大型工程决策-第三章 随机性决策问题与效用函数
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效用函数
3.2.3 效用的公理化定义和效用 的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1 基数性效用函数与序数效用函数区别： 1.基数效用定义在展望集 P上(考虑后果及其概率分布 ), 是实数；序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可 以是整正数. 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一) 原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下 唯一), 原序数列可变换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1 等.
2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
所以，10100元的价值并不等于10000元的价值加上身无分文时的 100元的价值。这就是经济学中的边际价值的递减性。这个例子说明 即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：① 收入礼品1000元，或是②参与一次抽奖：有50% 的机会得0元，50%的机会得2500元。
一、效用的基本概念与符号
(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
一、效用的基本概念与符号
(2) 无差异“～” a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b” (a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
随机性决策分析方法讲义(PPT49张)
i 1
p
n
i
1。
所有展望构成的集合记作 P ，可以验证 P 关于凸线性组 合是封闭的。即如果 P 1 ， P2 P ，而且 0 1 ，则有
P1 (1 ) P2 P
22 2019年3月10日
2、 随机性决策的效用函数
对于任意 P1 , P2 P 都存在一定的优先关系，即决策人 可认为 P1 优于 P2 ，或 P1 与 P2 无差异，或 P1 不优于 P2 .
“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B） 要解决的问题： （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖 项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民 的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并 据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
六章随机性决策分析方法
第十六章 随机性决策分析方法
随机性决策问题的基本概念；
效用函数的概念； 效用与风险的关系；
随机优势与效用函数的关系；
案例分析：彩票中的数学问题。
2
2019年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
彩票中的数学知多少？
你们了解彩票吗？ 你们买过彩票吗？ 你们了解彩票的规 则吗？ 请问几个问题： （1）博彩有规律可寻吗？ （2）现行的各种彩票方案中奖的 可能性有多大？ （3）现行的彩票方案合理吗？哪 种方案“好”？ No,I don’t （4）我们应该如何看待彩票？中 国的彩票业还有多大的发展空间 know! ？
似然率(i)估计困难
F(x)通常有较大的尾部误差
0
主观概率—先验分布估计：分位点法
区间对分法（分位点法）-连续型
确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区 人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超过18‰ ）； 求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此 值的状态出现的概率相等（如某地区人口出生率 的中位数为12.5‰）； 确定上下四分位点； 确定八分位点（一般仅取到八分位点）。
p
n
i
1。
所有展望构成的集合记作 P ，可以验证 P 关于凸线性组 合是封闭的。即如果 P 1 ， P2 P ，而且 0 1 ，则有
P1 (1 ) P2 P
22 2019年3月10日
2、 随机性决策的效用函数
对于任意 P1 , P2 P 都存在一定的优先关系，即决策人 可认为 P1 优于 P2 ，或 P1 与 P2 无差异，或 P1 不优于 P2 .
“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B） 要解决的问题： （1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖 项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民 的吸引力等因素评价各方案的合理性。
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并 据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
六章随机性决策分析方法
第十六章 随机性决策分析方法
随机性决策问题的基本概念；
效用函数的概念； 效用与风险的关系；
随机优势与效用函数的关系；
案例分析：彩票中的数学问题。
2
2019年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
彩票中的数学知多少？
你们了解彩票吗？ 你们买过彩票吗？ 你们了解彩票的规 则吗？ 请问几个问题： （1）博彩有规律可寻吗？ （2）现行的各种彩票方案中奖的 可能性有多大？ （3）现行的彩票方案合理吗？哪 种方案“好”？ No,I don’t （4）我们应该如何看待彩票？中 国的彩票业还有多大的发展空间 know! ？
似然率(i)估计困难
F(x)通常有较大的尾部误差
0
主观概率—先验分布估计：分位点法
区间对分法（分位点法）-连续型
确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区 人口出生率不可能低于9‰，但也不可能超过18‰ ）； 求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此 值的状态出现的概率相等（如某地区人口出生率 的中位数为12.5‰）； 确定上下四分位点； 确定八分位点（一般仅取到八分位点）。
效用函数-决策
判断在满足什么条件时存在与之一致的效用函数，Von Neumann-Morgenstern,1944给出了效用的存在性公理， 又称理性行为公理。
21
效用函数存在的条件 书P30
1： 2： 3：
4：
22
效用函数
与上式矛盾
23
效用函数 的定义书P29
满足上述条件前提下，若P上存在实值函数u，有：
注意：此定义是基数效用函数，另外还有序数效用
12
效用的定义
熟悉一下详细描述：书P28：定义：2.4.1
13
效用的定义
书中例子：带伞问题
方案/行动：1、不带伞 2、带伞
方案/行动所带来的后果： 1、不带伞无雨 2、不带伞遇雨 3、带伞不遇雨 4、带伞遇雨 假设天气只有3中情况： 1、遇雨概率为0，不遇雨概率为1 2、遇雨概率为0.5，不遇雨概率为0.5 3、遇雨概率为1，不遇雨概率为0 3种天气情况下决策者的行为是“不带伞”所对应的展望： 书2.4-2.5式
34
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
请写出后果？
35
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
根据题意请写出后果的优先顺序？
36
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
37
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
38
效用函数 的构造方法
2、离散型结果的效用设定：
3
效用函数
一． 效用理论 上图例子作为商业、经营中实际问题的数学模型有着普遍 意义。现实决策问题中经常遇到类似的情况： 要在期望收益较低但是保险（相当于上例中的礼品）与期 望收益较高风险也较大（相当于上例中的抽奖）这两种行 动中进行选择。 有人认为：抽奖不如礼品，如图所示。有人则相反！
第三章 随机占优决策法则
第三章 随机占优决策法则3.1 偏序：有效集和无效集3.1.1 偏序与全序□若期望效用函数已知，则对所有可行投资计划计算期望效用，选出最大的一个，并且对考虑的投资问题有完全的选择次序，即可以区分任意两个投资的优劣，称全序； □但一般而言，仅知偏好的部分信息（比如风险厌恶），因此可以对可行投资计划得到偏序——不是所有的投资机会都可以比较。
□对于偏序，例如假设效用函数不减，即 0≥'U ；或者说投资者总认为多好于少，这是部分信息，而不知效用函数的精确形式。
可利用随机占优投资准则，它适合所有效用函数0≥'U 的投资者。
下面根据决策者的信息引入一些定义及决策准则：可行集（feasible set; FS): 定义为我们考虑问题的所有可以实现的投资计划。
可以把可行集FS 分成两个子集：有效集（ES)和无效集(IS) 两部分。
两个集合互不相交。
假设所有 的全体为U ，即U 为所有非减效用函数组成的集合，说明关于这一信息集的有效集和无效集以及它们两者之间的关系。
U 中的占优：我们说在U 中，投资计划1 优于投资计划2 是指：对任意的U ∈U ，有 ，并且至少有一个 ，上面的不等式严格成立。
经济意义是指：具有效用函数为U 的所有个体，一致认为投资计划1绝不比投资计划2差，且一定有某一个体认为投资计划1严格好于投资计划2。
有效集：它是这样一些投资计划组成的集合，没有另外的投资机会占优于它。
无效集：它由所有的无效投资机会组成，所谓无效投资计划是说可以在有效投资集中至少有一个投资机会优于它。
可行集FS 分化为有效集ES 和无效集IS 依赖于具有的信息。
一般而言，对于给定的任意信息集，相对于可行集的有效集越小，投资者的投资计划越明确。
本章将说明加在偏好或收益分布上的信息或假定越多，有效集越小。
带有部分信息的投资选择（因而有偏序）有两个决策步骤：a)客观决策；b) 主观选择。
随机占优3.2 一阶随机占优定义：对于具有连续的增效用函数的经济行为主体，如果他对证券A 和证券B 的选择是选择A 而放弃B 或者觉得A 和B 无差异，那么我们就说证券A 一阶随机占优于证券B ，用b 表示。
决策理论3-效用函数课件
决策理论3-效用函数
圣彼得堡悖论的解释2：
(二)风险厌恶论
• 圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 • 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿
次才可能出现一次。实际上，游戏有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元 和2元。奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 • Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会， 但是风险太大。 • 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加 人一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖 论。
现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
1.0
1000 优于
2500 0.5
0.5 0
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行动
a1和a2时的展望分别是: P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5决,2策5理0论03-;效0用.函5数,0>
决策理论3-效用函数
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别； 但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优 后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当 量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损失当 量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只要有 可能，应该尽可能使用概率当量法。
is indifference to b)；也就是说，决策人对选 择或同样满意。
圣彼得堡悖论的解释2：
(二)风险厌恶论
• 圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 • 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿
次才可能出现一次。实际上，游戏有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元 和2元。奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 • Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会， 但是风险太大。 • 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加 人一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖 论。
现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
1.0
1000 优于
2500 0.5
0.5 0
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行动
a1和a2时的展望分别是: P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5决,2策5理0论03-;效0用.函5数,0>
决策理论3-效用函数
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别； 但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优 后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当 量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损失当 量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只要有 可能，应该尽可能使用概率当量法。
is indifference to b)；也就是说，决策人对选 择或同样满意。
决策理论3_效用函数
决策理论3_效用函数决策理论是研究人类在面对不确定性和风险的情况下做出决策的理论。
效用函数是决策理论中的一个重要概念，用于衡量不同决策结果带来的效用或满足程度，从而指导人们做出最优决策。
效用函数的概念最早由经济学家边沁提出，他认为人们根据自身对事物的偏好程度，对不同结果赋予一定的效用值。
效用函数可以看作是将决策结果映射为实数的函数，而不同人对相同决策结果的效用值可能是不同的。
效用函数的具体形式和性质因人而异，常见的效用函数包括线性函数、指数函数、对数函数等。
线性函数在描述决策者对风险的态度时较为简单，即效用与结果成正比。
指数函数则可以很好地描述决策者对小概率事件的偏好，即决策者更容易选择高概率事件而放弃低概率事件。
对数函数则可以很好地描述决策者对较大收益的饱和效应，即对于相同数量级的收益，决策者的边际效用递减。
效用函数在决策分析中的应用非常广泛。
一方面，通过确定决策者的效用函数，可以将决策问题转化为一个最优化问题，通过求解最大效用值或最小效用值来确定最优决策。
例如，在投资决策中，决策者可以通过测量不同投资组合的效用值来选择最优的投资方案。
另一方面，效用函数也可以用来比较不同决策者之间的偏好，帮助决策者进行选择。
例如，在公共政策制定中，政府可以通过测量不同政策方案对公众的效用值来确定最优政策。
然而，在实际应用中，确定有效的效用函数并不容易。
一方面，人的偏好往往是主观和复杂的，难以用简单的函数来直接描述。
另一方面，效用函数的形式和参数可能随着决策情境和决策者的变化而变化，因此需要不断调整和修正。
为了解决这一问题，决策理论提出了一些方法，如实证研究、实验方法和专家调查等，以获得更准确和可靠的效用函数。
此外，效用函数还存在一些局限性和争议。
首先，效用函数假设人的决策行为完全理性，忽视了人们在面对复杂决策时可能存在的有限理性。
其次，效用函数所基于的价值观和陈述性规则可能因人而异，存在主观差异。
最后，效用函数往往难以考虑到所有的因素和权衡，可能导致决策结果与现实情况的偏离。
决策分析_张春霞
2011 年数学建模培训
决策分析
张春霞 cxzhang@
2011年5月
主要内容
预备知识 决策分析简介 随机性决策 效用函数 决策准则 贝叶斯决策 小结
2013/7/16 西安交通大学 理学院 2
事件 在一次试验中发生的概率为 ，随 机变量 表示 在n重伯努利试验中发生 的次数，则 且
均值与方差
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
2013/7/16 西安交通大学 理学院 11
预备知识
泊松(Poisson)分布
若随机变量 的概率函数为 则称
均值与方差
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
西安交通大学 理学院 29
2013/7/16
例5(续)
网站准备购买一批新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得 到想看这些DVD的人数(如下表所示)
基本假设
60%会员每月租赁DVD两次，而另外40%只租一次； 网站现有10万会员
问题 ：每种DVD至少准备多少张，才能满足下面需求
2013/7/16 西安交通大学 理学院 19
预备知识
贝叶斯定理
贝叶斯公式
为随机事件的结果或观测值； 为先验概率分布； 为后验概率分布.
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
2013/7/16 西安交通大学 理学院 20
决策分析简介
定义
研究不确定性决策问题的一种系统分析方法，其目 的是改进决策过程，从一系列方案中找出一个能满 足一定目标的合适方案。 -《中国大百科全书》 决策是从一组备选方案中选择所偏爱的方案或行动 路线的过程，它渗透到生活的每个方面。决策通常 涉及外部世界的不确定性以及个人偏爱的冲突，通 常从信息的集聚开始，通过主观概率的估计和审议 直到选定最终行动……… -《认知科学百科全书》
决策分析
张春霞 cxzhang@
2011年5月
主要内容
预备知识 决策分析简介 随机性决策 效用函数 决策准则 贝叶斯决策 小结
2013/7/16 西安交通大学 理学院 2
事件 在一次试验中发生的概率为 ，随 机变量 表示 在n重伯努利试验中发生 的次数，则 且
均值与方差
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
2013/7/16 西安交通大学 理学院 11
预备知识
泊松(Poisson)分布
若随机变量 的概率函数为 则称
均值与方差
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
西安交通大学 理学院 29
2013/7/16
例5(续)
网站准备购买一批新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得 到想看这些DVD的人数(如下表所示)
基本假设
60%会员每月租赁DVD两次，而另外40%只租一次； 网站现有10万会员
问题 ：每种DVD至少准备多少张，才能满足下面需求
2013/7/16 西安交通大学 理学院 19
预备知识
贝叶斯定理
贝叶斯公式
为随机事件的结果或观测值； 为先验概率分布； 为后验概率分布.
施雨，李耀武. 概率论与数理统计. 西安：西安交通大学出版社, 2003.
2013/7/16 西安交通大学 理学院 20
决策分析简介
定义
研究不确定性决策问题的一种系统分析方法，其目 的是改进决策过程，从一系列方案中找出一个能满 足一定目标的合适方案。 -《中国大百科全书》 决策是从一组备选方案中选择所偏爱的方案或行动 路线的过程，它渗透到生活的每个方面。决策通常 涉及外部世界的不确定性以及个人偏爱的冲突，通 常从信息的集聚开始，通过主观概率的估计和审议 直到选定最终行动……… -《认知科学百科全书》
第03讲随机决策理论与方法2
2
Temp(a2)
0.1071 0.2500 0.7857 0.2857 0.6429
生师 比z(a2) 0.8636 0.6818 0.0000 0.6364
0.1818
(1)E=5.6000（均值）
(2)Tempi(a)=(fi(a)-E)/E (3)应用线性变换或标准0-1变换 或向量变换。本例是采用线性变 换。zi(a)=1tempi(a)/max(tempi(a))
第03讲随机决策理论与方法2
多属性决策分析—问题的符号表示
v 例：给定自然状态的多属性决策问题
方案集 发电 作物 船运 COD 水流失 土流失 景点数 动物 植物 减灾
x1
8.9 45 55 7.2
82
77
x2
7.6 62 47 6.4
76
82
x3
9.2 46 67 9.5
91
80
3
41 158 87
v 判断矩阵的构造 ™ 假设属性ai的权记为wi，则wij=wi/wj为判断矩阵A的第i行 第j列元素。A=[wij]n×n ™ 在实际决策中，wi是未知的，需要借助专家的评价。我们 用专家的评价结果aij=ai/aj代替wij。aij=ai/aj的取值如下： v =1：同等重要 v =3：目标i略重要于目标j v =5：目标i比目标j重要(相当重要) v =7：目标i比目标j明显重要 v =9：目标i相对目标j绝对重要 v =2,4,6,8：上述两个相邻判断的中间值
第03讲随机决策理论与方法2
多属性决策分析—属性值预处理
v 异常(outlier)处理。对同一个属性a，若各方案的值差异极大 或某方案的值相对其他方案出现明显的偏离，如按一般方法 规范化，在评价时该属性的影响将被不恰当地放大（如前例 中的论著一项，方案5的值是14，显著大于其他4个方案）。 因此需要采用特别方法处理，处理方法有很多，下面介绍一 种常用方法。 ™ 设定一个转换后的期望值（均值）：M(0.5～0.75) ™ 作变换z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=(fi(a)-E)×(1-M)/(fmax-E)+M ™ 其中E为当前属性值的均值；fmax为当前属性值的最大值
Temp(a2)
0.1071 0.2500 0.7857 0.2857 0.6429
生师 比z(a2) 0.8636 0.6818 0.0000 0.6364
0.1818
(1)E=5.6000（均值）
(2)Tempi(a)=(fi(a)-E)/E (3)应用线性变换或标准0-1变换 或向量变换。本例是采用线性变 换。zi(a)=1tempi(a)/max(tempi(a))
第03讲随机决策理论与方法2
多属性决策分析—问题的符号表示
v 例：给定自然状态的多属性决策问题
方案集 发电 作物 船运 COD 水流失 土流失 景点数 动物 植物 减灾
x1
8.9 45 55 7.2
82
77
x2
7.6 62 47 6.4
76
82
x3
9.2 46 67 9.5
91
80
3
41 158 87
v 判断矩阵的构造 ™ 假设属性ai的权记为wi，则wij=wi/wj为判断矩阵A的第i行 第j列元素。A=[wij]n×n ™ 在实际决策中，wi是未知的，需要借助专家的评价。我们 用专家的评价结果aij=ai/aj代替wij。aij=ai/aj的取值如下： v =1：同等重要 v =3：目标i略重要于目标j v =5：目标i比目标j重要(相当重要) v =7：目标i比目标j明显重要 v =9：目标i相对目标j绝对重要 v =2,4,6,8：上述两个相邻判断的中间值
第03讲随机决策理论与方法2
多属性决策分析—属性值预处理
v 异常(outlier)处理。对同一个属性a，若各方案的值差异极大 或某方案的值相对其他方案出现明显的偏离，如按一般方法 规范化，在评价时该属性的影响将被不恰当地放大（如前例 中的论著一项，方案5的值是14，显著大于其他4个方案）。 因此需要采用特别方法处理，处理方法有很多，下面介绍一 种常用方法。 ™ 设定一个转换后的期望值（均值）：M(0.5～0.75) ™ 作变换z：fi(a)→zi(a)，zi(a)=(fi(a)-E)×(1-M)/(fmax-E)+M ™ 其中E为当前属性值的均值；fmax为当前属性值的最大值
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第三章 随机性决策问题与 效用函数
王仁超 天津大学
本章内容
§1 先验信息与主观概率 §2 效用函数 §3 贝叶斯分析 *§4 随机优势法
§1 先验信息与主观概率
先验信息：随机性决策问题特点：自然状态的不确定
性引起后果的不确定性。为了进行科学决策，决策人在通 过试验收集自然状态有关信息之前，根据自己的经验、主 观估计自然状态的信息，称为先验信息，它是贝叶斯决策
效用函数的数学定义
集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系一致，即：若P1，P2∈P且P1 ≻P2，当且仅当 u(P1)> u(P2)。
定理：若P上的优先关系满足公理1～4，则 一定存在上述定义的效用函数。
基数效用与序数效用
基数是2、3.5、100.0等，定义在展望上的效 用是基数效用，以上介绍的效用函数，为 基数效用函数，基数效用的特点：既反映 偏好的次序，也反映偏好强度。通常基数 效用值在0－1之间
利用效用函数和先验信息进行决策
决策准则期望效用最大 利用效用进行决策的案例：
例：某农场要决定一块地中选择什么作物，各种作物的
收益如表1，若该人的收益与效用对应关系如表2，如何
决策？
天气
旱
利润
方案
0.2
正常
多雨
0.7
0.1
蔬菜 1000 4000 7000
小麦 2000 5000 3000
棉花
3000
**由于该方法误差积累，一般不再进一步划分
相对似然法
在事件的不确定量区间中，要求决策者首先确定“最可能” 和“最不可能”的量，然后询问“最可能”量的可能性是 “最不可能”量的可能性的几倍－相对似然性，再对其他 量进行相对似然性估计，由此得到非正常先验密度曲线 （密度积分不等于1，故非正常）。
例如，关于某产品明年的销售量，在1000～10000件之间， 最可能是5000件，最不可能是9000件，最可能发生5000件 的可能性是最不可能9000件的4倍，于是得到5000对9000的 相对似然。继续问4000件与8000件的相对似然性。。。
6000
2000
效用决策案例
收益 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 效用 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.85
主观设定先验分布的方法
概率盘——最为常用 区间法 相对似然法 直方图法
奖
适用于对概率有了解的专家
区间法
1）把事件不确定量的区间划分为两部分，询问决 策人事件发生在哪个区间可能性更大
2）然后减少可能性大的区间，直至两个区间等可 能；
3）同样还可以对两个区间记一步划分，得到1/4 和3/4的点对应的区间
分析的基础。
主观概率与客观概率
决策人根据自己的经验所设定的自然状态发生的概率 称为主观概率；通过随机试验所确定的自然状态发生 概率称为客观概率。
先验分布：借助先验信息确定的主观概率分布， 称为先验分布
主观设定先验分布的方法基础
二元关系：比较两个对象某一方面属性的关系。主观
概率估计中，比较两个事件发生的可能性 二元关系假设：
序数，第一、第二、第三等，定义在后果 集上，只反映偏好的次序，而不反映偏好 强度，不涉及随机性。
效用函数的构造方法－偏好诱导
确定当量法：给定两个后果c1、c2，通常是 最差和最好的结果，假定其均以50％概率出 现，问决策人确定当量c为多少，c～c1×0.5 ＋c2×0.5；设U（c1）＝0， U（c2）＝1， 则得到C对应效用为0.5,在c1和c之间和c和c2 之间继续询问决策人，则可以得到若干效 用值，拟和成曲线即为该决策人的效用函 数。
效用函数：当决策人的偏好满足一定的公 理时，所有决策后果与效用的对应函数关 系。
展望、抽奖与抽奖的确定当量
展望（prospect）或预期：决策的可能前景， 它是各种后果与后果出现概率的组合，记 为：P＝{p1,c1;p2,c2;p3,c3;…;pr,cr}
抽奖：决策树中由机会点和该机会点发出 的若干机会枝的概率及其后果构成的图形， 称为抽奖，若决策人认为某个后果C与抽奖 L＝ {p1,c1;p2,c2;p3,c3;…;pr,cr}无差异，则称C为 抽奖L的确定当量，抽奖和确定当量是确定 效用函数的常用方法
连通性：A、B两个事件发生的似然性是可以比较的，且只有以下 一种关系成立，即等可能A~B；A比B更可能A≻B， B比A更可能 A≺B。
传递性： A、B、C三个事件，若A≼B、B ≼ C，则A ≼ C 部分小于全体：设事件A⊂B，则事件B的发生似然性A ≼B，如A为
物价上涨8－10％，B为物价上涨8－12％，则事件B发生的可能性 至少与A一样大。
效用的存在性公理
由Von Neumann和Morgenstern 上世纪40年代提出。 连通性：P上的优先关系是连通的； 传递性 替代性：若P1、P2、P3∈P，P1≻P2且0＜α ＜1， αP1＋（1
－ α)P3 ≻ αP2＋（1－ α)P3,或 0＜ β ＜α＜1， αP1＋（1－ α)P3 ≻ β P2＋（1－ β)P3 连续性（偏好的有界性）若P1、P2、P3∈P，P1≻P2 ≻P3， 则存在0＜ β ＜α＜1使αP1＋（1－ α)P3 ≻ β P2＋（1－ β)P3
效用
效用函数
后果
效用与风险
效用函数反映决策者对风险的态度，通常 分为三种类型，风险中立、风险追求和风 险厌恶。
例如，如果u(0)=0,u(2500)=1，如果决策人 在50％概率抽奖中，认为1250的效用为0.5, 则该决策人是风险中立，如果认为900（或 1250的效用值大于0.5）与抽奖相当，则该 决策人是风险厌恶的，效用函数上凸，否 则为风险追求，效用函数下凸。
直方图法
将某一事件的不确定 量划分为若干区间， 询问决策人各个区间 发生的概率，
40 30 20 10 0
12 345 67
系列1
§2 效用函数
价值与效用：在经济学以及随机决策问题 中，很多研究表明，决策人对后果的判定 不完全取决于后果价值，而是价值的一个 对应值，这个对应值反映决策的偏好
(preference)，即效用是决策人对后果值的偏 好的量化。
王仁超 天津大学
本章内容
§1 先验信息与主观概率 §2 效用函数 §3 贝叶斯分析 *§4 随机优势法
§1 先验信息与主观概率
先验信息：随机性决策问题特点：自然状态的不确定
性引起后果的不确定性。为了进行科学决策，决策人在通 过试验收集自然状态有关信息之前，根据自己的经验、主 观估计自然状态的信息，称为先验信息，它是贝叶斯决策
效用函数的数学定义
集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系一致，即：若P1，P2∈P且P1 ≻P2，当且仅当 u(P1)> u(P2)。
定理：若P上的优先关系满足公理1～4，则 一定存在上述定义的效用函数。
基数效用与序数效用
基数是2、3.5、100.0等，定义在展望上的效 用是基数效用，以上介绍的效用函数，为 基数效用函数，基数效用的特点：既反映 偏好的次序，也反映偏好强度。通常基数 效用值在0－1之间
利用效用函数和先验信息进行决策
决策准则期望效用最大 利用效用进行决策的案例：
例：某农场要决定一块地中选择什么作物，各种作物的
收益如表1，若该人的收益与效用对应关系如表2，如何
决策？
天气
旱
利润
方案
0.2
正常
多雨
0.7
0.1
蔬菜 1000 4000 7000
小麦 2000 5000 3000
棉花
3000
**由于该方法误差积累，一般不再进一步划分
相对似然法
在事件的不确定量区间中，要求决策者首先确定“最可能” 和“最不可能”的量，然后询问“最可能”量的可能性是 “最不可能”量的可能性的几倍－相对似然性，再对其他 量进行相对似然性估计，由此得到非正常先验密度曲线 （密度积分不等于1，故非正常）。
例如，关于某产品明年的销售量，在1000～10000件之间， 最可能是5000件，最不可能是9000件，最可能发生5000件 的可能性是最不可能9000件的4倍，于是得到5000对9000的 相对似然。继续问4000件与8000件的相对似然性。。。
6000
2000
效用决策案例
收益 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 效用 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.85
主观设定先验分布的方法
概率盘——最为常用 区间法 相对似然法 直方图法
奖
适用于对概率有了解的专家
区间法
1）把事件不确定量的区间划分为两部分，询问决 策人事件发生在哪个区间可能性更大
2）然后减少可能性大的区间，直至两个区间等可 能；
3）同样还可以对两个区间记一步划分，得到1/4 和3/4的点对应的区间
分析的基础。
主观概率与客观概率
决策人根据自己的经验所设定的自然状态发生的概率 称为主观概率；通过随机试验所确定的自然状态发生 概率称为客观概率。
先验分布：借助先验信息确定的主观概率分布， 称为先验分布
主观设定先验分布的方法基础
二元关系：比较两个对象某一方面属性的关系。主观
概率估计中，比较两个事件发生的可能性 二元关系假设：
序数，第一、第二、第三等，定义在后果 集上，只反映偏好的次序，而不反映偏好 强度，不涉及随机性。
效用函数的构造方法－偏好诱导
确定当量法：给定两个后果c1、c2，通常是 最差和最好的结果，假定其均以50％概率出 现，问决策人确定当量c为多少，c～c1×0.5 ＋c2×0.5；设U（c1）＝0， U（c2）＝1， 则得到C对应效用为0.5,在c1和c之间和c和c2 之间继续询问决策人，则可以得到若干效 用值，拟和成曲线即为该决策人的效用函 数。
效用函数：当决策人的偏好满足一定的公 理时，所有决策后果与效用的对应函数关 系。
展望、抽奖与抽奖的确定当量
展望（prospect）或预期：决策的可能前景， 它是各种后果与后果出现概率的组合，记 为：P＝{p1,c1;p2,c2;p3,c3;…;pr,cr}
抽奖：决策树中由机会点和该机会点发出 的若干机会枝的概率及其后果构成的图形， 称为抽奖，若决策人认为某个后果C与抽奖 L＝ {p1,c1;p2,c2;p3,c3;…;pr,cr}无差异，则称C为 抽奖L的确定当量，抽奖和确定当量是确定 效用函数的常用方法
连通性：A、B两个事件发生的似然性是可以比较的，且只有以下 一种关系成立，即等可能A~B；A比B更可能A≻B， B比A更可能 A≺B。
传递性： A、B、C三个事件，若A≼B、B ≼ C，则A ≼ C 部分小于全体：设事件A⊂B，则事件B的发生似然性A ≼B，如A为
物价上涨8－10％，B为物价上涨8－12％，则事件B发生的可能性 至少与A一样大。
效用的存在性公理
由Von Neumann和Morgenstern 上世纪40年代提出。 连通性：P上的优先关系是连通的； 传递性 替代性：若P1、P2、P3∈P，P1≻P2且0＜α ＜1， αP1＋（1
－ α)P3 ≻ αP2＋（1－ α)P3,或 0＜ β ＜α＜1， αP1＋（1－ α)P3 ≻ β P2＋（1－ β)P3 连续性（偏好的有界性）若P1、P2、P3∈P，P1≻P2 ≻P3， 则存在0＜ β ＜α＜1使αP1＋（1－ α)P3 ≻ β P2＋（1－ β)P3
效用
效用函数
后果
效用与风险
效用函数反映决策者对风险的态度，通常 分为三种类型，风险中立、风险追求和风 险厌恶。
例如，如果u(0)=0,u(2500)=1，如果决策人 在50％概率抽奖中，认为1250的效用为0.5, 则该决策人是风险中立，如果认为900（或 1250的效用值大于0.5）与抽奖相当，则该 决策人是风险厌恶的，效用函数上凸，否 则为风险追求，效用函数下凸。
直方图法
将某一事件的不确定 量划分为若干区间， 询问决策人各个区间 发生的概率，
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系列1
§2 效用函数
价值与效用：在经济学以及随机决策问题 中，很多研究表明，决策人对后果的判定 不完全取决于后果价值，而是价值的一个 对应值，这个对应值反映决策的偏好
(preference)，即效用是决策人对后果值的偏 好的量化。