2015-2016学年高中数学 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件

2.1.2 │ 考点类析 考点类析
► 考点一 异面直线的判定
例 1 图 217 是空间四边形 ABCD.求证：它的对角线 AC 和 BD 是异面直线．
图 217
2.1.2 │ 考点类析
证明：假设 AC 与 BD 共面，则 AC 与 BD 确定平面 α，即 AC⊂α ，BD⊂α ，因为 A∈AC，C∈AC，B∈BD，D∈BD， 所以 A∈α，C∈α，B∈α，D∈α，即 A，B，C，D 四点共面， 这与已知 ABCD 是空间四边形矛盾，故 AC 与 BD 不共面，即 AC 与 BD 是导面直线．
2.1.2 │ 预习探究
[思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内，则它们是否 一定为异面直线？
解：不一定，当两条直线分别在两个不重合的平面内时， 它们也可能相交或平行，此时共面，只有当它们不相交也不 平行时才是异面直线．
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点二 空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种： 同一平面内，有且只有一个公共点 相交直线： 共面直线 平行直线： 同一平面内，没有公共点 ； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点 .
2.1.2 │ 备课素材
[解析] 如图2­1­23，把展开图中的各正方形按图(1)所示 的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原， 得到图(2)所示的直观图，可判断AB与CD异面．
2.1.2 │ 备课素材
2．作出异面直线所成的角，主要通过三种平移产生：①直接平移法； ②中位线平移；③补形平移．求异面直线所成的角的主要步骤：作(找)、 证、求、答． [例]在长方体 ABCDA1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图 2124 所 示，其中 P 点不在对角线 B1D1 上)． (1)过 P 点在空间作一直线 l，使 l∥直线 BD，应该如何作图？并说明 理由； (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m，使 m 与直线 BD 成 α 角，其中
2.1.2 │ 当堂自测
当堂自测
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
[答案]D
2.1.2 │ 当堂自测
2．给出下列四个命题，其中正确的是( ) ①若空间中两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另 一条相交； ④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d， 那么 b∥c. A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
图 2124 (2)∵BD∥B1D1，过 P 作直线 m 与 B1D1 成 α 角， ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角，即直线 m 为所求作的 直线，如图(b)． 由图知 m 与 BD 是异面直线，且 m 与 BD 所成的角α
π ∈0， . 2
π π 当 α＝ 2 时， 这样的直线 m 有且只有一条， 当 α≠ 2 时， 这样的直线 m 有两条．
B [解析] ①错，两直线还可能是异面；由公理 4 可知 ②正确；③错误，和另一条可能异面；由平行直线的传递性 可知④正确．
2.1.2 │ 当堂自测
3．如图 2113 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，过顶 点 A1 和正方体其他顶点且与直线 BC1 成 60°角的直线的条数 有______条．
图 2110
2.1.2 │ 考点类析
【变式】 如图 2111 所示，在空间四边形 ABCD 中，AB， BC，CD 的中点分别是 P，Q，R，且 PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， 求异面直线 AC 与 BD 所成的角．
图 2111
2.1.2 │ 考点类析
解：∵P，Q，R 分别为 AB，BC，CD 的中点， ∴PQ∥AC，QR∥BD， ∴∠PQR 是异面直线 AC 与 BD 所成的角或其补角． ∵PQ＝2，QR＝ 5，PR＝3， ∴PQ2＋QR2＝PR2，∴∠PQR＝90°， ∴异面直线 AC 与 BD 所成的角为 90°.
2.1.2 │ 考点类析
► 考点三 求异面直线所成的角
[ 导入 ] 作异面直线所成的角的关键是平移法 ( 作空间平行 线)，那么推导直线平行的方法有哪些？
解：空间平行线可以根据中位线、平行四边形的性质、公理 4、比例线段得到．
2.1.2 │ 考点类析
例 3 如图 2110 所示， 已知在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E，F 分别是 AD，AA1 的中点． 45° ； (1)直线 AB1 和 CC1 所成的角为__________ (2)直线 AB1 和 EF 所成的角为__________ 60° ．
；
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点三 公理 4 互相平行 ． 文字语言：平行于同一条直线的两条直线_____________ 符号语言：设 a，b，c 是三条直线，则 a∥b ⇒__________ a∥c ． c∥b 公理 4 的作用：判断空间两条直线是否平行．
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ________________ ．
2.1.2 │ 预习探究
[探究] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时， 试 问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
解：当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两 个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向 相反时，这两个角互补．
2.1.2 │ 考点类析
► 考点二 证明空间中两直线平行
例 2 如图 219 所示，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AC，CD，BD，AB 的中点，且 AD＝BC，求证：四 边形 EFGH 是菱形．
图 219
2.1.2 │ 考点类析
证明：在△ABC 中，E，H 分别是边 AC，AB 的中点， 1 所以 EH 是△ABC 的中位线， 即 EH∥BC， 且 EH＝2BC. 1 同理在△DBC 中，FG∥BC，且 FG＝2BC. 由公理 4 可知，EH FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 1 同理在△ADB 和△ABC 中可证， HG∥AD， 且 HG＝2AD， 又 AD＝BC，所以 HG＝EH，所以四边形 EFGH 是菱形．
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a， b 的相互位置来确定， 与O 无关 ， 的选择________ 为了简便， 点 O 一般取在两直线中的一条直线 上； (2)两条异面直线所成的角的范围是(0°，90°]； (3)当两条异面直线所成的角是直角时， 我们就说这两条异面 a⊥b 直线互相垂直，记作__________ ．
2.1.2 │ 备课素材 备课素材
1．异面直线概念的理解： (1)既不平行也不相交． (2)“不同在任何一个平面内的两条直线”是指这两条直线 “不能确定一个平面”，其中的“任何”二字必不可少． (3)若一条直线与平面相交，与该平面内不过交点的直线为 异面直线． 2．空间等角定理中，当两个角的两边分别平行且方向相同 或相反时时，则这两个角相等；当两个角的两边分别平行， 有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时，则这 两个角互补． 3．两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
2.1.2 │ 预习探究
► 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a， b， 经过空间任一点 O 作直线 a′∥a， 锐角(或直角) 叫作异面直线 a 与 b b′∥b，我们把 a′与 b′所成的____________ 所成的角(或夹角)，如图 216 所示．
图 216
2.1.2 │ 预习探究
2.1.2 │ 重点难点 重点难点
【重点】 异面直线的概念；公理4及其应用 【难点】 两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法．
2.1.2 │ 教学建议 教学建议
(1)异面直线的教学，应遵循由具体例子到抽象概念的原 则，除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生辨析．特别是 要让学生理解，“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指 这两条直线不能同在任何一个平面内，即这两条直线即不平行 也不相交． (2)对于折叠问题中的异面直线的判断，可以先引导学生把图 画在纸上，复原成几何体来观察，也可以直接画出几何体的直 观图，再根据定义来判断． (3)公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面 直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两 异面直线所成角的概念．
2.1.2 │ 备课素材 备课素材
1. 判定或证明异面直线的方法有两种．(1)定义法：由定 义法判定两直线不可能在同一平面内，常用反证法．(2)判 定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不 经过该点的直线是异面直线． [例][2014·长春一模] 一个正方体的展开图如图2­1­22所 示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中， AB与CD的位置关系是________． [答案] 异面
[解析] 线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线既不平行也 不相交，所以线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线为异面 直线．
2.1.2 │ 预习探究 预习探究
► 知识点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫作异面 我们把 ____________________________________ 直线，两条直线是异面直线即等价于这两条直线 既不相交也不平行 _______________________ ．
2.1.2 │ 新课导入 新课导入
【导入一】 在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直 线)，请同学们讨论这两条直线的位置关系． 解：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系是不平 行也不相交．
2.1.2 │ 新Байду номын сангаас导入
【导入二】 (事例导入) 观察长方体，你能发现长方体ABCD­A′B′C′D′中，线段 A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？