实变函数论课件19 单调函数的结构

n
f (x0 hn ) hn
f (x0 ) .
若数列 n有界, 则存在子列{ nk }收敛于某数, 就是 f (x) 在 x0点的一个列导数；
若数列 n无界,不妨设上无界, 则存在子列{ nk }趋于 ,就是 f (x)在 x0 点的一个列导数.
命题 2 设 f (x) 是[a,b]上的有限函数, x0 [a,b], 则 f (x) 在 x0 点存在导数 f (x) 在 x0 点的所有列导数都相等.
令 N E Eˆ, 则 mN 0, g(x) 在[a,b] \ N 上处处存在有限导数,
因此 f (x) g(x) x在[a,b] \ N 上处处存在有限导数,即 f (x) 在[a,b] 上几乎处处可微.
6
定理 4 若 f (x) 是[a,b]上的单调不减函数, 则 f (x)是[a,b]上几乎处处有定义的非负可积函数,
容易看出
Epq x0 | D1g(x0 ) p q D2 g(x0 ) .
E Epq. 由引理2(i)(ii)知 ( p,q)A
q m*Epq m*g(Epq) p m*Epq.
由 p q 知 m*Epq 0, 从而 mE 0.记 Eˆ x0 | x0 [a,b] \ E, g(x0 ) , 由引理2(iii)知mEˆ 0.
f (x0 ) ( 0 , 0 ) n
0.
由命题1的证明过程, n必有一子列趋于某个数 , 是 f (x) 在 x0 的一个列导数.
从而 . 这与f (x) 在 x0 的所有列导数均为 相矛盾.
4
13 单调函数的微分性质
我们约定，今后凡说到单调函数均指有限单调函数。关于单调函数的连续性, 我们已经知道 :
定理1 设 f 是 [a, b] 上的单调递增函数，则 f 具有下列性质： (1) f 的不连续点全是第一类的； (2) f 的不连续点集至多可数； (3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不 超过 f (b) f (a) . 下面来讨论单。调函数的可微性.
引理2 设 f (x) 是 [a,b] 上的严格增函数, E [a,b].
1
1 2 列导数
定义2 设 f (x) 是 [a,b] 上的有限函数, x0 [a,b]. 若某一趋于0的数列hn（hn 0，x0 hn [a,b]）
使
lim f (x0 hn ) f (x0 )
n
hn
（ 为有限数或 ）, 就称 是 f (x) 在 x0 相应于 hn的列导数,记作Df (x0 ) .
定义3 设 f (x) 是 [a,b] 上的有限函数, x0 [a,b]. 若极限
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
存在（为有限数或 ）, 就称此极限值为 f (x) 在 x0的导数, 记作 f (x0 ).
若 f (x) 在 x0 存在有限的导数, 就称 f (x) 在 x0 可微.
证明 由导数的定义立即可知。
设 f (x) 在 x0 的所有列导数均为 , 又设 为有限数（若 为 可类似地证明）, 下证 f (x) 在 x0 的导数为 . 假若 不是 f (x) 在 x0 的导数, 则存在 0 0及趋于 0的数列
hn（hn 0，x0 hn [a,b]）使
n
f (x0 hn ) hn
定理 1 (Vitali 复盖定理)设E是R1中的有界集, V 是E的Vitali复盖, 则可以从V中选
出有限个或可列个两两无交的闭区间Ii 使
m(E \ Ii ) 0.
(1)
i
定理 1 的结论是说：可以从 V 中选出有限个或可列个两两无交的闭区间Ii 几乎
复盖 E（即除了一个零测度子集外 Ii 复盖 E）. i
第六章 微分与 Lebesuge 不定积分
第一节 单调函数的微分性质
11 Vitali 复盖定理 定义 1 设 E R1,V 是一族长度为正数的闭区间. 若对于每个 x E, 总存在 V 中的
一列闭区间 In, 使
x In (n 1, 2, ), mIn 0, 就称 V 是 E 的 Vitali 复盖.
x 0 时， x 0时
lim
f (0 hn )
f (0)
lim
hn
sin
1 hn
lim sin
1
1.
n
hn
n
hn
n
hn
3
命题 1 设 f (x) 是[a,b] 上的有限函数, 则对任何 x0 [a,b], f (x) 在 x0 点至少有一 个列导数.
证明 设 x0 [a,b], 则存在数列hn, 使 hn 0，hn 0且 x0 hn [a,b]. 记
2
例1
狄利克雷函数
1, f (x) 0,
x为有理数，在 x为无理数，
有理点x0
点的列导数.
Df
( x0
)
lim
n
f (x0
hn ) hn
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (x0 )
0,
1 hn
,
hn为有理数 hn为有理数
0
例2
1
,
1
上的函数
f
( x)
x
sin
1 x
,
0,
在 x 0 点的所有列导数为 | 1 1.
E x0 | x0 [a,b], g(x) 在 x0 不存在导数.
若 x0 E,由命题2 知 g(x) 在 x0 必存在不相等的两个列导数 1、2 , 不妨设 1 2 ,
则存在两个正有理数 p、q使
1 p q 2.
令 A {( p, q) | p、q 为正有理数，p q}, 显然 A 是可列集. 对每个 ( p, q) A, 令
(i)设 p 是一个非负实数, 若 f (x) 在 E 的每个点 x至少有一个列导数 x p, 则
m* f (E) p m*E;
(ii)设 q 是一个非负实数, 若 f (x) 在 E 的每个点 x至少有一个列导数 x q, 则
m* f (E) q m*E; (iii)若 f (x) 在 E 的每个点 x 至少有一个列导数为 , 则 m*E 0.
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定理3（Lebesuge 单调函数可微性定理）
若 f (x) 是[a,b]上的单调函数,则 f (x) 在[a,b]上几乎处处可微.
证明 不妨设 f (x) 是 [a,b] 上的单调不减函数(若f (x)单调不增,考虑 f (x) 即可).令g(x) f (x) x,
则 g(x) 在[a,b]的每个点只能有非负的列导数.记