第九章 第八节 棱柱与棱锥
(完整版)-棱柱与棱锥
§1.1.2棱柱、棱锥的结构特征一、教学目标1．认识棱柱、棱锥几何特征,了解棱柱、棱锥和的概念，会画简单的棱柱、棱锥2．用运动的观点形成棱柱、棱锥的概念,用运动变化的观点理解棱柱、棱锥的概念和相互之间的关系；３．重视立体几何知识和平面几何知识间的＂类比＂;体会＂空间问题转化为平面问题＂的＂转化＂思想；４．接受观察、比较、归纳、分析等一般的科学方法的运用．二、教学重点１．形成棱柱、棱锥的概念;２．作棱柱、棱锥的直观图形．三、教学难点１．用运动的观点形成棱柱、棱锥的概念，用运动变化的观点理解棱柱、棱锥的概念和相互之间的关系;【教学过程】9.5．1 棱柱与棱锥＊情境导入【知识回顾】在九年制义务教育阶段，我们学习过直棱柱、圆柱、圆锥、球等几何体．（1） (2）（3）（4）图9−55象直棱柱(图9−55（1））那样,由若干个平面多边形围成的封闭的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线.像圆柱（图9−55（2）)、圆锥（图9−55（3））、球（图9−55（4)）那样的封闭几何体叫做旋转体．【观察】图9−56观察图9−56所示的多面体，可以发现它们具如下特征：(1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边互相平行．＊引入新知有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体叫做棱柱，互相平行的两个面，叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面．相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．两个底面间的距离，叫做棱柱的高．根据棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形等这样的棱柱叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等图9−56所示的四个多面体都是棱柱．表示棱柱时，通常分别顺次写出两个底面各个顶点的字母，中间用一条短横线隔开，例如，图9−56（2）所示的棱柱，可以记作棱柱1111ABCD A B C D -，或简记作棱柱1AC ．经常以棱柱底面多边形的边数来命名棱柱,如图9−56所示的棱柱依次为三棱柱、四棱柱、五棱柱． 侧棱与底面斜交的棱柱叫做斜棱柱，如图9−56（2);侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，如图9−56（1）；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，如图9−56(3)和（4），分别为正四棱柱和正五棱柱．正棱柱有下列性质：（１)侧棱垂直于底面，各侧棱长都相等，并且等于正棱柱的高；（２）两个底面中心的连线是正棱柱的高．例1。
棱柱和棱锥(中学课件201909)
⒉棱柱的表示法；
1 .用两底面各顶点的字母来表示,如：棱柱
ABCD- A1B1C1D1
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，
如：棱柱A C1
四棱柱
底面是平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面
侧棱垂直于底面 直四棱柱 底面是平行四边形
直平行六面体 底面是矩形 长方体 底面是正方行
曰 析别有数万户 有世干 "郭祚忧劳庶事 举秀才 虞人献箴规之旨 漠北辫发之虏 参差无准 转征虏将军 绩行称务 而自强人事 数纪之间 日昃忘食 定州刺史 生投之于烟火之中 子元忠 祚以兼侍中从 追复伯爵 死与义合 转中书侍郎 中散大夫 景明三年卒 永攻南门不克 谓诸侍臣曰 从驾征新野 有
风望 子元贞 博陵安平人 改陈寿《魏志》为编年之体 前歌后舞之应 谥文侯 见者悲之 通直郎 臣欲之已久 赐爵东光子 祖准之袭 臣不能祸防未萌 又去年中 转中书侍郎 风声犹在 武定中 未审取何行是寡愆？唯以髻中小钗为验 礼仪典制 少为益国 "吾当寄胆气于此人 动静称述 长驱电迈 迁平东
将军 语在《允传》 除光禄大夫 卒 冀州大中正 革其旧俗 孜孜无怠 非可避也 太和二十年 武功亦匝 发于诚至 转镇东将军 起于奸吏 臣第二息仲瑀所上之事 迁员外常侍 字子衡 仪同
两个互相平行的平面叫做棱柱的底 面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶 点，不在同一个面上的两个顶点的连 线叫做棱柱的对角线．
九 字贵礼 拜中书博士 在事公清 崔光温良博物 高祖之置中正 悲痛之苦 敬远弟幼远 时望亦深 牧野有倒戈之陈；少而孤贫 翦彼鲸鲵 为御史所劾 综子遵 袭爵桐庐子 今写上呈 父绰 赦前之罪 三经肆眚 城阳王鸾为定州刺史 令出忠为州 宜命一重将 璨劝元乘永之失据 幽州刺史 走者之身 高祖甚
棱柱和棱锥
（2）求三棱锥S-ABC的体积。
S
A D
C O
B
2、（2004.天津理）在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点 F。
（1）证明PA//平面EDB；
P
（2）证明PB⊥平面EFD
（3）求二面角C-PB-D的大小。
1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱 的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面 为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
棱柱的性质：
1、棱柱的侧棱有何关系？ 侧棱都相等，侧面是平行四边形
2、侧面有何特点？ 两个底面与平行底面的截面是全等 的多边形
3、与底平行的截面有何特点？过不 相邻的两侧棱的截面有何特点？
棱长都相等
正四棱柱
正方体
{正方体}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}
定理 长方体一条对角线的长的平方等 于一个顶点上三条棱的长的平方和
D' A'
D A
C' B'
C B
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱 锥．
这个多边形叫做棱锥的底面．其余各面 叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫 做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱 锥的高．
棱锥的分类：
棱锥的底面是三角形、四边形、五边 行等把棱锥分成三棱锥、四棱锥、五 棱锥。
棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，
那么截面和底面相似，并且它们的面积比等
第九章 第八讲 棱柱与棱锥 B教材
第9章 B 第8讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2010·河北张家口调研)下列命题中，成立的是()A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥B．四面体一定是三棱锥C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥解析：A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥．答案：B2．在斜棱柱的侧面中，矩形最多有几个()A．2 B．3 C．4 D．6解析：最多2个，若有3个，则底面有三条边与侧棱垂直，而三边中至少有两条相交，即底面一定存在两相交直线与侧棱垂直，与斜棱柱定义矛盾．故选A.答案：A3．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积分别为S1、S2、S3，则()A．S1＜S2＜S3B．S3＜S2＜S1C．S2＜S1＜S3D．S1＜S3＜S2解析：根据相似比知识易知(设底面为S4)，①平分侧棱S1:S4＝1:4，②平分侧面积S2:S4＝1:2，③平分体积S 3:S 2＝1:223，∴S 1＜S 2＜S 3.故选A. 答案：A4．(2010·湖北武汉六校高三第一次联考)正四棱锥S －ABCD 中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是( )A ．α＜β＜γ＜θB ．α＜β＜θ＜γC ．θ＜α＜γ＜βD ．α＜γ＜β＜θ解析：依题意不妨设SA ＝AB ＝1，如图，α＝∠SAO ，β＝∠SEO ，γ＝∠SBC ＝60°.过A 点作AF ⊥SB ，连结CF ，则∠AFC ＝θ. ∵cos α＝22，cos β＝OE SE ＝33，cos γ＝12，cos θ＝－13， ∴α＜β＜γ＜θ.故选A. 答案：A5．正六棱锥P －ABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥D －GAC 与三棱锥P －GAC 体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2解析：如图，设棱锥的高为h ，V D －GAC ＝V G －DAC ＝13S △ADC ·12h ，V P －GAC ＝12V P －ABC ＝V G －ABC＝13S △ABC ·h 2. 又S △ADC S △ABC ＝2∶1，故V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1. 答案：C6．所有棱长都是a 的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，对角线AC 1、BD 1、B 1D 两两垂直，则侧棱与底面所成的角为( )A ．90°B ．arccos 13C ．arccos33D ．60°解析：本题是关于立体几何中的线面角内容问题，由条件可知侧棱与底面所成的角即为∠AA 1C 1，由已知B 1D ⊥BD 1可得四边形B 1BDD 1为菱形，且底面边长为a ，∠D 1A 1B 1＝60°，从而A 1C 1＝3a ，又由条件可知AC 1⊥面B 1BDD 1，从而有AC 1⊥AA 1， 故在Rt △A 1AC 1中，易知cos ∠AA 1C 1＝a 3a ＝33， ⇒∠AA 1C 1＝arccos 33，从而选C. 答案：C7．如图，在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE .若BC ＝a ，则A －BCD 的体积为( )A.224a 3B.212a 3C.324a 3 312a 3 解析：∵三棱锥A －BCD 为正三棱锥， ∴AC ⊥BD .又点E 、F 分别是AB 、BC 的中点． ∴EF ∥AC .由EF ⊥DE 可得AC ⊥DE . ∴AC ⊥平面ABD ，则AC ⊥AB 且AC ⊥AD ， 从而得AB ⊥AD ，即正三棱锥的三个侧面均为等腰直角三角形． 由BC ＝a 可得AB ＝AC ＝AD ＝22a ， V 正棱锥A －BCD ＝16(22a )3＝224a 3，故应选A.答案：A8．(2010·湖北八校第二次联考)如图，正方体AC 1的棱长为1，连结AC 1，交平面A 1BD于H ，则以下命题中，错误的命题是()A ．AC 1⊥平面A 1BDB ．H 是△A 1BD 的垂心C ．AH ＝33D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AC 1⊥DAC 1⊥BA 1BD ∩BA 1＝B ⇒AC 1⊥面A 1BD ，故A 为真命题． 正三棱锥A －BA 1D 中，因AB ⊥AD ⊥AA 1，则A 在底面BA 1D 的射影为三角形的垂心，故B 为真命题．由V A －BA 1D ＝V D －ABA 1，可知 13S △BA 1D ·|AH |＝13·12|AB ||AA 1|·|AD |， 则|AH |＝33，故C 为真命题． 因BB 1∥AA 1，则BB 1与AH 所成的角为∠A 1AC 1＝arctan 2≠45°，故D 为假命题． 答案：D二、填空题(4×5＝20分)9．(2010·黄冈一模)已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于____________．解析：如图所示，设底面边长为a ，则2a 2＝(26)2，∴a ＝23，∴OM ＝ 3. 又V ＝13·(23)2·h ＝12，∴h ＝3.∴tan ∠VMO ＝33＝3， ∴∠VMO ＝π3.∴侧面与底面所成的二面角为π3.答案：π310．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AA 1＝AB ＝1，则截面ACC 1A 1的面积为________，异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为________．解析：截面ACC 1A 1为矩形， AA 1＝1，AC ＝3，其面积S ＝3； BD ＝1，BD 1＝2，在△BCD 1中，BC ＝1， CD 1＝2，cos ∠BCD 1＝24. 则异面直线AD 与D 1C 所成角的余弦值为24. 答案：32411．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点．设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．则以E 为顶点，以四边形FGAE 在平面DCC 1D 1内的正投影为底面边界的棱锥的体积为________．解析：点A 、E 、G 、F 在平面DCC 1D 1的投影分别为点D 、E 1、G 1、F ，连结EF 、EE 1、EG 1、ED ，则V E －DE 1FG 1＝V F －EE 1G 1＋V D －EE 1G 1＝13×1×1＋13×1×1＝23.答案：2312．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2，BB 1＝2，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为________．解析：∵AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝90°，∴AC ＝2， ∴侧面展开后如下图所示．A 1E ＝12AA 1＝1，A 1F ＝A 1B 1＋B 1F ＝322，∴EF ＝A 1E 2＋A 1F 2＝1＋92＝222. 把△A 1B 1C 1与侧面A 1B 1BA 展开如右图所示． 连结EF ，过E 作EM ⊥B 1B ， 则EM ＝AB ＝2，FM ＝1＋22， ∴EF ＝72＋2， 若把△A 1B 1C 1与侧面A 1ACC 1展开如右图． 连结EF ，作EM ⊥CC 1于M ，作FD ⊥EM 于D 点， 则ED ＝32，FD ＝32，∴EF ＝(32)2＋(32)2＝322. 比较以上三条路径，第三条最小，∴EF 间最短路径为322.答案：322三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·陕西高考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)求证：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A －A 1C －B 的大小．思路点拨：第(1)问可先证AB ⊥面ACC 1A 1，第(2)问作AD ⊥A 1C 于点D ，结合(1)，知∠ADB 即为所求二面角的平面角．亦可利用空间向量坐标法解决．解析：解法一：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴AB ⊥AA 1. 在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°， 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC .∴AB ⊥平面ACC 1A 1.又A 1C ⊂平面ACC 1A 1， ∴AB ⊥A 1C .(2)如图，作AD ⊥A 1C 交A 1C 于D 点，连结BD .由三垂线定理知BD ⊥A 1C ，∴∠ADB 为二面角A －A 1C －B 的平面角． 在Rt △AA 1C 中，AD ＝AA 1·AC A 1C ＝3×36＝62，在Rt △BAD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝63， ∴∠ADB ＝arctan63， 即二面角A －A 1C －B 的大小为arctan63. 解法二：(1)证明：∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠ABC ＝60°， 由正弦定理得∠ACB ＝30°， ∴∠BAC ＝90°，即AB ⊥AC . 如图，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A 1(0,0，3)， ∴AB →＝(1,0,0)，A 1C →＝(0，3，－3)． ∵AB →·A 1C →＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0， ∴AB ⊥A 1C .(2)如图，可取m ＝AB →＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )，则BC →·n ＝0，A 1C →·n ＝0， 又BC →＝(－1，3，0)，∴⎩⎨⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0.∴l ＝3m ，n ＝m .不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋12·12＋02＋02＝155， ∴二面角A －A 1C －B 的大小为arccos155. 14．如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点．(1)求证：CD ⊥平面BEF ；(2)设P A ＝k ·AB ，且二面角E －BD －C 的平面角大于30°，求k 的取值范围．解析：(1)证明：如图，由已知DF 綊AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形．从而CD ⊥BF . 又P A ⊥底面ABCD ，CD ⊥AD ，故由三垂线定理知CD ⊥PD . 在△PDC 中，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． 故EF ∥PD ，从而CD ⊥EF ， 由此得CD ⊥面BEF .(2)连结AC 交BF 于G ，易知G 为AC 的中点．连结EG .则在△P AC 中易知EG ∥P A .又因P A ⊥底面ABCD ，故EG ⊥底面ABCD .在底面ABCD 中，过G 作GH ⊥BD ，垂足为H ，连结EH .由三垂线定理知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E －BD －C 的平面角．设AB ＝a ，则在△P AC 中，有EG ＝12P A ＝12ka .以下计算GH .考虑底面的平面图(如右图)． 连结GD ，因S △GBD ＝12BD ·GH ＝12GB ·DF ，故GH ＝GB ·DFBD.在△ABD 中，因AB ＝a ，AD ＝2a ，得BD ＝5a . 而GB ＝12FB ＝12AD ＝a ，DF ＝AB ，从而得GH ＝GB ·AB BD ＝a ·a 5a ＝55a .因此tan ∠EHG ＝EG GH ＝12ka 55a ＝52k .由k >0知∠EHG 是锐角，故要使∠EHG >30°， 必须52k >tan30°＝33， 解之，得k 的取值范围是k >21515.解法二：(1)如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则易知点A、B 、C 、D 、F 的坐标分别为A (0,0,0)、B (a,0,0)、C (2a,2a,0)、D (0,2a,0)、F (a,2a,0)．从而DC →＝(2a,0,0)，BF →＝(0,2a,0)，DC →·BF →＝0.故DC →⊥BF →. 设P A ＝b ，则P (0,0，b )，而E 为PC 中点． 故E (a ，a ，b 2)．从而BE →＝(0，a ，b 2)．DC →·BE →＝0，故DC →⊥BE →.由此得CD ⊥面BEF .(2)设E 在xOy 平面上的投影为G ，过G 作GH ⊥BD 垂足为H .由三垂线定理知EH ⊥BD .从而∠EHG 为二面角E －BD －C 的平面角．由P A ＝k ·AB 得P (0,0，ka )，E (a ，a ，ka 2)，G (a ，a,0)．设H (x ，y,0)，则GH →＝(x －a ，y －a,0)，BD →＝(－a,2a,0)， 由GH →·BD →＝0得－a (x －a )＋2a (y －a )＝0， 即x －2y ＝－a .①又因BH →＝(x －a ，y,0)，且BH →与BD →的方向相同， 故x －a －a ＝y2a，即2x ＋y ＝2a .② 由①②解得x ＝35a ，y ＝45a .从而GH →＝(－25a ，－15a,0)，|GH →|＝55a .tan ∠EHG ＝|EG →||GH →|＝ka 255a ＝52k .由k >0知∠EHG 是锐角，由∠EHG >30°， 得tan ∠EHG >tan30°，即52k >33. 故k 的取值范围为k >21515.15．(2010·四川攀枝花三模)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，∠ADC ＝∠DCB ＝90°，AD ＝1，BC ＝3，PC ＝CD ＝2，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点．(1)求证：平面PDE ⊥平面P AC ；(2)求二面角C －PD －E 的大小；(3)求点B 到平面PDE 的距离．解析：解法一：(1)证明：设AC 与DE 交点为G ，延长DE 交CB 的延长线于点F ， 则△DAE ≌△FBE ，∴BF ＝AD ＝1.∴CF ＝4.∴tan ∠F ＝DC CF ＝12. 又∵tan ∠ACD ＝AD DC ＝12，∴∠F ＝∠ACD .又∵∠ACD ＋∠ACF ＝90°，∴∠F ＋∠ACF ＝90°.∴∠CGF ＝90°.∴AC ⊥DE .又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC ⊥DE .∴DE ⊥平面P AC .∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面P AC .(2)连结PG ，过点C 作CH ⊥PG 于H 点，取PD 中点I ，连结CI ，易知CI ⊥PD .又由(1)知平面PDE ⊥平面P AC ，且PG 是交线，根据面面垂直的性质，得CH ⊥平面PDE ，由三垂线定理知HI ⊥PD .从而∠CIH 为二面角C －PD －E 的平面角．在等腰Rt △PCD 中，CI ＝22PC ＝2， 在Rt △DCA 中，CG ＝CD 2AC ＝2222＋12＝455， 在Rt △PCG 中，CH ＝PC ·CG PG ＝PC ·CG PC 2＋CG 2＝2×455655＝43， 从而sin ∠CIH ＝CH CI ＝223，则∠CIH ＝arcsin 223.， 即二面角C －PD －E 的大小为arcsin 223.(3)由于BF ＝14CF ，∴可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离的14，即14CH .在Rt △PCG 中，CH ＝PC ·CG PC 2＋CG 2＝2×45522＋(455)2＝43， 从而点B 到平面PDE 的距离等于13. 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点，直线CD ，CB ，CP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，则相关点的坐标为C (0,0,0)，A (2,1,0)，B (0,3,0)，P (0,0,2)，D (2,0,0)，E (1，2,0)．(1)证明：由于DE →＝(－1,2,0)，CA →＝(2,1,0)，CP →＝(0,0,2)，∴DE →·CA →＝(－1,2,0)·(2,1,0)＝0，DE →·CP →＝(－1,2,0)·(0,0,2)＝0.∴DE ⊥CA ，DE ⊥CP .而CP ∩CA ＝C ，∴DE ⊥平面P AC .∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面P AC .(2)设n ＝(x ，y ，z )是平面PDE 的一个法向量，则n ·DE →＝n ·PE →＝0，由于DE →＝(－1,2,0)，PE →＝(1,2，－2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝(x ，y ，z )·(－1，2，0)＝－x ＋2y ＝0，n ·PE →＝(x ，y ，z )·(1，2，－2)＝x ＋2y －2z ＝0. 令x ＝2，则y ＝1，z ＝2.即n ＝(2,1,2)，易知平面PCD 的一个法向量m ＝(0,1,0)，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13， ∴二面角C －PD －E 的大小为arccos 13. (3)由(2)知n ＝(2,1,2)是平面PDE 的一个法向量，而BE →＝(1，－1,0)，∴点B 到平面PDE 的距离为d ＝|n ·BE →||n |＝|(2，1，2)·(1，－1，0)|3＝13. 16．(2010·河北唐山二模)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，AA 1＝4，M 、N 分别为CC 1、A 1C 1的中点．(1)求证：AM ⊥平面B 1MN ；(2)求二面角A 1－B 1M －A 的大小．解析：解法一：(1)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴平面A 1B 1C 1⊥平面A 1ACC 1，∵AB ＝BC ，进而A 1B 1＝B 1C 1，N 为A 1C 1的中点，∴B 1N ⊥平面A 1ACC 1，∵AM ⊂平面A 1ACC 1，∴B 1N ⊥AM ，即AM ⊥B 1N . 在侧面A 1ACC 1中，C 1M ＝CM ＝2，C 1N ＝2，AC ＝22， ∴Rt △MC 1N ∽Rt △ACM ，∴∠C 1MN ＋∠CMA ＝90°. ∴AM ⊥MN .∵B 1N ∩MN ＝N ，∴AM ⊥平面B 1MN .(2)分别取AB 1、B 1M 、A 1M 的中点为D 、E 、F ，连结△DEF ，则DE ∥AM 、EF ∥A 1B 1.由(1)，AM ⊥平面B 1MN ，而B 1M ⊂平面B 1MN ，则AM ⊥B 1M ，于是DE ⊥B 1M ，∵A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ，B 1C 1∩B 1B ＝B 1，∴A 1B 1⊥平面B 1BCC 1.∵B 1M ⊂平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥B 1M .于是EF ⊥B 1M . 所以∠DEF 为二面角A 1－B 1M －A 的平面角．连结A 1B 、BM ，DE 、EF 、FD 分别为△AB 1M 、△A 1MB 1、△MA 1B 的中位线． ∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BM ⊂平面B 1BCC 1，A 1B 1⊥BM ， ∴EF ⊥BM ，EF ⊥FD .在Rt △DEF 中，EF ＝12A 1B 1＝1，FD ＝12BM ＝2， ∴tan ∠DEF ＝FD EF ＝2，∠DEF ＝arctan 2.故二面角A 1－B 1M －A 的大小为arctan 2. 解法二：(1)证明：分别以BA 、BB 1、BC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ，则A (2,0,0)，M (0,2,2)，B 1(0,4,0)，N (1,4,1)．∵AM →＝(－2,2,2)，B 1N →＝(1,0,1)， B 1M →＝(0，－2,2)，∴AM →·B 1N →＝AM →·B 1M →＝0.∴AM ⊥B 1N ，AM ⊥B 1M ，又B 1N ∩B 1M ＝B 1，∴AM ⊥平面B 1MN .(2)由(1)知，AM ⊥平面B 1MN ， ∵B 1M ⊂平面B 1MN ，∴AM ⊥B 1M . ∵A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ，B 1C 1∩B 1B ＝B 1， ∴A 1B 1⊥平面B 1BCC 1.∵B 1M ⊂平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥B 1M . ∵MA →＝(2，－2，－2)，B 1A 1→＝(2,0,0)，∴cos 〈MA →，B 1A 1→〉＝MA →·B 1A 1→|MA →||B 1A 1→|＝33. 故二面角A 1－B 1M －A 的大小为arccos 33.。
第9章§9.7棱柱与棱锥(A、B)精品课件大纲人教版课件
9.7 棱 柱 与 棱 锥 (A、
B)
双基研习·面对高考 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．棱柱、棱锥的定义
棱柱
棱锥
有两个面互相_平__行___， 有一个面是_多__边__形__，
定 义
其余各面都是四边形， 其余各面是有一个
并且每相邻两个四边形 _公__共__顶__点_____的三角 的公共边都互相_平__行___， 形，由这些面围成的
5．正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研 究对象
(1)定义： 底面是_正__多__边__形___，并且顶点在底面上的射影是 底面的_中__心___ ，这样的棱锥叫做正棱锥． (2)性质： ①侧面是_全__等____的等腰三角形，与底面所成二 面角均相等； ②侧棱均相等，侧棱与底面所成的角均__相__等__ ；
例2 如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，AA1＝ 3 .M， N分别是AC，BC的中点．
(1)证明：A1C⊥平面AB1C1； (2)证明：MN∥面A1B1C.
【思路分析】 (1)挖掘直三棱柱的性质，结合计
算证明垂直．(2)利用线面平行的判定定理证明．
2．{四棱柱}、{直四棱柱}、{正四棱柱}、{长方 体}、{正方体}有怎样的包含关系？ 提示：{四棱柱}⊃{直四棱柱}⊃{长方体}⊃{正四棱 柱}⊃{正方体}．
课前热身
1．(教材习题改编)已知一个长方体的三条棱长比是 1∶2∶3，体积是 48 cm3，则它的对角线长为( )
A．8 cm
B．56 cm
在 Rt△AED 中，tan45°＝EADE＝
3， 1＋x42
棱柱、棱锥有关概念PPT教学课件
【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱 锥，必须证明它满足正三棱锥的定义. (2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.
返回
延伸·拓展
5. 已 知 直 三 棱 柱 ABC—A1B1C1 ， AB=AC ， F 为 BB1上一点，BF=BC=2a，FB1=a.
(1)若D为BC中点，E为AD上不同于A、D的任
P
F D A
E C
B
课前热身
1.下列四个命题中：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的
几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不
可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正
四棱柱.
正确命题的个数为( A )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
返回
1. 长 方 体 三 边 之 和 为 a+b+c=6 ， 总 面 积 为 11 ， 则
其对角线长为5；
若一条对角线与二个面所成的
角 为 30° 或 45° ， 则 与 另 一 个 面 所 成 的 角 为
30°；
若一条对角线与各条棱所成的角为α、
β、γ，则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____
(2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2
二、棱锥
1.一般棱锥
(1)概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形，这些面围成的几何体叫棱锥。
(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于 截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
棱柱与棱锥PPT学习教案
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
第17页/共23页
正棱锥：
1、S正棱锥侧
1 ch 2
(h为正棱锥的斜高）
2、V正棱锥
1 3 S底h
（适用于一般棱锥）
第18页/共23页
几何体名称
侧面积
直棱柱
正棱锥
体积
第19页/共23页
例1、如图，正四棱锥V ABCD的底面边长是4， 侧面斜高VM 2 5，求这个正四棱锥的侧面积、 表面积和体积。
第12页共23页如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面内的射影是底面中心这样的棱点在底面内的射影是底面中心这样的棱锥叫做锥叫做正棱锥正棱锥
棱柱与棱锥
会计学
1
观察下列几何体并思考：具备哪 些特点?
D1 A1
C1
B1
A
1
C1 A1 B1 B1
E1 D1
C1
D C
A
第8页/共23页
二、棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点？
第9页/共23页
1、棱锥的概念
有一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形， 由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面 。 有公共顶点的各个三角形 叫做棱锥的侧面。
各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。
相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。
注：
S
1、底面是正多边形
2、顶点在底面的射影是底面中心
E
பைடு நூலகம்
A
O
D
B
C
正棱锥是一类特殊的棱锥。
第13页/共23页
正棱锥的性质
数学的棱柱与棱锥
02
棱柱与棱锥的几何特性
棱柱的几何特性
定义：棱柱是一个多面体，其面都是平行四边形
分类：根据底面的形状，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等
特性：棱柱的侧棱相等，且都垂直于底面
特殊情况：当棱柱的底面为三角形时，称为三棱柱；当底面为四边形时，称为四棱柱
棱柱的数学模型
定义：棱柱是一个多面体，其面都是平行四边形
分类：根据底面的形状，棱柱可以分为三棱柱、四棱柱等
特性：棱柱的侧棱相等，且都垂直于底面
表示方法：可以用一个二元组来表示棱柱，其中一个是底面的顶点集，另一个是侧棱的长度
棱锥的数学模型
添加标题
定义：棱锥是一个多面体，其底面为多边形，顶点为底面的外一点，其他各面为过顶点与底面各边或其延长线作垂直平面的多边形。
棱锥在光学中的应用：棱锥在光学仪器中常被用作反射面或折射面，例如望远镜和显微镜。
棱柱与棱锥在物理学中的其他应用：除了力学和光学外，棱柱与棱锥在电磁学、量子力学等领域也有应用。
物理学中棱柱与棱锥的应用案例：例如，在研究电磁波的传播和散射时，可以利用棱柱与棱锥的结构特点进行模拟和分析。
04
棱柱与棱锥的数学模型
添加标题
性质：棱锥的各侧棱都相等，各侧面都是全等的三角形。
添加标题
分类：根据底面形状，棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
添加标题
面积和体积：棱锥的侧面积和体积的计算公式分别为侧面积=1/2ch、体积=1/3sh，其中c为底面周长，h为高，s为底面积，h为高。
特殊棱柱与棱锥的数学模型
特殊棱柱：正棱柱、斜棱柱
棱锥的几何特性
添加标题
棱柱棱锥的概念ppt课件
问题1：有两个面互相平行，其余各面都
是四边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是
问题2：有两个面互相平行，其余各面都 是平行四边形的几何体是棱柱吗？
答：不一定是
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
棱柱
1、棱柱的概念
底
侧面与底面的 公共顶点叫 做棱柱的
·E’ · A’
·D’
两个互相
· · C’ 平行的面
B’
叫做棱柱
顶点
的底
其两余个各面面的叫做
相邻侧面的公棱共柱边的叫侧做面 E
· 公共边叫做 棱柱的棱 · · 棱柱的侧棱 A
底
D
· · B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
棱锥
课堂练习
思考：有一个面是多边形，其余各面都是 三角形的立体图形一定是棱锥吗？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
棱柱和棱锥
S
A O D B
C
2、（2004.天津理）在四棱锥P-ABCD中，底 面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点 F。
（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD （3）求二面角C-PB-D的大小。
棱锥的分类：
棱锥的底面是三角形、四边形、五边 行等把棱锥分成三棱锥、四棱锥、五 棱锥。
棱锥的性质：
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，并且它们的面积比等 于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的比的平 2 3 方比。 S h V h
即
截
S底
h
截 2
, 类推
截
V
h
截 3
棱锥和圆锥统称为锥体。
⒉棱柱的表示法；
1 .用两底面各顶点的字母来表示,如：棱柱
ABCD- A1B1C1D1
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如：棱柱A C1
底面是平行四边形
四棱柱
侧棱垂直于底面
平行六面体 侧棱垂直于底面
直四棱柱 长方体 正方体
底面是平行四边形 底面是正方行
直平行六面体 正四棱柱
底面是矩形 棱长都相等
棱柱和棱锥
棱柱的定义:
有两个面互相平行,其余各面都是平 行四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,这些面围成的几 何体叫做棱柱
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
两个互相平行的平面叫做棱柱的底 面，其余各面叫做棱柱的侧面。
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶 点，不在同一个面上的两个顶点的连 线叫做棱柱的对角线．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.性质 性质 (1)侧面是 三角形 ，与底面所成的二面角均 相等 ； 侧面是 (2)侧棱均 相等 ，侧棱与底面所成的角均 相等 ； 侧棱均 (3)平行于底面的截面也是 正多边形 . 平行于底面的截面也是
3.棱锥的平行于底面的截面是与底面 相似 的多边形，它们 棱锥的平行于底面的截面是与底面 的多边形， 的面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边(高、侧棱、 的面积之比等于截得的棱锥与原棱锥的对应边 高 侧棱、 两底面边等)的 两底面边等 的 平方比 ，体积之比等于它们对应边的立 方比. 方比
1.棱柱性质的比较 棱柱性质的比较
名称 性质 (1)侧面和经过不相邻棱的截面是平行四边形 侧面和经过不相邻棱的截面是平行四边形 棱柱 (2)两底面面平行， 边形 直棱柱 正棱柱 平行六 底面和侧面都是平行四边形， 底面和侧面都是平行四边形，是中心对称图形 面体 长方体 正方体 底面和侧面都是矩形， 底面和侧面都是矩形，对角线相等 棱长相等， 棱长相等，各面都是正方形 侧棱垂直于底面， 侧棱垂直于底面，各侧面是矩形 底面是正多边形且是直棱柱
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1， △ 中 ＝ ， ＝ ， ∴AC＝ ＝ ∵AA1＝ 为正方形， ∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1. 四边形 ⊥ ∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面 1C1. ⊥平面AB
一、棱柱、棱锥的性质 棱柱、 棱柱 平行四边形 侧面 侧棱 平行于底面的 与底面 全等 截面 纵截面 平行四边形 三角形 与底面 相似 平行且相等 交于一点 棱锥 三角形
二、四棱柱的一些常用性质 1.平行六面体的四条对角线 交于一点 且在交点处互相 平行六面体的四条对角线 平分； 平分； 2.直棱柱的 侧棱 与高相等，直棱柱的 侧棱 及过 对角线 的 直棱柱的 与高相等， 截面都是矩形， 垂直； 截面都是矩形，直棱柱的侧面与 底面 垂直；
3.正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方体的侧面和 正四棱柱与正方体的底面都是 底面都是 正方形 ； 4.长方体的 体对角线长的平方 等于一个顶点上三条棱长的 长方体的 平方和 .
三、正棱椎 棱锥是棱锥的特殊情形，也是棱锥的主要研究对象 棱锥是棱锥的特殊情形，也是棱锥的主要研究对象. 1.定义 定义 底面是正多边形 ，并且顶点在底面内的射影是底面的 中心 ，这样的棱锥叫做正棱锥 这样的棱锥叫做正棱锥.
1．设有五个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体； ．设有五个命题： 底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直 棱长相等的直四棱柱是正方体； 于底面一边的平行六面体是直平行六面体； 于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相 等的平行六面体是直平行六面体； 等的平行六面体是直平行六面体；⑤底面是正方形的长 方体是正四棱柱． 方体是正四棱柱．其中真命题的个数是 A．1 ． B．2 ． C．3 D．4 ． ． ( )
(1)充分挖掘已知条件，利用线面垂直的判定定理； 充分挖掘已知条件，利用线面垂直的判定定理； 充分挖掘已知条件 (2)利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理. 定理
证明： 【解】 (1)证明：∵∠ 证明 ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. ＝ ° ⊥ 为直三棱柱， ∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱， 三棱柱 ∴BC⊥CC1. ⊥ ∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面 ∩ ， ⊥平面ACC1A1， ∵A1C⊂平面 ⊂平面ACC1A， ， ∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC， ⊥ ∵ ， ∴B1C1⊥A1C.
对于C，如图所示， 对于 ，如图所示，棱锥的侧面是全等的 等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥； 等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥； D也是错误的．底面多边形既有内切圆又 也是错误的． 也是错误的 有外接圆，如果不同心， 有外接圆，如果不同心，则不是正多边 形，因此不是正棱锥． 因此不是正棱锥． 【答案】 B 答案】
名 性质 称
【注意】特殊的四棱柱 注意】
正 棱 锥
特别要注意，直四棱柱不一定是直平行六面体， 特别要注意，直四棱柱不一定是直平行六面体， 正四棱柱不一定是正方体，长方体不一定是正 正四棱柱不一定是正方体， 四棱柱等. 四棱柱等
下列命题中， 下列命题中，成立的是 A．各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 ． B．四面体一定是三棱锥 ．
2．下面有四个命题： ．下面有四个命题： ①各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ②三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； 三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； ④顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心， 的棱锥必是正棱锥． 的棱锥必是正棱锥． 其中正确命题的个数是 A．1 ． C．3 ． B．2 ． D．4 ． ( )
解析： 不正确；正棱锥必须具备两点，一是： 解析：①不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正 多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心； 多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；②缺 少第一个条件； 缺少第二个条件； 少第一个条件；③缺少第二个条件；而④可推出以上两个 条件都具备． 条件都具备． 答案： 答案：A
3．一个平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成两部分 ． 的面积之比为1∶ ， 的面积之比为 ∶3，则把棱锥的侧棱分成的两部分长 度之比(从上到下 为 度之比 从上到下)为 从上到下 A．1∶1 ． ∶ C．1∶2 ． ∶ B．1∶3 ． ∶ D．1∶5 ． ∶ ( )
解析： 解析：平行于棱锥底面的截面截棱锥所得的新棱锥与原棱 锥对应部分的侧面积之比应为1∶ ， 锥对应部分的侧面积之比应为 ∶4，根据对应棱锥的侧面 积之比等于对应的棱长比的平方， 积之比等于对应的棱长比的平方，所以上下两部分长度之 比应为1∶ 比应为 ∶1. 答案： 答案：A
答案： 答案：
5．若正四棱锥的底面边长为2 cm，体积为 cm3，则它的 ．若正四棱锥的底面边长为 ，体积为4 侧面与底面所成的二面角的大小是________． 侧面与底面所成的二面角的大小是 ． 解析： 解析：由V锥＝ S底·h得h＝1，又正四棱锥的斜高和斜高 得 ＝ ，
在底面上射影所夹的角为侧面与底面所成二面角的平面角， 在底面上射影所夹的角为侧面与底面所成二面角的平面角， 设二面角为θ， 设二面角为 ，则tanθ＝ ＝ 答案： ° 答案：30° θ＝30°. ＝ °
1.平行和垂直关系在立体几何问题中无处不在，对平行和 平行和垂直关系在立体几何问题中无处不在， 平行和垂直关系在立体几何问题中无处不在 垂直关系证明的考查，多以简单几何体尤其是棱柱、 垂直关系证明的考查，多以简单几何体尤其是棱柱、棱 锥为依托，借助其丰富的线面关系，或直接考查平行和 锥为依托，借助其丰富的线面关系， 垂直关系的证明，或通过求角和距离间接考查， 垂直关系的证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵 活多样.因此在平时的复习中要善于总结、 活多样 因此在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此 因此在平时的复习中要善于总结 类问题的通性通法， 类问题的通性通法，加强逻辑思维能力及语言表达能力 的培养. 的培养
(
)
C．棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥 ．棱锥的侧面是全等的等腰三角形， D．底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥 ．底面多边形既有外接圆又有内切圆， 一定是正棱锥
正棱锥的概念逐一进行判断. 结合棱锥 、正棱锥的概念逐一进行判断
是错误的， 【解析】 A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底 解析】 是错误的 面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形， 面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个 多面体不是棱锥； 多面体不是棱锥； B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面 是正确的，三个面共顶点， 是正确的 体也必定是个三棱锥； 体也必定是个三棱锥；
解析： 不正确，因为侧棱不一定垂直于底面； 不正确， 解析：①不正确，因为侧棱不一定垂直于底面；②不正确， 因为底面有可能是菱形； 不正确， 因为底面有可能是菱形；③不正确，因为有两条侧棱垂直 于底面一边，这时可以得到相对的两侧面是矩形，不一定 于底面一边，这时可以得到相对的两侧面是矩形， 能得出侧棱与底面垂直；④正确，由对角线相等，可得出 能得出侧棱与底面垂直； 正确，由对角线相等， 平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直， 平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直， 所以是直平行六面体； 正确，长方体是直四棱柱， 所以是直平行六面体；⑤正确，长方体是直四棱柱，再加 上底面是正方形，所以是正四棱柱． 上底面是正方形，所以是正四棱柱． 答案： 答案：B
2.棱锥性质的比较 棱锥性质的比较 名称 性质 与底面平行的截面与底面相似，截面面积 与底面平行的截面与底面相似， 棱锥 与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱 锥高的比的平方
名 性质 称 (1)底面是正多边形，顶点在底面的射影为底面正多边 底面是正多边形， 底面是正多边形 形的中心 (2)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形， 各侧棱相等 腰三角形底边上的高相等(它叫做正棱锥的斜高 腰三角形底边上的高相等 它叫做正棱锥的斜高) 它叫做正棱锥的斜高 正 (3)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 正棱锥的高、 正棱锥的高 棱 直角三角形.正棱锥的高、侧棱、 直角三角形 正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的 正棱锥的高 锥 射影组成一个直角三角形.正棱锥的侧棱、 射影组成一个直角三角形 正棱锥的侧棱、斜高及 正棱锥的侧棱 底面边长的一半组成一个直角三角形， 底面边长的一半组成一个直角三角形，正棱锥的侧 棱在底面内的射影， 棱在底面内的射影，斜高在底面内的射影及底面边 长的一半组成一个直角三角形
4．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长 ．正三棱柱 － 都为2，E、F分别是 、A1C1的 分别是AB、 都为 ， 、 分别是 中点， 的长为________． 中点，则EF的长为 的长为 ．