本节讨论几个向量组之间的线性关系.
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2 向量组的线性相关性
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
注意
也可用矩阵形式表示：
1若所给向量均为行向量， 则有 2若所给向量均为列向量， 则有
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二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
§3 向量组间的关系
1 每一个向量组都可以经它自身线性表出。 2 如果向量组 可以经向量组 线性表出，向量组 可以经向量组 线性表出，那么向量组 可以经向量组 线性表出。
( 1 , 2 , s ) ( b 1 , b 2 , b t )K ts ( b 1 , b 2 , b t ) ( 1 , 2 , p )K pt ( 1 , 2 , s ) ( b 1 , b 2 , b t )K ts ( 1 , 2 , p )K pt K ts ( 1 , 2 , p )K ps
即 可由
线性表出。
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设
为任意两个表达式。
且
线性无关
得到 l1=h1, l2=h2, …，lt=ht 因此表示式是唯一的。
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定理3 有一个部分组线性相关的向量组一定线性相 关。 证 设向量组 有一个部分组线性相关。 设这个部分组为 k1,k2, …,kr，使 。则有不全为零的数
知识点小结1
知识点小结2
① ② ③ ④
对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关． 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量． 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量． 一向量组中存在一个Ｏ向量，则一定线性相关．
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量 组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何 一个部分组都线性无关． ⑥ ⑦ ⑧ 两向量线性相关两向量对应成比例 两向量线性无关两向量不对应成比例 几何上：两向量线性相关两向量共线； 三向量线性相关三向量共面.
向量组的线性相关性
实数 l1, l2, …, lm ，使得 b = l1a1 + l2a2 + … + lmam
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P.83 定理1 的结论：
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
当 a 不是零向量时，线性无关．
向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
则称向量 b 能由向量组 A 的线性表示．
引言
问题1：给定向量组 A，零向量是否可以由向量组 A 线性表 示？
问题2：如果零向量可以由向量组 A 线性表示，线性组合的 系数是否不全为零？
P.83 定理1 的结论：
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
b11 b12
b1n
则
c1,c2,
, cn a1, a2 ,
, al
b21
b22
b2n
bl1 bl 2
bln
结论：矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示， B 为这一线性表示的系数矩阵．
当 a 不是零向量时，线性无关．
向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
设有向量组 A：a1, a2, …, am 及 B：b1, b2, …, bl ， 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即
b1 k11a1 k21a2 b2 k12a1 k22a2
km1am km2am
bl k1la1 k2la2 kmlam
线性表示的 系数矩阵
k11 k12
b1 1 0 0
b2
0
1
0
b
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
1
b1 1 0 0
3-1 向量组的线性关系汇总
,0), e2 (0,1, ,0), , en (0,0, ,1),
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
称 e1, e2, , en 为 n 维单位坐标向量组. 任一向量 a (a1, a2, , an) 可唯一地表示为
a a1e1 a2e2 a n en
例2 设 x1, , xn-r 为方程组 Ax 0 的一个基础解系, 则对
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. • a1, , am 线性无关, 也即向量方程 x1a1 只有零解. 定理1 设矩阵 A (a1, , am), 则向量组 a1, , am 线性无关 的充分必要条件是 R(A) m. • m 元方程组 Ax 0 只有零解的充要条件是 R(A) m.
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线性相关性 设有向量组 a1, , am , 如果存在一组不全为零的数 k1, , km , 使 k1a1 km am 0 那么称 a1, , am 线性相关. 否则, 称 a1, , am 线性无关. 基本性质 (1) 若向量 b 可由向量组 a1, , am 线性表示, 则向量组 b, a1, , am 线性相关. • 当 a1, , am 线性相关时, 表示式不唯一; • 当 a1, , am 线性无关时, 表示式唯一. (2) 若部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关. (3) 若向量组线性无关, 则任一部分组也线性无关.
ka ( ka1 , , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
3-2向量组的线性关系
19
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
是否线性相关。 因为
例5. 当向量组含两个非零向量时，
设
与 线性相关
证明: 使得
与
若
对应分量成正比
与
线性相关，则存在不全为零的数
或
或
即
与
的对应分量成比例.
20
例如
对应分量不成比例，
线性无关。
对应分量成比例， 几何上说向量 共线。
线性相关。
21
例6. 求证含有零向量的向量组必线性相关,
证明: 设向量组 取数 必有 则此向量组必定线性相关。 中，
第二步将
代入
得齐次线性方程组。
30
有
第三步根据方程组的解来判别线性相关还是线性无关： 线性相关。 方程组有非零解，则称向量组 方程组只有零解，则称向量组 线性无关。 下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性 的方法。 这是判别向量组线性相关性的主要方法。
31
线性相关 （无关） 有非零解 （只有零解） ） 秩 A m （秩 A m 此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。 推论1 当m=n时，即向量个数=分量个数时, 线性相关（线性无关） 向量组构成行列式的值为零，即 A 0. ( A 0). 推论2 设n 维向量组中含有m个向量, 当m>n 时， 此向量组必定线性相关。
组合，即存在不全为0的数
由于
不全为0， 线性相关.
则
41
向量 这说明
可由
线性表示， 线性相关；
而向量组 e1 , e2 ,, en 中任一向量都不能被 其他向量线性表示,其线性无关。
一个向量组中有没有某个向量可由其余向量 线性表示， 这是向量组的一种属性，称为向量组的 线性相关性。
向量组的线性相关性
例：设矩阵
2 1 1 1 2
A
1
1
2
1
4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
求矩阵 的列向量的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表
示。
解：对 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵
1 1 2 1 4
A
r
~
0
定义 3：
向量组等价：设有两个向量组 A : a1, a2 ,L , am 及 B : b1, b2 ,L , bl 若 B 组中的每个向量都能 由向量组 A 线性表示，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。若向量组 A 与向量组 B 能
相互线性表示，则称这两个向量组等价。
定理 2：向量组 B : b1, b2 ,L , bl 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条件是矩阵
性无关。
定理 5：
（1）若向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性相关，则向量组 B : a1, a2 ,L , am , am1 也线性相关。 反言之，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。
（2） m 个 n 维向量组成的向量组，当维数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关。特别地， n 1个 n 向量线性相关。
例 ： 设 n 维 向 量 组 A : a1, a2 ,L , am 构 成 n m 矩 阵 A a1,a2,L ,an ， n 阶 单 位 矩 阵 E e1,e2,L ,en 的列向量叫做 n 维单位坐标向量。
证明： n 维单位坐标向量组 e1, e2 ,L , en 能由向量组 A : a1, a2 ,L , am 线性表示的充分必要条 件是 R(A) n .
线性空间中向量之间线性关系
注： 此时， f( x ) a 0 a 1 x L a n 1 x n 1
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0,a1,L,an1)
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f(x)P[x]n，按泰勒展开公式有 f(x ) f(a ) f(a )(x a ) L f(n 1 )(a )(x a )n 1
使 k 11 k 22 L k rr
则称向量 可经向量组 1,2,L,r 线性表出；
若向量组 1,2,L,s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L,r线性表出，则称向量组 1,2,L,s
可经向量组 ห้องสมุดไป่ตู้,2,L,r线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L,r V，若存在不全为零的数
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2,L,r线性相关 1, 2,L, r中有一个向量可经其余向量线性表出．
（2）若向量组1,2,L,r 线性无关，且可被
向量组 1,2,L,s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L,r与 1,2,L,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
a1,a2,L,an线性表出.
若 1 , 2 ,L , n , n 1 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1 , 2,L, n, n 1是线性相关的．
故，V是n 维的，1,2,L,n就是V的一组基．
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
(a0,a1,L,an1)
（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
又对 f(x)P[x]n，按泰勒展开公式有 f(x ) f(a ) f(a )(x a ) L f(n 1 )(a )(x a )n 1
使 k 11 k 22 L k rr
则称向量 可经向量组 1,2,L,r 线性表出；
若向量组 1,2,L,s 中每一向量皆可经向量组
1,2,L,r线性表出，则称向量组 1,2,L,s
可经向量组 ห้องสมุดไป่ตู้,2,L,r线性表出；
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组 为等价的．
（3）1,2,L,r V，若存在不全为零的数
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关 0. 单个向量 线性无关 0
向量组 1,2,L,r线性相关 1, 2,L, r中有一个向量可经其余向量线性表出．
（2）若向量组1,2,L,r 线性无关，且可被
向量组 1,2,L,s 线性表出，则 r s ;
若 1,2,L,r与 1,2,L,s为两线性无关的 等价向量组，则 rs.
a1,a2,L,an线性表出.
若 1 , 2 ,L , n , n 1 是线性无关的，则n＋1≤n，矛盾．
∴V中任意n＋1个向量 1 , 2,L, n, n 1是线性相关的．
故，V是n 维的，1,2,L,n就是V的一组基．
例2 3 维几何空间R3＝ {(x,y,z)x,y,z R }
1 ( 1 , 0 , 0 ) ,2 ( 0 , 1 , 0 ) ,3 ( 0 , 0 , 1 ) 是R3的一组基；
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
令向量组的线性组合为零（零向量），研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
向量组的相关性质
（1）当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要条件是该向量组线性无关；
（2）当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
（3）通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
（4）通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；线性方程组有非零解向量组就线性相关，反之，线性无关。
（5）通过向量组的秩研究向量组的相关性。
若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的；若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的。
第四章 向量组的线性相关性总结
第四章 向量组的线性相关性§1 n 维向量概念一、向量的概念定义1 n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数i a 称为第i 个分量.注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式()12,,,n a a a a =,出可以写成一列的形式12n a a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ⨯矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ⨯矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置.注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-.解 12v v -(1,1,0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =-12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+-(31203,31214,30210)T =⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-(0,1,2)T =定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。
§2 向量组的线性相关性一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数.定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ,使得1122m m a a a b λλλ=+++则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示.注1任一个n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示:1122n n a a a a e e e =+++ .注2向量b 可由向量组A :12,,,n a a a 线性表示（充要条件）⇔方程组1122n n a a a x x x b +++=有解m n A x b ⨯⇔=有解()(,)R A R A b ⇔=注3 由于线性方程组的解分为：无解，有唯一解，有无穷多解三种情况，所以向量β由向量12,,,n a a a 线性表示的情形也分为三种：不能线性表示，唯一线性表示，无穷多种线性表示，且线性表示式中的系数就是对应线性方程组的解。
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2
n
线 性 代 数
x1 x 2 即 1 2 n 0 xn 亦即Bx 0, 其中x ( x1 , x2 , , xn )T , 两端左乘A, 得 ABx 0.因为AB I , 得x 0, 即 x1 x2 xn 0, 1 , 2 , , n 线性无关.
1 2 3 2 3 7 由A 3 4 1 4 8 0 3 1 2 0 1 1 0 0 12 0 0 12
代 数
= =
例3.11 : 求下列向量组的一个极大无关组及向量组的秩
1 (1,1, 2, 2,1)T , 2 (0, 2,1,5, 1)T , 3 (2, 0,3, 1,3)T , 4 (1,1, 0, 4, 1) .
无关组, 并称向量组( A)的秩为1.
= =
例 :向量组( B) : 1 (1, 2,3) , 2 (2,3, 4) ,
T T
3 (1,1,1) 中最多有2个向量线性无关, 例
T
线 性 代
如1 , 2 , 称 1 , 2 为( B)的一个极大无关 组, 并称( B)的秩为2.
§3.3
向量组的秩
线 性 代 数
本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由 此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概 念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.
例 :向量组( A) : 1 (1, 2,3), 2 (2, 4, 6),
3 (3, 6,9), 其中线性无关的向量只有1个, 例如1. 我们称1为向量组( A)的一个极大
线 性 代 数
因为1 2
且有 3 21 2
这是因为1 2 4
Байду номын сангаас= =
例12 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.
0 1 T T T A ( 1 , 2 , 3 , ) 1 0 1 1 1 1 0 4 1 0 1 1 1 0 5 0 0 1 0 2
(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，
故 R(AB)≤R(A). 又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B). 所以 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
= =
例14 设矩阵Anm、Bmn满足AB I n , 其中I n为n阶 单位矩阵，且n m.证明：B的列向量组线性无关. 证法1: 设B按列分块为B 1 设有一组数x1 , x2 , x11 x2 2 , xn , 使得 xn n 0
b11 b21 c1 ,, cn ( 1 ,, r ) br 1
证 设Cm×n = AB，
线 性 代 数
b1n b2 n brn
ck b1k 1 b2 k 2 brk r , ( k 1,..., n)
1 1 1 0 代 1 1 2 5 5 2 数 1 1 2 2 0 = 1 0 0 1 = 0 0 0 0
可见r (1 , 2 , 3 , 4 ) 3, 1 , 2 , 4可作为一个极大无关组, 1 0 4 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
T
线 性
解 : A 1 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 1 5 1 0 1 0 0 0
2 3 4
2 0 3 1 3 2 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 1 0 0 2 0 2 0 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 2 0 5 5 2 0 1 1 2 0 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2
= =
推论1 推论2 注
任意n+1个n维向量组必线性相关 两个等价的线性无关组所含向量个数相同.
线 性 代 数
向量组的两个极大无关组所含向量的个 数相同 向量组的极大线性无关组所含向量 的个数称为向量组的秩.
定义9 注
性质1
规定,由零向量组成的向量组的秩为0
=
向量组1,2 , ,m线性无关 r (1,2 , ,m ) m = 向量组1,2 , ,m线性相关 r (1,2 , ,m ) m
线 性 代 数
3 1 0
= =
下面讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系. 矩阵A的行(列)向量组的秩称为A的行(列)秩. 定理6 r ( A) A的行秩 A的列秩, (证明从略) 命题(1)若矩阵A经有限次初等行变换 化为矩阵 B, 则A的任意k 个列向量与B中相应的k 个列向量 具有相同的线性相关性. (2)若矩阵A经有限次初等列变换化为矩阵B, 则A的任意k 个行向量与B中相应的k 个行向量具 有相同的线性相关性
例 :向量组(C ):1 (1, 2,3) , 2 (2,3, 4) ,
T T
数
3 (0, 0,1) 线性无关, 称(C )是它自身的
T
极大无关组, 并称(C )的秩为3.
= =
定义8
如果向量组(A)有一个部分组1 , 2 , (1) 1 , 2 , , r 线性无关; , r , 线性相关,
解
线
1 1 1 1 0 4 性 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 代 0 4 0 0 5 2 数 3 1 0 2 0 1 5 2
=
5 3 5 所以， 1 2 3 . 2 2 2
=
例13 设A, B分别为m×r, r ×n矩阵，证明 R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
线 性 代 数
= =
例10 求下列向量组的秩 : 1 (1, 2,3, 4)T
2 (2,3, 4,8) , 3 (3, 7, 1, 0) 4 (0,1, 2, 0) .
T T T
线 性
解 : 所求秩等于下列矩阵A的秩 : A 1 2 3 4
0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 10 2 0 12 0 2 3 0 1 1 1 所求秩为3. 0 1 0 0 0 0 2 1 3 1
= =
问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意
两个极大无关组所含向量个数是否唯一?
线 性 代 数
定理5
设有两个向量组: ( A) : 1 , 2 , s ; ( B ) : 1 , 2 ,
r ;
且( B)可由( A)线性表示,则 (1) 当r s时, ( B)线性相关; (2) 当(B)线性无关时, 必有r s. (证明从略)
= =
证法2 : 要证Bmn的列向量组线性无关 ,即相当于要证 r ( B) n.由已知的AB I , n r ( I n ) r ( AB) r ( Bmn ) n, r ( B) n.
线 性 代 数
= =
线 性 代 数
3 1 7
3 1 7
= =
2
1 1 0 a 3b
1 1 0
又由 3可由(I)线性表示 3可由(I)的极大无关组1 , 2线性表示 1 , 2 , 3线性相关 行列式1 2 b 5 a 15 1 3 2 3 b 0 1 0
性质2
若向量组1 ,2 , ,m可由向量组1 , 2 , 线性表示, 则r(1,2 , ,m ) r ( 1, 2 , , t ) 推论 等价向量组必有相同的秩
性质3 若r ( , , 1 2
, t
线 性 代 数
,m )=r, 则该向量组中任意r个
线性无关向量就是它的一个极大线性无关组. 例 设1 , 2线性无关, 试求向量组1 1 2 , 2 1 2的秩. 解 :由已知, 1 , 2可由1 , 2线性表示,
代 数
, r 满足 :
线 性
(2) ( A), 均有1 , 2 , 或 均可由1 , 2 ,
, r 线性表示, 则称
1 , 2 ,
, r为(A)的一个极大(最大)无关组
( A)的极大无关组必与(A)等价 : 最本质的性质.
注: (1)向量组的极大无关组不是唯一的.
(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;
线 性 代 数
(1) 求(I)的秩; (2) 如果(I)、 (II)有相同的秩, 且 3可由(I)线性 表示, 试求常数a、b的值.
= =
解 : (1)由于1与 2线性无关, 而 3 31 2 2 , 1与 2为(I)的极大无关组 (I)的秩为2. 或由1与 2线性无关, 而1 , 2 , 3线性相关, 由行列式1 2 即知, r ( I ) 2 (2)由条件知r ( II ) r ( I ) 2 ( II )线性相关 1 0 3 1 a b 0 2 1 0 a b 3 1 (a 3b) 0 1 3 2 3 0 9 10 0 6 2 0 30 6 0
1 1 1 1 又因 1 1 2 , 2 1 2 2 2 2 2 故两向量组等价, r ( 1 , 2 ) r (1 , 2 ) 2.
= =
例9
设有两个向量组: 1 3 9 (I) : 1 2 , 2 0 , 3 6 ; 3 1 7 0 a b (II):1 1 , 2 2 , 3 1 . 1 1 0