直线与平面的位置关系课件4
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3-4.4(直线与平面的位置关系)--线性代数PPT
3x 4 y z 10 0，且与直线 l1 :
x1 3
y3 1
z 2
相交.
答案： 1. 4x 6 y 3z 8 0;
2. x 1 y z 4 . 48 37 4
空间直线
空间直线
整理得 : x (4 3) y z (24 17) 0
由 (2，2，1) (1，4 3，) 0 解得： 10
7
代入 : x (4 3) y z (24 17) 0 化简： : 7x 2 y 10z 2 0 从而投影直线为：
l :
l与l 的夹角 称为l与的夹角.
则
n
s
l
s，n
2
s，n
2
， ，
s，n
2
s，n .
2
l
从而 sin s n
Am Bn Cp
sn
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
空间直线
例1 判定直线 l : x 1 y 2 z
1 2 2
与平面 : x 4 y z 1 0
过 M 作平面 与l1 垂直， 与l1的交点即为N.
M
l
N
i
l1 的方向向量
s1 1
j 1
k 2
9i 5 j 7k.
341
空间直线
过M(2,5,-2)且与l 垂直的平面
: -9(x - 2) +5(y - 5) +7(z + 2) = 0.
9x - 5y - 7z - 7 = 0. (1)
从而投影直线为
l :
7x 2 y 10z 2 0 2x 2 y z 11 0
空间直线
主要 1. 直线与平面的位置关系 内容 2. 平面束
直线和平面的位置关系
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
P
P
D1
C1
A
D
O
A
B
C
(1)
(2)
A1 C
D
B1 C
MA
B
B
(3)
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
直线和平面
在日常生活中，我们可以观察到直线与平面 的位置关系共有三种。
即：平行、相交、在平面内。 其中直线在平面内，由基本性质1决定。 对于直线和平面的前两种位置关系，分别给
出下面的定义。
定义1 如果一条直线和一个平面没有公共点，那 么称这条直线和这个平面平行。
直线l与平面平行， 记作l //,即l
∴PC是平面ABC的斜线
∴AC是PC在平面ABC上的射影A
∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC
∴由三垂线定理得
PC ⊥ BC
B C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
在PAO中，
P
sin PAO PO 8 1 PAO 30
PA 16 2
A
同理 : sin PBO PO 8 PB 10
O
B
PBO 538
三垂线定理及逆定理
P oa
A α
预习：
三垂线定理
什么叫平面的斜线、垂线、射影？
P
oa
α
A
PO是平面α的斜线,
O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO
直线和平面的位置关系PPT完美课件
应用举例1 （2）点A是平面外的一点，过A和 平面平行的直线有 无数 条。
A α
应用举例1
（3）点A是直线l 外的一点，过A 和直线l 平行的平面有无数 个。
A
应用举例1
（4）过两条平行线中的一条和另 一条平行的平面有 无数 个。
直线和平面的位置关系PPT完美课件
应用举例1
（5）过两条异面直线中的一条和另 一条平行的平面有 且仅有一 个。
直线和平面的位置关系PPT完美课件
直线和平面的位置关系PPT完美课件
应用举例1
（6）如果l1 // l2 , l1 平行于 平面,则l2 或 // 平面
l2 l1
l2
直线和平面的位置关系PPT完美课件
直线和平面的位置关系PPT完美课件
应用举例1
（7）如果两直线a，b相交,a平行于 平面，则b与平面的位置关系 是 相交或平行 。
知识三
线面平行的性质
(1)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面无公共点
(2)如果一条直线与一个平面平行， 则这条直线与这个平面内的直线成 异面直线或平行直线 (3)如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相 交，则这条直线与交线平行。
直线和平面的位置关系PPT完美课件
2、如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF
所在平面交于AB, M.N分别是对角线上
的点，AM=FN，求证:MN//面BCE。
A
DM B
F
N
∵△AFN∽ △BNH
∴ AN/NH=FN/BN ∴ AN/NH=AM/MC
EH
∴ MN//CH
C
∴ MN //面BCE
直线和平面的位置关系PPT完美课件
1、直线和平面有哪几种位置关系？PPT完美课件
•
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
•
6.了解和名著有关的作家作品及相关 的诗句 、名言 、成语 和歇后 语等， 能按要 求向他 人推介 某部文 学名著 。
•
7.能够根据所提供的有关文学名著的 相关语 言信息 推断作 品的作 者、作 品的名 称和人 物形象 ，分析 人物形 象的性 格和作 品的思 想内容 并进行 简要评 价。
P A B1A M ,P CB1C N ,
求证 M/N ： 平 / A 面 BCD D 1
C1
A1
B1
M D
P N
C
A
B
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
证明:
D1
连结AC、A1C1 长方体中 A1A//C1C A1C1 // AC
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
证明平行的 转化思想：
线//线
小结
(1)平行公理 (2)三角形中位线 (3)平行线分线段成比例 (4)相似三角形对应边成比例 (5)平行四边形对边平行
线//面
面//面
要证 a//，通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
1、直线和平面有哪几种位置关系？PP T完美 课件
练习(P68习题5) 1、直线和平面有哪几种位置关系？PPT完美课件
已知：如图，AB//平面 ，AC//BD,且
AC、BD与 分别相 交于点C, D.
人教A版 选择性必修第一册 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件(12张)
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
a
b
P
v
n
1.2.2
空间中的平面与空间向量
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
=(0,2,-1),
∵ ∥ ,∴y(-1)-2(z-1)=0,①
∵=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量,
又=(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB,∴ ⊥ ,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.
1
∴y=1,代入①得 z=2,∴E 是 PD 的中点,
∴当点 E 为 PD 中点时,CE∥平面 PAB.
面面平行
设n1 , n2分别是平面，的法向量，则 ∥ n1 // n2
R, 使n1 n2
2.思想方法总结
（1）向量的代数法 、几何法 （2）三点共线（3）转化与化归
0 1,
设点P满足B1 P B1C，
则B1 P 3 ,0,2 ，所以
A1 P A1 B1 B1 P 3 ,4,2
D1z
A1
C1
B1
O
A
x
1
令n A1 P 0，得 12 12 12 0，解得 ，
2
1
归纳总结
1.知识总结
位置关系
向量表示
线线平行
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
答案:D
符号语言 a⊂α a∩α=A a∥α
二、平面和平面的位置关系
问题思考 1.观察前面问题中的长方体,平面A1C1与长方体的其余各个面,两 两之间有几种位置关系? 提示:两种位置关系:两个平面相交或两个平面平行. 2.平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达? 提示:平面与平面平行的符号语言是:α∥β;图形语言是:
因思考不全面致错 【典例】 设P是异面直线a,b外的一点,则过P与a,b都平行的平面 () A.有且只解如图,过P作a1∥a,b1∥b.
∵a1∩b1=P,∴过a1,b1有且只有一个平面.故选A.
提示:以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何 改正?如何防范?
∴在平面α内与b平行的直线都与a平行,故④正确.
答案:A
反思感悟直线与平面的位置关系有三种,即直线在平面内,直线 与平面相交,直线与平面平行.
(1)判断直线在平面内,需找到直线上两点在平面内,根据公理1知 直线在平面内.
(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一 个公共点.
(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点, 也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直 线与平面平行.
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
一、直线和平面的位置关系 问题思考
1.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,线段BC1所在的直线与 长方体的六个面所在的平面有几种位置关系?
提示:三种位置关系:(1)直线在平面内;(2)直线与平面相交;(3)直 线与平面平行.
2.如何用图形表示直线与平面的位置关系?这种位置关系如何用 符号语言表示?
答案:C
(2)如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那
《空间平面与直线》课件
平面与直线在解析几何中的应用
01
在解析几何中，平面和直线是重 要的研究对象，它们可以用代数 方程来表示和研究。
02
通过建立平面和直线的代数方程 ，可以研究它们的交点、平行性 、垂直性等性质，从而解决解析 几何中的问题。
平面与直线在现实生活中的应用
平面与直线在现实生活中的应用非常 广泛，它们在建筑设计、机械制造、 交通运输等领域都有重要的应用价值 。
《空间平面与直线》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 空间平面与直线的定义 • 空间平面与直线的关系 • 空间平面与直线的应用 • 空间平面与直线的证明方法 • 空间平面与直线的综合题解析
01 空间平面与直线的定义
平面与直线的几何定义
平面
在空间中，由无数条平行直线所 构成的无限延展的二维图形。
这道题目考查了点到平面的距离。解题时需要利用点到平面的距离公式，通过已知点和平面方程，计 算点到平面的距离。同时需要注意计算精度和误差控制。
综合题三解析
总结词
考查平面与平面的位置关系
详细描述
这道题目考查了平面与平面的位置关系，包括平行、相交和重合的情况。解题时需要利 用空间几何的性质和定理，判断两个平面的位置关系，并进一步求解相关问题。同时需
直线性质
直线具有无限延长性、笔直性、不可弯曲性等性质。
02 空间平面与直线的关系
平面与直线之间的位置关系
01
02
03
平行关系
当直线与平面平行且不包 含于平面时，它们之间没 有公共点。
相交关系
当直线与平面相交时，它 们会有一个或多个公共点 。
垂直关系
当直线与平面垂直时，它 们之间的角度为90度。
平面与直线之间的角度关系
平面与直线及两平面的相对位置关系PPT课件
二、 两平面相交（利用积聚性求交线）
两平面相交其交线为直线，交线是两平 面的共有线，同时交线上的点都是两平面的 共有点。
要解决的问题：
① 求两平面的交线 方法：⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。
② 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。
第7页/共18页
平面与平面相交
n●
h
● 1(2)
c
作 图
① 求交线 ② 判别可见性
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在 上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。
第10页/共18页
三. 直线与平面相交（利用辅助平面法求交点）
PV
1
k
2
步骤： 1．过EF作正垂平 面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
3．求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
2
k
1
第11页/共18页
示意图
以铅垂面为辅助平面求线面交点。
2 k
1
步骤： 1．过EF作铅垂平 面P。
2．求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
PH 1
3．求交线ⅠⅡ与 EF的交点K。
k 2
第12页/共18页
四、求两平面的交线
k 1 m m
k 1
PV n 2 e
2
l QV
两一般位置 平面相交，求交 线步骤：
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
Hale Waihona Puke fs第3页/共18页
第二节 相交问题
一、 直线与平面相交
直线与平面相交 平面与平面相交
交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。
空间中直线与平面之间的位置关系ppt课件
∨ 的任意一条直线都没有公共点。（ ）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例2、若直线a不平行平面 ，且 a
则下列结论成立的是（B ）
（A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
问题提出 1.空间点与直线，点与平面分别有
哪几种位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例题讲练:
例1.判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内,则
X
X X
l // 。（ ） （2）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
的任意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平
行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
探究（一）直线与平面之间的位置关系
思考1:一支笔所在的直线与一个作业本 所在的平面，可能有哪几种位置关系？
思考2:对于一条直线和一个平面，就其 公共点个数来分类有哪几种可能？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例2、若直线a不平行平面 ，且 a
则下列结论成立的是（B ）
（A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
问题提出 1.空间点与直线，点与平面分别有
哪几种位置关系？空间两直线有哪几 种位置关系？
2.就空间点、线、面位置关系而言， 还有哪几种类型有待分析？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
例题讲练:
例1.判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内,则
X
X X
l // 。（ ） （2）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
的任意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平
行，那么另一条也与这个平面平行.（ ）
（4）若直线 l 与平面 平行，则l 与平面 内
探究（一）直线与平面之间的位置关系
思考1:一支笔所在的直线与一个作业本 所在的平面，可能有哪几种位置关系？
思考2:对于一条直线和一个平面，就其 公共点个数来分类有哪几种可能？
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
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E P B1
C1
C
B
（2）在三棱锥P-ABC中，O是底面△ABC的垂心，若OP⊥底面ABC．求证： PA⊥BC ．
P
A
O
C
B
6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于 A，B的任一点，求证：BC⊥平面PAC． P
C
A
O
B
小结：
1．方法． 线面平行线线平行
线面垂直线线垂直
线面垂直线线平行 2．数学思想．
S F G D E C
A
B
数学应用：
3．如图，在正方体AC1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN为 直角，则∠C MN ＝ 90 ．
1
D1 A1
B1
C1
M
D N
C
A
B
数学应用
例3．已知∠BAC在平面内，点P在外，∠PAB ＝∠PAC．求证：点P 在平面内的射影在∠BAC的角平分线上． P
类比
转化
作业：zxxmk
课本41－42页习题第4，13，16．
附加题：
如图，一块正方体木料的上底面内有一点E，要经过点E在上底面内 画一条直线与CE垂直，应怎样画？
分析：因为CE 平面CEC1．所以只要找与平面CEC1垂直．
作法：连结C1E．
在平面A1B1C1D1内作C1E的垂线PE与C1E交于E点． A1 则直线PE就是所求作的直线. D A
形有
4
个．
P
A
C
B
数学应用：
例1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN∥平面PAD． P N Q D C M B
A
Q
数学应用：zxxk
例2．已知矩形ABCD中，过A点作SA⊥平面ABCD，再过点A作AE⊥SB 于点E，过点E作EF⊥SC于点F， (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥平面SDC．
E B A O F C
数学应用
4．（1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外 心，求证：PA＝PB＝PC．
（2）已知三棱锥P-ABC的三条棱PA＝PB＝PC，且O是 △ABC的外心，求 证：OP⊥平面ABC．
P
A
O
C
B
数学应用
5 （1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是O，若PA⊥BC， PB⊥AC，求证：O是△ABC的垂心 ．
高中数学 必修2
姓名：范金泉
单位：宿迁市马陵中学
数学应用：
1．在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线 互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的 是 ①、④ ．
2．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角
C1
C
B
（2）在三棱锥P-ABC中，O是底面△ABC的垂心，若OP⊥底面ABC．求证： PA⊥BC ．
P
A
O
C
B
6．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于 A，B的任一点，求证：BC⊥平面PAC． P
C
A
O
B
小结：
1．方法． 线面平行线线平行
线面垂直线线垂直
线面垂直线线平行 2．数学思想．
S F G D E C
A
B
数学应用：
3．如图，在正方体AC1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN为 直角，则∠C MN ＝ 90 ．
1
D1 A1
B1
C1
M
D N
C
A
B
数学应用
例3．已知∠BAC在平面内，点P在外，∠PAB ＝∠PAC．求证：点P 在平面内的射影在∠BAC的角平分线上． P
类比
转化
作业：zxxmk
课本41－42页习题第4，13，16．
附加题：
如图，一块正方体木料的上底面内有一点E，要经过点E在上底面内 画一条直线与CE垂直，应怎样画？
分析：因为CE 平面CEC1．所以只要找与平面CEC1垂直．
作法：连结C1E．
在平面A1B1C1D1内作C1E的垂线PE与C1E交于E点． A1 则直线PE就是所求作的直线. D A
形有
4
个．
P
A
C
B
数学应用：
例1．如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD 是平行四边形，求证：MN∥平面PAD． P N Q D C M B
A
Q
数学应用：zxxk
例2．已知矩形ABCD中，过A点作SA⊥平面ABCD，再过点A作AE⊥SB 于点E，过点E作EF⊥SC于点F， (1)求证：AF⊥SC； (2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥平面SDC．
E B A O F C
数学应用
4．（1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外 心，求证：PA＝PB＝PC．
（2）已知三棱锥P-ABC的三条棱PA＝PB＝PC，且O是 △ABC的外心，求 证：OP⊥平面ABC．
P
A
O
C
B
数学应用
5 （1）在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是O，若PA⊥BC， PB⊥AC，求证：O是△ABC的垂心 ．
高中数学 必修2
姓名：范金泉
单位：宿迁市马陵中学
数学应用：
1．在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；② 垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线 互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的 是 ①、④ ．
2．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角