九年级数学上册 22.2《二次函数与一元二次方程》练习1 (新版)新人教版
人教版九年级上册数学22 2二次函数与一元二次方程 同步练习(含答案)
人教版九年级上册数学22.2二次函数与一元二次方程同步练习一、单选题1．抛物线223y x x =+-与x 轴的交点个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．下列二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点的是（ ） A ．239y x x =+ B ．244y x x =-++C ．2245y x x =++D ．221y x x =-+3．已知二次函数()22221y x b x b =----+的图象不经过第二象限，则实数b 的取值范围是（ ）4．二次函数2y ax bx c =++图象的一部分如图所示，它与x 轴的一交点为()6,0B ，对称轴为直线2x =，则由图象可知，方程20ax bx c ++=的解是（ ）A ．10x =，26x =B ．12x =-，26x =C ．11x =-，26x =D ．12x =-，22x = 5．已知抛物线()243y a x =--的部分图象如图所示，则图象与x 轴另一个交点的坐标是（ ）A ．()5,0B ．()6,0C ．()7,0D ．()8,06．如图是二次函数²y ax bx c =++的部分图像，由图像可知不等式²0ax bx c ++≥的解集是（ ）A ．15x <<B ． 5x ≤C ．15x -≤≤D ． 1x <-或5x >7．二次函数()()2y x a x b =---，()a b <的图像与x 轴交点的横坐标为m 、n ，且m n <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（ ）A ．m a b n <<<B ．a m b n <<<C ．a m n b <<<D ．m a n b <<<8．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，下列结论中：①0ac <；①24b ac <；①20a b -=；①930a b c ++>．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线222y x mx m =-++-（m 为常数，且0m >）与直线y ＝2交于A 、B 两点．若AB ＝2，则m 的值为______．10．抛物线()231y ax a x =+-+的顶点在x 轴上，则a 的值为________．11．已知二次函数24y x x c =++的图象与x 轴的一个交点坐标是()20,，则它与x 轴的另一个交点坐标是______．12．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c 的顶点为（1，5），那么关于x 的一元二次方程﹣x 2+bx +c ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则m =______________．13．若抛物线y ＝x 2+ax +b 与x 轴两个交点间的距离为2，对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，平移后抛物线的顶点坐标为_____． 14．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()()2,,4,A p B q -两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是___________．15．如图，已知二次函数()20y x m m =-+>的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．若AB OC =，则m 的值是______．16．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图．则有以下5个结论：①a ＜0；①b 2-4ac＜0；①b =-2a ；①当0＜x ＜2时，y ＞0；①a -b +c ＞0；其中正确的结论有：____________．（写出你认为正确的序号即可）三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x 2mx m 9=-+-．(1)求证：无论m 为何值，该抛物线与x 轴总有两个交点；(2)该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 的左侧，且3OA OB =，求m 的值． 18．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于()1,0A -、B 两点，交y 轴于()0,3C ，点P 在抛物线上，横坐标设为m ．(1)求抛物线的解析式；求BDC的面积．(1)求抛物线的解析式；(2)若D 是抛物线上一点（不与点C 重合），且ABD ABC S S △△，请求出点D 的坐标．参考答案：。
22.2二次函数与一元二次方程 同步练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册
22.2二次函数与一元二次方程一、单选题1．抛物线244y x x =-+-与x 轴的交点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．如图，点P 从右向左运动的运动路线在抛物线()211y a x =+-上，点P 第一次到达x 轴时的坐标为1,0A ，则当点P 再次到达x 轴时的坐标为（ ）A ．()2,0-B ．()2.5,0-C ．()3,0-D ．()3.5,0- 3．下列关于抛物线()214y x =++的判断中，错误的是（ ）A ．形状与抛物线2y x =-相同B ．对称轴是直线=1x -C ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小D ．当31x -<<时，0y <4．当04x <≤时，直线2y x m =+与抛物线222y x x -=-有两个不同交点，则m 的取值范围是（ ）A ．62m -<<-B ．62m -≤<-C ．62m -<≤-D ．62m -≤≤- 5．根据下表对应值判断一元二次方程2350x x +-=的一个解x 的范围是（ ） x1- 0 1 2 3 4 235x x +- 7- 5- 1- 5 13 23A ．10x -<<B ．01x <<C ．12x <<D ．23x << 6．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -，(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(2)2a x bx b c -+=-的解是（ ）A ．11x =-，26x =B ．15x =-，22x =C ．13x =-，24x =D ．12x =-，25x =7．已知抛物线L ：2y ax bx c =++的顶点在第四象限，且该抛物线与x 轴没有交点，则下列说法中正确的是（ ）A ．0a >B ．240b ac ->C ．若点()1m -，在抛物线L 上，则m c <D ．若点()11A x y ，，点()22B x y ，在抛物线L 上，且12x x <，则12y y <8．已知一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个根是12x =和24x =-，则抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线（ ）A ．2x =B ．2x =-C ．=1x -D ．4x =-9．已知二次函数2y x bx c =++（b ，c 是常数）的图象与x 轴的交点坐标是()1,0x ，()2,0x ，121m x x m <<<+，当x m =时，y p =，当1x m =+时，y q =，则（ ）（ ）A ．p ，q 至少有一个小于14B ．p ，q 都小于14C ．p ，q 至少有一个大于14D ．p ，q 都大于14二、填空题10．抛物线25196y x x =-++与y 轴的交点坐标为 ．11．抛物线y ＝x 2+6x +m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．12．抛物线22y x x c =-++与x 轴交于两点，其中一个交点的坐标为()3,0，则当函数值0y <时，x 的取值范围是 .13．已知一次函数21y x a =-++的图象与二次函数2y x ax =-的图象交于M ，N 两点． （1）若点M 的横坐标为2，则a 的值为 ．（2）若点M ，N 点均在x 轴的上方，则a 的取值范围为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，过点C 作CD x ∥轴，交抛物线于另一点D ，若3AB CD +=，则c 的值为 ．15．如图：抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()()4,01,0A B -、两点，与y 轴交于C 点，若AC BC ⊥，则a 的值为 ．三、解答题16．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点A （-1，0），B （1，-2），与x 轴的另一个交点为C ．(1)求该图象的解析式；(2)求AC 长．17．已知关于x 的二次函数()223y x m x =---，该函数图象经过点()2,3A -．(1)求这个二次函数的表达式及顶点B 的坐标；(2)若这个二次函数图象与y 轴的交点为C ，请直接写出ABC 的面积．18．如图，二次函数y 1＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x 轴的另一个交点A 的坐标．19．在平面直角坐标系中，已知点(1,2),(2,3),(2,1)A B C ，直线y x m =+经过点A ，抛物线21y ax bx =++恰好经过A ，B ，C 三点中的两点．（1）判断点B 是否在直线y x m =+上，并说明理由；（2）求a ，b 的值；（3）在你的草稿纸上画草图，根据图象，则满足21ax bx x m ++≤+的x 的取值范围为_______． （4）平移抛物线21y ax bx =++，使其顶点仍在直线y x m =+上，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．C3．C4．A5．C6．A7．C8．C9．A10．()0,611．912．1x <-或3x >13． 54 12a >-/0.5a >-14．34-15．12-16．(1)2y x x 2=--(2)317．(1)二次函数的表达式为2=23y x x --，二次函数顶点B 点坐标为()1,4-(2)ABC 的面积等于118．（1）抛物线的解析式为y 1＝x 2+2x ﹣3；（2）A 的坐标为（﹣3，0） 19．（1）点B 在直线上，见解析；（2）1a =-，2b =；（3）1x ≤或0x ≤；（4）54。
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案
人教版九年级数学上册《22.2二次函数与一元二次方程》同步测试题及答案一、单选题1．根据表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，可以判断方程20ax bx c ++=的一个解x 的范围是（ ）x0 0.5 1 1.5 2 2y ax bx c =++ -1-0.513.57A ．00.5x <<B ．0.51x <<C ．1 1.5x <<D ．1.52x <<2．如表是一组二次函数y ＝x 2﹣x ﹣3的自变量和函数值的关系，那么方程x 2﹣x ﹣3＝0的一个近似根是（ ）x 1 2 3 4 y ﹣3﹣1 39 A ．1.2B ．2.3C ．3.4D ．4.53．下表给出了二次函数()20y ax bx c a =++≠中x ，y 的一些对应值，则可以估计一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个近似解1x 的范围为（ ）x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 … y…1.16-0.71-0.24-0.250.76…A ．11.2 1.3x <<B ．11.3 1.4x <<C ．11.4 1.5x <<D ．11.5 1.6x <<4．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列4个结论：①0abc >；②24b ac >；③a (m 2−1)+b (m −1)<0(m ≠1)；④关于x 的方程21ax bx c ++=有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①④D ．②③5．根据下列表格中二次函数y ＝ax 2+bx+c 的自变量x 与y 的对应值，判断关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（ ）x ﹣1 0 1 2 3 4 y﹣7﹣5﹣151323A ．1＜x ＜2B ．﹣1＜x ＜1C ．﹣7＜x ＜﹣1D ．﹣1＜x ＜56．已知二次函数224y x x =-+，下列关于其图象的结论中，错误．．的是（ ） A ．开口向上B ．关于直线1x =对称C ．当1x >时，y 随x 的增大而增大D ．与x 轴有交点7．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标(1,)n ，与y 轴的交点在0203（，），（，）之间（包含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m2(1)(1)0a m b m -+-≤总成立；④关于x 的方程214ax bx c a ++=-无实数根．其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．将抛物线2(1)y x =+的图象位于直线9y =以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线y x m =+与此图象有四个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．574m << B ．354m << C ．495m << D ．374m << 9．已知函数f （x ）＝x 2+2x ，g （x ）＝2x 2+6x +n 2+3，当x ＝1时，f （1）＝12+2×1＝3，g （1）＝2+6+n 2+3＝n 2+11．则以下结论正确的有（ ）①若函数g （x ）的顶点在x 轴上，则6n = ②无论x 取何值，总有g （x ）＞f （x ）；③若﹣1≤x ≤1时，g （x ）+f （x ）的最小值为7，则n ＝±3； ④当n ＝1时，令()()2()g x h x f x =，则h （1）•h （2）…h （2023）＝2024．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知，抛物线y ＝ax 2＋2ax 在其对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，关于x 的方程ax 2＋2ax ＝m （m＞0）的一个根为﹣4，而关于x 的方程ax 2＋2ax ＝n （0＜n ＜m ）有两个整数根，则这两个根的积是（ ） A ．0B ．﹣3C ．﹣6D ．﹣8二、填空题11．若抛物线2=2++y x mx n -与x 轴交于A ，B 两点，其顶点C 到x 轴距离是8，则线段AB 的长为 ． 12．根据下列表格的对应值，判断20ax bx c ++=（0a ≠，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的取值范围是x3.23 3.24 3.25 3.26 2ax bx c ++ 0.06-0.02-0.030.0913．如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A （﹣4，8），B （2，2），则关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的解为 ．14．抛物线 2y ax bx c =++ （a ，b ，c 为常数， 0a > ）经过两点 ()()2,0,4,0A B - ，下列四个结论：①20b a += ；②若点 ()()2020,,2021,m n - 在抛物线上，则 m n < ；③0y > 的解集为 2x <- 或 4x > ；④方程 ()21a x bx c x +++=- 的两根为 123,3x x =-= .其中正确的结论是 （填写序号）.15．若抛物线25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25x bx +-213x =-的解为 .16．若一元二次方程()200ax bx c ac ++=≠有两个不相等实根，则下列结论：①240b ac ->；②方程20cx bx a ++=一定有两个不相等实根；③设2bm a=-，当0a >时，一定有22am bm ax bx +≤+；④s ，()t s t <是关于x 的方程()()10x p x q +--=的两根，且p q <，则q t s p >>>，一定成立的结论序号是 ．17．抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0)c <经过(11)，，(0)m ，和(0)n ，三点，且3n ≥. 下列四个结论：①0b <；②2414ac b a->；③当3n =时，若点(2)t ，在该抛物线上，则>1t ；④若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则10<3m ≤. 其中正确的是 （填序号即可）.18．抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =，经过点()3,n -，顶点为D ，下列四个结论：21a b +=①；240b ac ->②；③关于x 的一元二次方程2ax bx c n ++=的解是13x =-和25x =；④设抛物线交y 轴于点C ，不论a 为何值，直线CD 始终过定点()15,n -．其中一定正确的是 （填写序号）．三、解答题19．已知抛物线的顶点坐标为()2,0，且经过点()1,3-．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点(m,−27)在该抛物线上，求m 的值．20． 排球场的长度为18m ，球网在场地中央且高度为2.24.m 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()²(0)y a x h k a =-+<．（1）某运动员第一次发球时，测得水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：水平距离/x m 0 2 4 6 11 12 竖直高度/y m2.482.722.82.721.821.52①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系()²(0)y a x h k a =-+<； ②判断该运动员第一次发球能否过网 ▲ (填“能”或“不能”)．（2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度(y 单位：)m 与水平距离(x 单位：)m 近似满足函数关系()20.024 2.88y x =--+，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．21．如图，抛物线()2y ax bx c a 0=++≠经过点()A 03，，()B 23，和()C 10-，，直线()y mx n m 0=+≠经过点B ，C ，部分图象如图所示，则：（1）该抛物线的对称轴为直线 ；（2）关于x 的一元二次方程2ax bx c 0++=的解为 ； （3）关于x 的一元二次方程2ax bx c mx n ++=+的解为 ．22．已知抛物线y=ax 2+x+1（0a ≠）（1）若抛物线的图象与x 轴只有一个交点，求a 的值； （2）若抛物线的顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．23．如图，二次函数y ＝2x ＋bx ＋c 的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交于点Q ，过点Q 的直线y＝2x ＋m 与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ，若S △BPQ ＝3S △APQ ，求这个二次函数的解析式．24．二次函数解析式为223y ax x a =--．（1）判断该函数图象与x 轴交点的个数；（2）如图，在平面直角坐标系中，若二次函数图象顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于D ，点C 的坐标是()3,0，求直线CD 的解析式；（3）请你作一条平行于x 轴的直线交二次函数的图象于点M ，N ，与直线CD 于点R ，若点M ，N ，R 的横坐标分别为m ，n ，r ，且r m n <≤，求m n r ++的取值范围．25．抛物线L ：212y x bx c =-+与直线L '：22y kx =+交于A 、B 两点，且()2,0A ．（1）求k 和c 的值（用含b 的代数式表示c ）； （2）当0b =时，抛物线L 与x 轴的另一个交点为C ． ①求ABC 的面积；②当15x -≤≤时，则1y 的取值范围是_________．（3）抛物线L ：212y x bx c =-+的顶点(),M b n ，求出n 与b 的函数关系式；当b 为何值时，点M 达到最高．（4）在抛物线L 和直线L '所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当20b =-时，直接写出“美点”的个数_________．参考答案1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】B 11．【答案】412．【答案】3.24 3.25x << 13．【答案】x 1＝﹣4，x 2＝2 14．【答案】①③ 15．【答案】1224x x ==， 16．【答案】①②③④ 17．【答案】②③④ 18．【答案】④③19．【答案】（1）y =−3(x −2)2（2）5m =或1-20．【答案】（1）解：①由表中数据可得顶点()42.8，设2(4) 2.8(0)y a x a =-+<把()02.48，代入得16 2.8 2.48a += 解得：0.02a =-∴所求函数关系为20.02(4) 2.8y x =--+；②能．（2）解：判断：没有出界．第二次发球：()20.024 2.88y x =--+ 令0y =，则()20.024 2.880x --+= ，解得18(x =-舍) 216x =21618x =<∴该运动员此次发球没有出界．21．【答案】（1）x 1=（2）1x 1=- 2x 3= （3）1x 2= 2x 1=-22．【答案】（1）解：由题意得方程ax 2+x+1=0有两等实数根．∴△＝b 2-4ac ＝1-4a ＝0，∴a ＝14． ∴当a ＝14时函数图象与x 轴恰有一个交点； （2）解：由题意得4104a a-> 当a ＞0时，4a -1＞0，解得a ＞14；当a ＜0时，4a -1＜0，解得a ＜14．∴a ＜0.∴当a ＞14或a ＜0时，抛物线顶点始终在x 轴上方．23．【答案】y ＝x 2﹣4x+424．【答案】（1）函数图象与x 轴交点的个数是2（2）3y x =- （3）12m n r ≤++<25．【答案】（1）1k =- 44c b =-（2）10；1421y -≤≤ （3）244n b b =-+- 2b = （4）90。
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程同步练习1 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九
二次函数与一元二次方程一、选择题1．抛物线与x轴的交点个数有( )．A．0个B．1个 C．2个D．3个考查目的：考查对二次函数图象与x轴交点个数的理解．答案：A．解析：，二次函数图象与x轴无交点．故选A．2．已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值X围是( )．A． B． C． D．考查目的：考查二次函数的图象与x轴有交点与对应一元二次方程根的判别式的关系．答案：D．解析：因为二次函数的图象与x轴有交点，对应一元二次方程的判别式非负，所以．故选D．3．函数的图象如图所示，那么关于的一元二次方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与直线交点关系的理解．答案：C．解析：求的根，实际上是求与y=3两个图象交点的横坐标．由图象可得其交点唯一，因而方程有两个相等的实数根．故选C．二、填空题4．已知二次函数的图象与x轴无交点，则k的取值X围是．考查目的：考查对一元二次方程根的情况与抛物线与x轴交点的对应关系理解应用．答案：．解析：因为二次函数的图象与x轴无交点，对应一元二次方程的判别式小于零，所以且解得，5．已知二次函数的顶点坐标及部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和．考查目的：二次函数图象的对称性及与对应一元二次方程的根与图象与x轴交点的关系．答案：-3．3．解析：由对称性可得图象与x轴另一个交点坐标为(-，0)．6．根据下列表格的对应值，判断方程一个解x的X围是．x3．31 3．32 3．33 3．34-0．07 -0．03 0．02 0．06考查目的：考查对一元二次方程根与对应二次函数图象与x轴交点关系的理解．答案：3．32<x<3．33．解析：当，对应，当，对应，所以时，3．32<x<3．33．三、解答题7．利用二次函数图象求一元二次方程的近似根（精确到0．1）．考查目的：一元二次方程根与对应二次函数与x 轴的交点．答案：，．解析：画函数的图象，读出其与x 轴的交点坐标分别约为(0．6，0)和(-1．6，0)．图象如下图所示：8．已知函数二次函数．求证：不论为何实数，此二次函数的图象与轴都有两个不同交点．考查目的：二次函数的图象与轴的交点与对应一元二次方程根的判别式取值情况的对应关系．答案：，不论为何值时，都有，此时二次函数图象与轴有两个不同交点．解析：将对应一元二次方程的根的判别式，进行配方，由其配方式的形式可判断，故方程有两个不等的实数根，所以对应的二次函数与x轴有两个不同交点．。
人教新版九年级数学上册同步练习卷 22.2 二次函数与一元二次方程含答案
22.2 二次函数与一元二次方程一．选择题（共18小题）1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b2．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝a，x2＝b（a＜b），则二次函数y＝x2+mx+n中，当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜a B．x＞b C．a＜x＜b D．x＜a或x＞b3．已知抛物线y＝﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．B．C．D．4．已知函数y＝3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜n＜b＜a B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b5．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根6．已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A．y1＞0、y2＞0 B．y1＜0、y2＜0 C．y1＜0、y2＞0 D．y1＞0、y2＜07．抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（）A．（，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0）8．根据下表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（）A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点9．二次函数y＝x2﹣8x+15的图象与x轴相交于L、M两点，N点在该函数的图象上运动，能使△LMN的面积等于2的点N共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞0②x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0其中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②③D．②③11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜012．二次函数y＝2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．613．若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1＝2，x2＝3；②m＞﹣；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．314．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）＝1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x215．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠316．下列命题：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；③若b＝2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④17．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣318．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二．填空题（共4小题）19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中，正确的说法有（请写出所有正确说法的序号）．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c＝0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是个．21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝．22．抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是．三．解答题（共3小题）23．已知抛物线y＝3ax2+2bx+c，（Ⅰ）若a＝b＝1，c＝﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a＝b＝1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（Ⅲ）若a+b+c＝0，且x1＝0时，对应的y1＞0；x2＝1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝x有两个实数根x1，x2，且满足x1＞0，x2﹣x1＞1．（1）试证明c＞0；（2）证明b2＞2（b+2c）；（3）对于二次函数y＝x2+bx+c，若自变量取值为x0，其对应的函数值为y0，则当0＜x0＜x1时，试比较y0与x1的大小．25．已知抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式．参考答案一．选择题（共18小题）1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，∵当x＝m或n时，y＝3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选：D．2．解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝a，x2＝b（a＜b），∴二次函数y＝x2+mx+n与x轴的交点坐标分别是（a，0）、（b，0）（a＜b），且抛物线的开口方向向上，∴该二次函数的图象如图所示：根据图示知，符合条件的x的取值范围是：a＜x＜b；故选：C．3．解：令y＝0，则﹣x2+x+6＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∴OD＝4.5，当x＝0时，y＝6，∴OC＝6，∴CD＝＝．故选：D．4．解：由3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0变形得（x﹣m）（x﹣n）＝3，∴x﹣m＞0，x﹣n＞0或x﹣m＜0，x﹣n＜0，∴x＞m，x＞n或x＜m，x＜n，∵a，b是方程的两个根，将a，b代入，得：a＞m，a＞n，b＜m，b＜n或a＜m，a＜n，b＞m，b＞n，观察选项可知：a＜b，m＜n，只有D可能成立．故选：D．5．解：∵函数y＝ax2+bx+c的图象顶点的纵坐标为3，∴函数y＝ax2+bx+c﹣3的图象可以看作是y＝ax2+bx+c的图象向下平移3个单位得到，此时顶点在x轴上，∴函数y＝ax2+bx+c﹣3的图象与x轴只有1个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等实数根．故选：C．6．解：令＝0，解得：x＝，∵当自变量x取m时对应的值大于0，∴＜m＜，∵点（m+1，0）与（m﹣1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离，∴m﹣1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右．∴点（m+1，0）与（m﹣1，0）均在交点之外，∴y1＜0、y2＜0．故选：B．7．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+a2+2的对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴该抛物线与x轴的另一个交点到x＝﹣1的距离为2，∴抛物线y＝ax2+2ax+a2+2与x轴的另一个交点坐标为（1，0）．故选：B．8．解：根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可以发现当x＝0，x＝2时，y的值都等于﹣＜0，又根据二次函数的图象对称性可得：直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴，此时y有最小值﹣2，因此判断该二次函数的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴异侧．故选：B．9．解：令y＝0，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，∴L（3，0），M（5，0）LM＝5﹣3＝2，∵△LMN的面积等于2，∴N点纵坐标为2或﹣2，当y＝2时，x2﹣8x+15＝2，△＞0，方程有两不等根，当y＝﹣2时，x2﹣8x+15＝﹣2，△＜0，方程无实数根，∴符合条件的点N有两个，故选C．10．解：①∵x1＜x2，∴△＝b2﹣4ac＞0，故本选项正确；②∵点M（x0，y0）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，∴x＝x0是方程ax2+bx+c＝y0的解，故本选项正确；③若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；④若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选：B．11．解：A、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△＝b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选：D．12．解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△＝m2﹣4×2×8＝0，解得m＝±8，∵对称轴为直线x＝﹣＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选：B．13．解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m＝0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4（6﹣m）＝4m+1＞0，解得：m＞﹣，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝5，x1x2＝6﹣m，而选项①中x1＝2，x2＝3，只有在m＝0时才能成立，故选项①错误；二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m＝x2﹣5x+（6﹣m）+m＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），令y＝0，可得（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得：x＝2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．故选：C．14．解：用作图法比较简单，首先作出y＝（x﹣a）（x﹣b）图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：答案是：x1＜a＜b＜x2．故选：C．15．解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1＝0，△＝b2﹣4ac＝22﹣4（k﹣3）×1＝﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3＝0时，y＝2x+1，与x轴有交点．故选：B．16．解：①b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac＝4a2+9c2+12ac﹣4ac＝4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y＝ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选：B．17．解：依题意得：当x＝0时，函数y＝ax2+2x﹣5＝﹣5；当x＝1时，函数y＝a+2﹣5＝a﹣3．又关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5＝0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），所以当x＝1时，函数图象必在x轴的上方，所以y＝a﹣3＞0，即a＞3．故选：B．18．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故选：D．二．填空题（共4小题）19．解：①∵抛物线开口方向朝上，∴a＞0，又对称轴为x＝1，∴b＜0，∴ab＜0，故正确；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，故正确；③∵当x＝1时，y＝a+b+c，从图象知道当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，故错误；④∵抛物线的对称轴为x＝1，开口方向向上，∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，故正确；⑤∵当y＞0时，图象在x轴的上方，而抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x＜﹣1，x＞3，故错误．故正确的结论有①②④．20．解：①根据题意画大致图象如图所示，由y＝ax2+bx+c与X轴的交点坐标为（﹣2，0）得：a×（﹣2）2+b×（﹣2 ）+c＝0，即4a﹣2b+c＝0，所以正确；②由图象开口向下知a＜0，由y＝ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0 ），且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为，即＜1，由a＜0，两边都乘以a得：b＞a，∵a＜0，对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∴a＜b＜0．故正确；③由一元二次方程根与系数的关系知，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，④由4a﹣2b+c＝0得，而0＜c＜2，∴∴﹣1＜2a﹣b＜0∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确．故填正确结论的个数是4个．21．解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣1，﹣3.2），则对称轴为x＝﹣1；所以＝﹣1，又因为x1＝1.3，所以x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1.3＝﹣3.3．故答案为：﹣3.322．解：∵△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，∴S△ABC＝×1×|c|＝1，解得|c|＝2．设方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵AB＝|x1﹣x2|＝＝＝1，∴b2﹣4c＝1，∵c＝﹣2无意义，∴b2＝9，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，∴b的值是﹣3．三．解答题（共3小题）23．解：（Ⅰ）当a＝b＝1，c＝﹣1时，抛物线为y＝3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1＝0的两个根为x1＝﹣1，．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（，0）；（Ⅱ）当a＝b＝1时，抛物线为y＝3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c＝0，判别式△＝4﹣12c≥0，有c≤．（3分）①当时，由方程3x2+2x+＝0，解得x1＝x2＝﹣．此时抛物线为y＝3x2+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；（4分）②当时，x1＝﹣1时，y1＝3﹣2+c＝1+c；x2＝1时，y2＝3+2+c＝5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有即，解得﹣5＜c≤﹣1．综上，或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y＝3ax2+2bx+c，由已知x1＝0时，y1＝c＞0；x2＝1时，y2＝3a+2b+c＞0，又∵a+b+c＝0，∴3a+2b+c＝（a+b+c）+2a+b＝2a+b．∴2a+b＞0．∵b＝﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c＝0的判别式△＝4b2﹣12ac＝4（a+c）2﹣12ac＝4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y＝3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）又该抛物线的对称轴，由a+b+c＝0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴．又由已知x1＝0时，y1＞0；x2＝1时，y2＞0，观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）24．解：（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+（b﹣1）x+c＝0，∵x1，x2是该方程的两个实数根∴x1+x2＝﹣（b﹣1），x1•x2＝c，而x1＞0，x2＞x1+1＞0，∴c＞0；（2）（x2﹣x1）2＝（x2+x1）2﹣4x1x2＝（b﹣1）2﹣4c＝b2﹣2b﹣4c+1，∵x2﹣x1＞1，∴（x2﹣x1）2＞1，于是b2﹣2b﹣4c+1＞1，即b2﹣2b﹣4c＞0，∴b2＞2（b+2c）；（3）当0＜x0＜x1时，有y0＞x1，∵y0＝x02+bx0+c，x12+bx1+c＝x1，∴y0﹣x1＝x02+bx0+c﹣（x12+bx1+c）＝（x0﹣x1）（x0+x1+b），∵0＜x0＜x1，∴x0﹣x1＜0，又∵x2﹣x1＞1∴x2＞x1+1，x1+x2＞2x1+1，∵x1+x2＝﹣（b﹣1）∴﹣（b﹣1）＞2x1+1，于是2x1+b＜0∵0＜x0＜x1∴x0+x1+b＜0，由于x0﹣x1＜0，x0+x1+b＜0，∴（x0﹣x1）（x0+x1+b）＞0，即y0﹣x1＞0，∴当0＜x0＜x1时，有y0＞x1．25．解：＝（mx﹣）（x﹣3），设y＝0，则x1＝，x2＝3，∴A（，0），B（3，0），设x＝0，则y＝4，∴C（0，4），①若AC＝BC因为CO垂直BC，所以他也是底边中线所以AO＝BO＝3A（﹣3，0）＝﹣3∴m＝﹣；②若BC＝AB由勾股定理得：BC＝5，∴AB＝|3﹣|＝5∴m＝﹣，m＝；③若AC＝AB则AC＝，∴AB＝|3﹣|＝∴m＝﹣；∴m＝﹣，﹣，，﹣∴y＝﹣x2+4或y＝﹣x2+x+4或y＝x2﹣x+4或y＝﹣x2+x+4．。
人教版九年级数学上册《22-2 二次函数与一元二次方程》作业同步练习题及参考答案
4 44 ≥ 422.2 二次函数与一元二次方程1. 若二次函数 y=2x 2+mx+8 的图象如图所示,则 m 的值是()A.-8B.8C.±8D.62. 对于二次函数 y=x 2-2mx-3,下列结论错误的是 ( )A.它的图象与 x 轴有两个交点B. 方程 x 2-2mx=3 的两根之积为-3C.它的图象的对称轴在 y 轴的右侧D.x<m 时,y 随 x 的增大而减小3. 已知二次函数 y=x 2+x+m ,当 x 取任意实数时,都有 y>0,则 m 的取值范围是()A.m 1B.m>1C. m ≤1D.m<14. 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列说法正确的是()A. abc<0,b 2-4ac>0B.abc>0,b 2-4ac>0C.abc<0,b 2-4ac<0D.abc>0,b 2-4ac<05. 若二次函数 y=x 2-4x+c 的图象与 x 轴没有交点,其中 c 为整数,则 c=(写一个即可).2 6. 已知二次函数的图象如图,则:(1)这个二次函数的解析式为 ;(2)当 x=时,y=3;(3)根据图象回答:当 x 时,y>0;当 x时,y<0.7. 利用二次函数的图象求方程-1x 2+x+2=0 的近似解(精确到 0.1).8. 已知抛物线 y=mx 2+(3-2m )x+m-2(m ≠0)与 x 轴有两个不同的交点.(1) 求 m 的取值范围;(2) 判断点 P (1,1)是否在抛物线上;(3) 当 m=1 时,求抛物线的顶点 Q 及点 P 关于抛物线的对称轴对称的点 P'的坐标.9. 下表是一组二次函数 y=x 2+3x-5 的自变量 x 与函数值 y 的对应值:x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y-1-0.490.040.591.16则方程 x 2+3x-5=0 的一个近似根是()A.1B.1.1C.1.2D.1.310. 若二次函数 y=ax 2-2ax+c 的图象经过点(-1,0),则方程 ax 2-2ax+c=0 的解为( )A.x 1=-3,x 2=-1B.x 1=1,x 2=3C.x 1=-1,x 2=3D.x 1=-3,x 2=111. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的对称轴为直线 x=-1,部分图象如图所示,下列判断:4①abc>0;②b 2-4ac>0;③9a-3b+c=0;④若点(-0.5,y 1),(-2,y 2)均在抛物线上,则 y 1>y 2;⑤5a-2b+c<0.其中正确的个数为()A.2B.3C.4D.5★12.已知 m ,n 是方程 x 2-6x+5=0 的两个实数根,且 m<n ,抛物线 y=-x 2+bx+c 经过点 A (m ,0),B (0,n ),如图.(1) 求这个抛物线的解析式;(2) 设(1)中抛物线与 x 轴的另一交点为 C ,抛物线的顶点为 D ,试求出点 C ,D 的坐标和△BCD 的面积;(3)P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH ⊥x 轴,与抛物线交于点 H ,若直线 BC 把△PCH 分成面积之比为 2∶3 的两部分,请求出点 P 的坐标.★13.已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象过点 A (2,0),且与函数 y=-3x+3 的图象相交于 B ,C 两点,点 B在 x 轴上,点 C 在 y 轴上.4 2� (1) 求该二次函数的解析式.(2) 若 P (x ,y )是线段 BC 上的动点,O 为坐标原点,试求△AOP 的面积 S △AOP 与 x 之间的函数解析式,并求自变量 x 的取值范围.(3) 是否存在这样的点 P ,使 PO=AO ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案夯基达标1.B ∵抛物线 y=2x 2+mx+8 与 x 轴只有一个交点,∴Δ=m 2-4×2×8=0.∴m=±8.又对称轴位于 y 轴左侧,∴m=8.2.C A.由 b 2-4ac=(-2m )2+12=4m 2+12>0,可知二次函数的图象与 x 轴有两个交点,此选项正确,不符合题意;B. 方程 x 2-2mx=3 的两根之积为�=-3,此选项正确,不符合题意;�C.m 的值不能确定,故它的图象的对称轴位置无法确定,此选项错误,符合题意;D.∵a=1>0,对称轴为 x=m ,∴x<m 时,y 随 x 的增大而减小,此选项正确,不符合题意.故选 C.3.B 由题意得,函数 y=x 2+x+m 的图象位于 x 轴上方,且与 x 轴无交点,故Δ=12-4m<0,解得 m>1.4.B 根据二次函数的图象知:抛物线开口向上,则 a>0;抛物线的对称轴在 y 轴右侧,则 x=- �>0,即 b<0;抛物线交 y 轴于负半轴,则 c<0;因为 abc>0,所以抛物线与 x 轴有两个不同的交点,22 22 2所以Δ=b 2-4ac>0,故选 B .5.答案不唯一,只要满足 c>4 即可,如 5 等 二次函数 y=x 2-4x+c 的图象与 x 轴没有交点,则一元二次方程 x 2-4x+c=0 的判别式Δ=16-4c<0,即 c>4,因此,只要满足 c>4 的任何一个整数值均可.6.(1)y=(x-1)2-1 (2)-1 或 3 (3)小于 0 或大于 2 大于 0 且小于 27.解 函数 y=-1x 2+x+2 的图象如图. 设方程-1x 2+x+2=0 的两根分别为 x 1,x 2,且 x 1<x 2,观察图象可知-2<x 1<-1,3<x 2<4.因为当 x=-1 时,y=-1×(-1)2-1+2=0.5>0,当 x=-1.5 时,y=-1×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0, 所以-1.5<x 1<-1.因为当 x=3 时,y=-1×32+3+2=0.5>0,当 x=3.5 时,y=-1×3.52+3.5+2=-0.625<0,22所以 3<x 2<3.5.列表如下:x -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 y -0.625 -0.38 -0.145 0.08 0.295 x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 y0.2950.08-0.145-0.38-0.625所以方程-1x 2+x+2=0 的根 x 1 的近似值为-1.2,x 2 的近似值为 3.2.8.解 (1)由题意可知抛物线对应的一元二次方程的判别式Δ>0,且 m ≠0,即 b 2-4ac=(3-2m )2-4m (m-2)>0,且 m ≠0,解得 m<9,且 m ≠0.4(2) 当 x=1 时,由题意得 m+(3-2m )+m-2=1,符合函数解析式,所以点 P (1,1)在抛物线上.2 22�(3)因为 m=1,所以 y=x2+x-1= � + 12 − 54所以 Q - 1 ,- 2 4根据对称性可得 P'(-2,1).培优促能9.C 观察表格可知 0.04 更接近于 0,所以 1.2 是所求方程的一个近似根.故选 C .10.C 由题意知函数 y=ax 2-2ax+c 的图象的对称轴是直线 x=--2�=1.因为图象经过点(-1,0),设另一个2�交点为(x 2,0),则-1+�2=1,解得 x 2=3.因此图象与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1,0),(3,0),所以方程 ax 2-2ax+c=0 的解为-1 和 3.故选 C .11.B ∵抛物线的对称轴为 x=-1,经过点(1,0),∴- �=-1,a+b+c=0.∴b=2a ,c=-3a.∵a>0,∴b>0,c<0,∴abc<0,故①错误;∵抛物线与 x 轴有两个不同的交点,∴b 2-4ac>0,故②正确;∵抛物线与 x 轴交于(-3,0),∴9a-3b+c=0,故③正确;∵点(-0.5,y 1),(-2,y 2)均在抛物线上,又-1.5>-2,则 y 1<y 2,∴④错误;∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a<0,∴⑤正确.故选 B .12.解 (1)解方程 x 2-6x+5=0,得 x 1=5,x 2=1.由 m<n ,可知 m=1,n=5,所以点 A ,B 的坐标分别为(1,0),(0,5). 将(1,0),(0,5)分别代入 y=-x 2+bx+c ,得 -1 + � + � = 0,解这个方程组得 � = -4,� = 5, � = 5,所以抛物线的解析式为 y=-x 2-4x+5..2 2 4 16� + 4� +3 =0 或 2 (2)由 y=-x 2-4x+5,令 y=0,得-x 2-4x+5=0,解这个方程,得 x 1=-5,x 2=1,所以点 C 的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算得点 D (-2,9).如图,过点 D 作 x 轴的垂线,交 x 轴于点 M ,则 S △DMC =1×9×(5-2)=27,22S MDBO =1×2×(9+5)=14,S △BOC =1×5×5=25,所以 S △BCD =SMDBO +S △DMC -S △BOC =14+27 − 25=15.梯形222梯形22(3) 设点 P 的坐标为(a ,0),因为线段 BC 过 B ,C 两点,所以 BC 所在的直线方程为 y=x+5.那么,PH 与直线 BC 的交点 E 的坐标为(a ,a+5),PH 与抛物线 y=-x 2-4x+5 的交点 H 的坐标为(a ,-a 2-4a+5). 由题意,得①EH=3EP , 即(-a 2-4a+5)-(a+5)=3(a+5), 3 a=-5(舍去).②EH=2EP ,即(-a 2-4a+5)-(a+5)=2(a+5),3解这个方程,得 a=-233a=-5(舍去).因此点 P 的坐标为 - 3 ,0 或 - 2,0 .23创新应用13.解 (1)由题意可知,函数 y=-3x+3 的图象与 x 轴交于点 B (4,0),与 y 轴交于点 C (0,3).所以 c=3.把 A (2,0),B (4,0)代入 y=ax 2+bx+3,得 4� + 2� + 3 = 0,解得 , � = 3,8 � = - 9.4解这个方程,得 a=- 或40 所以所求函数的解析式为 y=3x 2-9x+3.84(2)如图所示,S △AOP =1OA ·y=1×2·y=y=-3x+3(0≤x<4).224(3)不存在这样的点 P ,使 PO=AO.理由:设存在这样的点 P (x 0,y 0),满足 PO=AO ,则 PO=2.如图,PO= �2 + �2,所以�2 + �2=4.又因为 y 0=-3x 0+3,所以 25�2-72x 0+80=0.因为 b 2-4ac=(-72)2-4×25×80=-2 816<0,所以此一元二次方程无解.故不存在这样的点 P ,使 PO=AO.。
22-2 二次函数与一元二次方程同步练习人教版数学九年级上册
22.2 二次函数与一元二次方程同步练习 2022-2023学年人教版数学九年级上册一、单选题1．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的对称轴是直线（）A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1 2．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（）A．m＜p＜q＜n B．m＜p＜n＜q C．p＜m＜n＜q D．p＜m＜q ＜n3．定义符号min{a，b}的含义为：当a＞b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，-3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4，则min{﹣x2+2，﹣x}的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．04．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围是（）A．－0.03＜x＜－0.01 B．－0.01＜x＜0.02C．6.18＜x＜6.19 D．6.17＜x＜6.185．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）＜0D．b2+4ac A．a＞0 B．c＞0 C．−b2a＞06．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝1，如果关于x的方程ax2+bx﹣6＝0（a≠0）的一个根为2，那么该方程的另一个根为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．37．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，−12<x<13．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．8．如图所示二次函数y＝ax2+bx+c的图象的一部分，图象过点（﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1，以下结论：①2a﹣b＝0；②abc＜0；③当﹣3＜x＜1时，y＞0；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝t（t为常数，t≥0）的根为整数，则t的值只有3个.其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题9．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是. 10．形如：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，它的图象是一条抛物线．类比一元一次方程的解可以看成两条直线的交点的横坐标；则一元二次方程x2+x﹣3=0的解可以看成抛物线y=x2+x﹣3与直线y=0（x轴）的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y=x2与直线y=的交点的横坐标；也可以看成是抛物线y= 与直线y=﹣x的交点的横坐标；11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为．12．如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为．13．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为三、解答题14．若二次函数y=x2+bx−3的对称轴为直线x=1，求关于x的方程x2+bx−3=5的解.15．已知二次函数y=−x2+(m−2)x+m+1.试证明：不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点16．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，已知点A在点B的左侧，求点A 和点B的坐标．17．已知二次函数y=x2﹣4x．（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．18．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(4,5)与点B(0,−3)，且与x轴交于点C、D .（1）求该二次函数的表达式，以及与x轴的交点坐标.（2）若点Q(m,n)在该二次函数图象上，①求n的最小值；②若点Q到x轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m的取值范围.19．在一次科学实验中，测得某物体的初始温度为30°C .现以每秒2°C的速度下降.设经过的时间为x秒，物体的温度为y°C .物体的温度随时间变化规律的函数解析式为y=−2x+30，函数大致图象如图1所示.（1）几秒后物体的温度变为0°C？对于这个问题①从方程的角度看，实际上就是求方程：的解；②从图象的角度看，就是求函数图象与x轴交点的坐标；③从函数解析式的角度看，就是求函数值为时，对应的x值.④基于以上分析与思考，可得到：秒后物体的温度变为0°C .（2）请运用以上方法解决如下问题：函数y=x2−4x+3的图象如图2所示，则方程x2−4x+3=0的解为.参考答案1．C2．C3．C4．C5．C6．C7．A8．B9．3或-110．﹣x+3；x2﹣311．x1=−3，x2=112．−2+2√513．-314．解：∵二次函数y=x2+bx−3的对称轴为直线x=1，∴x=−b2a =−b2×1=1，解得b=−2.将b=−2代入x2+bx−3=5中，得：x2−2x−3=5，解得x1=−2，x2=4.15．证明：由题意，知二次函数对应的方程−x2+(m−2)x+m+1=0的判别式为b2−4ac=(m−2)2−4×(−1)×(m+1)=m2−4m+4+4m+4=m2+8 .因为m2≥0，所以m2+8>0，即b2−4ac>0，所以不论m取何值，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.16．解：当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，所以A(−1，0)，B(3，0)．17．解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4），如图，（2）当0≤x ≤4时，y ≤0．（3）由图象可知，x 2﹣4x=5的解为x 1=﹣1，x 2=5．18．（1）解：将点 A 、 B 的坐标代入抛物线表达式得 {5=16+4b +c c =−3 ，解得 {b =−2c =−3 ，故抛物线的表达式为 y =x 2−2x −3 ， 令 y =x 2−2x −3=0 ，解得 x =3 或 −1 ， 故抛物线与 x 轴的交点坐标为 (3,0) 、 (−1,0) ； （2）解：①y =x 2−2x −3=(x −1)2−4⩾−4 ， 故 n 的最小值为 −4 ；②令 |y|=|x 2−2x −3|=3 ，解得x=0、 x =2 或 1±√7 ， 故 m 的取值范围的 1−√7<m <0 或 2<m <1+√7 . 19．（1）-2x+30=0；横；0；15 （2）x=1或x=3。
新人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 练习
新人教版九年级数学上册22.2 二次函数与一元二次方程 练习1．二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32.已知：二次函数24y x x a =-+，下列说法错误的是（ ）A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小;B ．若图象与x 轴有交点，则4a ≤;C ．当3a =时，不等式24x x a -+＞0的解是1＜x ＜3;D ．若将图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位后过点（1，－2），则3a =-.3．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表： x … 3- 2- 0 1 3 5 … y… 7 0 8- 9- 5- 7 … 二次函数y ax bx c =++图象的对称轴为x = ，2x =对应的函数值y = 。
4.如图,抛物线的对称轴是1x =，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点的坐标是(3,0)，则A 点的坐标是 .5.已知抛物线241y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，则A 、B 两点间的距离为 。
6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．7．如图二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于C 、D 两点，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D.(1)求D 点的坐标;(2)求一次函数的表达式;(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.8．如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边），试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ．试判断：PB PA +与BC AC + 的大小关系，并说明理由.9.已知:二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A,B 两点,其中A 点坐标为(-3,0),与y 轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值;。
九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程同步测试 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中九年
二次函数与一元二次方程1．对抛物线y ＝－x 2＋2x －3而言，下列结论正确的是( D ) A ．与x 轴有两个交点 B ．开口向上C ．与y 轴的交点坐标是(0，3)D ．顶点坐标是(1，－2)【解析】 A 项，∵Δ＝22－4×(－1)×(－3)＝－8＜0，∴抛物线与x 轴无交点，本选项错误；B 项，∵二次项系数－1＜0，∴抛物线开口向下，本选项错误；C 项，当x ＝0时，y ＝－3，∴抛物线与y 轴交点坐标为(0，－3)，本选项错误；D 项，∵y ＝－x 2＋2x －3＝－(x －1)2－2，∴抛物线顶点坐标为(1，－2)，本选项正确．故选D. 2．抛物线y ＝－3x 2－x ＋4与坐标轴的交点的个数是( A ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【解析】 抛物线解析式y ＝－3x 2－x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴抛物线与y 轴的交点为(0，4)；令y ＝0，得到－3x 2－x ＋4＝0，即3x 2＋x －4＝0，解得x 1＝－43，x 2＝1，∴抛物线与x 轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0，(1，0)．综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3. 3．[2012·资阳]如图22－2－1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( D ) A ．－1＜x ＜5 B ．x ＞5C ．x ＜－1且x ＞5D ．x ＜－1或x ＞5【解析】 由图象得：抛物线的对称轴是x ＝2，抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(5，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．利用图象可知：ax 2＋bx ＋c ＜0的解集即是y ＜0的解集，即x ＜－1或x ＞5.图22－2－1图22－2－24．某涵洞的形状是抛物线形，解析式为y＝－x2，它的截面如图22－2－2所示，现测得涵洞的顶点O到水面的距离为9 m，则水面宽AB为( B )A．3 m B．6mC．9 m D．18 m【解析】设B点的横坐标为x0，根据题意得－x02＝－9，x02＝9，x0＝3，所以AB＝2x0＝6.5．[2013·某某]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图22－2－3所示，则下列结论中正确的是( B )图22－2－3A．a>0B．当－1<x<3时，y>0C．c<0D．当x≥1时，y随x的增大而增大6．已知抛物线与x轴的一个交点为A(1，0)，对称轴是x＝－1，则抛物线与x轴的另一交点的坐标是( B ) A ．(－2，0) B ．(－3，0) C ．(－4，0) D ．(－5，0)【解析】 设抛物线与x 轴的另一个交点为B (b ，0)，∵抛物线与x 轴的一个交点为A (1，0)，对称轴是x ＝－1，∴1＋b2＝－1，解得b ＝－3，∴B (－3，0)．7．若二次函数y ＝－x 2＋2x ＋k 的部分图象如图22－2－4所示，关于x 的一元二次方程－x 2＋2x ＋k ＝0的一个解x 1＝3，则另一个解x 2＝__－1__．图22－2－4【解析】 根据二次函数图象的对称性知图象与x 轴的另一个交点为(－1，0)，则另一个解x 2＝－1.8．如图22－2－5，已知二次函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点，则点A 的坐标为__(0，4)__，点C 的坐标为__(8，0)__．【解析】 令y ＝0，则－14x 2＋32x ＋4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝8，所以点C 的坐标为(8，0)；令x ＝0，得y ＝4，所以点A 的坐标为(0，4)．图22－2－5图22－2－69．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－6所示，则(1)这个二次函数的解析式为__y＝x2－2x__；(2)当x＝__－1或3__时，y＝3；(3)根据图象回答：当__x＜0或x＞2__时，y＞0；当0＜x＜2时，y＜0.【解析】设二次函数解析式为y＝a(x－1)2－1，∵图象过(0，0)点，∴0＝a(0－1)2－1，∴a＝1，∴y＝(x－1)2－1，即y＝x2－2x.令y＝3，得x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，所以当x＝－1或3时，y ＝3.观察图象可得y＞0和y＜0时对应的x的取值X围．10．如图22－2－7，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，且与y轴交于点D(0，3)，求该抛物线的解析式．图22－2－7解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过M(1，0)和N(3，0)两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)．∵抛物线与y轴交于点D(0，3)，∴把D点坐标代入y＝a(x－1)(x－3)得a＝1，∴y＝x2－4x＋3.11．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3【解析】∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是x＝3 2 .又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是x1＝1，x2＝2.12．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－8所示，则下列关系式错误的是( D )图22－2－8A．a＞0 B．c＞0C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0【解析】 A．∵抛物线的开口向上，∴a＞0，正确；B．∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，正确；C．∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，正确；D．把x＝1代入抛物线的解析式得：y＝a＋b＋c＜0，错误，故选D.13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－9所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0，②2a＋b＝0，③b2－4ac＜0，④4a＋2b＋c＞0其中正确的是( C )图22－2－9A．①③ B．只有②C．②④ D．③④【解析】∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵－b2a＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，①错误；∵对称轴为直线x＝1，∴－b2a＝1，即2a＋b＝0，②正确，∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，③错误；∵对称轴为直线x＝1，∴x＝2与x＝0时的函数值相等，而x＝0时对应的函数值为正数，∴4a＋2b＋c＞0，④正确；则其中正确的有②④.14. 若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__0或1__．【解析】 (1)若m ＝0，则函数y ＝2x ＋1，是一次函数，与x 轴只有一个交点； (2)若m ≠0，则函数y ＝mx 2＋2x ＋1，是二次函数． 根据题意得Δ＝4－4m ＝0， 解得m ＝1.图22－2－1015．如图22－2－10，二次函数y ＝12x 2－x ＋c 的图象与x 轴分别交于A ，B 两点，顶点M关于x 轴的对称点是M ′.(1)若A (－4，0)，求二次函数的解析式； (2)在(1)的条件下，求四边形AMBM ′的面积．解：(1)∵点A (－4，0)在二次函数y ＝12x 2－x ＋c 的图象上，∴0＝12×(－4)2－(－4)＋c ，解得c ＝－12，∴二次函数的关系式为y ＝12x 2－x －12.(2)由(1)知y ＝12x 2－x －12，∴－b 2a ＝－－12×12＝1.当x ＝1时，y ＝12×12－1－12＝－252，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－252. 令y ＝0，得12x 2－x －12＝0，解得x 1＝－4，x 2＝6，∴B (6，0)，AB ＝||－4－6＝10. 又∵点M ′与点M 关于x 轴对称， ∴S 四边形AMBM ′＝12×AB ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－252×2＝125. 16．已知：一元二次方程12x 2＋kx ＋k －12＝0(1)求证：不论k 为何实数，此方程总有两个实数根；(2)设k <0，当二次函数y ＝12x 2＋kx ＋k －12的图象与x 轴的两个交点A ，B 间的距离为4时，求出此二次函数的解析式．解：(1)证明：∵Δ＝k 2－4·12(k －12)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2不论k 为何实数，(k －1)2≥0∴不论k 为何实数，此方程总有两个实数根；(2)∵二次函数y ＝12x 2＋kx ＋k －12的图象与x 轴的两个交点A ，B 间的距离为4.∴2（k －1）2＝4， ∴(k －1)2＝4 解得k 1＝3，k 2＝－1 又∵k <0 ∴k ＝－1. ∴y ＝12x 2－x －3217．已知二次函数y ＝k (x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －3k 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是( C ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】 y ＝k (x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －3k ＝(x ＋1)(kx －3)，所以抛物线经过点A (－1，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ，0，C (0，－3)，所以AC ＝OA 2＋OC 2＝12＋32＝10.①当k >0，点B 在x 轴的正半轴时，若AC ＝BC ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋32＝10，解得k ＝3；若AC ＝AB ，则3k ＋1＝10，解得k ＝310－1；若AB ＝BC ，则3k＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋32，解得k ＝34.②当k <0，点B 在x 轴的负半轴时，点B只能在点A 的左侧，只可能有AC ＝AB ，则－1－3k＝10，解得k ＝－310＋1，所以能使△ABC 为等腰三角形的抛物线共有4条，故选C.。
人教版 九年级 上册 22.2二次函数与一元二次方程 同步练习(带答案)
二次函数与一元二次方程同步练习一、选择题1.坐标平面上某二次函数图形的顶点为(2,−1)，此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ=6.若此函数图形通过(1,a)、(3,b)、(−1,c)、(−3,d)四点，则a，b，c，d 中是正数的是()A. aB. bC. cD. d2.已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m2−m+2014的值为()A. 2012B. 2013C. 2014D. 20153.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是()A. x<2B. x>−3C. −3<x<1D. x<−3或x>1抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m+1,n)，B(m−9,n)，则n=()A. 16B. 18C. 20D. 254.函数y=(m−2)x2+2x+1的图象与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是()A. m≤3B. m≥3C. m≤3且m≠2D. m<35.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是()A. 无实数根B. 有两个相等实数根C. 有两个异号实数根D. 有两个同号不等实数根6.设一元二次方程(x−1)(x−2)=m(m>0,α<β)的两实根分别为α，β，则α，β满足()A. 1<α<β<2B. α<1且β>2C. α<1<β<2D. 1<α<2<β7.若关于x的函数y=kx2+2x−1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为()A. −1或0B. 1C. 0D. −18.二次函数y=x2−4x+2c2的图象的顶点在x轴上，则c的值是()A. 2B. −2C. −√2D. ±√29.二次函数y=x2+kx+2k−1与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，且x12+x22=7，则k=()A. 5B. −1C. 5或−1D. −5或110.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是()A. 抛物线开口向上B. 抛物线与y轴交于负半轴C. 当x=4时，y>0D. 方程ax2+bx+c=0的正根为α，则2<α<311.二次函数y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表所示，则下列结论中，正确的个数有()。
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二次函数与一元二次方程●基础巩固1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______.2.二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y>0.图1图24.某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.如图2，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 8.若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.9.已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).10.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x=______时，梯形面积最大，等于______.11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.A B D12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的 零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.13.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ） ①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是a b ac 442;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个14.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是 A.有两个不相等的正实数根 ;B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根;D.没有实数根.15.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47;B.k ≥－47且k ≠0;C.k ≥－47;D.k >－47且k ≠016.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.424 mB.6 mC.15 mD.25 mxy 8O5 m 12m ABCD x y2.4 12O图4图5图617.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( ) A.1B.3C.4D.618.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( ) A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图5所示)，则下列结论正确的是( )①a <－601 ②－601<a <0③a －b +c >0 ④0<b <－12aA.①③B.①④C.②③D.②④20.把一个小球以20 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t －5t 2.当h=20 m 时，小球的运动时间为（ ）A.20 sB.2 sC.(22+2) sD.(22－2) s 21.如果抛物线y=－x 2+2(m －1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是( ) A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<122.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x 、y 轴分别相交于A 、C 两点，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点c 且与一次函数在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( )A.(－21，411)B.(－21，45)C.(21，411)D.(21，－411)23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )A.y=25x+15B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.5 24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－121x 2+32x+35，则该运动员此次掷铅球的成绩是( )A.6 mB.12 mC.8 mD.10 m图7图8图925.某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m26.求下列二次函数的图像与x 轴的交点坐标,并作草图验证.(1)y=12x 2+x+1; (2)y=4x 2-8x+4; (3)y=-3x 2-6x-3; (4)y=-3x 2-x+427.一元二次方程x 2+7x+9=1的根与二次函数y=x 2+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根. (1)4x 2-8x+1=0; (2)x 2-2x-5=0; (3)2x 2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0.29.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图像与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.●能力提升30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？31.已知二次函数y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象的对称轴是x =2，且最高点在直线y =21x +1上，求这个二次函数的表达式.32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m ？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.36.把一个数m分解为两数之和，何时它们的乘积最大？你能得出一个一般性的结论吗？●综合探究37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x 的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：a(1)按照要求填表：(2)写出当n=10时，S=______;(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.参考答案1.262.41 大 －83没有3.①x 2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y =x 2－3x －105. m >29 无解 6.y =－x 2+x －1 最大7.y =－81x 2+2x +1 16.58. 2 9.b 2－4ac>0(不唯一)10 . 15 cm 23225 cm 211.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 62513.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D25.B 〔提示：设水流的解析式为y=a(x －h)2+k,∴A(0，10)，M(1，340). ∴y=a(x －1)2+340，10=a+340. ∴a=－310.∴y=－310(x －1)2+340.令y=0得x=－1或x=3得B(3，0), 即B 点离墙的距离OB 是3 m26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(43,0),草图略.27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.28.(1)x 1≈1.9,x 2≈0.1;(2)x 1≈3.4,x 2≈-1.4;(3)x 1≈2.7,x 2≈0.6;(4)x 1≈1.6,x 2≈-0 .629.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以==│-3│=3.C △ABC =AB+BC+AC=2+ S △ABC =12AC ·OB=12×2×3=3.30．(1)y =－2x 2+180x －2800. (2)y =－2x 2+180x －2800 =－2(x 2－90x )－2800 =－2(x －45)2+1250. 当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元.31．∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =21x +1上. ∴y =21×2+1=2.∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2).∴－a b2=2.∴－)2(242--m m =2. 解得m =－1或m =2. ∵最高点在直线上，∴a <0, ∴m =－1.∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2). ∴2=－4+8+n .∴n =－2. 则y =－x 2+4x +2.32(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +-∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x )=－31(x －25)2+3625,∴当x =25时，y 最大=3625,即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2.(2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为n x-50m.∴y =n x -50·x =－n 1x 2+n 50x=－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n 625,当x =25时，y 最大=n 625,即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n 625m 2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 33(1)如下表(2)I =2·(2v )2=4×2v 2.当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍. 34(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c .由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===-.5.3,0,2.0,5.15.105.3,5.3,022c b a c b a c a b 得∴抛物线的表达式为y =－0.2x 2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为 h +1.8+0.25=(h +2.05) m,∴h+2.05=－0.2×(－2.5)2+3.5,∴h=0.2(m).35 (1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元.②前4月份亏盈吃平.③前5月份盈利2.5万元.④1~2月份呈亏损增加趋势.⑤2月份以后开始回升.(盈利)⑥4月份以后纯获利.……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y=21(x －2)2－2,当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一).36．设m=a+b y=a ·b,∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m)2+42a ,当a=2m时，y 最大值为42a .结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大.37．(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元, 死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000.(3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元.38．(1)10 (2)55 (3)(略).(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上. 设函数的解析式为S=an 2+bn+c.由题意知 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0.c ,21b ,21a ,639,324,1解得c b a c b a c b a ∴S=.21212n n +。