空间机械臂动力学奇异点与回避
双臂机器人避关节极限与避奇异位形优化研究
双臂机器人避关节极限与避奇异位形优化研究李贺立;杨冬;杨德志;李铁军;马宏【摘要】Limit and the mechanical arm joints of the limitation of singular configuration , tend to cause the fail-ure of coordination task.Based on the research of the redundant dual -arm robot, the use of redundant arm since the movement characteristics and based on the gradient projection method and singular robust inverse method to com -plete the limit and avoid redundant arm joint avoid singular configuration optimization .After optimization to obtain the optimal joint configuration , as well as the arms at the end of the error are analyzed and control , basically elimi-nated the terminal trajectory tracking error, and make the movement of mechanical arm got significant improvement in performance.The contrast before and after the optimization result is validated by computer simulation shows the feasibility of the optimization method.For the research of redundant dual -arm robot coordination control method.%关节极限及机械手臂的奇异位形的限制，往往导致协调任务失败。
机器人奇异点理解
机器人奇异点的理解每种型号的机器人都有奇异点,那么奇异点就是如何产生？产生的结果？当机器人以笛卡尔坐标系运动时,经过奇点,某些轴的速度会突然变得很快,TCP点的路径速度会显著减慢。
因此,应避免机器人的轨迹经过奇点附近。
奇异点产生如下结果:1、机械臂自由度减少,从而无法实现某些运动2、某些关节角速度趋向于无穷大,导致失控3、无法求逆运算如何产生奇异点(singularity)说到奇异点的产生就不得不提一下的Gimbal Lock[2]、如下图,飞机内部的陀螺仪有三个旋转的自由度,假设三个圈会随着飞机的旋转而旋转,旋转的轴线如上图:当其中pitch角向上达到90°时,其中一个圈与原本水平的圈在这一瞬间发生了重合,从而减少了一个自由度。
当然,飞机的旋转并没有真的被LOCK了,依然可以运动。
相同的情况同样可以发生在机器人上:6轴串联关节机器人有三种奇点:腕部奇点,肩部奇点,肘部奇点。
1、腕部奇点发生在4轴与6轴重合(平行)时。
2、肩部奇点发生在腕部中心位于1轴旋转中心线时。
3、肘部奇点发生在腕部中心与2轴3轴一条线。
4轴与6轴产生奇异点(wrist singularity)下图中的六轴机器人,四轴与六轴相交[3](大部分机器人四轴与六轴都会相交,所以很多机器人都会存在这种奇异点,这玩意跟机器人的品牌无关,只与结构有关)、机器人的五轴与四轴与六轴的轴线相交,因此,机器人四,五,六三个轴便形成了上面提到的Gimbal Lock、当五轴旋转到某个角度时,比如下面这个角度(所有的关节角度都就是0°),四轴与六轴共线,奇异在此发生。
因此,在某系机器人仿真软件里,比如说ABB的robotstudio,当您打开机器人模型的时候,机器人的五轴会就是这样的:耷拉着小脑袋真不就是为了卖萌,而就是为了避开奇异点。
除了这种奇异点,还有其她两种:1轴与6轴奇异点(Alignment singularity)三、当机器人的2轴与3轴产生奇异点(Elbow singularity)比如在当前的姿态下,机器人的端点可以产生的速度就是由两个速度合成的:v1与v2、v1就是由于第一个旋转关节产生的;v2就是由于第二个旋转关节产生的;图(a) 图(b)可以瞧到图(a)中两个速度矢量v1与v2在平面上没有共线,它们就是独立的、不共线的,我们就是可以通过调整v1与v2的大小来得到任意的合速度的(大小与方向)。
机器人奇异点理解
机器人奇异点的理解每种型号的机器人都有奇异点，那么奇异点是如何产生产生的结果当机器人以笛卡尔坐标系运动时，经过奇点，某些轴的速度会突然变得很快，TCP点的路径速度会显着减慢。
因此，应避免机器人的轨迹经过奇点附近。
奇异点产生如下结果：1、机械臂自由度减少，从而无法实现某些运动2、某些关节角速度趋向于无穷大，导致失控3、无法求逆运算如何产生奇异点（singularity）说到奇异点的产生就不得不提一下的Gimbal Lock[2].如下图，飞机内部的陀螺仪有三个旋转的自由度，假设三个圈会随着飞机的旋转而旋转，旋转的轴线如上图：当其中pitch角向上达到90°时，其中一个圈与原本水平的圈在这一瞬间发生了重合，从而减少了一个自由度。
当然，飞机的旋转并没有真的被LOCK了，依然可以运动。
相同的情况同样可以发生在机器人上：6轴串联关节机器人有三种奇点：腕部奇点，肩部奇点，肘部奇点。
1、腕部奇点发生在4轴和6轴重合(平行)时。
2、肩部奇点发生在腕部中心位于1轴旋转中心线时。
3、肘部奇点发生在腕部中心和2轴3轴一条线。
4轴和6轴产生奇异点(wrist singularity)下图中的六轴机器人，四轴和六轴相交[3]（大部分机器人四轴和六轴都会相交，所以很多机器人都会存在这种奇异点,这玩意跟机器人的品牌无关，只和结构有关）.机器人的五轴与四轴和六轴的轴线相交，因此，机器人四，五,六三个轴便形成了上面提到的Gimbal Lock. 当五轴旋转到某个角度时，比如下面这个角度（所有的关节角度都是0°），四轴和六轴共线，奇异在此发生。
因此，在某系机器人仿真软件里，比如说ABB的robotstudio，当你打开机器人模型的时候，机器人的五轴会是这样的：耷拉着小脑袋真不是为了卖萌，而是为了避开奇异点。
除了这种奇异点，还有其他两种：1轴和6轴奇异点(Alignment singularity)三、当机器人的2轴和3轴产生奇异点(Elbow singularity)比如在当前的姿态下，机器人的端点可以产生的速度是由两个速度合成的：v1和v2. v1是由于第一个旋转关节产生的;v2是由于第二个旋转关节产生的;图（a ） 图（b ）可以看到图（a ）中两个速度矢量v1和v2在平面上没有共线，它们是独立的、不共线的，我们是可以通过调整v1和v2的大小来得到任意的合速度的（大小和方向）。
空间机械臂动力学奇异点与回避
本文于1996年7月8日收到3国家自然科学基金重点项目及河北省博士科研基金项目空间机械臂动力学奇点与回避3顾晓勤(河北师范大学机械系・石家庄・050031)刘延柱(上海交通大学工程力学系・上海・200030) 摘 要 本文导出空间机械臂非完整约束方程,讨论自由漂浮系统动力学奇点问题,对冗余和非冗余系统分别提出避免奇点的方法,对平面运动情形得到减少奇点出现的工程方法。
文中附有算例。
主题词 空间机械臂 动力学 多体动力学AVO I D ING DY NAM I C SINGULAR IT IESOF SPACE M AN IPULAT ORGu X iaoqin(H eber N o r m al U niversity ・Sh ijiazhuang ・050031)L iu Yanzhu(Shanghai J iao tong U niversity ・Shanghai ・200030) Abstract T he nonho lonom ic constrains of space m ani pulato r are derived in th is paper .D y 2nam ic sigularities of free 2floating system is discussed ,and reducing area of singularity fo r in 2p lane moving system are p ropo sed .T he num erical si m ulati on examp le is given .Key words Space m ani pulato r D ynam ics M ultibody dynam ics1 引 言空间机械臂可用于卫星释放、回收及空间站的在轨建造维修等。
为节省能源机械臂在执行任务时载体姿控系统常暂时关闭。
给定负载始末位姿或在惯性空间给出设计轨迹求转铰运动规律时,当广义Jacob i 矩阵奇异则系统出现奇点,无法得到逆问题解。
自由浮动空间冗余度机械臂避奇异规化的混沌运动抑制控制
袁 文 种 王 从 庆 武 和 雷 刘 秀 超２ ， ， ，
（． １ 南昌大学信息工程学院 ， 西 南昌 ３ ０ ２ ； ． 江 ３０ ９ ２ 南京航 空航天大 学 自动化学院 ， 苏 南京 ２ ０ １ ） 江 １０ ６
摘 要 ： 导 出 自由浮 动 空 间 冗 余度 机械 臂 的 广 义雅 可 比 矩 阵 ， 论 空 间机 械 臂 避 奇 异 问题 ， 于梯 度投 影 法选 取 空 间机 推 讨 基 械 臂 的 运 动 学 可操 作 度 作 为避 奇 异 优 化 目标 函数 ， 用 关 节 空 间的 自运 动 ， 利 实现 自由浮 动 冗余 度 空 间机 械 臂 的避 奇 异 运
０ 引 言
太空 环境对 人类来 说一 直很危 险 ， 以现在 主要 所 运用 空 间机器人 。许 多关 于 空 间机 器 人 的 动 力与 控 制 的方法 已经提 出 －。 自由浮动 空 间冗余 度机械 臂 １］ ６ 在宇 宙空 间可 以代 替 宇航 员 执行 任 务 和 解决 很 多 问
ＹＵＡＮ ｎ ｃ ｏ ｇ Ｗｅ ． ｈ ｎ ，ＷＡＮＧ ｎｇ ｑ ｎ ，Ｗ Ｕ —ｅ ，ＬＩ Ｘｉ ｈ ｏ Ｃｏ ｉ ｇ Ｈｅ ｌｉ Ｕ ｕ ｃ ａ
（ ． ｏ ｅ ｅｏ Ｉ ｏｍａ ｏ ｎ ｉｅ ｒ ｇ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎ ｅ ｉ ， ａ ｃ ａ ｇ３ ０ ２ ， ｈｎ ； １ Ｃ ｌ ｇ ｆ ｎ ｒ ｔ ｎ Ｅ ｇ ｅｉ ， ａ ｃ ａ ｇＵ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｎ ｈ ｎ ３ ０ ９ Ｃ ｉａ ｌ ｆ ｉ ｎ ｎ ｖ ｓｙ
ABB机器人奇异点管理
ABB机器人奇异点管理说明：ABB机器人在运行和手动操作过程当中，有时候会进过机器人奇异点，造成机器人停止并报错，报奇异点错误。
这里主要了解机器人奇异点和相应解决办法，添加指令和使用指令。
一、ABB机器人奇异点定义当机器人关节轴5角度为0度，同时关节轴4和关节轴6是一样时，则机器人处于奇异点。
利用无限量的机械臂配置可获得机械臂空间内的某些位置，以确定工具的位置和方位。
但在基于工具的位置和方位计算机械臂角度时，这些位置，也就是熟知的奇异点，却成了一个问题。
一般说来，机械臂有两类奇异点，臂奇异点和腕奇异点。
1、臂奇异点：臂奇异点就是腕中心（轴4、轴5和轴6的交点）正好直接位于轴1上方的所有配置。
如下图所示：腕中心和轴1汇集时出现臂奇异点2、腕奇异点：腕奇异点是指轴4和轴6处于同一条线上（即，轴5角度为0）的配置。
如下图所示：轴5角度为0时出现腕奇异点二、如何避免解决机器人出现奇异点1、布局以及夹具设计在进行工作站布局时候，要考虑机器人和各个设备之间的摆放布局位置，尽量考虑到机器人在工作过程当中，避免机器人经过奇异点；还可以在考虑机器人夹具在工作中对机器人姿态影响，进而避免奇异点。
如果已指定参数Wrist，则对方位进行接头插补，以避免奇异点。
在这种情况下，TCP遵循正确的路径，但是工具方位会稍微偏离。
当未通过奇异点时，亦将出现上述情况。
2、SingArea指令在编程时，也可以使用SingArea这个指令去让机器人自动规划当前轨迹经过奇异点时的插补方式。
如：SingAreaWrist:允许轻微改变工具的姿态，以便通过奇异点SingAreaOff:关闭自动插补（1）使用说明SingArea用于定义机械臂如何在奇异点附近移动。
SingArea亦用于定义关于拥有不到六个轴的机械臂的线性和圆周插补，在轴4锁定为0或+-180度的情况下，可编程六轴机械臂运行。
本指令仅可用于主任务T_ROB1，或者如果在MultiMove系统中，则可用于运动任务中。
工业机器人的奇异点
教你如何避开机器人这三类“奇点”机器人奇点是个让生产商和用户都很头痛的问题，碰上了，严重点可能造成“机毁人亡”。
那到底什么是机器人奇点，它是怎么形成的，怎么样才能避免机器人奇点？下面这篇文章由Robotiq公司的Alex Owen-Hill撰写，它能让你全面了解这些烦人的问题。
如果你对科学感兴趣，“奇点”很可能会让你想起黑洞。
自从美国LIGO实验室证明了引力波的存在之后，黑洞就被媒体广泛报道，为大众所熟知。
根据物理学家推论，在黑洞的中心，存在一个“引力奇点”，这意味着那里的引力非常大，甚至趋于无穷大。
机器人奇点的概念跟黑洞完全一样。
机器人奇点是什么？他们怎么会像黑洞一样？我的机器人要“疯”了想象一下，你想用你的机器人喷qiang画一条线，如果这条线想要画得完美，机器人需要以一个恒定的速度移动。
如果机器人改变速度，则这条线可能会有粗有细，看起来就不是很好。
如果机器人减速太多，我们可能会看到线上有难看的斑点。
很显然，在画线的时候，机器人以恒定的速度运动是非常重要的。
机器人是非常精确的。
在通常情况下，机器人可以处理好这个问题，无任何压力。
然而，如果在这条线上存在运动奇点，这项工作将不可能完成。
为什么会存在奇点？如何解决？有两种方式可以解决这个问题，但首先让我们了解一下发生了什么事情。
奇点趋于无穷大我在前面曾说过，黑洞中心的引力“趋于无穷大”。
这就意味着，你越靠近中心，引力会变得越大。
在黑洞的中心，引力在理论上是无限大的。
这也许不是真的（没有人知道），但这是一个数学特性。
数学可以很容易处理无穷的概念，而现实世界不能。
大量的数学方程趋于无穷大。
正如这位物理学家解释的那样，理论上来说，你每次拔下浴缸的塞子，都创造了一个奇点。
其基本原理就是，越接近孔的中心，水流越快。
根据这个理论，在孔的正中心，水流速度趋于无限快。
在现实中，却并非如此。
据我们所知，物理系统的速度并不能达到无限快。
机器人之所以会存在奇点，是因为机器人是由数学控制（它可以达到无限大），但移动的是真实的物理部件（它无法实现无限大）。
机器人奇异点
产生的结果如下：∙机械臂自由度减少，从而无法实现某些运动∙某些关节角速度趋向于无穷大，导致失控∙无法求逆运算当机器人以笛卡尔坐标系运动时，经过奇点，某些轴的速度会突然变得很快，TCP 点的路径速度会显著减慢。
因此，应避免机器人的轨迹经过奇点附近。
如何产生奇异点（singularity）说到奇异点的产生就不得不提一下的Gimbal Lock[2].如下图，飞机内部的陀螺仪有三个旋转的自由度，假设三个圈会随着飞机的旋转而旋转，旋转的轴线如上图：当其中pitch角向上达到90°时，其中一个圈与原本水平的圈在这一瞬间发生了重合，从而减少了一个自由度。
当然，飞机的旋转并没有真的被LOCK了，依然可以运动。
相同的情况同样可以发生在机器人上：6轴串联关节机器人有三种奇点：腕部奇点，肩部奇点，肘部奇点。
腕部奇点发生在4轴和6轴重合(平行)时。
肩部奇点发生在腕部中心位于1轴旋转中心线时。
肘部奇点发生在腕部中心和2轴3轴一条线。
4轴和6轴产生奇异点(wrist singularity)下图中的六轴机器人，四轴和六轴相交[3]（大部分机器人四轴和六轴都会相交，所以很多机器人都会存在这种奇异点,这玩意跟机器人的品牌无关，只和结构有关）.机器人的五轴与四轴和六轴的轴线相交，因此，机器人四，五,六三个轴便形成了上面提到的Gimbal Lock. 当五轴旋转到某个角度时，比如下面这个角度（所有的关节角度都是0°），四轴和六轴共线，奇异在此发生。
因此，在某系机器人仿真软件里，比如说ABB的robotstudio，当你打开机器人模型的时候，机器人的五轴会是这样的：耷拉着小脑袋真不是为了卖萌，而是为了避开奇异点。
除了这种奇异点，还有其他两种：二、1轴和6轴奇异点(Alignment singularity)三、当机器人的2轴和3轴产生奇异点(Elbow singularity)比如在当前的姿态下，机器人的端点可以产生的速度是由两个速度合成的：v1和v2.v1是由于第一个旋转关节产生的;v2是由于第二个旋转关节产生的;图（a）图（b）可以看到图（a）中两个速度矢量v1和v2在平面上没有共线，它们是独立的、不共线的，我们是可以通过调整v1和v2的大小来得到任意的合速度的（大小和方向）。
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本文于1996年7月8日收到3国家自然科学基金重点项目及河北省博士科研基金项目空间机械臂动力学奇点与回避3顾晓勤(河北师范大学机械系・石家庄・050031)刘延柱(上海交通大学工程力学系・上海・200030) 摘 要 本文导出空间机械臂非完整约束方程,讨论自由漂浮系统动力学奇点问题,对冗余和非冗余系统分别提出避免奇点的方法,对平面运动情形得到减少奇点出现的工程方法。
文中附有算例。
主题词 空间机械臂 动力学 多体动力学AVO I D ING DY NAM I C SINGULAR IT IESOF SPACE M AN IPULAT ORGu X iaoqin(H eber N o r m al U niversity ・Sh ijiazhuang ・050031)L iu Yanzhu(Shanghai J iao tong U niversity ・Shanghai ・200030) Abstract T he nonho lonom ic constrains of space m ani pulato r are derived in th is paper .D y 2nam ic sigularities of free 2floating system is discussed ,and reducing area of singularity fo r in 2p lane moving system are p ropo sed .T he num erical si m ulati on examp le is given .Key words Space m ani pulato r D ynam ics M ultibody dynam ics1 引 言空间机械臂可用于卫星释放、回收及空间站的在轨建造维修等。
为节省能源机械臂在执行任务时载体姿控系统常暂时关闭。
给定负载始末位姿或在惯性空间给出设计轨迹求转铰运动规律时,当广义Jacob i 矩阵奇异则系统出现奇点,无法得到逆问题解。
由于漂浮系统奇点与系统动力学特性有关故称动力学奇点。
非完整约束使奇点的位置不仅与机械臂转角当前值有关,还由转角的时间历程决定,故动力学奇点是空间机械臂控制中的难点和关第19卷 第4期1998年10月 宇 航 学 报JOURNAL OF ASTR ONAUT I CS Vol .19No .4Oct .1998键点。
Pap adopou lo s 等在文[1]中将广义Jacob i 矩阵中机械臂转角、载体姿态角分离,画出平面双杆空间机械臂铰空间奇异曲线,并提出减小可能出现动力学奇点区域的方案。
文[2]针对自由漂浮系统广义Jacob i 逆矩阵不能由机械臂几何参数确定的特点,提出用机械臂的Jaco 2b i 矩阵替代方法,并对近似线性方法给以三种改进算法。
本文导出系统的逆问题求解式,指出动力学奇点出现的原因及物理意义。
对于冗余自由度系统提出近似回避奇点方法;对冗余系统则提出利用运动学冗余顺利实现设计轨迹的控制算法,对平面运动系统还讨论了减少动力学奇点出现的工程方法。
2 逆问题求解设系统由载体B 1、机械臂B i (i =2,…,n -1)、抓手和刚体负载B n 以单自由度柱铰组成。
以系统质心0c 为基点建立惯性基e 0,以各分体质心0ci 为基点建立连体基e i (i =1,…,n ),设系统初始角动量为零,无外力矩作用,由动量矩原理对0c 点有:∑nj =1(Jj Ξj +m j Θj ×Θαj )=0(1)其中J j 、Ξj 、m j 、Θj (j =1,…,n )分别为B j 的中心惯量张量、角速度矢量、质量、质心0cj 相对0c 的矢径,利用增广体矢量b ij 可将Θj 表示[3]: Θj =∑n i =1b ij (2)将载体姿态角Η1k (k =1,2,3)和相应的转轴基矢量p 1相对连体基e 1的投影列阵p 1k (k =1,2,3)排成列阵Η1=[Η11,Η12,Η13]T 和方阵p 1=[p 11,p 12,p 13],设Ηj 为机械臂相对转角,p j 为相应的转轴基矢量相对连体基e j 的投影列阵,A ij 为e j 的方向余弦矩阵,引入增广体惯量张量K 3ij ,令I j =∑ni =1K 3ij ,记q =(Η2,Η3,…,Ηn )T ,运用多体系统动力学[3]将式(1)化为:Ηα1=-J a q α J a =(J a 2,J a 3,…,J a n ), J a k =p -11∑n j =1A1j I j A j 1-1∑n i =k A 1i I i A ik p k (3) 将(2)式对时间求导,得到负载质心在惯性坐标系中速度: Θαn =J q α(4)其中广义Jacob i 矩阵J =A 01(J 1J a 2-J 2,J 1J a 3-J 3,…,J 1J a n -J n ),J j =A 1j ∑n i =j b υin A ij p j ,b υin 为增广体矢量在连体基e i 上的坐标方阵。
对于给定的设计轨迹Θn (t ),由(4)式得到当J 可逆时机械臂转角控制规律:q (t )=q 0+∫t0J (q )-1Θαn (t )d t (5) 当空间机械臂系统位形处于q S 使det J (q S )=0时,系统出现奇异现象逆问题无解,由于与广义Jacob i 矩阵与bυin 有关,而b in 由整个系统质量几何特性确定,故具有动力学特征,而地面机械臂只具运动学奇点。
文[4]指出对空间臂当不出现动力学奇点时,几乎所有的地面臂控制方法都可应用。
但由于载体的位姿在机械臂工作过程中不断变化,而动量矩守恒方程(3)一般情况下不可积分,故J 不仅与q 当前值有关,还与由q 运动路径及初始值确定的33第4期顾晓勤等:空间机械臂动力学奇点与回避Η1有关,抓手惯性空间坐标与q 不存在一一对应关系。
所以动力学奇点在数学上精确讨论求解十分困难,本文从工程观点提出针对性处理方法。
3 避开奇点法(a )无冗余自由度空间臂系统动力学奇点的本质是广义Jacob i 矩阵不满秩,在物理上表现为无论机构臂各铰如何运动都无法使负载沿某一方向运动,为此本文认为对无冗余自由度系统只能在奇点附近对设计路径作微小改变以达到控制可实现,对于路径的偏离作者采用反馈控制方法在空间臂系统通过奇点邻域后逐渐消除。
设负载质心设计运动轨迹Θd n ,实际运动轨迹Θn ,规定机械臂转角规律: q α=J -1[Θαd n -K e ] q αi ≤q αi m q αi =q αi m q αi >q αi m(6)式中误差e =Θn -Θd n q αm 为机械臂转角最大允许转速,K 为位置反馈增益阵,可选取K =diag(k 2,k 3,…,k n ),k i >0(i =2,…,n )时运动具有渐近稳定性。
(b )冗余自由度系统由前面的讨论可知,空间臂处于动力学奇点时,抓手至少失去一个自由度,为使负载严格沿设计轨迹运动,应增加机械臂自由度。
设机械非冗余自由度相对转角Ηi ,冗余自由度相对转角Ηj ,分别记为列阵q Α,q Β,由(4)式: Θα=(J Α,J Β)q αΑq αΒ(7)当det J Α≠0时,取q αΑ=J -1ΑΘn 、q αΒ≡0,对于三维6自由度空间机械臂,q Α=(Η2,Η3,Η4)T 代表各臂相对转角,q Β=(Η5,Η6,Η7)T ,J Α及J Β分别为3×3阶分块矩阵。
设第k 步算时det J (k )Α=0,则取控制算法 q α(k )Α=q α(k -1)Αq α(k )Β=J -1Β(Θαn -J (k )Αq α(k )Α)(8)(c )L yapunov 方法对于给定负载位姿始末值而对运送路径不作要求时,可运用L yapunov 方法实现避免奇点的路径规划。
设Θnf 为负载位姿目标值,设计转角q i (i =2,…,n )的变化规律q α3=J -1A V (Θnf -Θn ) q αi =q α3i sign (q α3i )q αi m q α3i ≤q αi m q α3i >q αi m(9)其中A V 为正定常数矩阵。
当 q αi ≤q αi m (i =1,…,n -1)时,负载位姿严格按(5)式定义的曲线运动;当 q αi >q αi m 时,出现回避奇点情行,由于L yapunov 规划方法的渐近稳定性,此方法可保证最终趋向目标值。
4 减小动力学奇点影响的方法讨论平面运动情形,设e i 1沿0i 0i +1方向,由方程(2)得负载质心0c 4相对总质心O c 的矢径Θ4,依靠(3)、(4)式计算得到J 3=1I 1-[b 24sin Η2+b 34sin (Η2+Η3)](I 1-I 2)-b 34sin (Η2+Η3)(I 1-I 3)+b 24sin Η2I 3[b 24co s Η2+b 34co s (Η2+Η3)](I 1-I 2)-b 14I 2b 34co s (Η2+Η3)(I 1-I 3)-(b 14+b 24co s Η2)I 3(10)由等效惯量I i (i =1,2,3)定义可知I i 仅是Η2,Η3的函数,与Η1无关。
A 01即e 0基相对e 143 宇航学报第19卷基的方向余弦阵,det A 01=1,故由(4)、(10)得奇点处det J =det J 3=0。
因J 3中不包括载体姿态角Η1,故奇点在系统转角空间仅由机械臂相对位形q s 决定,一旦载体2机载臂质量几何特性确定,作为非线性方程det J 3(q s )=0定义的曲线Η2-Η3便可求得。
但在抓手惯性坐标空间,Θ4与Η2、Η3及e 1i (Η1)有关,而Η1与Η2、Η3仅存在非完整约束,故抓手坐标惯性空间与铰空间点无一一对应关系,由q s 不能确定惯性空间中动力学奇点。
(a )机械臂基点与载体质心重合将空间臂基点O 2安装在载体质心O c 1处,则增广体矢量b 1i =0,代入(10)得到:det J 3=b 24b 34(I 1-I 2)sin Η3I 1(11)图1 奇点分布由于I 1≠0(i =1,2,3),I 1-I 2=J 1≠0,故Η3=k Π(k =0,±1)为动力学奇点。
当k =0时,抓手处于工作空间的外缘,如图1中C 1;当k =±1时处于内缘即C 2。
由(2)式计算得到工作半径为r 1=b 24+b 34,r 2= b 24-b 34 。
(b )打开载体姿态控制系统对于无冗余自由度空间臂,减少出现奇点的另一方法是对载体进行姿态稳定。