平行四边形的判定(1)
平行四边形的判定1
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判定平行四边形的三种方法：
判定定理1：一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形.
判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2)碰到平行四边形的问题常转化为三角形来解决.
1)解决一个数学问题,常要通过”动手实践”-----”大胆猜想”-----”验证猜想(证明)”-----”得出结论”
∥
∥
AB∥CD、AD∥BC
温故知新
根据平行四边形的定义可以判定一个四边形是不是平行四边形，还有其它判定方法吗？
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ห้องสมุดไป่ตู้
平行四边形
这些四边形有什么共同特点（从边关系角度考虑）
合作学习
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证明:如图,连接BD.∵AD∥BC∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）又∵AD=BC,BD=BD∴△ADB≌△CBD (SAS)∴∠ABD=∠CDB（全等三角形的对应角相等）∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
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两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
平行四边形判定定理2：
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两组对边分别平行
两组对边分别相等
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
平行四边形的三个判定方法
知识整理
从边看:
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满足下列条件的四边形ABCD是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“×”。
2.本节课所学的解决问题的思路是:
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、两组对边分别平行如图1,已知△ ABC是等边三角形，D、E分别在边BC AC上，且CD=CE连结DE并延长至点F，使EF=AE连结AF、BE和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵ 判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由,解：（1）选证△ BDE^A FEC证明：•••△ ABC是等边三角形，••• BC=ACZ ACD=60v CD=CE二BD=AEA EDC是等边三角形••• DE二EC/ CDEH DEC=60•••/ BDE/ FEC=120又v EF=AE 二BD二FE 二△ BDE^A FEC（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ ABC △ EDC △ AEF都是等边三角形v/ CDE/ABC/ EFA=60 ••• AB// DE BD// AF v四边形ABDF是平行四边形点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、一组对边平行且相等例2已知：如图2,在正方形ABCD中, G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG连结BG并延长交DE于F⑴求证：△ BCG^^DCE(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90°得到△ DAE，判断四边形E‘ BGD是什么特殊四边形并说明理由。
分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有AB// DC又通过旋转CE=AE已知CE=CG所以E A=CG这样就有BE =GD可证E BGD是平行四边形。
解：( 1)v ABCD是正方形，•••/ BCDM DCE=90 又T CG=C，△ BCG^ DCE(2)v^ DCE绕D顺时针旋转90°得到△ DAE，••• CE=AE，T CE=CG 二CG=AE，•••四边形ABCD是正方形••• BE // DG AB=CD••• AB- AE 二CDCG,即卩BE =DG•••四边形DE BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3如图3所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE等边△ BCF求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
平行四边形的判定1
求证：四边形ABCD是平行四边形。
分析：1.可以利用平行四边形的定义来证明
2.将四边形的转化为全等三角形
证明：
小结：两组对边的四边形是平行四边形。
练习：
如图：∠1=∠2，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边。
探究二
议一议
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？为什么？
【讲评总结】
【目标检测】
1.在四边形ABCD中，已知AB=（x+1）厘米，BC=（x-2）厘米，CD=5厘米，要使四边形ABCD为平行四边形，则边AD的长应为厘米。
2.如图，AB=CD=EF,且△ACE≌△BDF,则图中共有个平行四边形。
3.在 ABCD中，分别以AD,BC边向四边形内作等边三角形ADE和等边三角形BCF，连接BE,DF.求证：四边形BEDF是平行四边形。
例一 已知：E,F,G,H是 ABCD四条边上的点，AE=CG,BF=DH,
求证：四边形DFGH是平行四边形
练习二
1.已知四边形的四条边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2-2ac-2bd=0，则此四边形为。
2.已知四边形ABCD中，AD=BC，再添一个条件，会使四边形2．理解平行四边形的这一种判定方法，并学会简单运用．
【学习重点】：
平行四边形判定方法的探究、运用．
【学习难点】：
对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用．
知识链接
1.平行四边形的定义
（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴（定义）
（2）∵∴四边形ABCD是平行四边形（）
2.平行四边形具有哪些性质？
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD 边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.图1图2AB C DEF图3AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ， 所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。
在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。
方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。
步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。
2.检查边BC和边AD是否平行。
如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。
步骤：1.计算对角线AC的长度。
2.计算对角线BD的长度。
如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。
步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。
2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。
如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。
步骤：1.检查角A与角C是否相等。
2.检查角B与角D是否相等。
如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。
总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。
可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。
请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。
在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。
希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。
平行四边形的判定(一)
平行四边形的判定（一）一、教学目的和要求使学生掌握平行四边形的判定定理，并理解性质与判定的区别与联系。
二、教学重点和难点重点：平行四边形的判定定理；难点：掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用。
三、教学过程（一）复习、引入 提问：1. 什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⇒对角线互相平分邻角互补两组对角分别相等两组对边分别相等两组对边分别平行平行四边形2. 将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来。
（如果……那么……）根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？（二）新课（板书课题）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC 求证：四边ABCD 是平行四边形。
分析：证明：连结BD 在中和CDB ABD ∆∆么？）是平行四边形。
（为什四边形ABCD CB//AD ,CD //AB ,,CDB ABD DB BD ,CB AD ,CD AB ∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴∆≅∆∴===43214321定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD 中，CD AB 平行且等于求证：四边形ABCD 是平行四边形。
定定理1证明。
例1 已知：如图3连结BE 、DF求证：21∠=∠分析：ABCD 的性质可得DE//BF ，又AD ＝BC ，E 、F 为中点则有DE ＝BF ，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形EBFD 是平行四边形。
证明由学生完成。
提问：此题还有什么方法，证明四边形BEDF 是平行四边形。
学生会想到证明CDF ABE ∆≅∆，得到BE ＝DF ，利用两组对边相等证明四边形是平行四边形。
但应指出第二种方法较第一种方法繁，也就是说要找出较简捷的证法，准确地使用判定定理，就要先分析图形的性质，及所具备的条件；比如证四边形BFDE 是平行四边形，已知ED//BF 了，所以再考虑第二个条件就应该是：ED ＝BF ，或BE//DF ；显然证明ED ＝BF ，比证明BE//DF 要方便。
《 平行四边形的判定》课件(共48张PPT)
将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起,做成一个四边形,使等长的木条成为对边.
OA=OC，AB∥CD （2010·怀化中考）如图，平行四边形ABCD的对角线
E，F. 于点 ∴AB＝B′C， AB＝A′C(平行四边形的对边相等)． AECF . 上两的组两 对点角，分求并别且相证等A：E的=四C四F边。形边是平形行四边形。是平行四边形
从实验结果得出什么结论？ ∵ AO=OC，BO=OD 判定一个四边形是平行四边形应具备几个条件？ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 你认为下面四个条件中可选择的是（ ） 证明：连结BD，交AC于点O ∵AB CD， ∴四边形ABCD是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 求证：四边形BFDE是平行四边形 ∴四边形ABCD是平行四边形
A B
证明：∵四边形ABCD是
E
D
平行四边形
∴AD∥BC AD=BC
∵ DE=1/2AD
BF=1/2BC
∴DE∥BF DE=BF
F
C
∴四边形EBFD是平
行四边形
∴EB=DF
如图，在 ABCD中，已知AE、CF分别是
∠DAB、∠BCD的角平分线，
求证：四边形AECF是平行四边形。
A
F
D
256
1
34
8 7
∵AB ﹦∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形
A
通过了本节课学习,
你有哪些收获?
B
D
O
C
1、两组对边分别平行的 ∵AB∥CD，AD∥BC
平行四边形的判定(1)学习单
平行四边形的判定（1）学习单一、判定定理的探究探究1：如图，四边形ABCD中，AB=CD，试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴探究2：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AO=CO,BO=DO，试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴探究3：如图，四边形ABCD中，∠A=∠C, ∠B=∠D, 试探究四边形ABCD是否为平行四边形？D归纳：平行四边形的判定定理（1）：符号语言：∵，∴二、判定定理的使用1、已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF 求证：四边形BFDE是平行四边形D2、如图，AB=DC=EF ，AD=BC ，DE=CF ，则图中有哪些互相平行的线段？为什么？F EDB三、 课堂练习1、 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O若AD=8cm ，AB=4cm ，那么当BC= CD= 时，四边形ABCD 为平行四边形 若AC=10cm ，BD=8cm ，那么当AO= DO= 时，四边形ABCD 为平行四边形2、如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD 是否为平行四边形？A3、已知：如图，O 为□ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，于CD 交于F 求证：四边形AECF 是平行四边形C4、 如图，已知E 、F 、G 、H 分别是□ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且AE=CG ,BF=DH 求证：四边形EFGH 是平行四边形D5、 如图，四边形ABCD 中，AD=12，OD=OB=5，AC=26，∠ADB=90°求BC 的长和四边形ABCD 的面积C。
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2
鸡西市第十九中学初三数学组
变式 1：若 E、F 移至 OA、OC 的延长线上，且 AE=CF，结论有改变吗？ 为什么？
E A B D
O C
F
变式 2：如图, □ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，且 E、F、G、H 分别是 AO,BO,CO,DO 的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
鸡西市第十九中学初三数学组
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名
学科 时间 学习 目标 重点 难点
课题 平行四边形的判定（1) 2014 年 月 日 明确平行四边形的判定方法。 平行四边形的判定方法。 平行四边形的判定条件和方法的寻找。
学习内容
数学
课型 人教版
新课
八年级下
能运用平行四边形的判定，解决简单的实际问题。
【复习引入】 1、平行四边形的定义： 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。 -------定义就是平行四边形的一种判定方法 用几何语言表示：∵_________//___________ _________//____________ ∴四边形 ABCD 是____________ 2、平行四边形的性质： （1）边的性质：平行四边形的对边 几何语言：在□ABCD 中，AD （2）角的性质：平行四边形的对角 几何语言：在□ABCD 中，∠A= （3）对角线的性质：平行四边形的对角线 几何语言：在□ABCD 中，OA= =
第 6 题图
7. 如图所示，BD 是 ABCD 的对角线，AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， 求证：四边形 AECF 为平行四边形.
第 7 题图
8.已知，平行四边形 ABCD 的 AC 和 BD 相交于 O 点，经过 O 点的直线交 BC 和 AD 于 E、F，求证：四边形 BEDF 是平行四边形。 （用两种方法）
第 3 题图
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鸡西市第十九中学初三数学组
3．如图所示，在 ABCD 中，E,F 分别是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF， 要证明四边形 AECF 是平行四边形， 最简单的方法是根据 来证明. 4．将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形 的个数为______. 5．□ABCD 中，BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为 E、F，∠EBF=60°AF=3 cm ， CE=4.5 cm ，则∠C= ，AB= cm ，BC= cm . 6．已知：如图所示，在 ABCD 中，E、F 分别为 AB、CD 的中点， 求证四边形 AECF 是平行四边形.
1 2
； BC，AB ； ，∠B= ； ； ；OB= =
1 2
DC；
；
【自主探究】 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？ 已知：AB=CD, AD=BC 求证：四边形 ABCD 是平行四边形
1
鸡西市第十九中学初三数学组
归纳： 判定定理一：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 用几何语言表示：∵_________=___________ _________=____________ ∴四边形 ABCD 是____________ 2、类似地，我们还可以得出几个平行四边形的判定定理： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？ 已知：∠A=∠C，∠B=∠D 求证：四边形 ABCD 是平行四边形
9. 已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是 OA、OC 的中点，求证：BM∥DN，且 BM=DN.
A M O N F B O G C H D
例 2： 如图，AB DC EF , AD BC, DE CF ， 图中有哪些互相平行的线段？
A
D
E
B
C
F 【当堂训练】 1．已知：四边形 ABCD 中，AD∥BC，要使四边形 ABCD 为平行四边形， 需要增加条件 .（只需填上一个你认为正确的即可）. 2．如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O， （1）若 AD=8cm，AB=4cm，那么当 BC=____cm，CD=____cm 时，四边形 ABCD 为 平行四边形； （2）若 AC=10cm，BD=8cm，那么当 AO=___cm，DO=___cm 时，四边形 ABCD 为 平行四边形．
判定定理二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 用几何语言表示：∵∠_________=∠___________ ∠_________=∠____________ ∴四边形 ABCD 是____________ 已知：OA=OC, OB=OD 求证：四边形 ABCD 是平行四边形
判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形 用几何语言表示：∵_________＝___________ _________=____________ ∴四边形 ABCD 是____________ 例 1：在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知点 E、F 在 AC 上，且 AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形。