进行介绍。
2.向量四点共面定理的概念向量四点共面定理是指：如果四个点在空间中的向量分别满足一定的条件，那么这四个点一定共面。
具体来说，设四个点分别为 A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，D(x4, y4, z4)，如果满足条件：(1) x1(y2z3 - y3z2) + x2(y3z4 - y4z3) + x3(y4z1 - y1z4) + x4(y1z2 - y2z1) = 0(2) y1(x2z3 - x3z2) + y2(x3z4 - x4z3) + y3(x4z1 - x1z4) + y4(x1z2 - x2z1) = 0(3) z1(x2y3 - x3y2) + x2(y3x4 - y4x3) + x3(y4x1 - y1x4) + x4(y1x2 - y2x1) = 0则四个点 A、B、C、D 共面。
3.向量四点共面定理的证明向量四点共面定理的证明过程较为繁琐，涉及到向量的运算和一些基本的几何知识。
具体的证明过程可以参考相关的几何教材。
4.向量四点共面定理的应用向量四点共面定理在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，该定理可以用来判断四个点是否在同一个平面上，从而优化图形的绘制；在物理学中，该定理可以用来分析物体在空间中的运动轨迹等。
5.结论向量四点共面定理是空间几何中的一个基本定理，对于解决一些几何问题具有重要意义。
四点共面系数和为1的定理
四点共面系数和为1的定理
假设有四个点P1(x1, y1, z1)，P2(x2, y2, z2)，P3(x3, y3, z3)，P4(x4, y4, z4)。
它们共面的条件可以通过以下方式来验证：
1. 构造向量，将P1P2、P1P3和P1P4分别表示为向量A、B和C。
2. 计算混合积，计算向量A、B和C的混合积，即A·(B×C)。
3. 判断共面性，如果混合积为零，即A·(B×C) = 0，那么这
四个点P1、P2、P3和P4共面。
当这四个点共面时，可以通过平面方程来表示它们所在的平面。
平面方程的一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D
为平面方程的系数。
根据四点共面系数和为1的定理，如果四个点P1、P2、P3和
P4共面，那么它们所构成的平面方程的系数满足以下关系，A + B
+ C = 1。
这个定理的证明可以通过向量和线性代数的知识进行推导。
具
体证明过程较为复杂，在此不做详细展开。
需要注意的是，这个定理只适用于三维空间中的四点共面情况。
对于更高维度的情况，类似的定理可能不再成立。
总结起来，四点共面系数和为1的定理是一个几何学中的基本
定理，它表明四个点共面时，它们所构成的平面方程的系数和为1。
这个定理在计算和推导三维空间中的几何问题时具有重要的应用价值。
证明四点共面的例题
证明四点共面的例题
给定四个点A、B、C、D，如何证明它们共面？
解法一：
我们可以先任意选取其中三个点A、B、C，建立它们所在平面P1，然后再判断第四个点D是否在这个平面上。
具体方法如下：
1.计算向量AB和向量AC，它们在平面P1内，因此它们的叉积AB×AC也在P1内。
2.计算向量AD，若它与AB×AC垂直，则说明D在P1上；反之，则说明D不在P1上。
解法二：
我们可以利用行列式的性质来判断四个点是否共面。
具体方法如下：
1.将四个点的坐标组成一个矩阵，如下所示：
$begin{pmatrix} x_{A} & y_{A} & z_{A} & 1 x_{B} & y_{B} & z_{B} & 1 x_{C} & y_{C} & z_{C} & 1 x_{D} & y_{D} & z_{D} & 1 end{pmatrix}$
2.计算该矩阵的行列式值，若该值为0，则说明四个点共面；反之，则说明它们不共面。
总结：
以上两种方法都能够判断四个点是否共面，但是在实际应用中，我们可以根据具体情况选择不同的方法。
若给定的四个点不在同一个
平面上，则第一种方法更为直观简便；若需要对大量的点进行共面性判断，则第二种方法更为高效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四点共面证明方法
一、引言
四点共面是几何学中的一个重要概念，它指的是四个点在同一个平面上。
在几何学中，证明四点共面的问题是一项基础性的任务，对于理解空间几何关系和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常用的方法来证明四点共面的问题。
二、方法一：通过向量法证明四点共面
向量法是一种常用的几何证明方法，它可以通过向量的线性组合关系来判断四点是否共面。
设四点分别为A、B、C、D，可以取其中三个点A、B、C构成向量AB和向量AC，然后通过叉乘运算得到向量AB与向量AC的叉积，即向量n。
如果向量n与向量AD的点积等于0，即n·AD=0，那么四点A、B、C、D就共面。
三、方法二：通过行列式法证明四点共面
行列式法也是一种常用的几何证明方法，它通过行列式的性质来判断四个点是否共面。
设四点分别为A、B、C、D，可以构建一个4×4的矩阵，其中第一行为点A的坐标，第二行为点B的坐标，第三行为点C的坐标，第四行为点D的坐标。
然后计算该矩阵的行列式值，如果行列式值等于0，即det=0，那么四点A、B、C、D就共面。
四、方法三：通过投影法证明四点共面
投影法是一种直观的几何证明方法，它通过点在平面上的投影关系
来判断四个点是否共面。
设四点分别为A、B、C、D，可以在三维坐标系中取一个平面，使得点A、B、C在该平面上。
然后将点D在该平面上的投影与点D连接，如果点D在该平面上，即投影重合，那么四点A、B、C、D就共面。
五、方法四：通过平行法证明四点共面
平行法是一种简便的几何证明方法，它通过判断四个向量是否共面来判断四点是否共面。
设四点分别为A、B、C、D，可以取其中三个点A、B、C构成向量AB和向量AC，然后通过叉乘运算得到向量n。
如果向量n与向量AD平行，即向量n∥AD，那么四点A、B、C、D 就共面。
六、总结
以上介绍了几种常用的方法来证明四点共面的问题，包括向量法、行列式法、投影法和平行法。
这些方法都是基于不同的几何原理和性质，通过运用这些方法可以有效地判断四个点是否共面。
在实际问题中，通过证明四点共面可以帮助我们理解空间几何关系，解决实际问题。
因此，掌握这些证明方法对于几何学的学习和应用具有重要意义。
同时，我们也要注意在应用这些方法时，要根据具体问题选择合适的方法，并且要注意计算的准确性和严谨性，以免产生错误的结论。
通过不断的练习和实践，相信我们可以更加熟练地运用这些方法来解决各种几何问题。