常微分方程(王高雄)第三版 2.1
常微分方程第一到四章知识
教材及参考资料
• 教 材： 常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等 （中山大学), 高教出版社
• 参考书目： [1] 常微分方程, 东北师大数学系编，高教出版社 [2] 常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社 [3] 常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社 [4] 微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
"
证明: 对y sinx,由于
y y sin x sin x 0
"
y cosx,y sin x 故对x (, ), 有
' "
故y sinx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 . 同理y cosx是微分方程 y" y 0在(,)上的一个解 .
y sinx,y cosx都是方程 y y 0的特解 .
"
可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0, 得到: y sinx, c1 0, c2 1, 得到: y cosx.
定解条件
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件 求满足定解条件的求解问题称为定解问题 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始 条件是指如下的n个条件:
课程的教学目的与任务
• 通过该课程的学习，使学生正确理解常微分 方程的基本概念，掌握其基本理论和主要方法， 具备良好的解题能力，为学习本学科近代发展理 论和后继课程打下基础。同时通过一些成功利用 微分方程解释实际现象问题的著名范例，培养学 生利用微分方程建立数学模型解决实际问题的能 力，认识到数学来源于实践，又服务于实践，从 而培养学生的数学实践观和加强数学实践能力。 该课程又是数学分析的继续和进一步学习泛函分 析、数理方程等必不可少的基础，对提高学生的 素质，使之更好地适应当前经济建设的需要提供 必备的知识基础。
常微分方程第三版答案(王高雄)
dx
2 2
y
1 2 = ln x − ln 1 + x + ln c (c ≠ 0), (1 + 2
y )(1 + x ) = c x
1+
y
2
(1 + x ) = c x
2
2
4 (1 + x) ydx + (1 − y ) xdy = 0 y=0 x=0 ln x + x + ln y − y = c, xy ≠ 0 ln xy + x − y = c, 1+ x 1− y dx = dy = 0 x y
按
dy 1 − 2 x y −1 dx 够 x 2 次0 个 dy 1 − 2 x y +1 dx 次- x 2 个
18.
x dy = = f ( xy ) y dx x dy 2 + x 2 y 2 = y dx 2 − x 2 y 2 xy = u, x
xy = u
1 . y (1 + x 2 y 2 )dx = xdy (2).
y+x
dy dy = , dx dx
x
dy du = −y dx dx
1 du du u 1 − 1 = f(u), = (f(u) + 1) = (uf(u) + u) y dx dx = y(f(u) + 1) x x x=0 y=0 du 1 3 = (2u + u ), dx x xy ≠ 0s du 2u + u
在个
次个e 次 ce
− sin t
+ sin t − 1 个个个
个
截
dy x − y = ex xn dx n 个个 个个个n
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
e 8 : dy = −
y2 +3x
dx
y
解：变量分离，得 y dy = − 1 3x + c
e e y2
3
9 : x(ln x − ln y)dy − ydx = 0
解：方程可变为：− ln y • dy − y dx = 0
x
x
令u = y ,则有：1 dx = − ln u d ln u
x
x
1 + ln u
两 边 积 分 得 arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以 x(t)=tg[x’(0)t+c] 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）
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11. dy = (x+ y)2 dx 解：令x + y = t,则 dy = dt + 1
dx dx 原方程可变为：dt = 1 + 1
dx t2
变量分离得： 1 dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
t2 +1
代回变量得：arctg(x + y) = x + c
12． dy = 1
所以 x(0)=0. x’(t)= lim x(t + Δt) − x(t) = lim x(Δt)(1 + x2 (t)) = x'(0)(1 + x2 (t) )
Δt
Δt[1 − x(t)x(Δt)
dx(t) = x'(0)(1 + x2 (t)) dt
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(K12教育文档)
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)的全部内容。
二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧(word版可编辑修改)二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧郑燕，王俊霞太原师范学院数学系，山西晋中，030619摘要:本文总结介绍了三类二阶常系数常微分方程的初等解法求解技巧,分别是:特征根法;常数变易法;比较系数法.同时结合例题进行具体讲解.虽然当今社会关于二阶常微分方程初等解法求解技巧的研究已经获得了很大的成就，但它的已有理论仍然得不到求知者的满足，需要大家进一步发展,使之更加完善。
关键词：二阶常系数齐次线性微分方程；特征根法;常数变易法；比较系数法;二阶常系数非齐次线性微分方程.1。
预备知识（1.1）其中以及f(t）都是连续函数并且区间是a t b。
如果,则方程（1）就变成了（1.2）我们形如方程（1.2）的方程叫做二阶齐次线性微分方程,把方程(1。
1)叫做二阶非齐次线性微分方程.并且把方程（1.1)叫做方程（1.2）对应的齐次线性微分方程。
2.求解方法技巧2.1常数变易法常数变易法是将常数看作是的待定函数，然后求出非齐次线性方程的通解。
求解过程如下：设，是方程(1.2)的基本解组，则(2.1.1）是方程（1。
2）的通解。
将常数看作是t的待定函数，那么方程（2。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
（I）齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例：
分离变量:
常微分方程(王高雄)第三版
1 积分曲线 一阶微分方程
dy f (x, y) dx
的解 y(x所 ) 表x示 y平面上的一,条曲
称为微分方程的积分曲线.
而其通 y解 (x,c对 ) 应 xy平面上的一, 族
称这族曲线为族 积 . 分曲线
.
2 方向场
设函 f(x数 ,y)的定义 D,在 域 D内 为每(一 x,y)处 点 ,都画 上一f个 (x,y以 )的值为 ,中 斜心 率 (x,在 y)点的,线 称段 带 有这种直线 D为 段方 的 d程 y 区 f(x域 ,y)
dt
yn1
fn1(t;
y1,L
yn)
yn
fn(t;y1,L yn)
.
dx
Lorenz方程
dt dy
dt
a(y xz
x) cx
y
dz d t
y bz
Volterra两种种群竞争模型
dx d t
x(a bx cy )
dy
d t
y (d ex
fy )
c1
c2 cn
(,, ,(n1)) (c1,c2, ,cn)
c1
c2 cn 0
(n1) c1
(n1) c2
(n1) cn
其中 (k)表示ddkxk .
.
例3 验证 yc1exc2exc3e2x3是微分方
y'"2y"y' 2y6 的通. 解 证明: 由于 y' c1 exc2ex2c3e2x
七、驻定与非驻定
dyf(y),yDRn dt
与t无关，驻定系统
dyf(t,y),yDRn dt
与t有关，非驻定系统
.
八 相空间与轨线
常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程(第三版)
常微分方程（第三版） 习题2.52．ydy x xdy ydx 2=-解：2x ，得：ydy x xdyydx =-2c y x yd +-=221即c y x y =+221 4．xyx ydx dy -=解：两边同除以x ，得xy x y dxdy -=1令u x y= 则dxdu x u dx dy += 即dx dux u dx dy +=uu -=1 得到()2ln 211y c u -=，即2ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y c y x另外0=y 也是方程的解。
6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydxx d x yx d yy d x -=-2得到c x y x d +-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛221即c x y x =+221 另外0=y 也是方程的解。
8.32xy x y dx dy += 解：令u xy= 则：21u x u dx du x u dx dy +=+= 即21u x dx du x= 得到22x dxu du =故c xu +-=-11 即211xx c y += 另外0=y 也是方程的解。
10． 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx dy dx dy x解：令p dxdy= 即pp x 21+=而p dx dy=故两边积分得到 c p p y +-=ln 212因此原方程的解为pp x 21+=，c p p y +-=ln 212。
12.x y xe dx dy e =⎪⎭⎫⎝⎛+-1 解：y x xe dxdy+=+1令 u y x =+则 dx du dx dy =+111-=-=u xe dx du dx dy 即xdx eduu =c x e u+=--221故方程的解为c x eyx =++221 14．1++=y x dxdy解： 令u y x =++1则dx du dx dy =+1 那么u dx du dx dy =-=1dx u du=+1求得： ()c x u +=+1ln故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为xce y x =++1 16．()y e dxdyx -=++211 解：令u e y=- 则u y ln -= ()1211-=+-u dxduu x ()dx x du u u 11121+-=-c x u u ++=-`1112 即方程的解为()c x y x e y+=+218．()0124322=-+dy y x dx y x 解： 将方程变形后得124322-=y x y x dx dy 22223412412y x y x y x y x dy dx -=-= 同除以2x 得：232412yy x dy dx x -=令3x z = 则24323yy z dy dz -= 23223cy y z +=即原方程的解为232323cy y x +=19.X(04)(2)2=+-x dxdyy dx dy 解：方程可化为2y()(24)(,4)()22dxdy x dx dy x y x dxdyx dx dy +=+= 令[][]ce t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dxdyc x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y yy x dyy y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y yx y d y x d dy y x ydx xy y e y xy x xy xNy M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x cye x c e yxy c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dzy z dy dx yz x z y x dy yxe dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y cx p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t tt dx dydy y y xy xzzz z z z z z z z z z z yx y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-++±==++=+∂=+∂∂=+∂∂=∂∂=∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0.25.2,0)(.240),()111,1,)1(0)1(.23101,0)3(24282,6,20)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1)(1.20.42,2424,,0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22222222222222322323242234422422322222222222222222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。
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2
a1 a2 b1
b2 a1 b1 设 k , 则方程可改写成 a2 b2 dy a1 x b1 y c1 k (a2 x b2 y ) c1 f (a2 x b2 y) dx a2 x b2 y c2 a2 x b2 y c2
0的情形
令u a2 x b2 y, 则方程化为
dx 2 x 1 u
du
u 1 u cx
2
y y 2 1 ( ) c 可定出c 1.
故初值问题的解为
1 2 y ( x 1) 2
(II) 形如
dy a1 x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
一、变量分离方程的求解
dy f ( x ) ( y ) dx
( 2.1)
1
0
分离变量 , 当 ( y) 0时, 将(2.1)写成 dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. ( y)
0
2
两边积分得 dy ( y) f ( x)dx c
(2.2)
f ( x )的某一原函数 1 的某一原函数 ( y)
du dy a2 b2 f (u) a2 b2 dx dx
这就是变量分离方程
3
a1 a2 b1 b2
0且c1与c2不同时为零的情形
a1 x b1 y c1 0 则 , a2 x b2 y c2 0
代表xy平面两条相交的直线 , 解以上方程组得交点 ( , ) (0,0).
当y 0时, 将变量分离 ,得
1 两边积分得: sin x c, y
dy cos xdx 2 y
1 因而通解为: y sin x c ,
其中c为任意常数 .
此外y 0也是方程的解 , 且不能在通解中取适当 的c得到.
再求初值问题的通解, 以y(0) 1代入通解 , 得c 1
yf ( xy)dx xg( xy)dy 0 u xy 2 dy x f ( xy ) u xy dx dy y y xf ( 2 ) u 2 dx x x
以及
M ( x, y)(xdx ydy) N ( x, y)(xdy ydx) 0
(其中M , N为x, y的齐次函数 , 次数可以不相同 )等一 些类型的方程 , 均可适当变量变换化为 变量分离方程 .
两边积分得:
ln y p ( x)dx c1
p ( x ) dx c1 y e
由对数的定义有
p ( x ) dx c1 y e
即
p ( x ) dx p ( x ) dx y e e ce . c1
此外y 0也是方程的解 , 若在上式中充许 c 0, 即知y 0也包括在上式中 ,
解:
x y 1 0 解方程组 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1, Y y 2代入方程得
Y dY X Y 1 X Y dX X Y 1 2 X du 1 u Y 令u , 得 X X dX 1 u
1 1 . 所以所求的特解为: y sin x 1 1 sin x
二、可化为变量分离方程类型 （I）齐次方程
dy y g( ) dx x
a1 x b1 y c1 f a x b y c 的方程, 2 2 2 其中a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为任意常数. dy ( II ) 形如 dx
故方程的所有解为:
10 y , x 1 ce
c 0.
10 y , c为任常数 , 和y 0. x 1 ce
y ln x c1 10 y
例3 求微分方程
dy p( x) y dx
的通解, 其中p( x)是x的连续函数 . dy 解: 将变量分离后得 p( x)dx y
(I) 形如
dy y g( ) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g (u)是u的连续函数 .
y 求解方法: 1 作变量代换 (引入新变量 )u , 方程化为 x dy du du g (u ) u (这里由于 x u) , dx dx dx x
0
2
0
解以上的变量分离方程
3
0
变量还原.
例4
求解方程
dy x 2 xy y dx
解: 方程变形为 dy y y 2 dx x x
( x 0)
( x 0)
y 这是齐次方程, 令u 代入得 x du du 即 x u 2 u u x 2 u dx dx
将变量分离后得
du dx x 2 u
两边积分得:
即
u ln( x) c
2
du dx x 2 u
u (ln( x) c) , ln( x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
x[ln( x ) c ]2 , y 0,
ln( x ) c 0
例6
求下面初值问题的解
dy dx
a1 x b1 y c1 dY a1 X b1Y Y f a xb y c dX f ( a X b Y ) g ( X ) 2 2 2 2 2
此外,诸如
dy f (ax by c) u ax by c dx
X x , 作变量代换(坐标变换) Y y dY a1 X b1Y 则方程化为 dX a2 X b2Y
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
a1 x b1 y c1 0 1 解方程组 , a2 x b2 y c2 0
第二章 一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换
先看例子：
dy 2 2 x y 1 dx
dy x y ye dx
ye e
y x
定义1 形如
dy F ( x, y ) dx
dy f ( x) ( y ) dx
方程,称为变量分离方程.
(2.1)
这里f ( x), ( y)分别是x, y的连续函数 .
这里a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程. 分三种情况讨论
1 c1 c2 0的情形 y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
其中 c e ,由于函数 y 2 x 1在x 0无意义 ,
c1 3
故此解只在 x 0或x 0之一中有意义 .
此外还有解 y 0, 这个解未包含在通解中 , 应补上 .
例4 解:
dy y 2 cos x 求初值问题 dx 的特解. y (0) 1 dy 先求方程 y 2 cos x的通解 ， dx
将变量分离后得
(1 u )du dX 2 1 u X
1 两边积分得: arctan u ln(1 u 2 ) ln X c 2
变量还原并整理后得原方程的通解为
y2 2 2 arctan ln ( x 1) ( y 2) c. x 1
注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.
例2 解:
dy y 求微分方程 y (1 ) dx 10
的所有解.
y 方程两边同除以 y (1 ), 再积分 10
积分得:
dy y y(1 ) 10
dx c1
y ln x c1 10 y
从上式中解出 y, 再将常数记为 c, 得
y 由y (1 ) 0, 求出方程的所有解为 y 0和y 10, 10
三、应用举例
火箭是如何发射升空的？
设t时刻火箭的速度为V(t), 质量为M(t), 准备发射时火箭的质量为Mo, 火箭马达喷 气速度为u
根据动量守恒定律 -MdV=udM
方程被称为齐奥尔科夫斯基方程， 用它可以计算火箭的到达速度。
0
x 得解 , y
X x 2 作变换 , 方程化为 Y y dY a1 X b1Y g ( Y ) X dX a2 X b2Y
0
0
Y 3 再经变换 u , 将以上方程化为变量分 离方程 X
4 求解
0
5 变量还原
0
dy x y 1 例7 求微分方程 的通解. dx x y 3
故方程的通解为
p ( x ) dx y ce ,
c为任常数 .
练习 求微分方程
解:
dy x y dx
3 2
的通解.
分离变量后得 两边积分得:
1 y dy dx x 1 2 y 2 ln x c1
3 2
4 4 , 整理后得通解为: y 2 2 (ln x c1 ) (ln cx )
由(2.2)所确定的函数 y ( x, c)就为(2.1)的解.
例：
分离变量: 两边积分:
dy x2 y2 1 dx dy 2 x dx 2 y 1
1 3 arctan y x C 3
dy 2 y 1
2 x dx C
注: 若存在y0 , 使 ( y0 ) 0, 则y y0也是(2.1)的解, 可能 它不包含在方程 (2.2)的通解中 , 必须予以补上 .
( y x 2 y 2 )dx xdy ,