公交乘客乘车方案优化模型(终稿2007年全国一等奖)

根据题给数据，利用以上模型与算法，编写 VC++语言程序根据不同要求得
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到的 6 对结果整理如下：
目
路
标
径
最少换乘次数
S3359 → S1828
1
S1557 → S0481
2
S0971 → S0485
1
S0008 → S0073
1
S0148 → S0485
针对问题二，基本原理与问题一相同。但在解决最短乘车时间问题时，问题 一只存在公汽换乘公汽，故每次换乘时间只取常数，问题二中公汽与地铁相互间 换乘的耗时不同，所以最短换乘时间也需建立相应的模型。
针对问题三，已知两站点之间的步行时间，引入 0-1 变量建立广义最短乘车 时间的 0-1 规划模型以处理乘客步行与否问题。此外，由于在线路选择时，乘客
广义乘车时间（包括前两种）。而针对问题一，只存在公汽换乘公汽，故每次换 乘时间取常数---5 分钟。 乘车时间（狭义）数学模型目标函数可以为 ：
m2
m2
∑ ∑ ti = ft (ti ,Ti ,U )
i =1
i =1
时间 ti 由Ti 、Ti+1 及列车集合 U 唯一确定。
最短乘车时间（广义）数学模型目标函数为
关键词 乘车方案；有向网络；中转站停留时间；最小乘车费用；最短乘车时间；
1
问题重述
基于北京市公交线路实际情况，考虑线路选择的模型与算法，以满足查询者 对于线路选择的各种不同需求。需解决如下问题：
⒈仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算 法。并根据附录数据，利用模型与算法，求出以下 6 对起始站→终到站之间的最 佳路线（要有清晰的评价说明）。
f (Tk ) ⊗ Vy
B. 最小换乘次数优化模型为：
（1 ≤ y ≤ m3 ）
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min m2
⎧
⎧1 i = 1
∑ ∑ ⎪
⎪
xij −
x ji = ⎪⎨0
⎪ j∈α (i) ⎪
j∈β (i)
⎪⎩−1
⎪xij = 0,1 (i, j) ∈ A
i ≠ 1, n i=n
⎪ ⎪
S
'
=
T1
∪ T2
∪…∪ Tm2
无直达汽车开行
并在 Floyd-Warshall 算法中三角替换时，比较ωij 和ωik + ωkj + tikj 两个量，其中
t ikj
=
⎧⎪ ⎨
f（t' 所需时间，i，k，j，U）
⎪⎩∞
（i，k）在k点可以向（k，j）中转 不能中转
同时，取ωij 和ωik + ωkj + tikj 中最小值时也作相应调整。
qh = fe (Th )
qh = fs (Th+1)
qh ∈ S '
qh ≠ 1
qh ≠ n
例如：可将集合 S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}按顺序拆分为：
T1 = {1, 2,3, 4} T2 = {4,5, 6} T3 = {6, 7,8,9,10}
b. 顺序运算符 ⊗[1]
定义 ⊗ 为:按顺序属于，例如：{B，C，D} ⊗ {A，B，C，D，E} 显然，顶点序Tk 能落到某条公交路线上的约束条件为
此约束条件（1）可能包含回路，加上目标函数后，由于费用的非负性，便 可消除回路。 ②定义
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a. 顺序拆分路径[1]
对于某一个解中所有的 xij = 1 ，必然构成集合顶点序表示如下：
S ' = {1, a,b, c,..., m1, n}
该顶点序唯一确定了从顶点 1 到顶点 n 的一条路径。其中，顶点 1 成为始点，
∑⎡ m2
min ⎢
（ft ti，Ti，U）+5× (m2 −1)⎤⎥
⎣ i=1
⎦
约束条件同模型式（2）。 求解广义最短乘车时间方案算法与算法 1 类似，在权函数赋值上进行如下调整：
ωij
=
⎧ ⎪ ⎨
ft (所需时间，i，j，U )
⎪⎩∞
结点i与j间有一辆车开行。如有2辆 以上汽车开行，取较小函数值。
（三）最小乘车费用模型 最小乘车费用数学模型目标函数为:
m2
min ∑ ri i =1
（3）
ri 由Ti 及列车集合 U（包括其票价属性）唯一确定。
约束条件同模型式（2）。 求解最小换乘次数方案和算法 1 类似，在权函数赋值上进行下面的调整：
⎧所需费用
ωij
=
⎪ ⎨
⎪⎩∞
结点i与j间有一辆车行驶。如有2辆以上 汽车行驶，取较少费用。 无直达汽车行驶
Te ∩ Tf = ∅
e ≠ f e ≠ f +1 f ≠ e +1 e, f = 1, 2,..., m2
Th ∩ Th+1 = qh h = 1, 2,..., m2 −1
式中， qh 为与 h 相关的 S ' 中除端点外某个元素，它既是顶点序Th 的终点也
是顶点序Th+1 的始点，因此满足如下约束:
记为 fS (S ') = {1} ；顶点 n 成为终点，记为 fe (S ') = {n} ；两者均称为顶点序 S ' 的 端点，记为 f (S ') = fs (S ') + fe (S ') = {1, n} 。
将 S ' 按顺序拆分为 m2 个子集合（子顶点序），这些子集合除端点外互不相交
S ' = T1 ∪ T2 ∪ ... ∪Tm2 且
问题分析
从乘客的利益出发，考虑任意两站点之间线路选择问题，它不同于最短路径 问题等目标较为单一的优化问题，实际上它是一类多个单目标优化的问题。乘客 的乘车需求、乘车目的等和交通方式紧密联系，时间价值、乘车费用、及乘客偏 好等诸多因素会对乘客乘车方案选择产生影响。
针对问题 1：影响乘客作出决定的因素很多，但综合分析可得如下两个主要 因素：①最少换乘次数；②最小乘车费用；③最短乘车时间。因而，可通过定义 顺序拆分路径及顺序属于运算符定量分析建立多个单目标模型并编写实现相应 模型的算法。此外，依据所建立的模型及算法编写 VC++语言程序求解题中所给 6 对起始站→终到站之间的最佳路线。
针对问题 2：同时考虑公汽与地铁线路，从交通线路角度来说，仅相当于在 原有公汽线路上加入若干条可换乘的可行线路，而组成一个更大范围内的公交线 路网。所以，问题 2 所采用最少换乘次数及最小乘车费用模型与问题 1 相同。仅 需对最短乘车时间模型作一定调整。
针对问题 3：已知步行时间使得乘客在每一站均多了一种方式做选择，需引 入 0-1 变量建立广义最短乘车时间模型，并在此基础上建立其它模型。
模型假设
1. 公交车在每一站的运载量均能满足乘客流量；
2. 交通情况、路面状况良好，无交通堵塞和车辆损坏等意外情况；
3. 从乘客利益出发考虑线路选择，不考虑兼顾公交公司的利益。
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符号说明
符号
说明
N (V,A,W)
全北京路网的一个有向网络
V={1,2,...,n}
顶点集：
A ω
α (i) = { j ∈V | (i, j)∈ A} β (i) = { j ∈V | ( j,i)∈ A}
针对问题一，首先，利用顺序拆分路径将全北京公交车路线网拆分为以各站 点为顶点集，路线为弧集，乘车时间或费用为弧集上的权函数的有向网络，使公 交车路线可以数学语言的方式表达，并在此基础上建立约束条件，建立最少换乘 次数模型、最小乘车费用模型。此外，针对最短乘车时间问题，由于中转站停留 时间的影响，在纯乘车时间即狭义乘车时间的基础上引入了广义最短乘车时间。
此外，根据公交车行驶方案及已构造的有向网络，构成路径矩阵和车次矩阵， 以 Floyd-Warshall 算法求解任意两点间最短路径为主要依据的最少换乘次数模 型的相应算法，递归求得乘车方案。并在此算法基础上作相应调整得到最短乘车 时间模型的算法。最后使用 VC++语言设计实现模型算法，得到六对算例的运行 结果。
(1)、S3359→S1828 (2)、S1557→S0481 (3)、S0971→S0485 (4)、S0008→S0073 (5)、S0148→S0485 (6)、S0087→S3676 ⒉同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。 ⒊假设又知道所有站点之间的步行时间，给出任意两站点之间线路选择问题的数 学模型。 （详细数据均可见题目及其数据包）
ci
步行时间
模型建立与求解
问题一： （一）任意两站间最少换乘次数数学模型 A．对约束条件的解释：
①将全北京路网构造为一个有向网络 N (V,A,W) ，其中，V={1,2,...,n} 为顶点集；
A 为弧集；ω 为弧集 A 上的权函数，即对每一弧 (i, j ) ∈ A ，有一个权ωij ，它可
以是弧 (i, j ) 的长度或通过的时间或费用等。从一个顶点 i 到另一个顶点 j 的路
公交乘客乘车方案优化模型
摘 要：本文研究公交乘客乘车方案优化问题。首先分析了乘客乘车方案的选择 问题，并给出了路径约束条件，且通过构造有向网络和定义顺序拆分路径及顺序 属于运算符，使得该约束条件与公交车行驶线路相关联，从而确定乘客乘车方案 的约束条件。在此基础上，以顺序拆分子集合个数为方法，建立最少换乘次数模 型，并设计相应求解算法。同样以顺序拆分子集合为立足点，分别基于三种信息 层次，即仅考虑公共汽车线路；同时考虑公汽与地铁线路；综合考虑公汽、地铁 及步行构造不同的换乘网络，对最少换乘次数、最小乘车费用、狭义及广义最短 乘车时间等目标进行分析，得到多个单目标优化模型，提出了对乘客换乘路径选 择的优化方案。
xij = 1 xij = 0