九年级数学正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
《5.4.3正切函数的图象与性质》一、学习目标1.会求函数y=tan(ωx+φ)的周期,掌握正切函数y=tan x的奇偶性,并会判断简单三角函数的奇偶性,体会数形结合思想的应用.2.掌握正切函数的单调性,并掌握其图象的画法,体会运用数学知识解决问题的能力.二、思维导图解析式y＝tan x图象定义域{x\ x≠π2+kπ,k∈Z}值域R最小正周期π奇偶性奇函数单调性在每一个区间(-π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z)上都单调递增三、导学指导与检测自习P209-212并完善表格一、正切函数的周期性【思考1】1.正切函数y=tan x的定义域是什么?2.诱导公式tan(π+x)=tan x,x∈R,且x≠π2+kπ,k∈Z说明了正切函数的什么性质?3.诱导公式tan(-x)=-tan x,x∈R,且x≠π2+kπ,k∈Z说明了正切函数的什么性质?4.填空:正切函数是，周期是；正切函数是. 正切曲线的对称中心是(k ∈Z).二、正切函数的图象【思考2】1.画函数y=tan x,x∈[0,π2)图象的步骤是什么?2.填空:(1)正切函数的图象，我们把它叫做.(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.(3)画正切函数在区间(-π2,π2)内的简图,常用“三点两线”法，三点：(-π4,0)，(0,0)，(π4,0),两线：x=-π2，三、巩固诊断1.函数y=2tan(-3x+π4)的最小正周期是()A.π6B.π3C.π2D.π2.函数y=3tan(π6-x4)的定义域为3.求函数y=3tan(π4-2x)的单调区间.4.比较大小: tan(-7π4)tan(-9π5).tan12tan52.5.求函数y=tan 2x的定义域、值域和周期,并画出它在区间[-π,π]上的图象.。
正切函数的图象和性质_课件ppt_新课标高中(必修4)
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π (2)tan()_____tan() > 4 5 ２、求函数 y 3 tan(3x 3 ) 的定义域，值域， 单调区间、对称中心坐标及渐近线方程。 0
非奇非偶函数
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3,则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x) 2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知 是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
例题分析
例３ 求函数
y tan 3x 的周期.
解：
因为 tan(3x ) tan 3x,
T 3 形如 y A tan(x ) k 的周期是 T
反馈练习：求下列函数的周期：
即tan3(x+ )=tan3x, f ( x ) f ( x) 3 3
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y
1
-4
-3
正切函数的性质与图象
01
课前案 自主学习
[教材梳理] 导学 1 正切函数的性质
正切函数 y＝tan x 的定义域是什么？
[提示]
x
x≠kπ＋π2，k∈Z.
诱导公式 tan(π＋x)＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z) 与 tan x 的关系怎样？
[提示] 周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)．
函数 y＝|tan x|的单调递增区间kπ，kπ＋π2(k∈Z)，
单调递减区间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．
[规律方法] 1. 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是 被相互平行的直线 x＝π2＋kπ，k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x 的对称中心为 k2π，0，k∈Z. 2．作函数 y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤 (1)保留函数 y＝f(x)图象在 x 轴上方的部分； (2)将函数 y＝f(x)图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折． 3．若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定 义域上即可．
画出正切函数 y＝tan x，x∈－π2，π2的简图吗？怎样画？
[提示] 能，三个关键点：π4，1，(0,0)，－π4，－1，两条平行线：x＝π2，x＝－π2.
◎结论形成 1．正切函数的图象
2．正切函数的图象叫做__正__切__曲__线____ . 3．正切函数的图象特征 正切曲线是被与 y 轴平行的一系列直线____x_＝__π2_＋__k_π_，__k_∈__Z_____所隔开的无穷多支 形状相同的曲线组成的．
(2)比较大小：tan－74π________tan－95π.
正切函数的图像与性质
1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan (x +π)=tanx ,x ∈R ,x ≠2π+k π,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.(2)奇偶性 由诱导公式 tan (-x )=-tanx ,x ∈R ,x ≠2π+k π,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k ∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k ∈Z 内都是增函数. (4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x =0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k ∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k ∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k ∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向O y 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向O y 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-2π,2π］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y =tanx ,x ∈R,且x ≠2π+k π(k ∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y =tanx ,x ∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x =2π-,x =2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助. 讨论结果:①略. ②正切线是AT. ③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x =2π+k π,k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k ∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k ∈Z .问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan 138°与tan 143°；(2)tan (413π-)与tan (517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用. 解:(1)∵y =tanx 在90°<x <180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan 138°<tan 143°.(2)∵tan (413π-)=-tan 413π=-tan (3π+4π)=-tan 4π, tan (517π-)=-tan 517π=-tan (3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y =tanx 在(0,2π)上是增函数, ∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan (413π-)>tan (517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可. 例2 用图象求函数y =3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx -3≥0,得tanx ≥3, 利用图4知,所求定义域为［k π+3π,k π+2π)(k ∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx ≥0;(2)tanx +3＜0. 解:(1)tanx ≥-1,∴x ∈［k π-4π,k π+2π),k ∈Z ; (2)x ∈［k π-2π,k π-3π),k ∈Z .例3 求函数y =tan (2πx +3π)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx +3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx +3π≠k π+2π,k ∈Z , 即x ≠2k +31,k ∈Z . 所以函数的定义域是{x |x ≠2k +31,k ∈Z }. 由于f (x )=tan (2πx +3π)=tan (2πx +3π+π)=tan [2π(x +2)+ 3π]=f (x +2), 因此,函数的周期为2.由-2π+k π<2πx +3π<2π+k π,k ∈Z ,解得35-+2k <x <31+2k ,k ∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k ,31+2k ),k ∈Z .点评:同y =A sin (ωx +φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y =A tan (ωx +φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练 求函数y =tan (x +4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x +4π≠k π+2π,k ∈Z 可知,定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π+4π,k ∈Z }. 值域为R .由x +4π∈(k π-2π,k π+2π),k ∈Z 可得,在x ∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y =tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan 1,tan 2,tan 3,tan 4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y =tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y =tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan 1<tan 2<tan 3<tan 4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan 2,tan 3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan 1,tan 4都是正数.又∵函数y =tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan 2<tan 3<tan 1<tan 4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6解法一:∵函数y =tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数, 且tan 1=tan (π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan 2<tan 3<tan 4<tan 1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,A T 2,A T 3,A T 4, ∴tan 2<tan 3<tan 4<tan 1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y =tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y =tanx ,x ∈(2π-,2π)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x |k π<x <2π+k π,k ∈Z };(2){x |x =k π,k ∈Z };(3){x |2π-+k π<x <k π,k ∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x ≠6π+3πk ,k ∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y =A tan (ωx +φ),x ∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan 0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k ∈Z )这样的数,那么函数y =tanx ,x ∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k ∈Z )这样的数,那么在直线x =2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业课本习题1.4 A 组6、8、9.设计感想1.本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线,让学生在巩固原有知识的基础上,通过类比,由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明,使新旧知识点有机地结合在一起,学生对新知识也较易接受.2.本教案设计的学习程序是:温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高.备课资料一、函数f (x )±g (x )最小正周期的求法 若f (x )和g (x )是三角函数,求f (x )±g (x )的最小正周期没有统一的方法,往往因题而异,现介绍几种方法: (一)定义法例1 求函数y =|sinx |+|cosx |的最小正周期. 解:∵y =|sinx |+|cosx |=|-sinx |+|cosx |=|cos (x +2π)|+|sin (x +2π)|=|sin (x +2π)|+|cos (x +2π)|, 对定义域内的每一个x ,当x 增加到x +2π时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是2π. (二)公式法这类题目是通过三角函数的恒等变形,转化为一个角的一种函数的形式,用公式去求,其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T=||2ωπ,正、余切函数T=||ωπ. 例2 求函数y =xtan 1-tanx 的最小正周期. 解:y =x tan 1-tanx =xx tan 2tan 12-=2x x x 2tan 2tan 2tan 12=-,∴T=2π.(三)最小公倍数法设f (x )与g (x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数,T 1、T 2分别是它们的周期,且T 1≠T 2,则f (x )±g (x )的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数,分数的最小公倍数=.分母的最大公约数分子的最小公倍数例3 求函数y =sin 3x +cos 5x 的最小正周期.解:设sin 3x 、cos 5x 的最小正周期分别为T 1、T 2,则T 1=32π,T 2=52π,所以y =sin 3x +cos 5x 的最小正周期T=12π=2π. 例4 求y =sin 3x +tan 52x 的最小正周期.解:∵sin 3x 与tan 52x 的最小正周期是32π与25π,其最小公倍数是110π=10π,∴y =sin 3x +tan 52x 的最小正周期是10π.(四)图象法例5 求y =|cosx |的最小正周期.解:由y =|cosx |的图象，可知y =|cosx |的周期T=π.。
正切函数的性质与图象 课件(34张)
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
正切函数的性质及其应用
正切函数的性质及其应用正切函数是三角函数中的一种，表示一个角的正切值。
在数学和物理学中，正切函数具有一些重要的性质，并且在各种应用中扮演着关键角色。
本文将探讨正切函数的性质以及一些常见的应用。
一、正切函数的定义和图像特点正切函数的定义公式为：tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中x为角度或弧度。
根据定义，我们可以得出正切函数的几个图像特点。
1. 定义域和值域：正切函数的定义域是所有实数除去所有使得cos(x) = 0的点，通常写作D: x ≠ (2n + 1) * π / 2，其中n为整数。
值域是整个实数集，记作R。
2. 周期性：正切函数的图像在一个周期内呈周期性变化。
周期为π，即tan(x) = tan(x + kπ)，其中k为整数。
3. 奇函数性质：正切函数具有奇函数性质，即满足tan(-x) = -tan(x)，这是由于sin(-x) = -sin(x)，cos(-x) = cos(x)。
4. 渐近线：正切函数在x = (n + 1/2) * π，其中n为整数时，有垂直渐近线。
在x = n * π，其中n为整数时，有水平渐近线。
基于这些性质，我们可以画出正切函数的图像。
图像在每个周期内呈现周期性的上升与下降，同时存在垂直和水平渐近线。
二、正切函数的应用正切函数在各个领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 三角测量：正切函数在三角测量中扮演着重要的角色。
例如，在测量一个目标物体的高度时，可以利用正切函数来计算角度并得到正确的高度值。
2. 电工学：在电路分析中，正切函数可以用来计算交流电路中电压和电流的相位差。
相位差是指两个波形之间的时间延迟，正切函数可以帮助我们解决相关的计算问题。
3. 工程学：在工程学中，正切函数经常用于解决角度和距离的计算问题。
例如，在建筑工程中，可以利用正切函数来计算楼梯的坡度和斜面的角度。
4. 自然科学：正切函数在自然科学中也有着广泛的应用。
正切函数的图象与性质
答案
π
根据奇偶性,画出 - ,0 上的图象,
2
π π
根据周期性,将 - ,
2 2
上的图象向左、右平
移,每次平移 π 个单位长度,即可得到 y=tan x,
π
x≠kπ+ ,k∈Z 的图象.
2
正切函数的图象是由相互平行的直线
π
x=kπ+ ,k∈Z 隔开的无穷多支曲线组成的.
2
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2
π
3
π
的最小正周期是 .
2
π
(2)由题意可知,函数的定义域为 ≠ π + ,k∈Z ,定义域关于原点对称,
2
∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)
=-sin x-tan x=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
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方法总结
正切型函数 y=Atan(ωx+φ)的周期性、奇偶性:
2
(2)由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称,
因为 f(-x)=
sin (-)
cos (-)
=
-sin
cos
π
=-f(x),所以 f(x)是奇函数.
π
tan,- < x < ,
(3)因为 f(x)=
2
2
π
π
2
2
-tan,-π ≤ < - 或 < x ≤ π,
所以 f(x)在[-π,π]上的图象如图所示.
②当角不在同一单调区间内时,要先利用诱导公式,将所给的角转化到同一单调区间
内,再利用单调性比较其大小.
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初升高数学暑假衔接(人教版)第27讲 正切函数的性质与图象(学生版)
第27讲正切函数的性质与图象1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质；2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题。
一、正切函数的图象与性质1、定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2、值域：R3、周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π4、奇偶性：正切函数是奇函数，即()x x tan tan -=-．5、单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增二、正切函数型tan()(0,0)y A x A ωϕω=+≠>的性质1、定义域：将“x ωϕ+”视为一个“整体”．令,2x k k z πωϕπ+≠+∈解得x ．2、值域：(),-∞+∞3、单调区间：（1）把“x ωϕ+”视为一个“整体”；（2）0(0)A A ><时，函数单调性与tan (,)2y x x k k z ππ=≠+∈的相同（反）；（3）解不等式，得出x 范围．4、周期：T πω=三、求正切函数的定义域的方法及求值域的注意点1、求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数tan y x =有意义，即,2x k k z ππ≠+∈。
而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解，解形如tan x a >的不等式的步骤如下：（1）作图象：作在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的正切函数图象；（2）求界点：求在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a =成立的值；（3）求范围：求,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上使tan x a >成立的x 范围；（4）定义域：根据正切函数的周期性，写出定义域。
四、求函数tan()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ都是常数）的单调区间的方法（1）若0ω>，由于tan y x =在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令,22k x k k Z πππωϕπ-<+<+∈，解得x 的范围即可；（2）若0ω<，可利用诱导公式先把tan()y A x ωϕ=+转化为tan[()]tan()y A x A x ωϕωϕ=--+=--+，即先把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可。
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1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。
教学过程： 一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+≠z k k x x ,2|ππ
2．正切函数是不是周期函数？ ()t a n t a n ,,2x x x R x k k z πππ⎛
⎫+=
∈≠+∈
⎪⎝
⎭
且，
∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2
x k k Z π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠
z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。
（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5
17tan π
的大小 解：t an 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
π 4π，52tan
517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，⎪⎭
⎫
⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎪⎭
⎫
⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4
tan
即 例2：求下列函数的周期：
（1）3tan 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 答：T π=。
（2）tan 36y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭ 答：3T π=。
说明：函数
()()
tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠的周期T π
ω
=
． 例3：求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，
y
解：1、由2
3
3π
ππ
+
≠-
k x 得1853ππ+≠
k x ，所求定义域为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,1853,|ππ且 2、值域为R ，周期3
π
=T ，
3、在区间()z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1853,183ππππ上是增函数。
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数）， 练习1：求函数⎪⎭⎫
⎝⎛+=32
tan ππ
x y 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。
略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在)4
,43(π
πππ+-
k k 上是增函数 练习2：教材P45面2、3、4、5、6题 解：画出y ＝tan x 在(－
2π，2π)上的图象，在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜2
π 结合周期性，可知在x ∈ R ，且x ≠k π＋2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2
π
)(k ∈Z )
思考2
：你能用图象求函数y =
解：
由tan 0x ≥ 得
tan x ≥利用图象知，所求定义域为(),
k k k Z π
πππ⎡⎫
+
+
∈⎪⎢，
亦可利用单位圆求解。
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y t an =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被
, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。