均值不等式及其应用PPT演示文稿
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《均值不等式及其应用》PPT教学课件 等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)
＝1a＋b1·(a＋2b)
＝1＋2ab＋ab＋2＝3＋2ab＋ab≥3＋2
2b a a ·b
＝3＋2 2，
23
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24
当且仅当2ab＝ab， a＋2b＝1，
a＝ 2－1，
即 b＝1－
2 2
时等号成立．
∴1a＋1b的最小值为3＋2 2.
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25
法二：1a＋1b＝a＋a2b＋a＋b2b＝1＋2ab＋ab＋2 ＝3＋2ab＋ab≥3＋2 2，
40
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41
课时分层 作 业
点击右图进入…
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Thank you for watching !
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32
[解] 设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为
2
126000×0x104＝10
800 x.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋10 x800＝560＋48x＋22x5. 当 x＋22x5取最小值时，y 有最小值．
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33
∵x>0，∴x＋22x5≥2 x·22x5＝30. 当且仅当 x＝22x5，即 x＝15 时，上式等号成立． ∴当 x＝15 时，y 有最小值 2 000 元． 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少．
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[提示] (1)由 a＋b≥2 ab可知正确． (2)由 ab≤a＋2 b2＝4 可知正确． (3) x－x 1不是常数，故错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
37
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38
2．若实数 a，b 满足 a＋b＝2，则 ab 的最大值为( )
A．1
B．2 2
C．2
D．4
《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT课件(第1课时均值不等式)
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5
(1)当 a＞0，b＞0 时，有a＋2 b ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成
立；
(2)均值不等式的常见变形 ①当 a＞0，b＞0，则 a＋b≥2 ab； ②若 a＞0，b＞0，则 ab≤ a＋2 b2.
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4
1．算术平均值与几何平均值
对于正数 a，b，常把a＋2 b叫做 a，b 的 算术平均值 ，把 ab叫做 a，b 的几何平均值 ．
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2．均值不等式
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人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
《均值不等式及其应用》等式与不等式PPT(第2课时均值不等式的应用)人教高中数学B版必修一
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栏目 导引
第二章 等式与不等式
【证明】 因为 a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，
所以1a－1＝1－a a＝b＋a c≥2 abc，
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所以1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
栏目 导引
均值不等式及其应用ppt课件
2
2
2
ab
即 2
0，
ab ．
而且，等号成立时，当且仅当 ( a b ) 2 0 ，即a＝b．
值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正
实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比
67
如
2
42 一定是正确的．
均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还
可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它
4
y 4x
y 4x
y
4 ，当且仅当 y 4 x ，即 x 2 ， y 8 时等号成立，所以 x 4 .
4 min
又x
y
m2 3m 有解，所以 m2 3m 4 ，解得 m 1 或 m 4 .故选 D.
4
6.某批救灾物资随 41 辆汽车从某市以 v km / h 的速度匀速直达灾区，已知两地公
用来展示校友的书画作品.它的左、右两侧及顶部和底部都留有宽为 2 米的自由
C)
活动区域，如图所示，则整个书画展区域（大矩形）的最小面积是(
A.360 平方米
B.384 平方米
C.361 平方米
D.400 平方米
解析：设小矩形的一边长为 x 米，其邻边长为 y 米，整个书画展区域（大矩形）
的面积为 S 平方米.由 x 0 ， y 0 及 xy 225 ，得 S ( x 4)( y 4) xy 4 y 4 x
1
4
B.4
C.
1
2
D).
D.2
解析： a 0 ，b 0 ， 4 2a b 2 2ab （当且仅当 2a b ，即 a 1 ，b 2 时
基本不等式又叫均值不等式精品PPT课件
设a 0, b 0, a b 1
1 你能给出几个含有 0 ab 1 1 4 4 字母a和b的不等式 a b 1 2 2 1 a b 2 倒数
乘积
1 1 25 ( a )( b ) a b 4
平方
1 1 (1 )(1 ) 9 a其他 b
作业
A、40 B、10
Ｄ）
C、4 D、2
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立；
1 当且仅当 x 即x 1时， ymin 2 x 1 当x 0时， x 0, 则y x x
1 x 2 x 1 x 2 x 1 y 2, 当且仅当 x 即x 1时 x ymax 2
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基本不等式（又叫均值不等式）
ab
ab 2
(a 0, b 0)
2
a b 2 ab (a 0, b 0)
当且仅当a=b时等号成立
ab ab 2
(a 0, b 0)
代数意义：
a b 如果把 看做是两正数a、b 2 的算术平均数, ab 看做是两正数a、b
看谁最快
1 9 1、已知 x 0, y 0, 且 1, 则x y的 最 x y 16 小值为____.
2、设 a 0, b 0 且a+b=3,则２a＋２b的最小值 为___ 4 2.
均值不等式课件.完美版PPT
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
“＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(
当
且
仅
当
a＝b
时取
• 【答案】 A≥B≥C≥D
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
• 【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以 应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别 利用基本不等式．
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
多次使用 a＋b≥2 ab时，要注意等号能否成立，叠加 法是不等式性质的应用，也是一种常用方法，对不能直接使 用均值不等式的证明需重新组合，形成均值不等式模型，再 使用．
2.已知 a、b、c∈{正实数}，且 a＋b＋c＝1. 求证：1a＋1b＋1c≥9. 【证明】 ∵a，b，c∈{正实数}． ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋bc ＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 即1a＋1b＋1c≥9(当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
最小 值． • ②若和x＋y是定值S，那么当 x＝y 时，积xy有
最大 值．
• 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积 最大．
• 1．基本不等式中的a，b可以是值为任意 正数的代数式吗？
2．因为 sin x 与sin4 x，x∈(0，π)，两个都是正数，乘积
为定值，所以由均值定理得 sin x＋sin4 x≥2
2 1a＋b1
≤
ab
≤
a＋b 2
≤
“＝”)，∴A≥B≥C≥D.
a2＋b2 2
(
当
且
仅
当
a＝b
时取
• 【答案】 A≥B≥C≥D
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
• 【思路点拨】 因为不等式右边为常数，所以 应把左边拆开，按照积为常数重新组合，分别 利用基本不等式．
已知 m＝a＋a－1 2(a＞2)，n＝4－b2(b≠0)，则 m、n
之间的大小关系是( )
A．m＞n
均值不等式应用及例题解析(PPT教案)
a/4 (x=a/8)
练习3
练习4 :已知2a b 2 求f ( x) 4a 2b的最值及此时的 a和b.
最小值 4 ，当2a=b时 有最小值(a=1/2 b=1)
三不等，改用“单调性”
例11.求函数 y
x2 5 x 4
2
的最小值. 5/2(x=0)
变形:
1 利用对勾函数 y t t
(t>0)的单调性.
练习：（ 1 ）求函数y （2）求函数y
2
x 5
2
x 1
2
的最小值；
sin x 5
2
sin x 1 1 1 （3）求函数y x 在 ， 3上的值域。 x 2
的最小值；
例 1２: 用三元均值不等式求最值
构造三 解: 1 x 0, 个数相 1 2 y x (1 x) x x (2 2 x) 加等于 2 定值.
注意:各项必须为正数
一 不 正 , 常 用 a b 2 a b ( a 0, b 0 )
二边乘-1不等式要变号
2x x 3 例8、（ 1 ）已知函数f（x） （x 0) x 求f ( x)的最大值，以及此时 x的值。
2
解：函数看不出二项相乘为定值，需要变形使它二项相乘为定值 （凑积定）
（拆项时常拆成两个相同项）。
五、错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错， 指出有错误的地方。 1 1 1. 已 知 a， b R ， 且 a 2 b 1， 求 的 最 小 值 . a b
1 1 1 1 解法二：由a 2b 1及a、b R , ( a 2b)( ) a b a b 1 1 1 2 2ab 2 , 的最小值为 4 2 . 因为二不定 ab a b
均值不等式及其应用学习教材PPT课件
3 (1) 当a、b同号时，a/b+ b/a≥2； (2) 当a∈R+时， a+1/a≥2； (3) 当a∈R-时，a+1/a≤-2；
4 主要的用途是:求函数的最值时:若和为定值，则积 有最大值；若积为定值，则和有最小值 5 利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点
达到：一正二定三能等!
6 主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出 现和为定值或积为定值特征。
x 4000 当且仅当 ,即 x 10 x
10
200 时,取“=”号
故年产量为２００吨时，每吨的平均成本最低
知 识 要 点
1 、当a、b、c R时，a 2 b2 2ab, a3 b3 c3 3abc 2、当a、b、c R *时，a+b 2 ab a b c 33 abc 上述各式 等号成立的条件均是a b c
1、设 a, b R
且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。
4 2
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少
4
x 7 x 10 ４、若 x 1 ，则函数 y 的最小值是____。 x 1 ９
2
某工厂第一年年产年的平均增长率为 x ，
今 日 1 作 题1 求函数y x 的值域 业 x
1 题2 若x 3, 函数y x , 当x为何值时， x 3 函数有最大值，并求其最大值。
题3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
再
见
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
《均值不等式及其应用》等式与不等式(第2课时均值不等式的应用)演示课件
的，表现的状态也会有差异，老师的智慧就体现在发现他们的优势，调动他们的情绪，给他们以恰当的肯定和激励，让他们充满自信，课堂就是自我展示的殿堂，有很多
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 马嘶杀的疆场，但学会从环境中汲取营养，学人之长，补己之短，提高自身的专业素养，从从教的第一天起就坚定要站稳讲台，向有经验的同志学习，深入学习教育教学
理论，快速地迈进教育门槛，全面提高教育教学基本功，面对不断变化的工作岗位和学科教学都能很快地进入角色，高效地完成岗位赋予的各项任务，根本原因就是善于 学习，善于协作，善于服从大局。
[思路点拨]
(1)看到如何才能
出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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11
[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1.
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
16
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
探 新 知 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。
人是世界的主宰，是至高无上的最高存在，人类存在的价值是多元的，最大的价值就是真善美的和谐统一。求真至善达美是人类发展的最高追求，永无止境，与此相比， 人类社会发展的某个阶段或者特定阶段的某个人，在历史长河中能留下痕迹，能激起浪花，那一定是很了不起的，读了赵玉平老师著的《向诸葛亮借智慧》一书，蜀汉宰 相诸葛亮在中国历史上就是一位充满智慧的人，他的治国理家育人之道影响着历朝历代的贤能人士，他的非淡泊无以明志，非宁静无以致远的人生态度净化了多少浮躁的 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。 作为一名教育工作者，肩负的教育责任是天命不可违，符合时代精神的教育理念，充满智慧的管理策略，彰显魅力的价值追求，定是完善自我的核心要素，这本书用事件 描述灵魂，用幽默启迪心智，用历史洗刷情理，尤如在我们面前放了一面镜子：正心、正形。当读完一本书，真正静下心来品的时候，才会发现能触动内心令人无法平静 的感动多是由于书里的故事、情理正好纠正了自己的偏差，智慧、高尚、宁静、宽容、公正等关键词就是镜子里的标识，通达真善美。智慧的人生是每个人都向往的，责 任感的认同是通向智慧人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部分，今天做教 师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。 人是世界的主宰，是至高无上的最高存在，人类存在的价值是多元的，最大的价值就是真善美的和谐统一。求真至善达美是人类发展的最高追求，永无止境，与此相比， 人类社会发展的某个阶段或者特定阶段的某个人，在历史长河中能留下痕迹，能激起浪花，那一定是很了不起的，读了赵玉平老师著的《向诸葛亮借智慧》一书，蜀汉宰 相诸葛亮在中国历史上就是一位充满智慧的人，他的治国理家育人之道影响着历朝历代的贤能人士，他的非淡泊无以明志，非宁静无以致远的人生态度净化了多少浮躁的 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。
【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一 马嘶杀的疆场，但学会从环境中汲取营养，学人之长，补己之短，提高自身的专业素养，从从教的第一天起就坚定要站稳讲台，向有经验的同志学习，深入学习教育教学
理论，快速地迈进教育门槛，全面提高教育教学基本功，面对不断变化的工作岗位和学科教学都能很快地进入角色，高效地完成岗位赋予的各项任务，根本原因就是善于 学习，善于协作，善于服从大局。
[思路点拨]
(1)看到如何才能
出现乘积定值；(2)要求y＝12x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
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[解] (1)∵x<54，∴5－4x>0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－5－4x＋5－14x＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝5－14x，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1.
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(2)法一：∵0<x<13，∴1－3x>0. ∴y＝x(1－3x)＝13·3x(1－3x) ≤133x＋21－3x2＝112. 当且仅当3x＝1－3x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
16
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法二：∵0<x<13，∴13－x>0. ∴y＝x(1－3x)＝3·x13－x≤3·x＋132－x2 ＝112，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立． ∴当x＝16时，函数取得最大值112.
探 新 知 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。
人是世界的主宰，是至高无上的最高存在，人类存在的价值是多元的，最大的价值就是真善美的和谐统一。求真至善达美是人类发展的最高追求，永无止境，与此相比， 人类社会发展的某个阶段或者特定阶段的某个人，在历史长河中能留下痕迹，能激起浪花，那一定是很了不起的，读了赵玉平老师著的《向诸葛亮借智慧》一书，蜀汉宰 相诸葛亮在中国历史上就是一位充满智慧的人，他的治国理家育人之道影响着历朝历代的贤能人士，他的非淡泊无以明志，非宁静无以致远的人生态度净化了多少浮躁的 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。 作为一名教育工作者，肩负的教育责任是天命不可违，符合时代精神的教育理念，充满智慧的管理策略，彰显魅力的价值追求，定是完善自我的核心要素，这本书用事件 描述灵魂，用幽默启迪心智，用历史洗刷情理，尤如在我们面前放了一面镜子：正心、正形。当读完一本书，真正静下心来品的时候，才会发现能触动内心令人无法平静 的感动多是由于书里的故事、情理正好纠正了自己的偏差，智慧、高尚、宁静、宽容、公正等关键词就是镜子里的标识，通达真善美。智慧的人生是每个人都向往的，责 任感的认同是通向智慧人生的基本保障，教育在社会发展过程中是提升民族素质的根本力量，教师则是传承民族文化提高民族素养的人力资源的重要组成部分，今天做教 师就意味着责任担当和无私奉献。读这本书，我有以下几点感受，也是多年在工作中一直禀承的信念。 人是世界的主宰，是至高无上的最高存在，人类存在的价值是多元的，最大的价值就是真善美的和谐统一。求真至善达美是人类发展的最高追求，永无止境，与此相比， 人类社会发展的某个阶段或者特定阶段的某个人，在历史长河中能留下痕迹，能激起浪花，那一定是很了不起的，读了赵玉平老师著的《向诸葛亮借智慧》一书，蜀汉宰 相诸葛亮在中国历史上就是一位充满智慧的人，他的治国理家育人之道影响着历朝历代的贤能人士，他的非淡泊无以明志，非宁静无以致远的人生态度净化了多少浮躁的 心，他的慧眼识才选才用才策略非常值得我们借鉴。
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即此时
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或ห้องสมุดไป่ตู้“≤”）中取“
成立的诸条件是否相容。
今 日 1 作 题1 求函数y x 的值域 业 x
1 题2 若x 3, 函数y x , 当x为何值时， x 3 函数有最大值，并求其最大值。
题3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
再
见
3
2
6
1 max= 12
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12
如此解答行吗？
3 (1) 当a、b同号时，a/b+ b/a≥2； (2) 当a∈R+时， a+1/a≥2； (3) 当a∈R-时，a+1/a≤-2；
4 主要的用途是:求函数的最值时:若和为定值，则积 有最大值；若积为定值，则和有最小值 5 利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点 达到：一正二定三能等!
6 主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出 现和为定值或积为定值特征。
则（ Ｂ ）
pq ( A) x 2 pq ( B) x 2 pq (C ) x 2 pq ( D) x 2
下列函数中,最小值是4的是( C) 4 4 A y=x+ B y=sinx+ (0<x< ) x sin x x -x C y=e +4e D y=log3x+4logx 3
1 1 即 的最小值为 4 x y
2
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1，求 解: 1 1
1 1 的最小值 x y
2x y 2x y x y x y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
y
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
10
30x 4000
解：每吨平均成本为 y（万元），则
y x 4000 x 4000 30 2 30 10 10 x x 10 x
1 1 例３、已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
错解:1 2x y 2 2xy
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
x 4000 当且仅当 ,即 x 10 x
x
200 时,取“=”号
故年产量为２００吨时，每吨的平均成本最低
知 识 要 点
1 、当a、b、c R时，a 2 b2 2ab, a3 b3 c3 3abc 2、当a、b、c R *时，a+b 2 ab a b c 33 abc 上述各式 等号成立的条件均是a b c
2、 函数
y x 1 x
2 的最大值为
.
1/2
3、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果 池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造 价为 3600 元.
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立； 3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件。
4 2 1、设 a, b R 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___ 。
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少
4
x 7 x 10 ４、若 x 1 ，则函数 y 的最小值是____。 x 1 ９
2
某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为P，
第三年的增长率为 q ，这两年的平均增长率为 x ，
北师大版高中数学 必修5第三章《不 等式》
法门高中姚连省制作
一、教学目标：1．知识与技能：进一步掌握基本不等式
ab ；会应用此不等式求某些函数的最值；能 ab 2 够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不 等式 ab a b ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 2 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创 新精神，培养实事求是、 理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。 三、教学方法： 四、教学过程
1 y 2x x 而 2 2 2 x y 1 2 y 2 2
ymin 3 2 2
本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求
最值，则要考虑多次“≥”（或ห้องสมุดไป่ตู้“≤”）中取“
成立的诸条件是否相容。
今 日 1 作 题1 求函数y x 的值域 业 x
1 题2 若x 3, 函数y x , 当x为何值时， x 3 函数有最大值，并求其最大值。
题3 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
再
见
3
2
6
1 max= 12
上题中只将条件改为0<x<1/8,即:
已知：0＜x
解： ∵0＜x≤1 ∴1-3x＞0
1 8
，求函数y=x（1-3x）的最大值
1 3x 1 3x 2 1 1 ) 12 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( 3 3 2
8
ymax
1 12
如此解答行吗？
3 (1) 当a、b同号时，a/b+ b/a≥2； (2) 当a∈R+时， a+1/a≥2； (3) 当a∈R-时，a+1/a≤-2；
4 主要的用途是:求函数的最值时:若和为定值，则积 有最大值；若积为定值，则和有最小值 5 利用上述重要不等式求函数的最值时务必注意三点 达到：一正二定三能等!
6 主要用到的方法和技巧是：凑、拆,使之出 现和为定值或积为定值特征。
则（ Ｂ ）
pq ( A) x 2 pq ( B) x 2 pq (C ) x 2 pq ( D) x 2
下列函数中,最小值是4的是( C) 4 4 A y=x+ B y=sinx+ (0<x< ) x sin x x -x C y=e +4e D y=log3x+4logx 3
1 1 即 的最小值为 4 x y
2
正确解答是:
已知正数x、y满足2x+y=1，求 解: 1 1
1 1 的最小值 x y
2x y 2x y x y x y
y 2x 3 x y 3 2 2
当且仅当
y 2 x 即: y 2 x 时取“=”号 x y
1 例１、已知：0＜x＜ ，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 分析一、 原函数式可化为：y=-3x2+x， 利用二次函数求某一区间的最值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0； 3 1 可用均值不等式法 ∵0＜x＜ ，∴1-3x＞0 3 1 1 3 x 1 3 x 1 2 ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( ) 3 12 当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y
某厂生产化工产品，当年产量在150吨至250吨之 间时，某年生产总成本y（万元）与年产量x(吨）之间的 2 x 关系可近似地表示为
y
求年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？
10
30x 4000
解：每吨平均成本为 y（万元），则
y x 4000 x 4000 30 2 30 10 10 x x 10 x
1 1 例３、已知正数x、y满足2x+y=1，求 的最小值 x y
错解:1 2x y 2 2xy
1 xy 即 2 2 xy 2 2 1
错因：
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。
1 1 1 2 2 2 2 4 2 x y xy
x 4000 当且仅当 ,即 x 10 x
x
200 时,取“=”号
故年产量为２００吨时，每吨的平均成本最低
知 识 要 点
1 、当a、b、c R时，a 2 b2 2ab, a3 b3 c3 3abc 2、当a、b、c R *时，a+b 2 ab a b c 33 abc 上述各式 等号成立的条件均是a b c
2、 函数
y x 1 x
2 的最大值为
.
1/2
3、建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果 池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造 价为 3600 元.
１、应用均值不等式须注意以下三点：
（１）各项或各因式为正 （２）和或积为定值 （３）各项或各因式能取得相等的值，必要时作适当变形， 以满足上述前提，即“一正二定三相等” ２、二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积 式”转 化为“和式”的放缩功能； 创设应用均值不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常 用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立； 3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到 等号的前提条件。
4 2 1、设 a, b R 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___ 。
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多少
4
x 7 x 10 ４、若 x 1 ，则函数 y 的最小值是____。 x 1 ９
2
某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为P，
第三年的增长率为 q ，这两年的平均增长率为 x ，
北师大版高中数学 必修5第三章《不 等式》
法门高中姚连省制作
一、教学目标：1．知识与技能：进一步掌握基本不等式
ab ；会应用此不等式求某些函数的最值；能 ab 2 够解决一些简单的实际问题
2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不 等式 ab a b ，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。 2 3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创 新精神，培养实事求是、 理论与实际相结合的科学态度和科学道德。 二、教学重点、难点：均值不等式定理的应用。 三、教学方法： 四、教学过程