对数的换底公式及其推论(含参考答案)

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对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果a>0，a 1，M>0，N>0有：

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a N

N m m a log log log (a>0,a 1，m>0,m 1,N>0)

证明：设a log N=x,则x a =N

两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log 从而得：a N

x m m log log ∴a

N

N m m a log log log 2.两个常用的推论:

①1log log a

b b a ，1log log log a

c b c b a ②b m

n b a n a m log log （a,b>0且均不为1）证：①1lg lg lg lg log log b a

a b a

b b a ②b m

n a m b n a b

b a m n n a m log lg lg lg lg log 三、讲解范例：

例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56

解：因为2log 3=a ，则2log 13a

,又∵3log 7=b, ∴1

312log 7log 2log 37log 42log 56log 56log 33333342b ab ab 例2计算：①3log 12.05②421

9432

log 2log 3log 解：①原式=15

31

555

55

31log 3log 52.0②原式=2345412log 452log 213log 21232