2022年 《学案3.1.2椭圆的简单几何性质》优秀教案
2022年《椭圆的几何性质》教学优秀教案1
椭圆的几何性质学习目标：1、掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
学习重点、难点：重点：掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；难点：从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质。
学习策略：本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节〞探究式学习方式，并在学习过程中根据实际情况及时地调整学习方案。
学习过程：创设问题情景，学生自主探究：方程表示什么样的曲线，你能利用以前学过的知识画出它的图形吗？学生活动过程：情形1：列表、描点、连线进行做图，在取点的过程中想到了椭圆的范围问题；情形2：求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点，联想椭圆曲线的形状得到图形；情形3：方程变形，求出，联想椭圆画法，利用绳子做图；情形4：只做第一象限内的图形，联想椭圆形状，对称得到其它象限内的图形；辨析与研讨：实物投影展示学生的画图过程，挖掘学生的原有认知，表达同学的思维差异，培养学生的思维习惯。
教师点评：〔1〕能够抓住椭圆的几何特征；范围、对称性、关键点做图；〔2〕研究问题的方向发生了变化，利用方程研究曲线的几何性质；〔3〕本节课我们利用椭圆更一般的方程来研究椭圆的几何性质，表达特殊到一般的思想方法。
教师板书：椭圆的简单几何性质一、引导评价，引入课题：设置问题，学生思考：与直线方程和圆的方程相比照，椭圆标准方程有什么特点？〔1〕椭圆方程是关于的二元二次方程；〔2〕方程的左边是平方和的形式；右边是常数1；〔3〕方程中和的系数不相等；设计意图：类比直线方程和圆的方程能够使学生容易得到椭圆标准方程的特点，表达了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时为利用方程研究椭圆曲线的几何性质做好了准备.【问题1】自主探究：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；实物投影展示学生的解题过程，鼓励学生开拓思维：学生活动过程：情形1：变形为：这就得到了椭圆在标准方程下的范围：同理，我们也可以得到的范围：情形2：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以，同理可以得到的范围设计意图：〔1〕传统的研究椭圆的几何性质往往是利用图形直观得到性质，然后利用方程进行证明，没有真正表达出利用方程研究曲线几何性质的路子，因此在这里通过多媒体课件始终展示椭圆标准方程的特点，使学生在把握椭圆方程结构特征〔1〕和〔2〕的根底上来研究椭圆曲线的几何性质；〔2〕通过开头问题的铺垫，学生的思维在这里表达的异常活泼，除了教材中得到范围的方法外，另外两种方法很多同学都能想到，使学生真正感受成功的喜悦；〔3〕多媒体课件展示椭圆的范围，表达数形结合思想。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学设计教学目标：1.了解什么是椭圆，掌握椭圆的定义及性质；2.能够绘制椭圆的图形，正确标注焦点、顶点等重要点；3.学会在实际问题中应用椭圆的性质进行解题。
教学内容：1.椭圆的定义及相关性质；2.绘制椭圆的图形；3.解决实际问题。
教学准备：1.教师准备：（1）椭圆的定义及性质的教材；（2）绘制椭圆的工具：铅笔、直尺、圆规等；（3）相关的教学课件和习题；（4）实际问题的案例。
2.学生准备：（1）铅笔、橡皮等绘图工具；（2）课前预习椭圆的定义及性质。
教学步骤：Step 1 引入新知（15分钟）1.教师通过图示引入椭圆的概念，与学生一起探讨椭圆的特点。
2.教师解释椭圆的定义和背后的数学性质，如焦点、两个顶点之间的距离和椭圆长轴和短轴的关系。
3.学生可以举例子说明在生活中的椭圆形状的物体，如椭圆球、橄榄等。
Step 2 探索椭圆的性质（30分钟）1.教师组织学生成小组，提供椭圆的绘图工具，要求学生用椭圆的定义绘制椭圆的图形，包括两个焦点和顶点。
2.教师引导学生观察椭圆的性质，如焦点到任意一点距离之和等于椭圆长轴的长度。
3.学生通过測量焦点到点的距离来验证椭圆的这一性质。
Step 3 练习巩固（30分钟）1.教师出示几道练习题，要求学生利用椭圆的性质进行解题。
2.学生在小组内共同讨论解题思路，并进行答题。
3.教师选几位学生上台讲解解题思路和答案，并与全班讨论。
4.教师提供反馈，对学生答题中常见的错误进行讲解和指导。
Step 4 实践应用（30分钟）1.教师提供一些实际问题的案例，如光学、天文学等领域中的问题，要求学生分组解决。
2.学生通过应用椭圆的性质解决实际问题，并给出解决方案。
3.教师选择一些小组发表他们的解决方案，并与全班进行讨论。
Step 5 总结与归纳（15分钟）1.教师带领学生总结椭圆的定义及性质，并进行归纳。
2.学生通过小组合作的方式将所学的性质和定义整理成口诀、表格，便于记忆。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。
3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。
教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。
2. 椭圆几何参数的计算方法。
教学难点：1. 椭圆性质的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规等绘图工具。
教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。
二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。
b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。
c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。
3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。
三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。
2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。
四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。
2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。
教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。
在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。
通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。
六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。
椭圆的简单几何性质(教案)
椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。
2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。
3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。
三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。
2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。
四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。
2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。
3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。
五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。
2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。
3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。
教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。
2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。
3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。
六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。
2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。
3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。
七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。
3.1.2 第1课时 椭圆的简单性质 学案(含答案)
3.1.2 第1课时椭圆的简单性质学案（含答案）1.2椭圆的简单性质椭圆的简单性质第第1课时课时椭圆的简单性质椭圆的简单性质学习目标1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质，并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质.图形.知识点一椭圆的简单性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2y2b21ab0y2a2x2b21ab0范围axa，bybbxb，aya顶点A1a，0，A2a，0，B10，b，B20，bA10，a，A20，a，B1b，0，B2b，0轴长短轴长2b，长轴长2a焦点a2b2，00，a2b2焦距|F1F2|2a2b2对称性对称轴x轴.y轴对称中心原点离心率eca0，1知识点二离心率对椭圆扁圆程度的影响如图所示，在RtBF2O中，cosBF2Oca，记eca，则00的长轴长是a.2.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x225y2161.4.设F为椭圆x2a2y2b21ab0的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为acc为椭圆的半焦距.题型一椭圆的简单性质例1求椭圆m2x24m2y21m0的长轴长.短轴长.焦点坐标.顶点坐标和离心率.考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点.焦点.长短轴.离心率解由已知得x21m2y214m21m0，因为0b0.如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线高，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为x218y291.反思感悟此类问题应由所给的简单性质充分找出a，b，c 所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.1短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；2离心率为32，经过点2，0.考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的特征求方程解1由题意知a5，c3，b225916，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为x225y2161或x216y2251.2由eca32，设a2k，c3k，k0，则bk.又经过的点2，0为其顶点，故若点2，0为长轴顶点，则a2，b1，椭圆的标准方程为x24y21；若点2，0为短轴顶点，则b2，a4，椭圆的标准方程为x24y2161.题型三求椭圆的离心率命题角度1依托图形几何性质求离心率例3椭圆x2a2y2b21ab0的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________.考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案31解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2||OF2|c，|NF1||F1F2|2|NF2|24c2c23c，由椭圆的定义可知|NF1||NF2|2a，3cc2a，a31c2，eca23131.方法二注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得esinF1NF2sinNF1F2sinNF2F1sin90sin30sin601123231.反思感悟利用数与形的结合，挖掘几何特征，可借助于a2b2c2，找到a与c的关系或求出a与c，代入eca即可得到.跟踪训练3设F1，F2是椭圆Ex2a2y2b21ab0的左.右焦点，P为直线x3a2上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为________.考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案34解析由题意，知F2F1PF2PF130，PF2x60.|PF2|232ac3a2c.|F1F2|2c，|F1F2||PF2|，3a2c2c，eca34.命题角度2构建齐次方程或不等式例4已知椭圆x2a2y2b21ab0，F1，F2分别是椭圆的左.右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为________.考点椭圆的离心率问题题点求离心率的取值范围答案22，1解析由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以|OP|cb，即c2a2c2，所以a2c，因为eca，00的左.右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|，求椭圆C的离心率.考点椭圆的离心率问题题点求a，b，c的齐次关系式得离心率解由题意知Aa，0，B0，b，从而直线AB的方程为xayb1，即bxayab0，又|F1F2|2c，aba2b263c.b2a2c2，3a47a2c22c40，解得a22c2或3a2c2舍去，e22.1.椭圆以两坐标轴为对称轴，并且过点0，13，10，0，则焦点坐标为A.13，0B.0，10C.0，13D.0，69考点椭圆的简单性质题点椭圆的顶点.焦点.长短轴.对称性答案D解析由题意知，椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则ca2b269，故选D.2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F1，0，离心率等于12，则C的方程是A.x23y241B.x24y231C.x24y231D.x24y21考点由椭圆的简单性质求方程题点由椭圆的特征求方程答案C解析依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，eca12，即a2，b2a2c23，因此椭圆的方程是x24y231.3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为A.12B.32C.34D.64考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案A解析不妨设椭圆的左.右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点.依题意可知，BF1F2是正三角形.在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos60ca12，即椭圆的离心率e12，故选A.4.已知椭圆Cx2a2y2b21ab0的左.右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为A.63B.33C.23D.13考点椭圆的离心率问题题点由a与c的关系式得离心率答案A解析由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为0，0，半径为a.又直线bxay2ab0与圆相切，圆心到直线的距离d2aba2b2a，解得a3b，ba13，ecaa2b2a1ba2113263.故选A.5.已知椭圆x2m3y2mm0的离心率e32，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长.焦点坐标.顶点坐标.考点由椭圆方程研究简单性质题点由椭圆的方程求顶点.焦点.长短轴.离心率解椭圆方程可化为x2my2mm31m0，mmm3mm2m30，mmm3.a2m，b2mm3，ca2b2mm2m3.由e32，得m2m332，m1.椭圆的标准方程为x2y2141.a1，b12，c32.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F132，0，F232，0；四个顶点坐标分别为A11，0，A21，0，B10，12，B20，12.求椭圆离心率的值或取值范围的两种方法1直接法若已知a，c可直接利用eca求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式eca求解.2方程法若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围.。
中职数学教案：椭圆的几何性质
中等专业学校2023-2024-1教案教学内容2.对称性在椭圆的标准方程中，将y换成-y，方程不变. 这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于x轴的对称点 P1(x,-y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于x轴对称.同理，将x换成-x，方程不变.这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于y轴的对称点P2(-x,y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于y 轴对称.进一步，将x换成-x，同时y换成-y，方程不变. 这说明，当点P(x,y)在椭圆上时，其关于原点的对称点P3(-x,-y)也在椭圆上. 因此，椭圆关于原点对称．综上所述，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，也关于坐标原点对称. x轴与y轴都称为椭圆的对称轴，坐标原点称为椭圆的对称中心(简称中心).3.顶点在椭圆的标准方程22221x ya b+=中，令y =0，得x =±a，这说明椭圆与x轴有两个交点A1(-a,0)和A2(a,0). 同理，令x =0，得y =±b. 这说明椭圆与y轴有两个交点B1(0,-b)和B2(0,b)，如图所示.椭圆与它的对称轴的四个交点A1、A2、B1、B2 ,称为椭圆的顶点. 线段A1A2和B1B2分别称为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b. a和b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长. 显然，椭圆的焦点在它的长轴上.值得注意的是，由于a、b、c满足关系式b²+c²=a²，故长度分别为a、b、c的三条线段构成一个直角三角形. 观察上图，可知故有|OB2|²+|OF2|²=|B2F2|².因此，RtΔF2OB2(或F1OB2)直观地反映了椭圆的标准方程中a、b、c三者之间的关系.。
高二选修一3.1.2椭圆的简单几何性质导学案
3.1.2椭圆的简单几何性质阅读课本109-112页，自学本节。
感受用曲线方程（代数方法）研究曲线性质和图形。
本节研究了椭圆的哪几个几何性质：范围、、、。
我们用焦点在x轴上的椭圆方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)来研究椭圆的几何性质。
1.范围X的范围；y的范围如何通过方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)求得的？写出过程：2.对称性①以-y代y,椭圆方程为。
有变化吗？。
说明当点（x,y）在椭圆上时，它关于的对称点（x,-y）也在椭圆上，所以椭圆关于对称。
②以-x代x,椭圆方程变化吗? 。
说明当点（x,y）在椭圆上时，它关于的对称点（-x,y）也在椭圆上，所以椭圆关于对称。
③以-x代x,以-y代y,椭圆方程有变化吗? 。
说明当点（x,y）在椭圆上时，它关于的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于对称。
是椭圆的中心。
3.顶点椭圆方程x 2a2+y2b2=1(a>b>0)中，令x=0,得y=。
令y=0,得x=。
所以，椭圆与坐标轴的四个交点坐标为：这四个交点叫做椭圆的。
线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的和，长分别等于和。
4.离心率a,c越接近，椭圆越；a,c扩大或缩小相同的倍数时，椭圆的扁平程度（形状）。
我们把称为椭圆的离心率，用e表示，即e= . 离心率e的范围：e越接近1（越大），椭圆越；e越接近0（越小），椭圆越。
当a=b，c=0，两焦点重合，图形为。
你能得到焦点在y轴上的椭圆y 2a2+x2b2=1(a>b>0)的这几个性质吗？让我们总结到下表中。
焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上看例4，完成课本112页练习1、2、3、4 你的疑惑:。
3.1.2椭圆的简单几何性质第1课时课件(人教版)
(1)椭圆 2
2
+ 2
= 1( > > 0)的长轴长等于.(
)
(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 − .(
)
(3)椭圆的离心率越小，椭圆越圆.(
)
(4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称.(
答案：×，√，√，√.
辨析2.椭圆25 2 + 9 2 = 225的长轴长、短轴长、离心率依次是(
2
解：把原方程化为标准方程为
16
+
2
9
= 1，
于是 = 4， = 3， = 16 − 9 = 7，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2 = 8和2 = 6，离心率 =
=
7
，两个焦
4
点坐标分别是1 (− 7, 0)和2 ( 7, 0)，四个顶点坐标分别是1 (−4,0)，2 (4,0)，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2 = 10和2 = 8，离心率 =
3
5
= ，两个焦
点坐标分别是1 (−3,0)和2 (3,0)，四个顶点坐标分别是1 (−5,0)，2 (5,0)，
1 (0, −4)和2 (0,4).
练习
题型一：由椭圆的标准方程研究其几何性质用
例1.求椭圆9 2 + 16 2 = 144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
例3.(2018年全卷Ⅱ)已知1 ，2 是椭圆 的两个焦点，是上 的一点.若1 ⊥ 2 ，
且∠2 1 = 60°，则的离心率为（
A.1 −
3
2
B.2 − 3
C.
）.
3−1
3.1.2椭圆的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
基础巩固2：由椭圆的几何性质求方程
[例2]求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)焦点在x轴上, a 6, e 1 ; c 2 b2 32 x2 y2 1
3
36 32
(2)焦点在y轴上, c 3, e 3 ; 5
a 5 b2
16
y2 x2 1 25 16
(3)过P(3,0), Q(0,2)两点;
-a≤x≤a，-b≤y≤b
-b≤x≤b，-a≤y≤a
长轴为A1A2=2a，短轴为B1B1=2b 关于x轴、y轴、原点对称
e c a
1
b2 a2
| F1F2 | | PF1 | | PF2
|
0 e 1
e越接近1, 椭圆越扁平; e越接近0, 椭圆越接近圆.
基础巩固1：由方程确定椭圆的几何性质
x2 36
y2 20
1上在第一象限的点, 且MF1F2
为等腰三角形, 则M的坐标为_(_3,__1_5_)___.
y
M
析: MF1 F1F2 8
由焦半径的公式得MF1
a exM
6
4 6
xM
8
xM 3, 代入方程yM 15.
y
F1 O
x F2
a2 36 a 6
析:S 14 2
82
P3(x, y)
设P(
x,
y
)是椭圆上任一点,
则P满足
x a
2 2
y2 b2
1,
P1(x, y)也满足方程 任一点P关于x轴的对称点也在椭圆上
椭圆关于x轴对称
P2 (x, y)也满足方程 椭圆关于y轴对称 P3(x, y)也满足方程 椭圆关于原点对称
P1(x, y)
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆的简单几何性质
第1课时椭圆的简单几何性质
1．椭圆的简单几何性质
2离心率
1定义：椭圆的焦距与长轴长的比错误!称为椭圆的离心率．
2性质：离心率e的范围是0,1．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．
思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？
[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．
1．思考辨析正确的打“√〞，错误的打“×〞
1椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的长轴长等于a
2椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c
3椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．
[提示]1×2√3√
2．经过点
错误!
那么由题意得错误!或错误!
解得错误!或错误!
所以椭圆的标准方程为错误!＋2＝1或错误!＋错误!＝1
1．椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？
[提示]离心率e＝错误!，假设a固定，当e→0时，c→0，因a2＝c2＋b2，那么b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆，否那么就越扁．
2．错误!的值能求出离心率吗？
[提示]可以．e＝错误!＝错误!＝错误!错误!错误!．
∵O，①
又在椭圆上，
∴错误!＋错误!＝1 ②
将①代入②，得错误!＝1，
即e2＝错误!，∴e＝错误!
【例3】设椭圆错误!＋错误!＝1a＞b＞0的两焦点为F1，F2，假设在椭圆上存在一点错误!错误! ,9成等比数列，那么椭圆错误!＋2＝1的离心率为
A．错误!B．错误!
C．错误!或错误!D．错误!或错误!
A[∵1，m,9成等比数列，∴m2＝9
即m＝3或m＝－3舍，这时c2＝3－1＝2，即c＝错误!
∴离心率e＝错误!＝错误!＝错误!应选A
⑤焦点坐标分别为0,6，0，－6．]
3．假设焦点在轴上的椭圆错误!＋错误!＝1的离心率为错误!，那么m的值为________．
错误![由题意知0<m<2，且e2＝1－错误!＝1－错误!＝错误!
所以m＝错误!]
4．比拟椭圆①2＋92＝36与②错误!＋错误!＝1的形状，那么________更扁．填序号
①[把2＋92＝36化为标准形式错误!＋错误!＝1，离心率e1＝错误!＝错误!，而错误!＋错误!＝1的离心率e2＝错误!＝错误!，这里e2＜e1，故①更扁．]
5．椭圆C1：错误!＋错误!＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在轴上．
1求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
2写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
[解]1由椭圆C1：错误!＋错误!＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标6,0，－6,0，离心率e＝错误!
2椭圆C2：错误!＋错误!＝1
性质：①范围：－8≤≤8，－10≤≤10；
②对称性：关于轴、轴、原点对称；
③顶点：长轴端点0,10，0，－10，短轴端点－8,0，8,0；
④离心率：e＝错误!
⑤焦点坐标分别为0,6，0，－6．。